《模態(tài)分析與綜合技術(shù)》04復(fù)雜振動系統(tǒng)-01有限元分析

1、第5章 有限元分析,5.1 引言 每一種自然現(xiàn)象的背后都有相應(yīng)的物理規(guī)律(萬物皆規(guī)律)，對現(xiàn)象的描述可以借助相關(guān)的定理或定律表現(xiàn)為各種代數(shù)的、微分的、或積分的方程，這些方程通常稱為數(shù)學(xué)模型（控制方程）。對于很多的實際工程問題，推導(dǎo)并得到這些方程并不十分困難，卻很難從這些方程中獲得解析的數(shù)學(xué)解。 對于這類實際工程問題的解決方案通常如下框圖所示：,,工程中的問題(力學(xué)、物理等),各種方程及相應(yīng)的定解條件(邊界條件

2、及初始條件),線性的、邊界規(guī)則的問題,數(shù)值分析法,精確解,近似解,非線性的、邊界不規(guī)則的問題,解析法,,,,,,,,,5.1 引言,第5章 有限元分析,第5章 有限元分析,5.1 引言 對于稍微復(fù)雜的振動系統(tǒng)，想借助相關(guān)的定理或定律得到其代數(shù)的、微分的、或積分的方程幾乎不可能，即想得到其控制方程很難。 有限元分析(FEA)是利用數(shù)學(xué)近似的方法對真實物理系統(tǒng)(幾何和載荷工況)進行模擬。還利用簡單而又相互作用的元素，

3、即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。從而通過計算機得到其龐大的控制方程。,,第5章 有限元分析,5.1 引言 有限元方法(FEM)是計算機問世以后迅速發(fā)展起來的一種分析方法。對于復(fù)雜系統(tǒng)，人們多采用數(shù)值方法給出近似的滿足工程精度要求的解答，有限元方法就是一種應(yīng)用十分廣泛的數(shù)值分析方法，也是工程科學(xué)的重要工具，其重要性僅次于數(shù)學(xué)。,,第5章 有限元分析,幾何體

4、 載荷 物理系統(tǒng),,5.2 物理系統(tǒng)舉例,5.3 有限元模型和離散方程建立,有限元方法是處理連續(xù)介質(zhì)問題的一種普遍方法，離散化是有限元方法的基礎(chǔ)。有限元模型是真實系統(tǒng)離散化、理想化的數(shù)學(xué)抽象。,,第5章 有限元分析,1 建模方法 眾所周知，一個連續(xù)體有無限多個自由度(屬于無限維空間)，有限元方法則是將它轉(zhuǎn)化成一個有限自由度(屬于有限維空間)，建立有限元方程，求其近似解

5、。由于利用了分片插值技術(shù)，連續(xù)體(區(qū)域)的形狀可以不受任何限制。而這一難題正是以前其他分析方法所難以克服的。建立有限元方程大體有三類方法： (1) 直接方法　　(2) 變分方法　　(3) 加權(quán)殘值法,,第5章 有限元分析,5.3 有限元模型和離散方程建立,2 自由度、節(jié)點和單元 自由度:用于描述一個物理場的響應(yīng)特性。 自由度數(shù)（DOFs）：描述系統(tǒng)位形需要的獨立坐標(biāo)數(shù)。（機械系統(tǒng)）,場變量：可以是標(biāo)量

6、，也可以是矢量。(最后處理的實際上都是標(biāo)量),,第5章 有限元分析,5.3 有限元模型和離散方程建立,有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。,,第5章 有限元分析,2 自由度、節(jié)點和單元,5.3 有限元模型和離散方程建立,每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。 作為一個整體，單元形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。,信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的。即通過公共節(jié)點的協(xié)調(diào)條件來完成從單元到整體的轉(zhuǎn)換。,

7、,第5章 有限元分析,2 自由度、節(jié)點和單元,5.3 有限元模型和離散方程建立,,第5章 有限元分析,2 自由度、節(jié)點和單元,5.3 有限元模型和離散方程建立,節(jié)點自由度是隨連接該節(jié)點所在單元類型變化的。,,第5章 有限元分析,2 自由度、節(jié)點和單元,5.3 有限元模型和離散方程建立,※單元形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點DOF值到單元內(nèi)所有點處DOF值的計算方法。因此，單元形函數(shù)提供了一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的“形狀”。（假設(shè)模態(tài)）※

8、單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性?！鶈卧魏瘮?shù)與真實工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度?！鵉EA僅僅求解節(jié)點處的DOF值。,,第5章 有限元分析,3 形函數(shù),5.3 有限元模型和離散方程建立,二次曲線的線性近似 (不理想結(jié)果),二次近似 (接近于真實的二次近似擬合) (最理想結(jié)果),,,第5章 有限元分析,5.3 有限元模型和離散方程建立,3 形函數(shù),形函數(shù)的選取需遵循以下原則: ?DOF值可以精確或不太精確地

9、等于在節(jié)點處的真實解，但單元內(nèi)的平均值與實際情況要吻合得很好。如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的DOF，就不能很好地得到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，因為這些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過單元形函數(shù)推導(dǎo)出來的。?當(dāng)選擇了某種單元類型時，也就十分確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)。,,第5章 有限元分析,5.3 有限元模型和離散方程建立,3 形函數(shù),形函數(shù)的選取需遵循原則:?在選定單元類型并隨之確定了形函數(shù)的情況下，必須確保分析時有足夠數(shù)量的單元和節(jié)

10、點來精確描述所要求解的問題。,,,,,第5章 有限元分析,5.3 有限元模型和離散方程建立,3 形函數(shù),要用有限元方法的理論來解決實際問題離不開計算機(硬件)和程序(軟件)，大體要完成以下四方面的工作：?數(shù)據(jù)儲存應(yīng)用有限元方法求解實際問題時，在計算過程中要存貯大量數(shù)據(jù)(原始、中間和最終結(jié)果)。對于一個中等規(guī)模以上的算題，數(shù)據(jù)量相當(dāng)可觀。例如，一個不到500個節(jié)點的板殼結(jié)構(gòu)(中等規(guī)模)的算題，要占用大約18MB的外存空間，在處理規(guī)模

11、稍大的算題時一定要有足夠的外存空間。 ?數(shù)據(jù)管理為了充分利用存貯空間，編制程序時要注意到存貯空間的利用率。,,第5章 有限元分析,5.4 有限元程序,? 數(shù)值計算計算成本主要取決于數(shù)值運算的時間，盡量選用先進的計算方法，提高求解效率。迭代步長。? 前處理及后處理為了減少人工準(zhǔn)備原始數(shù)據(jù)的工作量，程序要有盡可能完善的“自動生成“功能。即由程序產(chǎn)生一部分原始數(shù)據(jù)。盡管如此，對于中等規(guī)模以上的算題來說，準(zhǔn)備原始數(shù)據(jù)仍然是一件繁重的工

12、作。數(shù)據(jù)是否沒有差錯，往往決定著一次計算的成敗。分析計算結(jié)果也是一件繁重的工作，一個好的程序應(yīng)有較完善的后處理功能。例如，將計算結(jié)果繪制成圖形或曲線。,,第5章 有限元分析,5.4 有限元程序,單元分析,形成總體方程,解方程,輸出結(jié)果,,,,,第5章 有限元分析,5.5 有限單元方法處理問題的基本步驟,1 將給定的區(qū)域離散化為單元的集合(i)用預(yù)先選定的單元類型來創(chuàng)建有限元網(wǎng)格；(ii)給單元及節(jié)點編號；(iii)創(chuàng)建幾何特性(

13、例如：坐標(biāo)系，橫截面的面積等)。2 對有限元網(wǎng)格中現(xiàn)存的各種典型單元進行單元分析(i)對各典型單元創(chuàng)建與其微分方程等價的變分形式；(ii)推導(dǎo)或選擇單元插值函數(shù),計算相關(guān)的單元矩陣。,,第5章 有限元分析,5.5 有限單元方法處理問題的基本步驟,3將單元方程合并為總體方程組(i)給出局部自由度與總體自由度之間的關(guān)系(基本變量在單元之間的連續(xù)性或單元之間的連接性)；(ii)給出局部坐標(biāo)系中的力分量與總體坐標(biāo)系中的力分量之間的關(guān)系