淺談數學歸納法在高考中的應用

1、贛南師范學院2015屆本科生畢業(yè)論文11、數學歸納法的理論基礎、數學歸納法的理論基礎數學歸納法，人類天才的思維、巧妙的方法、精致的工具，解決無限的問題。它體現的是利用有限解決無限問題的思想，這一思想凝結了數學家們無限的想象力和創(chuàng)造力，這無疑形成了數學證明中一道絢麗多彩的風景線。它的巧妙讓人回味無窮，這一思想的發(fā)現為后來數學的發(fā)展開辟了道路，如用有限維空間代替無限維空間（多項式逼近連續(xù)函數）用有限過程代替無限過程（積分和無窮級數用有限項和

2、答題，導數用差分代替）。1.11.1數學歸納法的發(fā)展歷史數學歸納法的發(fā)展歷史自古以來，人們就會想到問題的推廣，由特殊到一般、由有限到無限，可人類對無限的把握不順利。在對無窮思考的過程中，古希臘出現了許多悖論，如芝諾悖論，在數列中為了確保結論的正確，則必須考慮無限。還有生活中一些現象，如烽火的傳遞，鞭炮的燃放等，觸動了人類的思想。安提豐用圓周內接正多邊形無窮地逼近圓的方法解決化圓為方；劉徽、祖沖之用圓內接正多邊形去無窮地逼迫圓，無窮的問題

3、層出不窮，后來古希臘歐幾里得對命題“素數的個數是無窮的”的證明，通過了有限去實現無限，體現了數學歸納法遞推思想。但要形成數學歸納法中明確的遞推，清晰的步驟確是一件不容易的事，作為自覺運用進行數學證明卻是近代的事。伊本海塞姆（10世紀末）、凱拉吉（11世紀上葉）、伊本穆思依姆（12世紀末）、伊本班納（13世紀末）等都使用了歸納推理，這表明數學歸納法使用較普遍，尤其是凱拉吉利用數學歸納法證明22333(1)124nnn???????????

4、這是數學家對數學歸納法的最早證明。接著法國數學家萊維.本.熱爾松(13世紀末)用“逐步的無限遞進“，即歸納推理證明有關整數命題和排列組合命題。他比伊斯蘭數學家更清楚地體現數學歸納法證明的基礎，遞進歸納兩個步驟。到16世紀中葉，意大利數學家毛羅利科對與全體和全體自然數有關的命題的證明作了深入的考察在1575年，毛羅利科證明了21nnaan???其中12312kak?????????????????他利用了逐步推理鑄就了“遞歸推理”的思路，

5、成為了較早找到數學歸納中“遞歸推理”的數學家，為無限的把握提供了思維。17世紀法國數學家帕斯卡為數學歸納法的發(fā)明作了巨大貢獻，他首先明確而清晰地闡述數學歸納法的運用程序，并完整地使用數學歸納法，證明了他所贛南師范學院2015屆本科生畢業(yè)論文3證明證明:（1）當時，左邊=1=右邊命題成立1n?（2）假設時命題成立，即nk?22333(k1)124kk???????????那么當時，1nk??223333(k1)12(1)(1)4kkk??

6、????????????22(1)(k2)4k???即當時命題也成立，所以原命題成立。1nk??2.22.2第二數學歸納法第二數學歸納法假設是關于自然數的命題如果滿足:()pnn()pn(1)成立；(1)p(2)假設對于所有滿足的自然數成立，則也成立；()pnak?a()pk那么命題對一切自然數都成立。()pnn證明:設又設(差集)n|()Mpn??成立，nNANM??假設不空由自然數的最小數原理有最小數AA0a由條件(1)知故1M?0

7、1a?因此又由條件(2)知必有0121aM????01aM??0aM?這與矛盾所以A為空集0aA?從而則命題對一切自然數n都成立。MN?()pn第二數學歸納法是第一數學歸納法的加強，在高考數學中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以開拓一個學生的思維，體會其中的思想奧妙，在一定程度上可以激發(fā)學生學習數學的興趣，促使學生去創(chuàng)新，與此同時可以發(fā)現數學的美。2.32.3數學歸納法其他類型數學歸納法其他類型（1）跳躍數學歸納法①當ln321??