幾何晶體學(xué) (1)

1、幾 何 晶 體 學(xué),晶體與非晶體：晶體是由原子（或離子、分子）在空間周期地排列構(gòu)成的固體物質(zhì)。從結(jié)構(gòu)上，晶體具有三維空間的周期性，即長(zhǎng)程有序；非晶體的結(jié)構(gòu)只在幾個(gè)原子范圍內(nèi)具有某種統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律而在大范圍內(nèi)呈無(wú)規(guī)則排列，即為短程有序。 晶體具有各向異性，而非晶體呈各向同性。,1. 晶體點(diǎn)陣,1.1 基本概念,晶體結(jié)構(gòu)：晶體中原子、離子或分子的構(gòu)型稱為晶體結(jié)構(gòu)。等同點(diǎn)：從晶體結(jié)構(gòu)中抽象出的幾何環(huán)境和物質(zhì)環(huán)境均相同的點(diǎn)，稱

2、為等同點(diǎn)。結(jié)構(gòu)基元：等同點(diǎn)所代表的具體物質(zhì)內(nèi)容（原子（團(tuán)）、離子（團(tuán)）、分子（團(tuán)））稱為結(jié)構(gòu)基元?？臻g點(diǎn)陣：從晶體結(jié)構(gòu)中的抽象出來(lái)的，描述結(jié)構(gòu)基元空間分布周期性的等同點(diǎn)集合成的幾何圖形稱為晶體的空間點(diǎn)陣。 空間點(diǎn)陣中的幾何點(diǎn)稱為陣點(diǎn)。 晶體結(jié)構(gòu) ＝ 空間點(diǎn)陣 ＋ 結(jié)構(gòu)基元,初基矢：以點(diǎn)陣中任一陣點(diǎn)為原點(diǎn)，作一組矢量a0、b0、c0，它們整數(shù)倍的線性組合能表達(dá)點(diǎn)陣中所有陣點(diǎn)的位置，稱這些矢量為初基平移矢量，簡(jiǎn)稱平移矢。

3、平移矢：任意兩個(gè)陣點(diǎn)之間的矢量為平移矢，或陣矢。 T = ma + nb + pc 其中 m，n，p為整數(shù)陣胞：以初基矢為棱邊作平行六面體，稱為點(diǎn)陣的初基陣胞。初基陣胞有多種取法，但每種取法最終陣胞體積都相同，且每個(gè)陣胞中只含一個(gè)陣點(diǎn)。復(fù)胞：以陣矢為棱邊構(gòu)成的平行六面體稱為非初基陣胞（復(fù)雜陣胞），簡(jiǎn)稱復(fù)胞。復(fù)胞中包含一個(gè)以上的陣點(diǎn)。,1.2 空間點(diǎn)陣的描述方法,點(diǎn)陣常數(shù)：確定點(diǎn)陣陣胞

4、的三個(gè)棱邊矢量a、b、c的模a、b、c及其間夾角?、?、?稱為點(diǎn)陣常數(shù)。,,,晶胞：是晶體結(jié)構(gòu)中的最小重復(fù)單位。 晶胞 = 空間點(diǎn)陣的陣胞 ＋ 結(jié)構(gòu)基元實(shí)際材料中晶體（晶粒）的尺寸大約在105－106nm左右，而晶胞的尺寸在1nm以下，因此平移矢 T = ma + nb + pc 中的m，n，p在105－106數(shù)量級(jí)，晶體近似看成無(wú)限大，因?yàn)榫w的周期性

5、，故只需取一個(gè)單胞來(lái)討論問(wèn)題。,2. 晶體的對(duì)稱性（宏觀）,對(duì)稱：晶體的對(duì)稱性是指晶體中存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的等同部分，通過(guò)一定的幾何動(dòng)作后能使它們周期性復(fù)原的性質(zhì)。對(duì)稱操作：上述幾何動(dòng)作。對(duì)稱元素：在實(shí)施對(duì)稱操作時(shí)所憑借的幾何元素，即對(duì)稱操作過(guò)程中不動(dòng)的點(diǎn)、線、面等幾何元素。,2.1 基本概念,反映：晶體表面或內(nèi)部每一個(gè)點(diǎn)通過(guò)該物體中的一個(gè)平面反映，在平面的另一方同等距離處都能找到相同的的點(diǎn)，這種變換稱為反映。 對(duì)稱元素：

6、對(duì)稱面，用m表示。如一個(gè)立方體中有9個(gè)對(duì)稱面。,,,2.2 晶體宏觀對(duì)稱變換,b、旋轉(zhuǎn)：晶體繞某一軸線旋轉(zhuǎn)360?的過(guò)程中，其中的每 一點(diǎn)恢復(fù)原來(lái)狀態(tài)數(shù)次，這種對(duì)稱變換稱為旋轉(zhuǎn)。 對(duì)稱元素：旋轉(zhuǎn)軸。由于晶體的周期性，旋轉(zhuǎn)軸只有 一次、二次、三次、四次、六次，分別 用1、2、3、4、6表示。,,c、反演：若通

7、過(guò)晶體中心的任一直線上，離中心等距離處均能找到相應(yīng)的等同點(diǎn)，則晶體具有對(duì)稱中心，稱此操作為反演。 對(duì)稱元素：反演中心,,d、旋轉(zhuǎn) –反演：晶體繞某一旋轉(zhuǎn)軸每轉(zhuǎn)動(dòng)?角后，必須再經(jīng)反演晶體才能復(fù)原，稱這種變換為旋轉(zhuǎn) –反演。 對(duì)稱元素：反演軸，有－1，－2，－3，－4，－6，其中只有－4為新的獨(dú)立對(duì)稱元素。 －1＝i，－2＝m，－3中必含有3次軸和i，－6中必含有3次軸和m。,,所以，晶體中有1、2

8、、3、4、6、m、i、-4共八種獨(dú)立的宏觀對(duì)稱元素。,,3. 布拉菲點(diǎn)陣（Bravais Lattice）與晶系（Crystal System）,3.1 布拉菲點(diǎn)陣,陣胞可以有各種不同的選取方式。只是為了表達(dá)空間點(diǎn)陣的周期性，則一般應(yīng)選取體積最小的平行六面體作為陣胞（即簡(jiǎn)單陣胞），但為了使陣胞能同時(shí)反應(yīng)出空間點(diǎn)陣的對(duì)稱性，只選簡(jiǎn)單陣胞不能滿足要求。如何選？陣胞選取原則：（1）所選陣胞要完全反應(yīng)出空間點(diǎn)陣的最高對(duì)稱性；（2）在滿足（1

9、）的基礎(chǔ)上所選陣胞的平面角要盡可能等于直角；（3）在滿足（1）、（2）的基礎(chǔ)上所選陣胞的體積要盡可能小。根據(jù)上述三條原則選取的空間點(diǎn)陣陣胞只能有14種，稱為14種布拉菲點(diǎn)陣。,,3.2 晶系劃分,晶系：按照晶胞的特征對(duì)稱元素可以分成7個(gè)不同類型，稱為晶系。,不同晶系中的標(biāo)準(zhǔn)單胞選擇規(guī)則,1. 七種晶系單位陣胞分為四類。 a. 簡(jiǎn)單陣胞(P)，含有一個(gè)陣點(diǎn)， 陣點(diǎn)坐標(biāo)：(0, 0, 0) b. 底心陣胞(C)，含有兩

10、個(gè)陣點(diǎn)， 陣點(diǎn)坐標(biāo)：(0, 0, 0)；(1/2, 1/2, 0) c. 體心陣胞(I)，含有兩個(gè)陣點(diǎn)， 陣點(diǎn)坐標(biāo)：(0, 0, 0)；(1/2, 1/2,1/2) d. 面心陣胞(F)，含有四個(gè)陣點(diǎn)， 陣點(diǎn)坐標(biāo)：(0, 0, 0)；(1/2, 1/2, 0)； (0, 1/2, 1/2)；(1/2, 0, 1/2),3.3 Bravais

11、陣胞的四種類型,2.坐標(biāo)系的選擇：在晶體的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中，當(dāng)根據(jù)Bravais三原則選取單位陣胞時(shí)，實(shí)際上就確定了描述該點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)系。單位陣胞的三棱邊便是三個(gè)坐標(biāo)軸（x, y, z），在晶體結(jié)構(gòu)中又稱晶軸。由于每一陣點(diǎn)都是環(huán)境相同的等同點(diǎn)，所以任一陣點(diǎn)均可作為原點(diǎn)。晶體學(xué)中規(guī)定右手規(guī)則坐標(biāo)系，三棱邊邊長(zhǎng)a, b, c是坐標(biāo)軸的度量單位，而b與c、c與a、a與b的夾角為?、?、?，在點(diǎn)陣中確定的單位陣胞與引入坐標(biāo)是統(tǒng)一的。所以，坐標(biāo)因點(diǎn)陣

12、類型而異，在晶體點(diǎn)陣中按這種規(guī)定引入坐標(biāo)系稱為標(biāo)準(zhǔn)定向。,3.4 一些實(shí)際晶體的點(diǎn)陣類型,將陣胞中的陣點(diǎn)換成結(jié)構(gòu)基元——晶胞。晶胞與空間點(diǎn)陣的陣胞參數(shù)是相同的，只是晶胞中的質(zhì)點(diǎn)數(shù)是陣胞中陣點(diǎn)數(shù)的整數(shù)倍。金屬晶體的點(diǎn)陣類型主要是fcc、bcc和hp，其中fcc和bcc結(jié)構(gòu)金屬的原子與空間點(diǎn)陣的陣點(diǎn)重合。如Cu、Al、?-Fe、W。密堆六方（hcp）金屬的點(diǎn)陣屬于簡(jiǎn)單點(diǎn)陣（hp）。如Mg、Zn。金剛石和NaCl屬于fcc點(diǎn)陣，一個(gè)晶

13、胞中含有8個(gè)C原子。有序結(jié)構(gòu)Cu3Au和CsCl屬于pc點(diǎn)陣。,4.1 晶體學(xué)點(diǎn)群（Point Group）,4. 晶體學(xué)點(diǎn)群和空間群,定義：晶體中所含有的全部宏觀對(duì)稱元素至少交于一點(diǎn)。將晶體中可能存在的各種宏觀對(duì)稱元素通過(guò)一個(gè)公共點(diǎn)并按一切可能性組合起來(lái)，總共有32種形式，這32種相應(yīng)的對(duì)稱群操作群稱為32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群。32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群是滿足“晶體制約”的點(diǎn)群。32晶類的推演   http://meta

14、fysica.nl/derivation_32.html,晶體學(xué)點(diǎn)群的對(duì)稱元素方向及國(guó)際符號(hào),點(diǎn)群符號(hào)含義1. 熊夫利斯(Schoenfilies)記號(hào)： 大寫(xiě)字母：C代表旋轉(zhuǎn)群（Cyclic group） D代表雙面群（Dihedral group） S代表反軸群（Spiegelachse(德文) group）

15、 T代表四面體群（Tetrahedral group） O代表八面體群（Octahedral group） 小寫(xiě)字母：n代表主對(duì)稱軸軸次 i代表對(duì)稱中心（inversion，反演） s代表鏡面（spiegel，德文鏡面） v代表

16、通過(guò)主軸的鏡面（vertical mirror plane） h代表與主軸垂直的水平鏡面（horizontal mirror plane） d代表等分二個(gè)副軸的交角的鏡面（diagonal mirror plane）,2. 國(guó)際符號(hào)：由各晶系特定取向上的對(duì)稱元素符號(hào)按著規(guī)定的順序排列而成。各晶系的特定取向和排列順序列于表中。點(diǎn)群國(guó)際符號(hào)中的對(duì)稱元素

17、與各晶系特定取向關(guān)系為：對(duì)稱軸與取向平行，對(duì)稱面與特定取向垂直，若在同一取向上同時(shí)存在相關(guān)的幾次對(duì)稱軸和對(duì)稱面，則記為n/m。舉例：4/m2/m2/m 其特征對(duì)稱元素是一個(gè)四次軸，所以該點(diǎn)群屬于正方晶系。沿[001]取向有一個(gè)四次軸，一個(gè)對(duì)稱面與[001]取向正交；沿取向有兩個(gè)二次軸，有二個(gè)對(duì)稱面與取向正交；沿取向有兩個(gè)二次軸，有兩個(gè)對(duì)稱面與取向正交。在32個(gè)晶體點(diǎn)群中，對(duì)稱元素排布的極射赤面投影圖，如圖所示

18、。其中11個(gè)具有對(duì)稱中心的點(diǎn)群稱為勞埃（Laue）對(duì)稱群。,點(diǎn)群符號(hào)的取向和順序,4.2 空間群（Space Group）,,,,從晶系到空間群,7個(gè)晶系,旋轉(zhuǎn)，反射，反演,平移,螺旋軸，滑移面,32個(gè)點(diǎn)群,14種Bravais格子,230個(gè)空間群,,,,,,,（按照晶胞的特征對(duì)稱元素分類）,,230種空間群 將32種點(diǎn)群與14種布拉菲點(diǎn)陣（平移群）相結(jié)合，同時(shí)考慮由平移特性而派生的微觀對(duì)稱元素螺旋軸和滑移面，于是晶體結(jié)構(gòu)中的

19、對(duì)稱軸既可以是旋轉(zhuǎn)軸，也可以是螺旋軸，同樣，對(duì)稱面也可以是滑移面。這樣在晶體結(jié)構(gòu)空間就能組成更多種空間對(duì)稱群。根據(jù)俄國(guó)晶體學(xué)家費(fèi)多羅夫的精確推導(dǎo)，晶體結(jié)構(gòu)中的空間群共有230種。,空間群國(guó)際符號(hào),a. 符號(hào)含義 空間群的國(guó)際符號(hào)由兩部分組成，寫(xiě)在符號(hào)最前面的是表示布拉菲點(diǎn)陣類型的大寫(xiě)英文字母P（簡(jiǎn)單點(diǎn)陣）、C（底心點(diǎn)陣）、I（體心點(diǎn)陣）、F（面心點(diǎn)陣）、R（菱方體點(diǎn)陣），其后是各晶系特定取向上的按規(guī)定順序排列的

20、宏觀和微觀對(duì)稱元素符號(hào)?？臻g群符號(hào)中各晶系的特定取向和排列順序與點(diǎn)群符號(hào)相同。 空間群符號(hào)能表示出晶體所屬的晶系，布拉菲點(diǎn)陣和特定取向上的宏觀、微觀對(duì)稱元素。材料的粉末衍射卡上都標(biāo)有所屬的空間群符號(hào)，由此獲得材料的點(diǎn)群，判斷所屬晶系。 b. 舉例 空間群符號(hào)P6/m2/c2/c：它的特征對(duì)稱元素是一個(gè)六次對(duì)稱軸。故屬六方晶系。點(diǎn)陣符號(hào)P表明，該晶體屬簡(jiǎn)單六方布拉菲點(diǎn)陣。6/m表示沿﹤001﹥

21、取向存在一個(gè)六次旋轉(zhuǎn)軸，并有一個(gè)對(duì)稱面與﹤001﹥?nèi)∠蛘弧?/c2/c表示沿 ﹤010﹥和﹤110﹥?nèi)∠虼嬖诙涡D(zhuǎn)軸，并且有平移矢量t＝c/2的滑移面分別與﹤010﹥和﹤110﹥?nèi)∠蛘弧?關(guān)于空間群的符號(hào)和圖表可查閱國(guó)際x射線晶體學(xué)表（International Tables for x-ray Crystallography, Vol. 1）,X-射線結(jié)晶學(xué)國(guó)際表 (1),提供的信息的是： 1. 空間群

22、的國(guó)際符號(hào)為 2. Schoenflies符號(hào) 3. 晶系 4. 晶類 5. 一般等效點(diǎn)圖： 單胞的投影，包含所有等效點(diǎn)位置。 “+”表示 z>0， “- “表示z<0; “，”表示點(diǎn)“被翻轉(zhuǎn)” (鏡面操作或反演) 6. 對(duì)稱圖： 單胞的對(duì)稱元素 7. 點(diǎn)位置(首先一般等效點(diǎn)，然后特殊點(diǎn)) ：多重性(等效點(diǎn)的個(gè)數(shù)) “Wyckoff記號(hào)“在該位置的點(diǎn)對(duì)稱性（site symmetry）點(diǎn)的坐標(biāo) 8.出現(xiàn)

23、衍射的條件 9-12：（略）,國(guó)際表中的空間群P21/c,從空間群符號(hào)辨認(rèn)晶系,1. 立方–第2個(gè)對(duì)稱符號(hào)： 3 或 -3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m) 2. 四方–第1個(gè)對(duì)稱符號(hào)： 4, -4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc) 3. 六方–第1個(gè)對(duì)稱符號(hào)： 6, -6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm) 4. 三方–第1個(gè)

24、對(duì)稱符號(hào)： 3, -3 ，31 或 32 (如： P31m, R3, R3c, P312) 5. 正交–點(diǎn)陣符號(hào)后的全部三個(gè)符號(hào)是鏡面，滑移面，2次旋轉(zhuǎn)軸或2次螺旋軸 (即Pnma, Cmc21, Pnc2）6. 單斜–點(diǎn)陣符號(hào)后有唯一的鏡面、滑移面、2次旋轉(zhuǎn)或者螺旋軸，或者軸/平面符號(hào)(即Cc、P2、P21/n)。7. 三斜–點(diǎn)陣符號(hào)后是1或(- 1)。,在空間點(diǎn)陣中無(wú)論在哪個(gè)方向上都可以畫(huà)出許多互相平行的陣點(diǎn)平面。同一方向上的

25、陣點(diǎn)平面不僅互相平行，而且等距，各平面上的陣點(diǎn)分布情況也完全相同。但是不同方向上的陣點(diǎn)平面卻具有不同的特征。所以說(shuō)陣點(diǎn)平面之間的差別主要取決于它們的取向，而在同一方向上的陣點(diǎn)平面中確定某個(gè)平面的具體位置是沒(méi)有實(shí)際意義的。,5. 晶面與晶向指數(shù),同樣，在空間點(diǎn)陣中無(wú)論在哪個(gè)方向都可以畫(huà)出許多互相平行且等同周期的陣點(diǎn)直線，不同方向上陣點(diǎn)直線的差別也取決于它們的取向?？臻g點(diǎn)陣中的陣點(diǎn)平面和陣點(diǎn)直線相當(dāng)于晶體結(jié)構(gòu)中的晶面和晶向。在晶體學(xué)中

26、陣點(diǎn)平面和陣點(diǎn)直線的空間取向分別用晶面指數(shù)和晶向指數(shù)來(lái)表示。 5. 1 晶面指數(shù)（Miller index）求法：在一組相互平行的晶面中任選一個(gè)晶面，量出它在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距（用點(diǎn)陣周期a、b、c為度量單位），ra、sb、tc，取1/r : 1/s : 1/t = h : k : l（三個(gè)互質(zhì)的整數(shù)），記為(hkl)。晶面族：空間位向性質(zhì)完全相同的晶面屬于同族等同晶面，記為{hkl}。這些等同晶面族是通過(guò)晶體自身具有的對(duì)稱性相聯(lián)

27、系的，它們的面間距和晶面上結(jié)點(diǎn)分布完全相同。,5.2 晶向指數(shù)（lattice direction index）求法：在一族互相平行的陣點(diǎn)直線中選擇過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的陣點(diǎn)直線，在其上任選一陣點(diǎn)，將其坐標(biāo)值（x0, y0, z0）互質(zhì)化成三個(gè)整數(shù)u, v, w，記為[uvw].晶向族：陣點(diǎn)密度相同的陣點(diǎn)直線屬于等同晶向族，記為。,5.3 六方晶系四軸定向六方晶系的晶面和晶向若用三軸坐標(biāo)系（a1, a2夾角位120°）確定指數(shù)的

28、話，所得指數(shù)并不能顯示出等同晶面和晶向的對(duì)稱性。因此在晶體學(xué)上對(duì)六方晶系采用四軸定向的方法，稱為密勒-布拉菲指數(shù)。四軸定向選取四個(gè)坐標(biāo)軸，如圖所示，其中a1, a2, a3在同一平面上，其間夾角為120 ° ，c軸垂直于此平面。三軸晶面指數(shù)(hkl)與四軸晶面指數(shù)(hkil)存在如下關(guān)系： h + k = -i三軸晶向指數(shù)[uvw]

29、與四軸晶向指數(shù)[UVTW]存在如下關(guān)系： U=(2u-v)/3； V=(2v-u)/3； T=-(U+V)=-(u+v)/3；

30、 W=w 先求出三軸晶向或晶面指數(shù)，再換算成密勒-布拉菲指數(shù)。,5.4 三方晶系按六方點(diǎn)陣表達(dá) 如圖所示，三方晶系可處理成六方形式的點(diǎn)陣單位。這樣計(jì)算公式簡(jiǎn)化，而且現(xiàn)有的三方晶系資料大都按六方結(jié)構(gòu)整理的。三方晶系按六方點(diǎn)陣表達(dá)式，一部分是簡(jiǎn)單六方hP，另一部分為包含三個(gè)陣點(diǎn)的復(fù)胞，三個(gè)陣點(diǎn)的坐標(biāo)位置為：(0,0,0)；(2/3, 1/3, 1/3)；(1/3, 2/3, 2/3)，記為hR點(diǎn)陣（

31、R表示菱面體，Rhombohedron）。 三方晶系的這兩種點(diǎn)陣形式P和R，在空間群記號(hào)中一直沿用著。在點(diǎn)陣的空間排布上，六方晶系的hP與三方晶系的hP是一樣的，只能算作一種點(diǎn)陣形式，所以空間點(diǎn)陣還是只有14種。,R心六方單胞參數(shù)aH，cH和菱面體的單胞參數(shù)aR，?R之間的關(guān)系如下：,或,6. 晶面面間距公式,7. 晶帶,定義：晶體中平行于同一晶向[uvw]的晶面的組合稱為晶帶，該晶向稱為晶帶軸。記為

32、[uvw]晶帶。晶帶定律：[uvw]晶帶中的任一晶面(hkl)滿足：hu+kv+wl=0. （1）若(h1k1l1)、(h2k2l2)同屬于[uvw]晶帶，則： [uvw]=[h1k1l1]?[h2k2l2] （2）若[u1v1w1]、[u2v2w2]都是(hkl)的晶帶軸，則： [hkl]=[u1v

33、1w1]?[u2v2w2].,8. 倒易點(diǎn)陣,晶體點(diǎn)陣（正點(diǎn)陣）L以一套右手坐標(biāo)軸系規(guī)定的單位矢量a, b, c表示其周期性，晶體點(diǎn)陣的晶胞參數(shù)用a, b, c, ?, ?, ?表示，V為晶胞體積。倒易點(diǎn)陣L*是從晶體點(diǎn)陣推引出來(lái)的，也用右手坐標(biāo)系規(guī)定，單位矢量為a*, b*, c*, ?*, ?*, ?*，倒易晶胞體積為V*。正點(diǎn)陣是從晶體結(jié)構(gòu)中抽象出來(lái)的，描述的是晶體中物質(zhì)的分布規(guī)律，是物質(zhì)空間；倒易點(diǎn)陣與晶體的衍射現(xiàn)象相關(guān)，描

34、述的是衍射強(qiáng)度的分布規(guī)律。在x射線晶體學(xué)中，倒易點(diǎn)陣是研究晶體衍射性質(zhì)的重要概念和數(shù)學(xué)工具。,8.1 倒易點(diǎn)陣定義,正點(diǎn)陣的基矢量為a, b, c，則其倒易點(diǎn)陣的基矢量a*, b*, c*由下面公式定義： a*? a=b*? b=c*? c=1 a*? b=a*? c=b*? a=b*? c=c*? a=c*? b=0或 a* ? b, c組

35、成的平面，即(100)面；a* = 1/d100 b* ? c, a組成的平面，即(010)面；b* = 1/d010 c* ? a, b組成的平面，即(001)面；c* = 1/d001倒易點(diǎn)陣的倒易是正點(diǎn)陣；V ? V* = 1。,定義：基矢為a, b, c的空間點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣(reciprocal lattice)為式：Hhkl=ha*+kb*+lc* (h, k, l為所有整數(shù)）的點(diǎn)的集合。,

36、8.2 倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的倒易關(guān)系倒易點(diǎn)陣參數(shù),倒易點(diǎn)陣的基矢量公式可記為：,倒易點(diǎn)陣的矩陣定義,簡(jiǎn)記為：,從而得，正點(diǎn)陣基矢標(biāo)量積矩陣：,查表得不同晶系公式,立方晶系：,所以，有：,倒易點(diǎn)陣基矢標(biāo)量積矩陣：,倒易點(diǎn)陣的矩陣定義,或：,這兩個(gè)矩陣在進(jìn)行晶面晶向指數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)很有用。,8.3. 倒易矢量,定義：由倒易原點(diǎn)指向任一倒易陣點(diǎn)hkl的矢量，稱為倒易矢量。記為：r* = ha* + kb* + lc*倒易矢量?jī)蓚€(gè)基本性質(zhì)：

37、 a. r*hkl ? 正點(diǎn)陣中(hkl)面； b. |r*hkl| = 1/dhkl,求(hkl)面的法向[uvw],分別用（a b c）的轉(zhuǎn)置左乘以上式兩端，得,記,或,晶面法向與其倒易矢量平行，只考慮相對(duì)值時(shí)，可寫(xiě)成：,利用倒易晶胞參數(shù)計(jì)算面間距和面夾角比直接用晶胞參數(shù)計(jì)算更方便。如立方晶系公式如下：,8.4 晶面間距和晶面夾角計(jì)算公式,8.5 倒易點(diǎn)陣類型,晶體點(diǎn)陣晶胞和相應(yīng)的倒易點(diǎn)陣晶胞的關(guān)系如圖所示

38、。此結(jié)果可通過(guò)倒易矢量運(yùn)算獲得。我們?cè)诤筮呁ㄟ^(guò)晶胞的衍射振幅推到給出同樣的結(jié)果。,倒易點(diǎn)陣與其相應(yīng)的正點(diǎn)陣具有相同類型的坐標(biāo)系，即兩者晶系相同。,8.6 晶帶與倒易面,同一晶帶所有晶面的倒易矢量均在過(guò)倒易原點(diǎn)且垂直于晶帶軸[uvw]的倒易平面上。（0層倒易面(uvw)*0）,hu + kv + lw = 0,[001]晶帶,,,廣義晶帶定律：與0層倒易面(uvw)*0平行的其它倒易平面(uvw)*N上的倒易陣點(diǎn)hkl相應(yīng)的倒易矢量與晶帶