統(tǒng)計學(xué)第七章--卡方檢驗

1、第七章 ?2檢驗,,?2檢驗用途,單個頻數(shù)分布的擬合優(yōu)度檢驗 完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗多組頻數(shù)分布的?2檢驗配對設(shè)計下兩組頻數(shù)分布?2檢驗,**四格表的確切概率法,?2分布和擬合優(yōu)度檢驗,?2分布 ?2分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。如果Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，那么Z2服從自由度為1的?2分布, 其概率密度在（0，＋∞）區(qū)間上表現(xiàn)為L型，如圖7-1對應(yīng)于自由度=1的曲線，取較小值的可能性較大，取較大值的

2、可能性較小。,?2分布和擬合優(yōu)度檢驗,圖7-1, ?2分布的形狀依賴于自由度ν的大小，當(dāng)自由度ν＞2時，隨著ν的增加，曲線逐漸趨于對稱，當(dāng)自由度ν趨于∞時，?2分布逼近正態(tài)分布。各種自由度的?2分布右側(cè)尾部面積為α?xí)r的臨界值記為 列于附表8。,,?2分布和擬合優(yōu)度檢驗,擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度檢驗是根據(jù)樣本的頻率分布檢驗其總體分布是否等于某給定的理論分布。擬合優(yōu)度檢驗步驟：1．建立檢驗假設(shè)H0：總體分布等于給定的理論分布H

3、1：總體分布不等于給定的理論分布,?2分布和擬合優(yōu)度檢驗,2．計算檢驗統(tǒng)計量 實際觀察到的頻數(shù)用A表示，根據(jù)H0確定的理論頻數(shù)用T表示，則大樣本時統(tǒng)計量，自由度=K-1-（利用的參數(shù)個數(shù)）,,,?2分布和擬合優(yōu)度檢驗,以上兩個公式?2檢驗的基本公式，所有其它形式的?2檢驗公式都來源于此。 ?2值反映了樣本實際頻數(shù)分布與理論總體分布的符合程度。如果原假設(shè)成立， ?2值不會太大；反之，A若與T差距大， ?2值也大；當(dāng)?2

4、值超出一定范圍時，就有理由認(rèn)為原假設(shè)不成立。 3．確定相應(yīng)的概率P，作出推斷結(jié)論,?2分布和擬合優(yōu)度檢驗,例7-1 對表7-1所示數(shù)據(jù)作正態(tài)分布擬合優(yōu)度檢驗。136例體模骨密度測量值的均數(shù)=1.260;標(biāo)準(zhǔn)差=0.010檢驗的假設(shè):H0：總體分布等于均數(shù)為1.260，標(biāo)準(zhǔn)差為0.010的正態(tài)分布H1：總體分布不等于該正態(tài)分布,表7-1 136例體模骨密度測量值頻數(shù)分布表及擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量的計算,?2分布和擬合優(yōu)度檢驗,表7

5、-1 中第3列、第4列正態(tài)分布函數(shù)值可通過對作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換后查正態(tài)分布表或利用相應(yīng)的SAS程序得到，第5列為第4列與第3列的差值，第6列理論頻數(shù)T等于總例數(shù)136與各組段概率的乘積，第７列各數(shù)之和即檢驗統(tǒng)計量?2值。,?2分布和擬合優(yōu)度檢驗,計算統(tǒng)計量:推斷結(jié)論:自由度=10-1-2=7,查附表8,得到P>0.50,可以認(rèn)為該樣本服從正態(tài)分布。,,計算T I 時的參數(shù)有2個（均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差）,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢

6、驗,二分類情形——2×2列聯(lián)表 例7-2 某醫(yī)師研究用蘭芩口服液與銀黃口服液治療慢性咽炎療效有無差別，將病情相似的80名患者隨機(jī)分成兩組，分別用兩種藥物治療，結(jié)果見表7-2。,表7-2　慢性咽炎兩種藥物療效資料,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗,問題：這兩個頻數(shù)分布的總體分布是否相等？或者這兩份樣本是否來自同一個總體。因為這里是二分類變量，問兩個總體分布是否相等就相當(dāng)于問兩個有效概率是否相等。,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?

7、2檢驗,（1）建立檢驗假設(shè)H0：π1= π2 兩藥的有效概率相同H1： π1≠π2 兩藥有效概率不同 檢驗水準(zhǔn)?=0.05 （2）計算檢驗統(tǒng)計量,,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗,自由度　?=(2-1)(2-1)=1（3）確定p值查附表8，?=1對應(yīng)的臨界值 , P<0.025。（4）結(jié)論:拒絕H0，兩樣本頻率的差別具有統(tǒng)計學(xué)意義?？梢哉J(rèn)為，蘭芩口服液和銀黃口服液的總體有效概率不同，前者（91.1%）高于后者（68

8、.6%）。,,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗,對于四格表資料，四格表專用公式,,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗,當(dāng)n≥40時，如果有某個格子出現(xiàn)1≤T<5，一般需用校正公式,,,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗,例7-3 將病情相似的淋巴系腫瘤患者隨機(jī)分成兩組，分別做單純化療與復(fù)合化療，兩組的緩解率見表7-4，問兩療法的總體緩解率是否不同？（1）建立檢驗假設(shè)H0：π1= π2,,兩法總體緩解概率相同 H1： π1≠π

9、2兩法總體緩解概率不同 檢驗水準(zhǔn)?=0.05,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗,2）計算檢驗統(tǒng)計量?=(2-1)(2-1)=1 3)確定P值:P>0.1，高于檢驗水準(zhǔn)?，不能拒絕H0，差別無統(tǒng)計學(xué)意義，尚不能認(rèn)為兩種治療方案的總體緩解概率不同。,,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗,特別注意: 當(dāng)四格表出現(xiàn)T<1或n<40時，校正?2值也不恰當(dāng)，這時必須用四格表的確切

10、概率計算法（見本章第6節(jié)）。,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗,多分類的情形——2×C列聯(lián)表 定性變量具有多分類時, 兩個頻數(shù)分布的數(shù)據(jù)可表示為一個2×C列聯(lián)表。 例7-4 北京市1986年城市和農(nóng)村20至40歲已婚婦女避孕方法情況如表7-5所示（據(jù)王紹賢等調(diào)查資料），試分析北京城市和農(nóng)村采用不同避孕方法的總體分布是否有差別。,表7-5 北京城市和農(nóng)村已婚婦女避孕方法情況,完全隨機(jī)

11、設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗,（1）建立檢驗假設(shè)H0：北京城市和農(nóng)村已婚婦女避孕方法的總體概率分布相同H1：北京城市和農(nóng)村已婚婦女避孕方法的總體概率分布不同檢驗水準(zhǔn) ?=0.05。,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗,（2）計算檢驗統(tǒng)計量H0成立時，兩組概率分布相同，均近似地等于合并計算的頻率分布。,,完全隨機(jī)設(shè)計兩組頻數(shù)分布?2檢驗,?=(2-1)(4-1)=3,查附表8P<0.001，按?=0.05水準(zhǔn)拒絕H0?？梢哉J(rèn)為,

12、 北京城市和農(nóng)村已婚婦女避孕方法的總體概率分布不同。據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，城市使用男用避孕套的頻率高于農(nóng)村；宮內(nèi)節(jié)育器是城市和農(nóng)村的主要避孕方式，但農(nóng)村使用宮內(nèi)節(jié)育器的頻率比城市高。,,完全隨機(jī)設(shè)計多組頻數(shù)分布?2檢驗,設(shè)有一個定性變量，具有Ｃ個可能的“取值”；現(xiàn)有R組獨(dú)立樣本的頻數(shù)分布，其數(shù)據(jù)以表7-7的形式表示。這樣的數(shù)據(jù)形式稱為R×C列聯(lián)表。,,完全隨機(jī)設(shè)計多組頻數(shù)分布?2檢驗,例7-5 為研究某鎮(zhèn)痛藥的不同劑量鎮(zhèn)痛效果是否有差別

13、，研究人員在自愿的原則下，將條件相似的53名產(chǎn)婦隨機(jī)分成三組, 分別按三種不同劑量服用該藥，鎮(zhèn)痛效果如表7-8。,表7-8　某藥不同劑量的鎮(zhèn)痛效果,完全隨機(jī)設(shè)計多組頻數(shù)分布?2檢驗,（1）建立檢驗假設(shè)H0：三種劑量鎮(zhèn)痛有效的概率相同。H1：不同劑量鎮(zhèn)痛有效的概率不全相同。檢驗水準(zhǔn)取為?=0.05按公式(7-13)計算?2統(tǒng)計量,完全隨機(jī)設(shè)計多組頻數(shù)分布?2檢驗,自由度?=(3-1)(2-1)=2,查附表8， P＜0.025，按0

14、.05水準(zhǔn)，拒絕H0，差別有統(tǒng)計學(xué)意義?？梢哉J(rèn)為三種劑量鎮(zhèn)痛有效的總體概率有差別。對于比較多組獨(dú)立樣本的?2檢驗, 拒絕H0只能說各組總體概率不全相同，即多組中至少有兩組的有效概率是不同的，但并不是多組有效概率彼此之間均不相同。若要明確哪兩組間不同，還需進(jìn)一步作多組間的兩兩比較,完全隨機(jī)設(shè)計多組頻數(shù)分布?2檢驗,不同劑量有效概率間的兩兩比較結(jié)果見表7-9,配對設(shè)計下兩組頻數(shù)分布的?2檢驗,二分類情形——2×2列聯(lián)表

15、 例7-6 　設(shè)有28份咽喉涂抹標(biāo)本，把每份標(biāo)本一分為二，依同樣的條件分別接種于甲、乙兩種白喉桿菌培養(yǎng)基上，觀察白喉桿菌的生長情況，結(jié)果如表7-10，問兩種培養(yǎng)基上白喉桿菌的生長概率有無差別？ 采用McNemar 檢驗,表7-10 兩種培養(yǎng)基白喉桿菌生長情況,注：“陽性”表示生長，“陰性”表示不生長,,配對設(shè)計下兩組頻數(shù)分布的?2檢驗,H0：兩種培養(yǎng)基上白喉桿菌生長的陽性概率相等H1：兩種培養(yǎng)基上白喉桿菌生

16、長的陽性概率不相等檢驗水準(zhǔn)?=0.05。若H0成立，白喉桿菌生長狀況不一致的兩個格子理論頻數(shù)都應(yīng)該是(b+c)／２。,配對設(shè)計下兩組頻數(shù)分布的?2檢驗,由?2檢驗基本公式（7-1）有化簡后不難得到, ?2統(tǒng)計量的計算公式為,,,,配對設(shè)計下兩組頻數(shù)分布的?2檢驗,因b+c<40,P＜0.05，按α=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，差別有統(tǒng)計學(xué)意義，可以認(rèn)為, 兩種培養(yǎng)基上白喉桿菌生長的陽性概率不相等。鑒于甲培養(yǎng)基陽性頻率為

17、40/56=71.4%，乙培養(yǎng)基為24/56=42.9%，可以認(rèn)為, 甲培養(yǎng)基陽性概率高于乙培養(yǎng)基。,,配對設(shè)計下兩組頻數(shù)分布的?2檢驗,多分類的情形——R×R列聯(lián)表例7-7 對150名冠心病患者用兩種方法檢查室壁收縮運(yùn)動的情況，檢測結(jié)果見表7-12 。試比較兩種方法測定結(jié)果的概率分布有無差別。,配對設(shè)計下兩組頻數(shù)分布的?2檢驗,配對設(shè)計下兩組頻數(shù)分布的?2檢驗,H0：兩種測定方法的概率分布相同H1：兩種測定方法的概率分

18、布不相同 =1.60，P>0.05 故尚不能認(rèn)為甲法測定結(jié)果的概率分布與乙法測定結(jié)果的概率分布不同。,,,?2檢驗要注意的問題,１．關(guān)于?2檢驗的條件 使用?2檢驗在任何情況下都要注意理論頻數(shù) T不能太小。一般要求各格的理論頻數(shù)均應(yīng)大于1，且T<5的格子數(shù)不宜多于格子總數(shù)R×C的1/5 2. 關(guān)于似然比 ?2統(tǒng)計量 作?2檢驗，既可以計算Pearson ?2統(tǒng)

19、計量，也可以計算似然比 ?2（Likelihood ratio chi-square）統(tǒng)計量，,四格表的確切概率法,基本思想是： 在四格表邊緣合計固定不變的條件下，利用公式（7-18）直接計算表內(nèi)四個格子數(shù)據(jù)的各種組合的概率，然后計算單側(cè)或雙側(cè)累計概率，并與檢驗水準(zhǔn)?比較，作出是否拒絕H0的結(jié)論。應(yīng)用條件：理論數(shù)小于1或n < 40或作?2檢驗后所得概率P 接近檢驗水準(zhǔn)?，,四格表的確切概率法,a、b、c、

20、d為四格表中的四個頻數(shù)，n為總例數(shù)。例7-8 將23名精神抑郁癥患者隨機(jī)分到兩組，分別用兩種藥物治療，結(jié)果見表7-14，問兩種藥物的治療效果是否不同。,,表7-14 兩種藥物治療精神抑郁癥的效果,四格表的確切概率法,本例n < 40，只能選用四格表的確切概率法。其假設(shè)檢驗的步驟如下：建立檢驗假設(shè)H0 ：?1 = ?2 兩種藥物治療效果相等，H1 ： ?1 ? ?2 兩種藥物治療效果不等 ? =

21、 0.05,四格表的確切概率法,2、計算概率，見表7-153、確定P值和作出推斷 雙側(cè)檢驗的P值是指表7-15 中? p1 – p2? ? 0.310的各種組合的四格表確切概率相加所得到的累計概率 本例的研究目的是甲乙兩種藥物的治療效果何者為優(yōu)，所以用雙側(cè)檢驗。將表7-15 中? p1 – p2? ? 0.310的8個四格表的P值相加，得累計概率P = 0.214 。按? = 0.05水