工程數(shù)學(xué)課件2.1

1、第二章 隨機(jī)變量及其分布,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,§1 隨機(jī)變量§2 離散型隨機(jī)變量的概率分布§3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)§4 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度§5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,§1 隨機(jī)變量,第二章 隨機(jī)變量及其分布,,例 1 袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球．我們將3只黑球分別記作1，2，3號(hào)，2只白球分別記作4，

2、5號(hào)，則該試驗(yàn)的樣本空間為,考察取出的3只球中的黑球的個(gè)數(shù)。,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,我們記取出的黑球數(shù)為X，則 X 的可能取值為1，2，3．因此， X 是一個(gè)變量．但是， X 取什么值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，即 X 的取值帶有隨機(jī)性，所以，我們稱 X 為隨機(jī)變量．X 的取值情況可由下表給出：,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§1 隨機(jī)變量,由上表可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng)著變量 X 的一個(gè)確定的取

3、值，因此變量 X 是樣本空間S上的函數(shù)：,我們定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值情況來(lái)刻劃隨機(jī)事件．例如,第二章 隨機(jī)變量及其分布,表示取出2個(gè)黑球這一事件；,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,例 2 擲一枚骰子，我們可以定義隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．我們還可以定義其它的隨機(jī)變量，例如我們可以定義：,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§1 隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,第二章 隨機(jī)變量

4、及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量的分布律與性質(zhì),一些常用的離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,一、離散型隨機(jī)變量的分布律與性質(zhì),第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,1)離散型隨機(jī)變量的定義,如果隨機(jī)變量 X 的取值是有限個(gè)或可列無(wú)窮個(gè)，則稱 X 為離散型隨機(jī)變量．,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,2)

5、離散型隨機(jī)變量的分布律,設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為,并設(shè),則稱上式或,為離散型隨機(jī)變量 X 的分布律．,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,3)離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì):,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,例 1,從1～10這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，令X：取出的5個(gè)數(shù)字中的最大值．試求X的分布律．,第二章 隨機(jī)變量及其分布,具體寫出，即可

6、得 X 的分布律：,解： X 的可能取值為,5，6，7，8，9，10． 并且,=——,求分布律一定要說(shuō)明 k 的取值范圍！,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,例 2,將 1 枚硬幣擲 3 次，令,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差．試求： （1）X 的分布律；,解：,X 的可能取值為,-3， - 1，1，3．,并且分布律為,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄

7、,例 3,設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為,解：由分布律的性質(zhì)，得,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故有,所以,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,二、一些常用的離散型隨機(jī)變量,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,1) Bernoulli分布(0-1 分布或二點(diǎn)分布),如果隨機(jī)變量 X 的分布律為,或,則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p 的 Bernoulli分布．,,退

8、 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,Bernoulli分布也稱作 0-1 分布或二點(diǎn)分布．,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,Bernoulli分布的概率背景,進(jìn)行一次Bernoulli試驗(yàn)， A是隨機(jī)事件。設(shè)：,設(shè)X 表示這次Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)．或者設(shè),,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,2）二 項(xiàng) 分 布,如果隨機(jī)變量 X 的分布律為,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§

9、;2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,分布律的驗(yàn)證,⑴ 由于,以及 n 為自然數(shù)，可知,⑵ 又由二項(xiàng)式定理，可知,所以,是分布律．,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,說(shuō) 明,顯然，當(dāng) n=1 時(shí),第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,二項(xiàng)分布的概率背景,進(jìn)行n重 Bernou

10、lli 試驗(yàn)，A是隨機(jī)事件。設(shè)在每次試驗(yàn)中,令 X 表示這 n 次 Bernoulli 試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)．,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,則,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,說(shuō)明：,所以,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,設(shè)有 9 件產(chǎn)品，其中有5 件次品，今從中有放回地任取 3 件，問其中恰有2 次品的概率是多少?,第一

11、章 概率論,抽樣模型,練習(xí)： 從52張撲克中有放回抽取13張，用X記其中“A” 的張數(shù)，寫出X的分布列？,例4 一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的．某學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)4道題以上的概率是多少？,則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗(yàn)．,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,所

12、以,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,3）Poisson 分布,如果隨機(jī)變量X 的分布律為,則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為λ的Poisson 分布．,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,Poisson 分布的應(yīng)用,Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poiss

13、on分布．例如，可以證明，電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時(shí)間間隔內(nèi)來(lái)到某服務(wù)臺(tái)要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,分布律的驗(yàn)證,⑴ 由于,可知對(duì)任意的自然數(shù) k，有,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)

14、變量,⑵ 又由冪級(jí)數(shù)的展開式，可知,所以,是分布律．,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,如果隨機(jī)變量X 的分布律為,試確定未知常數(shù)c .,例5,由分布率的性質(zhì)有,解：,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,例 6 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知,解： 隨機(jī)變量 X 的分布律為,由已知,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§

15、;2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,得,由此得方程,得解,所以，,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,Poisson 定理,證明：,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,對(duì)于固定的 k，有,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,所以，,,退 出,,,前一頁(yè),后

16、一頁(yè),,目 錄,Poisson定理的應(yīng)用,由 Poisson 定理，可知,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,例 7,設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標(biāo)的概率（用Poisson分布近似計(jì)算）．,第二章 隨機(jī)變量及其分布,解：,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,4）幾 何 分 布,若隨機(jī)變量 X 的分布律為,第二章 隨

17、機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,幾何分布的概率背景,在Bernoulli試驗(yàn)中，,試驗(yàn)進(jìn)行到 A 首次出現(xiàn)為止．,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,即,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,例8,對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率為0.64，射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)時(shí)為止，令 X：所需射擊次數(shù)． 試求隨機(jī)變量 X 的

18、分布律，并求至少進(jìn)行2次射擊才能擊中目標(biāo)的概率．解：,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,5）超 幾 何 分 布,如果隨機(jī)變量 X 的分布律為,第二章 隨機(jī)變量及其分布,§2離散型隨機(jī)變量,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,超幾何分布的概率背景,一批產(chǎn)品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件為正品．現(xiàn)從中取出 n 件． 令 X

19、：取出 n 件產(chǎn)品中的次品數(shù)． 則 X 的分 布律為,§2離散型隨機(jī)變量,第二章 隨機(jī)變量及其分布,,退 出,,,前一頁(yè),后一頁(yè),,目 錄,設(shè)有 9 件產(chǎn)品，其中有5 件次品，今從中不放回地任 取 3 件，問其中恰有2 次品的概率是多少?,第一章 概率論,抽樣模型,練習(xí)：從52張撲克中無(wú)放回抽取13張，用X記其中A的張數(shù)，寫出X的分布列？,第一章 概率論,作業(yè): (4版)55頁(yè) 2,6,8; 12,15,,退