5-橢球面的幾何特征與測量計算

1、第五章 地球橢球及 橢球面上的計算,大地測量學基礎,山東科技大學測繪學院大地測量系,大地測量學基礎,地球橢球面作為計算的基準面,1、地球橢球要素（點，線、面等）的幾何特征及其數學性質 地球橢球及其定位,橢球面的法截線及其曲率半徑,橢球面上的弧長計算,2、觀測元素由地面化算至橢球面,3、橢球面上的三角形解算和大地坐標計算,問題：,第一節(jié) 地球橢球及其定位,大地測量學基礎,測量的外業(yè)工作------地球表面（對地球表面進行觀測）

2、 無法進行嚴密的測量計算,地球橢球------在其表面完成測量計算工作 一個大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形體,用橢球來表示地球必須解決2個問題：一是橢球參數的選擇； 二是確定橢球與地球的相關位置，即橢球的定位。,第一節(jié) 地球橢球及其定位,一、橢球的幾何參數及其關系,大地測量學基礎,橢 圓——NESW,旋轉軸——NS,子午圈——NRS,平行圈——C-C′,第一節(jié) 地球

3、橢球及其定位,一、橢球的幾何參數及其關系橢圓的長半軸： a橢圓的短半軸： b橢圓的扁率：f第一偏心率: e第二偏心率：e′,大地測量學基礎,a、b稱為長度元素,扁率反映了橢球體的扁平程度,e和e反映橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁,,,F1,F2,第一節(jié) 地球橢球及其定位,一、橢球的幾何參數及其關系第一偏心率:第二偏心率： 扁率:偏心距：,大地測量學基礎,關系：,由前面式子得：,,,,并得：,

4、推得：,同理可得：,,地球橢球參數間的相互關系,第一節(jié) 地球橢球及其定位,大地測量學基礎,,第一節(jié) 地球橢球及其定位,一、橢球的幾何參數及其關系,幾種橢球幾何參數,大地測量學基礎,我國所采用的的1954年北京坐標系應用的是克拉索夫斯基橢球參數；以后采用的1980國家大地坐標系應用的是1975國際橢球參數；而GPS應用的是WGS-84系橢球參數。,,,第一節(jié) 地球橢球及其定位,二、垂線偏差及其基本公式垂線偏差——地面一點上，鉛垂線方向

5、和相應的橢球面法線方向之間的夾角。垂線偏差μ 的分量——子午圈分量ξ 和卯酉圈分量η,大地測量學基礎,P1P2為橢球短軸，Q1Q2為赤道面，在橢球面上有一測站O， 將O點法線O1O向上延伸得到大地天頂Z，令OP平行于O1P1,則弧ZP=90°-B。,第一節(jié) 地球橢球及其定位,二、垂線偏差及其基本公式垂線偏差——地面一點上，鉛垂線方向和相應的橢球面法線方向之間的夾角。垂線偏差μ 的分量——子午圈分量ξ 和卯酉圈分量η

6、ξ=φ-B η=(λ-L)cosφA=α-(λ-L)sinφ=α-η·tanφ,大地測量學基礎,,第一節(jié) 地球橢球及其定位,大地測量學基礎,第一節(jié) 地球橢球及其定位,大地測量學基礎,,,,,OZ1為過O的鉛垂線，Z1為天文天頂，∠ZOZ1=u，即為O點垂線偏差?；1P=90°-φ。 ∠ZPZ1=λ-L。,,第一節(jié) 地球橢球及其定位,大地測量學基礎,,,,,,,,,第一節(jié) 地球橢球及其定位,大地測量學基礎,,,,

7、,天文方位角與大地方位角之間的關系,,,,,,,,,第一節(jié) 地球橢球及其定位,三、橢球的定位 橢球定位——將一定參數的橢球與大地體的相關位置固定下來，確定測量計算基準面的具體位置和大地測量起算數據。 橢球定位包括定位和定向兩個方面，定位指確定橢球中心的位置，定向則指橢球坐標軸的指向。從數學上講，橢球的定位和定向就是確定大地直角坐標系相對于地心坐標系的平移量和旋轉角，即三個平移參數和三個旋轉角度 。

8、經典大地測量難以獲得這六個參數，橢球定位一般都是通過大地原地的天文觀測來實現(xiàn)的。,大地測量學基礎,第一節(jié) 地球橢球及其定位,三、橢球的定位橢球的定位一般滿足一下三個條件：⑴橢球的短軸與某一指定歷元的地球自轉軸相平行；⑵起始大地子午面與起始天文子午面相平行；⑶在一定區(qū)域范圍內，橢球面與大地水準面（或似大地水準面）最為密和。前兩個條件為定向條件，,大地測量學基礎,第一節(jié) 地球橢球及其定位,三、橢球的定位,大地測量學基礎,條件:

9、橢球定位通過大地原點的天文觀測實現(xiàn)。對于大地原點：B0= ψ0-ξ0, L0= λ0-η0·secψ0 A0= α0-η0·tanψ0, H0= H0常+ζ0 初期定位時，ξ0，η0，ζ0未知，可取為0。 根據大地測量和天文測量數據，在 條件下，求出原點的ξ0，η0，ζ0值。 ξ (ksi

10、克西)，η（eit艾塔），ζ（zat截塔）單點定位，多點定位,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,基本概念法截面——包含曲面一點法線的平面。法截線——法截面與曲面的截線。子午圈——包含短軸的平面與橢球面的交線。卯酉圈——與橢球面上一點子午圈相垂直的法截線，為該點的卯酉圈。平行圈——垂直于短軸的平面與橢球面的交線。,大地測量學基礎,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,一、平行圈半徑r與卯酉圈曲率半徑N的關系,,大地測量學基礎,第二節(jié)

11、橢球面上法截線曲率半徑,一、平行圈半徑r與卯酉圈曲率半徑N的關系,,,大地測量學基礎,,,由麥尼厄定理：,,,,,,,,,,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,大地測量學基礎,卯酉圈曲率半徑,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,二、子午圈曲率半徑M,,,,,大地測量學基礎,,,,,,,,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,大地測量學基礎,,,曲面上任一點的切平面上，存在兩個垂直的特殊方向，使法截線的曲率達到最大值和最小值。 這兩個方向稱為主方

12、向，其相應的法截線曲率稱為主曲率，法截線曲率半徑稱為主曲率半徑。 卯酉圈曲率半徑N最大，子午圈半徑M最小，任一點的卯酉圈和子午圈的切線方向，就是橢球面在該點的主方向，其曲率半徑N和M稱為主曲率半徑。 橢球面上任一點處的平行圈與卯酉圈具有公共切線，所以，經線和緯線上每一點的切線都是橢球面在該點主方向。,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,大地測量學基礎,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,二、子午圈曲率半徑M,,,表 M、N隨

13、B變化的規(guī)律,,,大地測量學基礎,,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,三、任意方向法截線曲率半徑RA,,,大地測量學基礎,和,、,、,（1）相對于主方向對稱位置的法截線具有相同的曲率半徑。,(2)橢球面上任一點相互垂直的兩個法截線曲率之和是固定值，且等于兩個主方向曲率之和。,法截線具有下列特性,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,四、平均曲率半徑,,大地測量學基礎,,,,,設,則,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,四、平均曲率半徑此時積分限

14、要作相應變更：當A=0時，t=0； 時， 。照此換元后，經積分得到下式，,,五、曲率半徑的數值計算公式,大地測量學基礎,,,,,,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,,五、曲率半徑的數值計算公式,大地測量學基礎,,,六、M，N，R的關系 N > R > M N90= R90= M90= c,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,大地測量學基礎,第三節(jié) 橢球面

15、上弧長計算,一、子午圈弧長公式（用于高斯投影計算，橢球面上大地問題解算） 1、計算B=0到B的子午圈弧長X由M=dX/dB得： 將 代入上式，從0到B積分，可得X。 可知，X是B的函數。,大地測量學基礎,,第三節(jié) 橢球面上弧長計算,一、子午圈弧長公式（用于高斯投影計算，橢球面上大地問題解算） 2、計算已知緯度B1和B2之間的子午圈弧長△X（1）分別計算0到B1和0到B2之間的子午圈弧長X1和X2，然后求△X=X

16、2-X1；（2）用上述積分式求B1～B2之間的子午圈弧長△X。,大地測量學基礎,第三節(jié) 橢球面上弧長計算,二、平行圈弧長 平行圈是一個半徑等于 r=N·COSB的圓，緯度B處經度L1～L2之間的平行圈弧長,大地測量學基礎,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,一、相對法截線,大地測量學基礎,,假定經緯儀的縱軸同A，B兩點的法線重合（忽略垂線偏差），如此以兩點為測站，則經緯儀的照準面就是法截面。用A點照準B點，則照準面同橢球

17、面的截線為a，叫做A點的正法截線，或B點的反法截線；同理，由B照A點，則照準面同橢球面的截線為b，叫做B點的正法截線，或A點的反法截線。因法互不相交，故和這兩條法截線不重合。我們把和叫做A、B兩點的相對法截線。,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,一、相對法截線 設Q1和Q2兩點既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它們的法線Q1n1和Q2n2不相交。法截線Q1m1Q2和Q2m2Q1稱為兩點間的相對法截線。,大地測量學基礎,,第四

18、節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,一、相對法截線正反法截線之間的夾角△：令Bm=45°，A=45°，不同距離S求得的△值為：    S               △  100km     

19、;     0.042″  60km           0.015″  30km           0.004″ 在長距離的測量中，對向觀測所得3個內角不能組成閉合

20、三角形，需在兩點間選擇一條單一曲線——大地線。,大地測量學基礎,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,二、大地線及其幾何特征1、大地線——曲面上兩點間的最短曲線?；颍捍蟮鼐€是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點處的密切平面都包含曲面在該點的法線。,大地測量學基礎,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,二、大地線及其幾何特征2、大地線幾何特征大地線與相對法截線間的夾角為δ=△/3。大地線與相對法截線間的長度之差甚微，600km時二者之差僅為0.

21、007mm。兩點位于同一條子午圈上或赤道上，則大地線與子午圈、赤道重合。,大地測量學基礎,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,二、大地線及其幾何特征,,,大地測量學基礎,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,三、大地線微分方程和克萊勞方程 大地線的解析特性—表述dB、dL、dA與dS的關系： 大地線的三個微分方程：,,大地測量學基礎,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,三、大地線微分方程和克萊勞方程 大地線的解析特性——表述dB、dL、dA與

22、dS的關系： 大地線的克萊勞方程 ：,,r·sinA=常數 對于橢球面上一大地線而言，每點處平行圈半徑與該點處大地線方位角正弦的乘積是一個常數。,大地測量學基礎,利用這個關系式可以檢查緯度與方位角計算的正確性,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,四、地面觀測方向歸算至橢球面----三差改正 1、垂線偏差改正δ12、標高差改正δ23、截面差改正δ3,,大地測量學基礎,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,四、地面觀測方向歸

23、算至橢球面 1、垂線偏差改正δ1 將地面測站點鉛垂線為基準的觀測方向換算成橢球面上以法線為準的觀測方向，其改正數δ1為：δ1= -（ξsinA-ηcosA）tanα例：A=0°，tanα=0.01，ξ=η=5″，則δ1=0.05″。 垂線偏差改正數的大小主要取決于測站點的垂線偏差和觀測方向的天頂距（或沒垂直角）。僅在國家一、二等三角測量計算中，才規(guī)定加入此項改正。,,大地測量學基礎,第四節(jié) 地面觀測值歸算

24、至橢球面,四、地面觀測方向歸算至橢球面 2、標高差改正δ2 因照準點 B高出橢球面某一高度 H2，使得在A點照準B點的法截線Ab′與Ab之間有一夾角δ2。B2 照準點的大地緯度；A1 測站點至照準點的大地方位角；,,大地測量學基礎,H2 照準點高出橢球面的高程； M1 測站點子午圈曲率半徑。,例：A1=45°，B2=45°，H2=2000m，δ1=0.1″局部地區(qū)的控制測量一般不

25、必考慮此項改正。,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,四、地面觀測方向歸算至橢球面 3、截面差改正δ3 將橢球面上法截線方向換算為大地線方向所加的為截面差改正數δ3。例：A1=45°，Bm=45°，S=30km,δ3=0.001″,,大地測量學基礎,截面差改正主要與測站點至照準點間的距離有關。只有在國家一等三角測量計算中，才進行改正。,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,五、地面觀測距離歸算至橢球面

26、 設A、B兩點的大地高分別為H1,H2，h=H2-H1，d為空間直線長。由三角形AOB按余弦公式可得： 弦長弧長,大地測量學基礎,方法一：按球面三角形解算公式 方法二：將球面三角形改化為對應邊相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面邊長。,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,六、橢球面上的三角形解算 目的——將方向觀測值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解算未知邊長。,,大地測量學基礎,球面

27、三角形球面角超 ，△為三角形面積。,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,六、橢球面上的三角形解算 目的——將方向觀測值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解算未知邊長。,,大地測量學基礎,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,大地測量學基礎,,球面三角形：,,,,,,,,,,,第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面,大地測量學基礎,,,平面三角形：,,,,令：,,則：,,,,,,第

28、五節(jié) 橢球面上大地問題解算,大地測量學基礎,一、概述,大地元素： 大地經度L， 大地緯度B， 大地線長度S， 正反大地方位角A12、A21,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,（一）解算內容 大地問題正解——已知P1點大地坐標（B1，L1）、P1P2大地線長S和大地方位角A1，推求P2點大地坐標（B2，L2）和大地方位角A2。 大地問題反解——已知P1P2兩點的大

29、地坐標（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地線長S和大地方位角A1、A2。,大地測量學基礎,一、概述,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,一、概述（二）解算方法 1、按解算的距離分為短距離（<400km)、中距離（400～1000km)和長距離（1000～2000km)的解算。 2、直接解法和間接解法 直接解法——直接解求點B、A和相鄰起算點的大地經差。長距離 間接解法——先求大地經差、緯差和大地方位角

30、差，再加入到已知點的相應大地數據中。主要用于短距離大地問題的解算。 短距離,大地測量學基礎,按照臺勞級數將P1和P2兩點的緯差b、經差l和方位角α差展開成為大地線長度S的冪級數，稱為勒讓德級數式。,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,大地測量學基礎,勒讓德級數式：,一、概述（二）解算方法,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,一、概述（二）解算方法 3、高斯平均引數大地問題解算公式（間接解法，適用于短距離）。 基本思路：（在大地線的中點（S/

31、2）處展開）a、按照平均引數展開的臺勞級數把大地線兩端點的經差、緯差和方位角差各表示為大地線長S的冪級數；b、利用大地線微分方程推求冪級數中各階導數，最終得到大地問題解算公式。,大地測量學基礎,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,二、高斯平均引數公式（一）按平均引數展開的臺勞級數 平均引數xm為xo、xa的中點，將f(xa)、f(xo)都以xm為出發(fā)點展為臺勞級數。,大地測量學基礎,,,所以：,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,二、

32、高斯平均引數公式（二）高斯平均引數正解公式推求步驟：1、經差l、緯差b、方位角差a是S的函數，故可以將其展為S的臺勞級數（按平均引數在 S/2處展為S的冪級數）。2、引入大地線兩端點的平均緯度和平均方位角，將dL/dS以Bm、Am按臺勞級數展開。3、根據大地線微分方程求臺勞級數中的系數。4、將系數代入平均引數公式。5、由于B2、A2未知，Bm、Am精確值未知，可通過逐次趨近法求出一般三次即可。,大地測量學基礎,第五節(jié) 橢球面

33、上大地問題解算,大地測量學基礎,,,已經有4次項的精度,,,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,二、高斯平均引數公式（三）高斯平均引數反解公式推求步驟：1、已知兩點間的緯差b、經差l和平均緯度Bm，導出 SsinAm和 ScosAm，求a″。2、由SsinAm、ScosAm和 a計算S和A1、A2。三、高斯平均引述的實用公式,大地測量學基礎,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,大地測量學基礎,四、貝塞爾大地問題解算方法,將橢球面上的大地元素