第10講----數(shù)陣圖(二)

1、第1010講數(shù)陣圖和幻方（二）數(shù)陣圖和幻方（二）幻方問(wèn)題的研究在我國(guó)已流傳了兩千多年，它是具有獨(dú)特形式的填數(shù)字問(wèn)題。傳說(shuō)公元前二千多年，在大禹治水的時(shí)候，在黃河支流洛水浮起一只大烏龜，它的背上有個(gè)奇特的圖案，（如圖1），后來(lái)人們把它稱之為“洛書(shū)洛書(shū)”、相傳在我國(guó)遠(yuǎn)古的時(shí)代，有一匹龍馬游于黃河，馬背上負(fù)有一幅奇的圖案，這就是所謂的“河圖河圖”，實(shí)際上它是由九個(gè)數(shù)字排成一定的格式（如圖2），圖中有一個(gè)非常有趣的性質(zhì)：它的橫、豎、對(duì)角線上的每

2、三個(gè)數(shù)字之和都是15。一般地，在nn（n行n列）的方格內(nèi)，不重不漏填上nn個(gè)連續(xù)自然數(shù)，并且每行、每列、每條對(duì)角線上n個(gè)自然數(shù)的和都相等，則稱它為n階幻方階幻方。這個(gè)和叫做幻和幻和，n叫做階。幻方又叫魔方，九宮算或縱橫圖魔方，九宮算或縱橫圖。魔方：魔方：我國(guó)的縱橫圖通過(guò)東南亞國(guó)家，印度、阿拉伯傳到西方。由于縱橫圖具有十分奇幻的特性，西方把縱橫圖叫作MagicSquare，翻譯成中文就是“幻方”或“魔方”。九宮算：九宮算：所謂九宮，就是將

3、一個(gè)正方形用兩組與邊平行的分割線，每組兩條，分割成的九個(gè)小正方格。每個(gè)小方格分別填入從1到9這九個(gè)自然數(shù)中的其中一個(gè)，不同的方格填入的數(shù)不同，使得三橫行中每一橫行三個(gè)數(shù)的和（叫行和），三縱列中每一縱列三個(gè)數(shù)的和（叫列和），兩條對(duì)角線中每一條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和（叫對(duì)角和）都相相等，這樣得到的圖就叫九宮（算）圖。縱橫圖：縱橫圖：長(zhǎng)期以來(lái)，縱橫圖一直被看作是一種數(shù)字游戲。一直到南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝，才真正把它作為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題而加以深入的研究。

4、楊輝在他的《續(xù)古摘奇算法》一書(shū)中，不僅搜集到了大量的各種類型的縱橫圖，而且對(duì)其中的部分縱橫圖還給出了如何構(gòu)造的規(guī)則和方法，從而開(kāi)創(chuàng)了這一組合數(shù)學(xué)研究的新領(lǐng)域。解決幻方問(wèn)題的關(guān)鍵是確定中心數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)。（定中間數(shù)，填四角數(shù)，算其余數(shù)定中間數(shù)，填四角數(shù)，算其余數(shù)）三階幻方：就是將九個(gè)連續(xù)自然數(shù)填入33（三行三列）的方格內(nèi)，使每行每上數(shù)的和，最后將和自然數(shù)分拆成中心數(shù)的若干個(gè)自然數(shù)之和，確定邊上其他的數(shù)。（1—9和相等）3、復(fù)合型：復(fù)合型數(shù)陣圖

5、，解題的關(guān)鍵是要以中心數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)為突破口。（1~7，和相等）典型舉例1將1～8這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○中，使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)之和都等于21。解：中間兩個(gè)數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次，所以兩個(gè)重疊數(shù)之和為212(12…8)=6。在已知的八個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)之和為6的只有1與5，2與4。每個(gè)大圓上另外三個(gè)數(shù)之和為216=15。如果兩個(gè)重疊數(shù)為1與5，那么剩下的六個(gè)數(shù)2，3，4，6，7，8平分為兩組，每組三數(shù)之和為15的只有267=15和348