第二講 函數(shù)的極限 復(fù)習(xí)資料

1、第二講第二講函數(shù)的極限函數(shù)的極限（甲）內(nèi)容要點(diǎn)（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、極限的概念與基本性質(zhì)一、極限的概念與基本性質(zhì)1.極限的定義（要求用語(yǔ)言描述）?－?（1）（2）（3）lim()xfxA????lim()xfxA????lim()xfxA???（4）（5）（6）（用表??0limxxfxA????0limxxfxA?????0limxxfxA?????00fx?示）用表示上述六類函數(shù)的極限，它具有的性質(zhì)，上述六類函數(shù)極限皆具??limfxA

2、?有這種性質(zhì)。2.極限的基本性質(zhì)（要求用定義證明）定理1（唯一性）設(shè)，，則。??limfxA???limfxB?AB?定理2（保序性，特別注意B＝0時(shí)的局部保號(hào)性）設(shè)，??limfxA???limgxB?定理3（局部有界性）設(shè)，則當(dāng)變化一定以后，有界的。??limfxA?x??fx定理4設(shè)，??limfxA???limgxB?則（1）（2）????lim???????fxgxAB????lim???????fxgxAB（3）（4）???

3、?limfxAgxB???0B?????limgxBfxA???????0A?二、無(wú)窮小量1.無(wú)窮小量定義：若，則稱為無(wú)窮小量??lim0fx???fx2.無(wú)窮大量定義：任給，當(dāng)變化一定以后，總有，則稱0M?x??fxM?為無(wú)窮大量，記。??fx??limfx??3.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系：在的同一個(gè)變化過(guò)程中，若為無(wú)窮大量，x??fx則為無(wú)窮小量，若為無(wú)窮小量且，則為無(wú)窮大量。??1fx??fx??0fx???1fx4.無(wú)窮小量與極

4、限的關(guān)系其中??????limfxAfxAax??????lim0ax?＝??1021222lim1xxxex???????????????????????????????????????????（2）解一??????111(1)1200100lim1lim1()1lim1lim1xxxxxxxxxxxeexeex??????????????????????????????:解二12112120001122limlimlim1111xx

5、xxxxxxxxxxexxx???????????????????????????????????????????????????????【例2】求下列極限（1）（2）411limxxx??2cot0lim(cos)xxx?解（1）令則，當(dāng)時(shí)，1xt??1xt??1x?0t?于是??444141100limlim(1)lim1xttxttxtte???????????????（2）????22222cos1coscot222sin2si

6、n000lim(cos)lim(1sin)lim1(sin)xxxxxxxxxxx??????????????:＝12e?【例3】)1ln(102)(coslimxxx??=.12e?4.用無(wú)窮小量重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小量代換【例1】求.0(1cos2)arctan3lim(1)ln(12)sin5xxxxexx????解用等價(jià)無(wú)窮小量代換原式＝201(2)(3)32lim(2)(5)5xxxxxx??:::【例2】求.2013sinco