第二講--函數(shù)的極限典型例題

1、1第二講函數(shù)的極限一內(nèi)容提要1.函數(shù)在一點(diǎn)處的定義使得，有.00)(lim0?????????Axfxx?????00:xxx???Axf)(右極限使得，有.00)(lim0??????????Axfxx?????00:xxx???Axf)(左極限使得，有.00)(lim0??????????Axfxx?????xxx00:???Axf)(注1同數(shù)列極限一樣，函數(shù)極限中的同樣具有雙重性?注2的存在性（以為例）：在數(shù)列的“”定義中，我們?cè)?/p>

2、經(jīng)提到過(guò)，?0xx?N??的存在性重在“存在”，而對(duì)于如何去找以及是否能找到最小的無(wú)關(guān)緊要；對(duì)也是NN?如此，只要對(duì)給定的，能找到某一個(gè)，能使時(shí)，有0???????00xx即可???Axf)(注3討論函數(shù)在某點(diǎn)的極限，重在局部，即在此點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)研究是否無(wú)限)(xf趨近于A注4???Axfxx)(lim0???)(lim0xfxxAxfxx???)(lim0注５，有，稱為???????????????00|)(lim0xxxxxx

3、Axfnnnnnxx且Axfnn???)(lim歸結(jié)原則――海涅（Heine）定理它是溝通數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的橋梁說(shuō)明在一定條件下函數(shù)極限與數(shù)列極限可以相互轉(zhuǎn)化因此，利用定理必要性的逆否命題，可以方便地驗(yàn)證某些函數(shù)極限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用數(shù)列極限的現(xiàn)成結(jié)果來(lái)論證函數(shù)極限問(wèn)題（會(huì)敘述，證明，特別充分性的證明）注6，，00)(lim00?????????Axfxx???????00:xxx有0)(????Axf2函數(shù)在

4、無(wú)窮處的極限設(shè)在上有定義，則)(xf)[??a使得，有0)(limaXAxfx?????????Xxx??:???Axf)(使得，有0)(limaXAxfx??????????Xxx??:???Axf)(3（2），則，使得，有Axfxx??)(lim00??M??????00:xxxMxf?)(（3），，且，則，使得，Axfxx??)(lim0Bxgxx??)(lim0BA?0????????00:xxx有)()(xgxf?注這條性質(zhì)稱

5、為函數(shù)的“局部保號(hào)性”在理論分析論證及判定函數(shù)的性態(tài)中應(yīng)用極普遍（4），，且當(dāng)時(shí)，則Axfxx??)(lim0Bxgxx??)(lim00???????00xx)()(xgxf?BA?（5），，則Axfxx??)(lim0Bxgxx??)(lim0（）??BAxgxfxx????)()(lim0BAxgxfxx????)()(lim0BAxgxfxx??)()(lim00?B要求：①進(jìn)行運(yùn)算的項(xiàng)數(shù)為有限項(xiàng)；②極限為有限數(shù)7夾逼定理若使得

6、，有，且0????????00:xxx)()()(xhxgxf??，則??)(lim0xfxxAxhxx??)(lim0Axgxx??)(lim08Cauchy收斂準(zhǔn)則函數(shù)在的空心鄰域內(nèi)極限存在使得，當(dāng))(xf0x00???????xx????，時(shí)，有?????00xx??????00xx??????)()(xfxf9無(wú)窮小量的比較設(shè)，，且，則0)(lim0??xxx?0)(lim0??xxx?kxxxx??)()(lim0??（1）當(dāng)