第二講--函數(shù)的極限典型例題

1、1第二講函數(shù)的極限一內容提要1.函數(shù)在一點處的定義使得，有.00)(lim0?????????Axfxx?????00:xxx???Axf)(右極限使得，有.00)(lim0??????????Axfxx?????00:xxx???Axf)(左極限使得，有.00)(lim0??????????Axfxx?????xxx00:???Axf)(注1同數(shù)列極限一樣，函數(shù)極限中的同樣具有雙重性?注2的存在性（以為例）：在數(shù)列的“”定義中，我們曾

2、經(jīng)提到過，?0xx?N??的存在性重在“存在”，而對于如何去找以及是否能找到最小的無關緊要；對也是NN?如此，只要對給定的，能找到某一個，能使時，有0???????00xx即可???Axf)(注3討論函數(shù)在某點的極限，重在局部，即在此點的某個空心鄰域內研究是否無限)(xf趨近于A注4???Axfxx)(lim0???)(lim0xfxxAxfxx???)(lim0注５，有，稱為???????????????00|)(lim0xxxxxx

3、Axfnnnnnxx且Axfnn???)(lim歸結原則――海涅（Heine）定理它是溝通數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的橋梁說明在一定條件下函數(shù)極限與數(shù)列極限可以相互轉化因此，利用定理必要性的逆否命題，可以方便地驗證某些函數(shù)極限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用數(shù)列極限的現(xiàn)成結果來論證函數(shù)極限問題（會敘述，證明，特別充分性的證明）注6，，00)(lim00?????????Axfxx???????00:xxx有0)(????Axf2函數(shù)在

4、無窮處的極限設在上有定義，則)(xf)[??a使得，有0)(limaXAxfx?????????Xxx??:???Axf)(使得，有0)(limaXAxfx??????????Xxx??:???Axf)(3（2），則，使得，有Axfxx??)(lim00??M??????00:xxxMxf?)(（3），，且，則，使得，Axfxx??)(lim0Bxgxx??)(lim0BA?0????????00:xxx有)()(xgxf?注這條性質稱

5、為函數(shù)的“局部保號性”在理論分析論證及判定函數(shù)的性態(tài)中應用極普遍（4），，且當時，則Axfxx??)(lim0Bxgxx??)(lim00???????00xx)()(xgxf?BA?（5），，則Axfxx??)(lim0Bxgxx??)(lim0（）??BAxgxfxx????)()(lim0BAxgxfxx????)()(lim0BAxgxfxx??)()(lim00?B要求：①進行運算的項數(shù)為有限項；②極限為有限數(shù)7夾逼定理若使得

6、，有，且0????????00:xxx)()()(xhxgxf??，則??)(lim0xfxxAxhxx??)(lim0Axgxx??)(lim08Cauchy收斂準則函數(shù)在的空心鄰域內極限存在使得，當)(xf0x00???????xx????，時，有?????00xx??????00xx??????)()(xfxf9無窮小量的比較設，，且，則0)(lim0??xxx?0)(lim0??xxx?kxxxx??)()(lim0??（1）當