第四講 奇妙的方格表

1、第四講第四講奇妙的方格表奇妙的方格表方格表是人們最熟悉最簡單的圖形之一，但這個簡單的圖形卻可以說是一個廣闊的數(shù)學(xué)天地，其中包含著許許多多奇妙的數(shù)學(xué)問題許多問題看起來非常簡單非常有趣，但卻要用到許多數(shù)學(xué)方法，蘊含著許多深刻的道理這些方法和道理在我們以后的學(xué)習(xí)中將經(jīng)常用到一、計數(shù)問題一、計數(shù)問題例1下圖中共有多少個矩形？分析分析如果直接數(shù)，很容易遺漏或者重復(fù)為了避免遺漏或重復(fù)，可以將圖形中的各種矩形按形狀大小分類，分別計數(shù)后再相加在分類計數(shù)

2、中如果能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，那就更簡單了解法1：在已知的方格表中，“□”共有53=15個，“□□”共有43=12個，“□□□”共有33＝9個，…如此進行下去，把各類矩形的個數(shù)相加，可得矩形總數(shù)為90個解法2：將各類矩形列出表來（如下頁圖），分析各類矩形個數(shù)的算式，很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，于是可得矩形總個數(shù)為：（1＋23＋45）（3＋2＋1）=90個二、染色方法二、染色方法染色方法實際上是一種分類方法，不過對有些問題來說，通過染色能使問題比較直觀，解決起來

3、更方便例4如圖是半張象棋盤，一只馬能否從A處出發(fā)，跳遍半張象棋盤而使每個格點只經(jīng)過一次？解：把半張象棋盤的格點（共45個）相間地涂上黑、白兩色（黑色用“”表示，如圖共有22個黑點，23個白點按照馬走步的規(guī)則，每步走“日”字的對角線，不論馬在何處也不論往哪個方向跳，起點和終點的顏色總是不同的由于A處是黑格點，如果馬從A處出發(fā)跳遍每個格點且每個格點只經(jīng)過一次，那么需經(jīng)過21個黑點，23個白點，黑、白格點數(shù)相差2，故這樣的走法是不可能的例5正

4、方體形的房子共分27個小房間，每相鄰兩個房間都有門相通（上、下兩間也有門相通）每個房間里都有一塊奶酪，右下角的房間有一門通向外面一只耗子從最中間的房間出發(fā)，想走遍各個房間，且每個房間只經(jīng)過一次，最后從右下角出來，這樣是可否能？如果可能，該怎么走？解：將27個小正方體相間染成黑、白兩色（如圖），共13個房黑間，14個白房間，中間房間是黑色如果從中間房間出發(fā)，每個房間經(jīng)過一次，共需經(jīng)過12個黑房間（除中間房間外）、14個白房間但是與黑房間相