余弦定理的八種證明方法

1、余弦定理的八種證明方法余弦定理的八種證明方法研究背景：2011年高考數(shù)學(xué)卷（陜西卷）考出了“說(shuō)明并證明余弦定理”這個(gè)考題使平時(shí)不注重翻閱課本的同學(xué)大部分吃了虧，雖然這是書(shū)本上的知識(shí)，且課本上只給出了一種證明方法，但仍讓同學(xué)們很難想到會(huì)考這個(gè)證明題，因此我們利用這次研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，以論文的方式來(lái)介紹一下多種余弦定理的證明方法，來(lái)增強(qiáng)我們對(duì)課本知識(shí)的理解。目的意義：用多種方法證明余弦定理，擴(kuò)展思維，了解更多的過(guò)程。內(nèi)容摘要：余弦定理是揭示三

2、角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類(lèi)已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問(wèn)題，若對(duì)余弦定理加以變形便可適當(dāng)移于其它知識(shí)。成果展示：一余弦定理的內(nèi)容對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c三角為A，B，C，則滿(mǎn)足性質(zhì)a=bc2bccosAb=ac2accosBc=ab2abcosC二證明方法方法一：平面幾何法∵如圖，有ab=c∴cc=(ab)(ab)∴c

3、=aa2abbb∴c=ab2|a||b|cos(πθ)又∵Cos(πθ)=Cosθ∴c=ab2|a||b|cosθbc(cos∠BAC)ac(cos∠CBA)=2(S△ACQS△PBC)=c同理，ac(cos∠CBA)ab(cos∠ACB)=aab(cos∠ACB)bc(cos∠BAC)=b.聯(lián)立三個(gè)方程，bc(cos∠BAC)ac(cos∠CBA)=c（1）ac(cos∠CBA)ab(cos∠ACB)=a（2）ab(cos∠ACB)b

4、c(cos∠BAC)=b（3）易得余弦定理方法五：正弦法∵＝＝∴＝bsinB＝csinC＝absinAsinB∴abcsinAsinBsinC＝absinAsinB∴abc=absinAsinB（sinAsinBsinC）（1）又∵sinA=1cos2A2sinB=1cos2B2∴sinAsinB=1（cos2Acos2B）=1cos（AB）cos（AB）ΔABC中cos（AB）=cos（180C）=cosC∴sinAcosB=1cos