(經(jīng)典)最全余弦定理的10種證明方法

1、<p>　　(經(jīng)典)最全余弦定理的10種證明方法</p><p>　　——王彥文 青銅峽一中</p><p><b>　　一、余弦定理</b></p><p>　　余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的積的兩倍,即在中,已知,,,則有</p><p><b>

2、;　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　二、定理證明</b></p><p>　　為了敘述的方便與統(tǒng)一,我們證明以下問題即可:</p><p>　　在中,已

3、知,,及角,求證:.</p><p>　　證法一:如圖1,在中,由可得:</p><p><b>　　即,.</b></p><p>　　證法二:本方法要注意對進行討論.</p><p>　　(1)當是直角時,由知結(jié)論成立.</p><p>　　(2)當是銳角時,如圖2-1,過點作,交于點,則&l

4、t;/p><p><b>　　在中,,.</b></p><p><b>　　從而,.</b></p><p>　　在中,由勾股定理可得:</p><p><b>　　即,.</b></p><p>　　說明:圖2-1中只對是銳角時符合,而還可以是直角或鈍角

5、.若是直角,圖中的點就與點重合；若是鈍角,圖中的點就在的延長線上.</p><p>　　(3)當是鈍角時,如圖2-2,過點作,交延長線于點,則</p><p><b>　　在中,,.</b></p><p><b>　　從而,.</b></p><p>　　在中,由勾股定理可得:</p>

6、<p><b>　　即,.</b></p><p>　　綜上(1),(2),(3)可知,均有成立.</p><p>　　證法三:過點作,交于點,則</p><p><b>　　在中,,.</b></p><p><b>　　在中,,.</b></p>

7、<p><b>　　由可得:</b></p><p><b>　　整理可得.</b></p><p>　　證法四:在中,由正弦定理可得.</p><p>　　從而有,………………………………………………………………①</p><p>　　. …………………………②</p>

8、<p>　　將①帶入②,整理可得.…………………………………………③</p><p>　　將①,③平方相加可得.</p><p><b>　　即,.</b></p><p>　　證法五:建立平面直角坐標系(如圖4),則由題意可得點,,,再由兩點間距離公式可得.</p><p><b>　　即,.<

9、;/b></p><p>　　證法六:在中,由正弦定理可得,,.</p><p><b>　　于是,</b></p><p><b>　　即,結(jié)論成立.</b></p><p>　　證法七:在中,由正弦定理可得,,.</p><p><b>　　于是,<

10、/b></p><p><b>　　由于,因此</b></p><p><b>　　. 這,顯然成立.</b></p><p><b>　　即,結(jié)論成立.</b></p><p>　　證法八:如圖5,以點為圓心,以為半徑作,直線與交于點,延長交于,延長交于.</p&

11、gt;<p><b>　　則由作圖過程知,</b></p><p><b>　　故.</b></p><p>　　由相交弦定理可得:,</p><p><b>　　即,,</b></p><p><b>　　整理可得:.</b></p&

12、gt;<p>　　證法九:如圖6,過作∥,交的外接圓于,則,.分別過作的垂線,垂足分別為,則,故.</p><p><b>　　由托勒密定理可得,</b></p><p><b>　　即,.</b></p><p><b>　　整理可得:.</b></p><p>