數(shù)值分析上機(jī)作業(yè)1-1教案

1、1數(shù)值計算方法上機(jī)題目數(shù)值計算方法上機(jī)題目11、實驗實驗1.病態(tài)問題病態(tài)問題實驗?zāi)康膶嶒災(zāi)康模核惴ㄓ小皟?yōu)”與“劣”之分，問題也有“好”和“壞”之別。所謂壞問題就是問題本身的解對數(shù)據(jù)變化的比較敏感，反之屬于好問題。希望讀者通過本實驗對此有一個初步的體會。數(shù)值分析的大部分研究課題中，如線性代數(shù)方程組、矩陣特征值問題、非線性方程及方程組等都存在病態(tài)的問題。病態(tài)問題要通過研究和構(gòu)造特殊的算法來解決，當(dāng)然一般要付出一些代價（如耗用更多的機(jī)器時間、

2、占用更多的存儲空間等）。問題提出問題提出：考慮一個高次的代數(shù)多項式（E1????????201)()20)...(2)(1()(kkxxxxxp1）顯然該多項式的全部根為l，2，…，20，共計20個，且每個根都是單重的（也稱為簡單的）?，F(xiàn)考慮該多項式方程的一個擾動(E12)0)(19??xxp?其中是一個非常小的數(shù)。這相當(dāng)于是對（E11）中的系數(shù)作一個小的擾動。我們希望?19x比較（E11）和（E12）根的差別，從而分析方程（E11）的

3、解對擾動的敏感性。實驗內(nèi)容實驗內(nèi)容：為了實現(xiàn)方便，我們先介紹兩個Matlab函數(shù)：“roots”和“poly”，輸入函數(shù)u＝roots（a）其中若變量存儲維的向量，則該函數(shù)的輸出為一個維的向量。設(shè)a的元素依次a1?nun為，則輸出u的各分量是多項式方程121...?naaa0...1121??????nnnnaxaxaxa的全部根，而函數(shù)b=poly(v)的輸出b是一個n＋1維變量，它是以n維變量v的各分量為根的多項式的系數(shù)?？梢姟皉o

4、ots”和“Poly”是兩個互逆的運算函數(shù).ve=zeros(121)ve(2)=essroots(poly(1:20))ve)上述簡單的Matlab程序便得到（E12）的全部根，程序中的“ess”即是（E12）中的。?實驗要求實驗要求：（1）選擇充分小的ess，反復(fù)進(jìn)行上述實驗，記錄結(jié)果的變化并分析它們。如果擾動項的系數(shù)很小，我們自然感覺（E11）和(E12)的解應(yīng)當(dāng)相差很小。計算中你有什么出乎?3從實驗的圖形中可以看出，當(dāng)ess充分

5、小時，方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小，當(dāng)ess逐漸增大時，方程的解就出現(xiàn)了病態(tài)解，這些解都呈現(xiàn)復(fù)共軛性質(zhì)。（2）將擾動項加到x18上后，ess=1e009時方程的解都比較準(zhǔn)確，沒有出現(xiàn)復(fù)共軛現(xiàn)象。ess=1e008時誤差與x19(ess=1e009)時相當(dāng)，即擾動加到x18上比加到x19小一個數(shù)量級。對x8的擾動ess=1000時沒有出現(xiàn)復(fù)共軛，誤差很??；對x的擾動ess=10e10時沒有出現(xiàn)復(fù)共軛，誤差很小。因此，擾動作用

6、到xn上時，n越小，擾動引起的誤差越小。2、實驗實驗2。多項式插值的振蕩現(xiàn)象，即插值的龍格（Runge）現(xiàn)象問題提出問題提出：考慮在一個固定的區(qū)間上用插值逼近一個函數(shù)。顯然，拉格朗日插值中使用的節(jié)點越多，插值多項式的次數(shù)就越高、自然關(guān)心插值多項式的次數(shù)增加時，是否也更加靠)(xLn近被逼近的函數(shù)。龍格給出的一個例子是極著名并富有啟發(fā)性的。設(shè)區(qū)間上函數(shù)]11[?22511)(xxf??實驗內(nèi)容實驗內(nèi)容：考慮區(qū)間的一個等距劃分，分點為]11