有限元講義 等參單元

1、第6章 等參單元,等參變換的條件 等參單元評價,二十節(jié)點三維等參元簡介,平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元,平面四節(jié)點等參單元,等參單元,,,,,,,,,§6.1 引言,第二是單元幾何上的限制，矩形和六面體（長方體）單元要求單元的邊（面）平行于坐標(biāo)軸（面），因此都不能模擬任意形狀和方位的結(jié)構(gòu)。此外，線性單元都是直線邊界，處理曲邊界幾何體誤差較大。,回顧前面的各種二、三維單元，這些單元受到兩個方面的限制：,第一是單元的精度，顯然

2、單元的節(jié)點數(shù)越多，單元精度越高。因此在這一點上，矩形單元優(yōu)于3節(jié)點三角形單元，六面體單元優(yōu)于四面體單元；,§6.1 引言,任意四邊形和任意六面體單元的位移模式、形函數(shù)的構(gòu)造和單元列式的導(dǎo)出不能沿用前面構(gòu)造簡單單元的方法，必須引入所謂的等參變換，采用相同的插值函數(shù)對單元的節(jié)點坐標(biāo)和節(jié)點位移在單元上進行插值。這種單元稱為等參單元。,解決上述矛盾的出路就是突破矩形單元和六面體單元幾何上的限制，使其成為平面任意四邊形和空間任意六面體

3、單元，如果再增加邊中間節(jié)點，還可以成為曲邊四邊形和曲面六面體高精度單元。,等參單元的提出對于有限元法在工程實踐中的應(yīng)用具有重要意義。,§6.2 平面四節(jié)點等參單元,1、局部坐標(biāo)系與位移模式,建立位移模式時的新問題：如果直接用x，y坐標(biāo)系下的雙線性位移模式，由于任意四邊形單元的邊界與坐標(biāo)軸不平行，因此位移沿邊界呈二次函數(shù)變化，單元在公共邊界上不滿足協(xié)調(diào)性。,下圖為一個4節(jié)點任意四邊形單元，單元有8個自由度。將矩形單元

4、放松為4節(jié)點任意四邊形單元將帶來許多好處。,§6.2 平面四節(jié)點等參單元,因此在任意四邊形單元上建立一種局部坐標(biāo)系ξ-η（如圖），使得4條邊上有一個局部坐標(biāo)為常數(shù)（±1），顯然，該局部坐標(biāo)系隨單元形狀變化，兩組坐標(biāo)線一般不正交。單元內(nèi)，所有點的坐標(biāo)ξ、η皆在-1與+1之間，四個節(jié)點的局部坐標(biāo)為+1或-1。該坐標(biāo)系也稱為自然坐標(biāo)系。,建立了局部坐標(biāo)系后，在ξ-η平面內(nèi)單元就是一個邊長為2的正方形。,§6.2

5、 平面四節(jié)點等參單元,稱ξ-η平面內(nèi)的正方形單元為基本單元或母單元。x-y平面內(nèi)的任意四邊形單元稱為實際單元或子單元。顯然，母單元的節(jié)點對應(yīng)于不同的x，y坐標(biāo)就得到不同的任意四邊形單元。,該局部坐標(biāo)系使得在x-y平面上的任意四邊形與ξ-η平面上的正方形之間形成了1-1對應(yīng)的映射。正方形的4個頂點對應(yīng)任意四邊形單元的四個節(jié)點； 4條邊對應(yīng)任意四邊形單元的4條邊；正方形內(nèi)任一點p(ξ,η)對應(yīng)于任意四邊形內(nèi)一點p(x,y)。,§

6、6.2 平面四節(jié)點等參單元,建立了局部坐標(biāo)系或映射后，我們可以在ξ-η平面上的母單元中描述實際單元的位移模式和力學(xué)特性。,任意四邊形單元在母單元中的位移模式插值公式（或者稱為ξ-η坐標(biāo)系下的位移模式）就是矩形單元的位移模式，寫為：,(i=1,2,3,4),其中，形函數(shù)為：,為i節(jié)點的局部坐標(biāo)。,顯然該位移模式在ξ,η坐標(biāo)系下是雙線性位移模式，在x，y坐標(biāo)系下不是雙線性位移模式。由于實際單元的邊界上有一個局部坐標(biāo)為常數(shù)，因此位移沿單元邊

7、界線性變化，能保證單元的協(xié)調(diào)性。,§6.2 平面四節(jié)點等參單元,為了得到上述映射的數(shù)學(xué)表達式，在母單元上引入x，y坐標(biāo)插值的思想：母單元上任意一點在實際單元中對應(yīng)點的x，y坐標(biāo)由節(jié)點的x，y坐標(biāo)插值得到，并采用與位移插值相同的插值函數(shù)。從而得到一個數(shù)學(xué)變換式：,(i=1,2,3,4),2、坐標(biāo)變換,§6.2 平面四節(jié)點等參單元,上述映射是利用母單元描述實際單元力學(xué)特性的橋梁。由于該坐標(biāo)變換式中采用了與位移插值相同

8、的節(jié)點和參數(shù)（插值函數(shù)），因此稱為等參變換。而所有采用等參變換的單元稱為等參單元。等參單元是一個單元家族，目前在通用程序中廣泛采用。,這樣就得到一個事實上的映射，只要驗證該映射把母單元映射成實際單元，就是所需要的映射，實際單元上局部坐標(biāo)系就滿足前面規(guī)定的要求。而事實上正是如此。,§6.2 平面四節(jié)點等參單元,3、單元剛度矩陣計算,1）形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的坐標(biāo)變換,等參單元中形函數(shù)是局部坐標(biāo)ξ,η的顯函數(shù)，而計算應(yīng)變時需要形函數(shù)對x,

9、y坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。根據(jù)等參變換式，ξ,η和 x,y之間有一定函數(shù)關(guān)系，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則有：,§6.2 平面四節(jié)點等參單元,從上式解出：,從而可以計算應(yīng)變矩陣：,§6.2 平面四節(jié)點等參單元,2）剛度矩陣積分式的坐標(biāo)變換,對平面問題的四節(jié)點等參元，單元剛度矩陣由下式?jīng)Q定：,積分區(qū)域是x-y坐標(biāo)系下的任意四邊形。,進行積分變量替換，用 坐標(biāo)作為積分變量。由二維重積分變量替換公式得到：,§6.2 平面四

10、節(jié)點等參單元,3）剛度矩陣的數(shù)值積分,由于等參單元剛度矩陣積分式中被積函數(shù)很難導(dǎo)出解析表達式，因此等參單元的計算都采用數(shù)值積分求積分的近似值，有限元中對四邊形和六面體等參單元采用高斯數(shù)值積分。,一維積分高斯求積公式：,§6.2 平面四節(jié)點等參單元,關(guān)于高斯積分的結(jié)論：,采用N階高斯積分，如果被積函數(shù)是2N-1階及以下的多項式，則高斯求積公式給出精確結(jié)果。,§6.2 平面四節(jié)點等參單元,§6.3 平面八

11、節(jié)點曲邊四邊形等參元,平面8節(jié)點曲邊四邊形等參元,上述構(gòu)造4節(jié)點任意四邊形等參單元的方法完全可以用于構(gòu)造更復(fù)雜的等參元。對于二維問題，一個精度更高的單元是8節(jié)點曲邊四邊形單元，該單元的建立同樣需要等參變換，因而也是等參單元。該單元及其母單元如圖所示。,,8節(jié)點任意四邊形等參元及其母單元,§6.3 平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元,該單元在母單元中的位移模式為包含完全二次多項式的不完全三次多項式，故稱為二次等參元。插值函數(shù)可以用形

12、函數(shù)性質(zhì)直接構(gòu)造。對應(yīng)圖中局部節(jié)點編號，8個節(jié)點形函數(shù)為：,容易驗證，上述形函數(shù)滿足形函數(shù)性質(zhì)。,§6.3 平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元,相應(yīng)等參變換把母單元的4條直線邊界映射為實際單元中的4條拋物線邊界。即如果實際單元的邊是拋物線，則等參變換是實際單元和母單元之間的精確變換。,根據(jù)上述形函數(shù)插值得到的位移在單元邊界上呈二次拋物線變化，由邊界上三個節(jié)點位移唯一確定，所以，邊界上滿足協(xié)調(diào)性。,8節(jié)點平面等參元剛度矩陣計算方法與前

13、面4節(jié)點等參單元相同。,單元等效節(jié)點力積分的計算，在單元上和邊界上也是采用高斯數(shù)值積分。,§6.4 二十節(jié)點三維等參元簡介,20節(jié)點三維等參元簡介,三維結(jié)構(gòu)有限元分析中采用高階單元將具有模型的節(jié)點、單元數(shù)目少，求解精度高的特點。而帶有邊中節(jié)點的任意六面體單元是三維實體單元的首選，該單元必須采用等參單元技術(shù)加以實施。,如圖所示，單元每個邊有3個節(jié)點，共20個節(jié)點。單元上建立曲線自然坐標(biāo)系 ,每個單元邊界面上有

14、一個局部坐標(biāo)值為常數(shù)（+1或-1）。因此，每個實際的曲面六面體單元映射為 坐標(biāo)系下邊長為2的立方體單元（母單元）。,§6.4 二十節(jié)點三維等參元簡介,單元的形函數(shù)可以看作是平面8節(jié)點曲邊四邊形等參元形函數(shù)在三維空間的推廣：,8個角節(jié)點 :,§6.4 二十節(jié)點三維等參元簡介,位移模式插值公式,20節(jié)點三維等參元的位移模式沿某個自然坐標(biāo)是完全二次多項式，因此該單

15、元稱為二次等參元，是典型的高精度單元。,根據(jù)形函數(shù)性質(zhì)，相鄰單元在交界面上的位移僅僅由公共節(jié)點的位移在交界面上插值決定，因此該單元的協(xié)調(diào)性得到滿足。此外，該單元滿足完備性條件，因此單元是收斂的。,§6.4 二十節(jié)點三維等參元簡介,如果實際六面體單元的邊/面是拋物線/面，那么上述等參變換就是實際所需要的變換。否則，等參變換僅僅是一種近似的變換。,等參變換,三維等參單元的力學(xué)分析和數(shù)學(xué)分析原理和方法與平面等參元相同。,§

16、;6.5 等參變換的條件,等參變換要保證母單元與實際單元之間形成1-1對應(yīng)的映射，數(shù)學(xué)上的條件是變換的Jacobi行列式大于零。要保證這個條件，單元的幾何必須滿足一定要求，主要是： ①單元形狀不能過度畸變； ②邊中節(jié)點不能過于偏離中間。,等參變換的條件,§6.6 等參單元評價,等參單元形狀、方位任意，容易構(gòu)造高階單元，適應(yīng)性好，精度高。,等參單元列式具有統(tǒng)一的形式，規(guī)律性強，采用數(shù)值積分計算，程