分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的兒童樂園-畢業(yè)論文外文翻譯

1、1譯文：譯文：分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的兒童樂園分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的兒童樂園MarciaKleinzThomasJ.Osler大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)（美國），2000年3月，31卷，第2期，第8288頁1引言我們都熟悉的導(dǎo)數(shù)的定義。通常記作這些都是很容1()()dfxDfxdx或222()()dfxDfxdx或易理解的。我們同樣也熟悉一些有關(guān)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，例如但[()()]()()DfxfyDfxDfy???是像這樣的記號(hào)又代表什么意思呢？大多數(shù)的讀者之前肯定沒有遇到1

2、21212()D()dfxfxdx或者過導(dǎo)數(shù)的階數(shù)是12的。因?yàn)閹缀鯖]有任何教科書會(huì)提到它。然而，這個(gè)概念早在18世紀(jì)，Leibnitz已經(jīng)開始探討。在之后的歲月里，包括L’HospitalEulerLagrangeLaplaceRiemannFourierLiouville等數(shù)學(xué)大家和其他一些數(shù)學(xué)家也出現(xiàn)過或者研究過的概念?，F(xiàn)在，關(guān)于“分?jǐn)?shù)微積分”的文獻(xiàn)已經(jīng)大量存在。近期關(guān)于“分?jǐn)?shù)微積分”的兩本研究生教材也出版了，就是參考文獻(xiàn)[9]和

3、[11]。此外，兩篇在會(huì)議上發(fā)表的論文[7]和[14]也被收錄。Wheeler在文獻(xiàn)[15]已編制了一些可讀性較強(qiáng)，較易理解的資料，雖然這些都還沒有正式出版。本論文的目的是想用一種親和的口吻去介紹分?jǐn)?shù)階微積分。而不是像平常教科書里面的從定義引理定理的方法介紹它。我們尋找了一個(gè)新的想法去介紹分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。首先我們從熟悉的n階導(dǎo)數(shù)的例子開始，比如。然后用其他數(shù)字取代自然數(shù)字n。這種方Dnaxnaxeae?式，感覺像是偵探一樣，步步深入。我們將

4、尋求蘊(yùn)含在這個(gè)構(gòu)思里面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們在探討了各種思路，對分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念后，才對分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)給出正式定義。（如果想快速瀏覽它的正式定義，請參見米勒的優(yōu)秀論文，參考文獻(xiàn)[8]。）隨著探究的深入，我們會(huì)不時(shí)地讓讀者去思考一些問題。對這些問題的答案將在本文的最后一節(jié)呈現(xiàn)。那到底什么是一個(gè)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)呢？讓我們一起來看看吧……2指數(shù)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)我們將首先研究指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因?yàn)樗麄儗?dǎo)數(shù)的形式，比較容易推廣。我們熟悉axe的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。，在一

5、般情況下，當(dāng)n為整axe12233axaxaxaxaxaxDeaeDeaeDeae???數(shù)時(shí)，。那么我們能不能用12取代n，并記作呢？我們何不naxnaxDeae?1212axaxDeae?嘗試一下？為什么不更進(jìn)一步，讓n是一個(gè)無理數(shù)或者復(fù)數(shù)比如1i？我們大膽地寫作（1）axaxDeae???，對任意一個(gè)，無論是整數(shù)，有理數(shù)，無理數(shù)，還是復(fù)數(shù)。當(dāng)是負(fù)整數(shù)時(shí)，考慮（1）??94的導(dǎo)數(shù)px我們現(xiàn)在看看x次方的導(dǎo)數(shù)。我們以為例有：px012(

6、1)(1)(2)(1).(3)ppppppnppnDxxDxpxDxppxDxppppnx????????????表達(dá)式（3）用連乘的分子和分母去替換，則得到結(jié)果如下()!pn?(1)(2)(1)()(1)1!(4)()(1)1()!ppnpnppppnpnpnpxxxpnpnpn??????????????????上式就是的一般表達(dá)式。我們通過伽瑪函數(shù)，用任意數(shù)替換正整數(shù)n。當(dāng)（4）式中npDx?的p和n是不是自然數(shù)時(shí)，伽瑪函數(shù)使他們

7、在替換后任然有意義。伽馬函數(shù)是歐拉在18世紀(jì)引進(jìn)的概念。當(dāng)時(shí)是推廣記號(hào)，當(dāng)z不是整數(shù)時(shí)。它的定義是，它具有!z10()dtzzett??????這樣的性質(zhì)。(1)!zz??那么我們可以將表達(dá)式（4）重新寫作這使得當(dāng)n不是整數(shù)式，(1)(1)nppnpDxxpn???????（4）式還是有意義的。所以對于任意的，我們寫作?(1)(5)(1)pppDxxp??????????利用（5）式，我們可以將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)延伸到很多的函數(shù)。因?yàn)閷τ谌我饨o

8、定的函數(shù)，我們可以利用Tayl級(jí)數(shù)展開成多項(xiàng)式的形式，假設(shè)我們可以對進(jìn)行任0()nnnfxax????()fx意次微分，那么我們得到00(1)().(6)(1)nnnnnnnDfxaDxaxn??????????????????最終那個(gè)表達(dá)式（6）呈現(xiàn)出具有作為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義候選項(xiàng)的氣質(zhì)。因?yàn)榇罅康暮瘮?shù)都可以利用Tayl公式展開成冪級(jí)數(shù)的形式。然后，我們很快會(huì)發(fā)現(xiàn)它會(huì)導(dǎo)致矛盾的產(chǎn)生。問題問題6：是否有幾何意義？()Dfx?5一個(gè)神秘的矛