2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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1、0譯文:譯文:分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的兒童樂園MarciaKleinzThomasJ.Osler大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)報(美國),2000年3月,31卷,第2期,第8288頁1引言我們都熟悉的導(dǎo)數(shù)的定義。通常記作這些都是很容1()()dfxDfxdx或222()()dfxDfxdx或易理解的。我們同樣也熟悉一些有關(guān)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),例如但[()()]()()DfxfyDfxDfy???是像這樣的記號又代表什么意思呢?大多數(shù)的讀者之前肯定沒有遇到121212()D()

2、dfxfxdx或者過導(dǎo)數(shù)的階數(shù)是12的。因為幾乎沒有任何教科書會提到它。然而,這個概念早在18世紀(jì),Leibnitz已經(jīng)開始探討。在之后的歲月里,包括L’HospitalEulerLagrangeLaplaceRiemannFourierLiouville等數(shù)學(xué)大家和其他一些數(shù)學(xué)家也出現(xiàn)過或者研究過的概念?,F(xiàn)在,關(guān)于“分?jǐn)?shù)微積分”的文獻(xiàn)已經(jīng)大量存在。近期關(guān)于“分?jǐn)?shù)微積分”的兩本研究生教材也出版了,就是參考文獻(xiàn)[9]和[11]。此外,兩篇

3、在會議上發(fā)表的論文[7]和[14]也被收錄。Wheeler在文獻(xiàn)[15]已編制了一些可讀性較強,較易理解的資料,雖然這些都還沒有正式出版。本論文的目的是想用一種親和的口吻去介紹分?jǐn)?shù)階微積分。而不是像平常教科書里面的從定義引理定理的方法介紹它。我們尋找了一個新的想法去介紹分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。首先我們從熟悉的n階導(dǎo)數(shù)的例子開始,比如。然后用其他數(shù)字取代自然數(shù)字n。這種方式,Dnaxnaxeae?感覺像是偵探一樣,步步深入。我們將尋求蘊含在這個構(gòu)思里

4、面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們在探討了各種思路,對分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念后,才對分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)給出正式定義。(如果想快速瀏覽它的正式定義,請參見米勒的優(yōu)秀論文,參考文獻(xiàn)[8]。)隨著探究的深入,我們會不時地讓讀者去思考一些問題。對這些問題的答案將在本文的最后一節(jié)呈現(xiàn)。那到底什么是一個分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)呢?讓我們一起來看看吧……2指數(shù)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)我們將首先研究指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因為他們導(dǎo)數(shù)的形式,比較容易推廣。我們熟悉axe的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。,在一般情況下,當(dāng)n為整a

5、xe12233axaxaxaxaxaxDeaeDeaeDeae???數(shù)時,。那么我們能不能用12取代n,并記作呢?我們何不naxnaxDeae?1212axaxDeae?嘗試一下?為什么不更進(jìn)一步,讓n是一個無理數(shù)或者復(fù)數(shù)比如1i?我們大膽地寫作(1)axaxDeae???,對任意一個,無論是整數(shù),有理數(shù),無理數(shù),還是復(fù)數(shù)。當(dāng)是負(fù)整數(shù)時,考慮(1)??74的導(dǎo)數(shù)px我們現(xiàn)在看看x次方的導(dǎo)數(shù)。我們以為例有:px012(1)(1)(2)(1

6、).(3)ppppppnppnDxxDxpxDxppxDxppppnx????????????表達(dá)式(3)用連乘的分子和分母去替換,則得到結(jié)果如下()!pn?(1)(2)(1)()(1)1!(4)()(1)1()!ppnpnppppnpnpnpxxxpnpnpn??????????????????上式就是的一般表達(dá)式。我們通過伽瑪函數(shù),用任意數(shù)替換正整數(shù)n。當(dāng)(4)式中npDx?的p和n是不是自然數(shù)時,伽瑪函數(shù)使他們在替換后任然有意義。

7、伽馬函數(shù)是歐拉在18世紀(jì)引進(jìn)的概念。當(dāng)時是推廣記號,當(dāng)z不是整數(shù)時。它的定義是,它具有!z10()dtzzett??????這樣的性質(zhì)。(1)!zz??那么我們可以將表達(dá)式(4)重新寫作這使得當(dāng)n不是整數(shù)式,(1)(1)nppnpDxxpn???????(4)式還是有意義的。所以對于任意的,我們寫作?(1)(5)(1)pppDxxp??????????利用(5)式,我們可以將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)延伸到很多的函數(shù)。因為對于任意給定的函數(shù),我們可以利

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