《有限元法基礎(chǔ)講義》ppt課件

1、有限元法基礎(chǔ)講義,,有限元法基礎(chǔ)講義,１.前言２.緒論３.彈性力學(xué)基本概念與方法４.平面問(wèn)題的有限元法５.軸對(duì)稱問(wèn)題的有限元法６.有限元方程的解法７.有限元法的程序設(shè)計(jì)８.等參數(shù)單元,前　言,１.課程簡(jiǎn)介２.學(xué)習(xí)課程的基本要求３.選用教材，參考書,課程簡(jiǎn)介,有限元法基礎(chǔ)這門課主要講授有限原法的基礎(chǔ)概念與原理，基本方法與程序（有限元）的基本使用方法，同時(shí)補(bǔ)充部分彈性力學(xué)的基本概念。課題講授中心平面問(wèn)題為主，重點(diǎn)講授三角形

2、單元，等參數(shù)單元求解平面問(wèn)題的基本理論與方法，同時(shí)介紹有限元方程組的解法，以ANSYS程序?yàn)槔v解有限元程序的使用方法，并通過(guò)上機(jī)操作熟悉該軟件。,,通過(guò)介紹有限元法的基本概念，理論，方法與程序，使學(xué)生能夠掌握其求解力學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)，解題過(guò)程，熟悉一種有限元程序，初步具備使用有限元方法解決工程設(shè)計(jì)分析問(wèn)題的能力。,本課程講授的目的,本課程的要求,1. 做好筆記，及時(shí)復(fù)習(xí)與總結(jié)2 . 閱讀參考書籍獨(dú)立上機(jī)操作3 . 獨(dú)立上機(jī)操作,選用教

3、材及參考書,,《機(jī)械工程中的有限元基礎(chǔ) 》高德平主編 西北工業(yè)大學(xué)出版社 參考書：《有限元法》 李景涌編 北京郵電大學(xué)出版社 《有限單元發(fā)基本原理和數(shù)值方法》 王冒城編 清華出版社《彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程》 徐芝綸 高等教育出版社,１.１有限元法的一般概念１.２有限元法與其他課程之間的關(guān)系,緒　論,有限元法是求解數(shù)理方程的一種數(shù)值計(jì)算方法，是解決工程實(shí)際問(wèn)題的一種有力的數(shù)值計(jì)算工具，最初這種方法被用來(lái)研究復(fù)雜的飛機(jī)結(jié)構(gòu)中

4、的應(yīng)力，是將彈性理論，計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)軟件有機(jī)的結(jié)合在一起的一種數(shù)值分析技術(shù)。由于這一方法的靈活，快速和有效性，是齊迅速發(fā)展成為求解各領(lǐng)域的數(shù)理方程 的一種通用的近似計(jì)算方法，目前已在許多學(xué)科領(lǐng)域 和工程問(wèn)題中得到廣泛的應(yīng)用。 常用數(shù)值分析方法：差分法，有限元法，有限體積法，邊界元法,有限元法的一般概念,有限元法的基本思想,將一個(gè)連續(xù)的求解域（連續(xù)體）離散化即分割成彼此用節(jié)點(diǎn)（離散點(diǎn)）互相聯(lián)系的有限個(gè)單元，在單元體內(nèi)假設(shè)近似解的模式，

5、用有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上的未知參數(shù)表征單元的特性，然后用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑢⒏鱾€(gè)單元的關(guān)系式組合成包含這些未知參數(shù)的代數(shù)方程，得出個(gè)結(jié)點(diǎn)的未知參數(shù)，再利用插值函數(shù)求出近似解。是一種有限的單元離散某連續(xù)體然后進(jìn)行求解得一種數(shù)值計(jì)算的近似方法。　　由于單元可以被分割各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好的適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀，復(fù)雜的材料特性和復(fù)雜的邊界條件，再加上它有成熟的大型軟件系統(tǒng)支持，使它已成為一種非常受歡迎的，應(yīng)用極廣的數(shù)值計(jì)算方法。,有限元法的基

6、本求解步驟,位移型有限元法求解靜力問(wèn)題的一般步驟：　　?。保﹦澐謫卧弧　。玻┯?jì)算單元?jiǎng)偠染仃?；　?。常┻M(jìn)行載荷移置；　?。矗┮爰s束，解方程組求得位移；　?。担┯?jì)算應(yīng)力和應(yīng)變。注：若以節(jié)點(diǎn)力為未知參數(shù)，先求出節(jié)點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)力，后求位移與應(yīng)力的方法，稱為力型有限元法。,有限元法的基本概念,結(jié)構(gòu)離散化： 1）劃分網(wǎng)格； 2）載荷移置； 3）

7、簡(jiǎn)化約束?！　卧?jiǎng)偠染仃嚺c剛度系數(shù)： 1）單元?jiǎng)偠染仃囄锢硪饬x為單元抵抗變形的能力； 2）剛度系數(shù)的物理意義是產(chǎn)生單位位移時(shí)需要的力的大小。,有限元法與其他課程的關(guān)系,,,,,力學(xué)的分類,各學(xué)科的任務(wù)與特點(diǎn),材料力學(xué)：研究桿狀構(gòu)件在拉壓，剪切，彎曲，扭轉(zhuǎn)作用 下的應(yīng)力和位移。結(jié)構(gòu)力學(xué)：在材料力學(xué)基礎(chǔ)上研究桿狀構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu) 例如，

8、行架，剛架等，這些都是所謂的桿件系統(tǒng)。彈性力學(xué)：非桿狀結(jié)構(gòu)，例如板和水壩，地基等實(shí)體結(jié)構(gòu)以　　　　　及對(duì)桿狀構(gòu)件作進(jìn)一步，較精確的分析。它與材 料力學(xué)的研究方法不同，主要是在材力中引入了　　　　　構(gòu)件形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假設(shè) ，使數(shù)學(xué)推導(dǎo)大　　　　　大簡(jiǎn)化，其解是理論解（近似的），而彈性力學(xué),,則更精確一些。計(jì)算力學(xué)：是應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)，彈性力學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)，計(jì)算機(jī)學(xué)　　　　　的一個(gè)結(jié)合，提供近似的數(shù)值計(jì)算方

9、法，解決問(wèn)題，　　　　　而有限元法是其中的一種方法。　　上述各種方法最終目標(biāo)是確立研究對(duì)象的應(yīng)力，形變和位移，用以校核其是否有所需要的強(qiáng)度和剛度。,各學(xué)科的任務(wù)與特點(diǎn),彈性力學(xué)中的基本概念與方法,２.１彈性力學(xué)２.２彈性力學(xué)中的基本假定２.３彈性力學(xué)中的基本概念,彈性力學(xué),即彈性體力學(xué)，有稱彈性理論，是固體力學(xué)的一個(gè)分支，主要研究彈性體由于受外力作用或溫度改變以及邊界條件變化等原因發(fā)生的應(yīng)力，形變和位移。,（1）假定物體是連續(xù)

10、的 假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙，這樣物體內(nèi)的應(yīng)力，形變，位移等才可能是連續(xù)的，因而用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示它們的變化規(guī)律。只要組成物體的微觀尺寸及相林微粒之間的距離都比物體的尺寸小很多，那麼假定引起的誤差就不大。（2）假定物體是完全彈性的 完全彈性提出是物體能完全恢復(fù)原形而沒(méi)有剩余形變。這樣物體在任一瞬時(shí)的形變就完全決定于它在這一瞬時(shí)所受的外力，而與它的過(guò)去受力狀況無(wú)關(guān)，完全彈性體服從

11、虎克定律；，也就是形變與引起該形變的應(yīng)力呈正比（線形彈性），彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變而變。,彈性力學(xué)中的基本假定,（3）假定物體是均勻的　　也就是，整個(gè)物體由同一材料組成，各部分具有相同的彈性。（4）假定物體是各向同性的　　即物體的彈性在各個(gè)方向都相同，這樣，物體的彈性常數(shù)才不隨訪向而變。由于鋼材作成的構(gòu)件，雖然包含有各向異性的晶體，但晶體很微小，且隨機(jī)排列，所以起彈性大致是相同的。 符合以上四個(gè)假定的物體，就稱為理

12、想彈性體。,彈性力學(xué)中的基本假定,彈性力學(xué)中的基本假定,（5）假定位移和形變是微小的　　即假定物體受力后，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來(lái)的尺寸，而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。,彈性力學(xué)中的基本概念,,（1）外力 分為體積力和表面力，簡(jiǎn)稱為體力和面力。 體力：是分布在物體體積內(nèi)的力。如重力和慣性力 (N/m3)

13、 (N/m2),面力：是分布在物體表面上的力。如流體壓力和接觸力 F 在x，y，z軸上的投影X，Y，Z稱為該物體在P點(diǎn)的體力分量，以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。 F在x，y，z軸上的投影 ， ， 稱為在P點(diǎn)的面力分量，以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。（2）應(yīng)力：研究物體在某一點(diǎn)P的內(nèi)力。

14、 研究物體在其某一點(diǎn)P的內(nèi)力,,彈性力學(xué)中的基本概念,,這個(gè)極限矢量S就是物體在截面 mn上的，在P點(diǎn)的應(yīng)力，應(yīng)力的S方向就是 △Q 的極限方向。對(duì)于應(yīng)力，處了推導(dǎo)公式外，通常不用它在坐標(biāo)軸方向的分量,，因?yàn)檫@些分量與物體的形變或材料強(qiáng)度都沒(méi)有直接的關(guān)系。與物體的形變或材料強(qiáng)度直接相關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向的分量，也就是正應(yīng)力?及剪應(yīng)力? 。因次（N/m**2 ）　　顯然可見，在物體內(nèi)的一點(diǎn)P，不

15、同街面上的應(yīng)力是不同的，為了分析這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，即各街面上的應(yīng)力的大小和方向。,,,彈性力學(xué)中的基本概念,彈性力學(xué)中的基本概念,PA= ?x PB= ?y PC= ?z,彈性力學(xué)中的基本概念,例如：?x是作用在垂直于x軸的面上 ?xy表示“x”垂直于x軸，表示“y”沿著y軸的方向 正面——截面上的外法線坐標(biāo)軸的正向，沿正向?yàn)檎?負(fù)面——截面

16、上的外法線坐標(biāo)軸的負(fù)向，沿負(fù)向?yàn)檎?剪應(yīng)力與材料力學(xué)的不同,六個(gè)剪應(yīng)力之間有一定的互等關(guān)系。例如，以ab為矩軸，可得： 同理： ?zx= ?xz ?xy = ?yx 可以證明：在物體的任意一點(diǎn)，如果已知?x 、?y 、?z、 ?yz、 ?zx 、?xy就可求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任意截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。因此，六個(gè)分量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。（3）形變：就是形狀的改變，可以

17、歸結(jié)為長(zhǎng)度和角度的改變?！　榱朔治鑫矬w在某一點(diǎn)的形態(tài)狀態(tài)，在這一點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸 x, y ,z的正方向取三個(gè)微小的線段PA，PB，PC。物體變形后，三個(gè)線段的長(zhǎng)度及它們之間的角度都將改變。,彈性力學(xué)中的基本概念,各線段的每個(gè)單位長(zhǎng)度的伸縮，即單位伸縮或相對(duì)伸縮稱為正應(yīng)變，各線段之間直角的改變，用弧度表示，稱為剪應(yīng)變，分別用?x , ?xz表示。 正應(yīng)變以伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短是為正。 剪應(yīng)變以直角變小

18、時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)。 可以證明，物體任意一點(diǎn)，如果已知了六個(gè)應(yīng)變分量?x , ?y , ?z , ?yz, ?zx , ?xy 就可以求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任意線段的正應(yīng)變，也可以求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任意兩個(gè)線段之間角度的改變。因此，這六個(gè)應(yīng)變，稱為該點(diǎn)的形變分量，可以完全確定該點(diǎn)的形態(tài)狀態(tài)。,彈性力學(xué)中的基本概念,（4）位移：就是位置的移動(dòng)，物體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移，用它在x，y，z三軸上的投影u，v，w來(lái)表示，它們沿坐標(biāo)軸的正向?yàn)?/p>

19、正，負(fù)向?yàn)樨?fù)。這三個(gè)投影稱為該點(diǎn)的位移分量，因次是長(zhǎng)度。 一般而言，彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的體力分量，面力分量，應(yīng)力分量，形變分量和位移分量，都是隨著該點(diǎn)的位置而變的，因而都是位置坐標(biāo)的函數(shù)。 在彈性力學(xué)的問(wèn)題里，通常已知物體的形狀和大小，（即已知物體的邊界），物體的彈性常數(shù)，物體所受的力，物體邊界上的約束情況或面力，而應(yīng)力分量，形變分量和位移分量則是需求解的。,彈性力學(xué)中的基本概念,彈性力學(xué)中的基本概念,為了由

20、彈性力學(xué)中的已知量求出未知量，必須建立這些已知量與未知量之間的關(guān)系，以及個(gè)未知量之間的關(guān)系，從而倒出一套求解的方程。 在倒出方程時(shí)，可以從三個(gè)方面來(lái)分析： 1 靜力學(xué)方面，建立應(yīng)力，體力，面力之間的關(guān)系 2 幾何學(xué)方面，建立位移，形變，邊界位移之間的關(guān)系 3 物理學(xué)方面，建立形變，應(yīng)力之間的關(guān)系,平面問(wèn)題的基本理論,３.１平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題３.２平衡微分方程３.３平面問(wèn)題中的點(diǎn)

21、的應(yīng)力狀態(tài)３.４幾何方程與剛體位移３.５物理方程３.６邊界條件與圣維南原理３.７總結(jié),平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題,任何一個(gè)彈性體都是空間的物體，一般的外力都是空間力系。但如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并承受特殊的外力，就可以向空間問(wèn)題簡(jiǎn)化成近似的平面問(wèn)題，這樣處理分析和計(jì)算工作量將大為減少，而所的成果卻仍然可以滿足工程上的精確度的要求。,（1）平面應(yīng)力問(wèn)題　　設(shè)有很薄的等厚度板，受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力。如

22、，平板壩的平板支墩,,平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題,平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題,設(shè)板的厚度為t，以薄板的中面為xy面，因?yàn)榘迕嫔?z=?t/2)不受力，所以有　(?z)z=?t/2=0 , (?zx)z=?t/2=0 , (?zy)z=?t/2=0 ? ?y=0, ?zx=0, ?zy =0 　六個(gè)獨(dú)立? ?x ， ?y ， ?xy = ?yx 　3個(gè)且只是x，y的函數(shù)，不隨z而變化,,（2）平面應(yīng)變問(wèn)題

23、 與上相反，設(shè)有很長(zhǎng)的柱形體，受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力。 假設(shè)該物體為無(wú)限長(zhǎng)，可以以任意橫截面為 x 軸，則所有的量都不沿 　　　　　　z 變化，而只是 x , y 的函數(shù)，只有 x , y 的位移而 z 向位移為 0，因?yàn)樗袀€(gè)點(diǎn)的位移矢都平行于 xy 面，稱為平面位移問(wèn)題，但習(xí)慣上稱為平面應(yīng)變問(wèn)題。,平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題,由對(duì)稱性?zx=0 , ?zy =0 剪應(yīng)力

24、互等 ?xz=0 , ?yz =0 但由于 z 方向伸縮被阻止，?z 一般不等于零。,平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題,,,平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題,從靜力學(xué)角度出發(fā)介紹應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式即平衡微分方程見圖：,通過(guò)中心 C 并平行于 z 軸的直線為矩軸 以 x 軸為投影軸 以 y 軸為投影軸說(shuō)明：（1）三個(gè)未

25、知數(shù) （2）平面應(yīng)變問(wèn)題中， ?z 不影響方程的建立，同樣適用,平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題,平面問(wèn)題中的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),繼續(xù)考慮平面問(wèn)題的靜力學(xué)方面，假定已知任一點(diǎn) P出的應(yīng)力分量 ?x ， ?y ， ?xy = ?yx ，求出經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的平行于 z 軸而傾斜 z 于軸，y 軸的任何斜面上的應(yīng)力。,平面問(wèn)題中的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),取平面ＡＢ，當(dāng)?ＡＢ??平面ＡＢ上的應(yīng)力就成為Ｐ點(diǎn)斜面的應(yīng)力Ｎ代表斜面ＡＢ的外法線方向，其方

26、向余弦為： cos(N,x)= l , cos(N,y)= m(1)設(shè)斜面長(zhǎng)度為ds，lds，mds ½?lds?mds= ?PAB由 ?Fx=0 ?XN=l ?x +m ?xy ?Fy=0 ?YN=m?y +l ?xy(2)正應(yīng)力?N ，剪應(yīng)力為?N投影關(guān)系可得： ?N = l XN +m YN = l 2?z +m 2 ?y +2lm ?xy

27、 ?N = l YN –m YN = lm(?y –?x)+(l 2 –m 2 ) ?xy,如果已知 點(diǎn)處的應(yīng)力分量 ?x ， ?y ， ?xy 就可以求出任意斜面上的正應(yīng)力 ?N，剪應(yīng)力 ?N 。 設(shè)經(jīng)過(guò) P 點(diǎn)的某一斜面上的剪應(yīng)力等于零，則該斜面上的正應(yīng)力稱為 P 點(diǎn)上的一個(gè)主應(yīng)力，而該斜面稱為P 點(diǎn)的一應(yīng)力主面，該斜面的法線方向（即主應(yīng)力的方向）

28、稱為 P 點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主向。 主應(yīng)力經(jīng)推導(dǎo)可得出：,平面問(wèn)題中的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),而?1與x軸的夾角為 ?1 ，則 ?2與x軸的夾角為?2， ?1與?2互相垂直 同時(shí)兩個(gè)主應(yīng)力也就是最大最小的正應(yīng)力。 最大最小的剪應(yīng)力 發(fā)生在x軸與y軸成45度的斜面上。,平面問(wèn)題中的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),幾何方程與剛體位移,現(xiàn)從幾何學(xué)方面考慮平面問(wèn)題，介紹形變分量與位移分量之間的

29、關(guān)系式， 即幾何方程。 PA=dx　　 PB=dy　　P, A, B?Ｐ’, A ’, B ’,幾何方程與剛體位移,PA的正應(yīng)變　　　　　　　　　　不考慮y向位移v引起的PA伸縮。同理PB的正應(yīng)變　　　　　　　　　PA與PB間直角的改變，即剪應(yīng)變：?xy由兩部分組成　　 (1)由y向位移v引起的，即x向PA的轉(zhuǎn)角　　(2)由x向位移u引起的，即y向PB的轉(zhuǎn)角,幾何方程與剛體位移,?，?減小為正　　　

30、　?剪應(yīng)變　　則上式為幾何方程：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng),,由上式可知：位移分量完全確定時(shí)，形變分量完全確定，反之則不成立。其原因是存在與形變無(wú)關(guān)的位移，因此必然是剛體位移。 既然物體在形變?yōu)榱銜r(shí)可以有剛體位移，可見，當(dāng)物體發(fā)生一定形變時(shí)，由約束條件的不同，它可能有不同的剛體位移，因而它的位移并不是完全確定的。在平面問(wèn)題中，存在兩個(gè)剛體位移，一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)位移。因而為了完全確定位移

31、，就必須有三個(gè)適當(dāng)?shù)募s束條件來(lái)確定這三個(gè)常數(shù)。,幾何方程與剛體位移,物理方程,物理學(xué)方面，介紹形變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式，即物理方程。 其中： Ｅ ——彈性模量（拉壓） Ｇ——彈性模量（剪切） ?——泊松常數(shù)（泊松比）,,在應(yīng)變問(wèn)題中

32、 如將 即可得相同方程,物理方程,以上我們介紹了 8 個(gè)方程，可當(dāng)作平面問(wèn)題中的基本方程。 2 個(gè)平衡微分方程 3 個(gè)幾何方程 3 個(gè)物理方程 集中包含 8 個(gè)未知數(shù)： 應(yīng)力：3 個(gè)

33、 形變：3 個(gè) 位移：2 個(gè) 因此在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，從基本方程中求解未知函數(shù)是可能的。,物理方程,邊界條件與圣維南原理,邊界 位移邊界： 應(yīng)力邊界： 混合邊界：既有位

34、移，又有應(yīng)力,邊界條件與圣維南原理,前提： （1）求解彈力問(wèn)題時(shí)，使應(yīng)力分量，形變分量，位移分量完全滿足 基本方程并不困難，但使邊界條件得到完全滿足卻有很大困難。 （2）在實(shí)際問(wèn)題中，在物體的一小部分邊界上，僅知道面力的合力，而面力分部方式不明確，無(wú)從考慮邊界條件。 因而，圣維南原理指出：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換成為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同）

35、那麼近處的應(yīng)力分布將顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。,邊界條件與圣維南原理,圣維南原理也可陳述成：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢及主矩都等于零），那麼，這個(gè)面力就只會(huì)使得近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。,邊界條件與圣維南原理,總 結(jié),（1）有限元的基本概念（2）彈性力學(xué)的基本假定，基本概念與基本方程,平面問(wèn)題的有限元法,４.１引言４.２位移函數(shù)４.２.１位移函數(shù)的一般形式４.２.２三節(jié)點(diǎn)三角形單

36、元的位移函數(shù)４.２.３位移函數(shù)及其性質(zhì)４.２.４位移函數(shù)與解的收斂性４.３單元?jiǎng)偠确匠蹋?３.１基本方法４.３.２三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕?３.３單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì),平面問(wèn)題的有限元法,４.４載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷４.４.１非節(jié)點(diǎn)載荷的移置４.４.２載荷移置的普遍公式４.４.３載荷移置舉例４.４.４，２.４.５（自學(xué)）４.５結(jié)構(gòu)剛度方程４.５.１集合的基本原則４.５.２結(jié)構(gòu)剛度的建立４.５.３形成總剛的

37、常用方法４.５.４總剛的性質(zhì)及其應(yīng)用,平面問(wèn)題的有限元法,４.６位移邊界條件的處理４.６.１總剛的奇異性４.６.２處理位移邊界條件的常用方法４.７應(yīng)力計(jì)算４.７.１基本公式４.７.２變溫應(yīng)力的計(jì)算４.７.３應(yīng)力的表示方法４.７.４主應(yīng)力和主方向４.８解題示例與公式推廣４.８.１解題示例,平面問(wèn)題的有限元法,４.８.２位移型有限元法求解線彈性靜力問(wèn)題的普遍公式４.９斜邊界問(wèn)題的處理４.１０六節(jié)點(diǎn)三角形單元,引　言,

38、一　為什么先進(jìn)行平面問(wèn)題的有限元法：１.平面問(wèn)題的有限元分析較簡(jiǎn)單，具有典型性２.在工程應(yīng)用中有其實(shí)際意義，主要表現(xiàn)在在滿足工程精度的要求下，降低問(wèn)題的復(fù)雜性，提高分析問(wèn)題的效率。３.平面問(wèn)題的有限元分析是今后進(jìn)一步分析軸對(duì)稱問(wèn)題，三維問(wèn)題及板殼問(wèn)題的基礎(chǔ)。從平面問(wèn)題的有限元法分析入手，可有利于有限元基本概念、方法、理論的理解與掌握。,引　言,二　選用的單元類型及特點(diǎn)　　進(jìn)行平面問(wèn)題研究時(shí)，選用三角形單元較簡(jiǎn)單。三節(jié)點(diǎn)的三

39、角形單元又是最簡(jiǎn)單而又被廣泛采用的一種單元類型?！　∮捎谠谄矫鎲?wèn)題分析中，結(jié)構(gòu)發(fā)生的是平面變形，三角形的三個(gè)節(jié)點(diǎn)可以看作是平面鉸，每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有兩個(gè)自由度，這樣共有３個(gè)節(jié)點(diǎn)６個(gè)自由度，如果節(jié)點(diǎn)位移或其中某一個(gè)分量為零時(shí)，可在該節(jié)點(diǎn)處設(shè)置一個(gè)平面鉸支座或連桿支座，以限制其位移。由三角單元離散的結(jié)構(gòu)是由三角形單元的節(jié)點(diǎn)鉸接而成的。,引　言,三　三角形單元的網(wǎng)格剖分原則１.各節(jié)點(diǎn)必須相連。如圖所示中（a）是正確的，而（b）是錯(cuò)誤

40、的。,引　言,２.三角形單元不能奇異，也就是三角形單元中的三個(gè)邊長(zhǎng)不能相差太大，或者有過(guò)大的鈍角或過(guò)小的銳角，如圖示,引　言,３.單元的大小，數(shù)目取決于計(jì)算精度的要求和計(jì)算容量的限制　　分網(wǎng)時(shí)首先要滿足計(jì)算精度的要求，同時(shí)可利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，循環(huán)對(duì)稱性的特點(diǎn)，從厚結(jié)構(gòu)中取出一部分進(jìn)行分析，或者對(duì)有應(yīng)力集中的構(gòu)件，采用疏密不同的網(wǎng)格剖分。也可以采用子結(jié)構(gòu)法。,引　言,４.同一單元內(nèi)的結(jié)構(gòu)，幾何特性與材料特性相同，也就是不要把厚度

41、不同或材料不同的區(qū)域劃分在同一個(gè)單元里。,引　言,四　節(jié)點(diǎn)編號(hào)的約定１.節(jié)點(diǎn)編號(hào)分為局部節(jié)點(diǎn)編號(hào)和總體節(jié)點(diǎn)編號(hào)兩種　　如下圖中的矩形，分為５個(gè)節(jié)點(diǎn)，４個(gè)單元，其中１，２，３，４，５為總體節(jié)點(diǎn)編號(hào)。而對(duì)于任一單元 ? 中，２，５，３為局部節(jié)點(diǎn)編號(hào)，在公式推導(dǎo)中用i，j，m編號(hào)我們約定其為逆時(shí)針順序。這主要是因?yàn)橐ＷC用i，j，m節(jié)點(diǎn)計(jì)算的單元面積為正值，如下圖：,引　言,２.相鄰節(jié)點(diǎn)號(hào)的差值要盡可能小。如圖

42、 最大差值為5 最大差值為4,引　言,五　三角形單元?jiǎng)澐值氖纠?位移函數(shù),結(jié)構(gòu)離散化后，要對(duì)單元進(jìn)行力學(xué)特性分析，也就是確定單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，這時(shí)就需要把單元內(nèi)的任一點(diǎn)的位移分量表示成坐標(biāo)的某種函數(shù)。這種函數(shù)就叫位移函數(shù)。,位移函數(shù),位移函數(shù)的一般介紹１.定義：把單元中任一點(diǎn)的位移分量與坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系叫位移函數(shù)或叫位移模式。,位移函數(shù),２.選

43、擇位移函數(shù)的原因（１）決定了單元的力學(xué)特性。（意義）（２）反映了單元的位移形態(tài)。（物理意義）（３）它是利用位移法求解問(wèn)題的開始。（基礎(chǔ)）,位移函數(shù),３.位移函數(shù)必須具備的條件（１）在節(jié)點(diǎn)上的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)的位移（２）所采用的函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解,位移函數(shù)的一般形式,位移函數(shù)一般為多項(xiàng)式形式，這樣處理是從兩方面出發(fā)的（１）進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算（如微分，積分）較簡(jiǎn)單（２）任意階次的多項(xiàng)式可以近似地表示精確解，其一般形式為：

44、　u=u(x,y)=?1+ ? 2x+ ?3y + ? 4x2+ ?5xy + ? 6y2 + … + ? myn　v= v(x,y)=?m+1+ ? m+2x+ … + ?2myn　　 （２-１）式中: ,其中?1 …?２m為待定系數(shù)。式中的?也稱為廣義坐標(biāo)，這種描述方式又稱為廣義坐標(biāo)形式。

45、（一維形式多項(xiàng)式u(x)=?1+ ? 2x+ ? ３x2+ … + ? n＋１xn）,位移函數(shù)的一般形式,（２-１）式也可以參照帕斯卡三角形來(lái)確定,三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù),１.位移函數(shù)形式就是最簡(jiǎn)單的情況而言，可以選取位移為坐標(biāo)的線性函數(shù)形式，也就是：　　　u(x,y)=?1+ ? 2x+ ?3y　　　v(x,y)=?4+ ? 5x+ ?6y （２-２）　　對(duì)于圖２.５中的三角

46、形單元，為了確定（２-２）式中的待定系數(shù)?1??6，可以將節(jié)點(diǎn)i，j，m的位移值及坐標(biāo)值代入上式，得到方程組：　　　u１=?1+ ? 2xi+ ?3yi　　　u１=?1+ ? 2xi+ ?3yi　　　　　　　（ i=i，j，m） （２-３）式中　ui ， vi——節(jié)點(diǎn)位移　 xi ， yi——節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù),這是一個(gè)一階線性方程組，在求解之前，回顧一下來(lái)克姆法則,三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù),２.克來(lái)姆法

47、則　設(shè)有一線性方程組：　　　a11x1+ a12x2 +…+ a1nxn =b1 a21x1+ a22x2 +…+ a2nxn =b2　　　…………　　　an1x1+ an2x2 +…+ annxn =bn （a11 ?ann系數(shù)）　當(dāng)其系數(shù)行列式　不等于零時(shí)　 上述的方程組有唯一解： （j＝１，２…n）　

48、　其中　是將Ａ中第j列元素替換為右端項(xiàng)而得到的行列式,三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù),３.待定系數(shù)?1… ?６的求解　如果用節(jié)點(diǎn)位移（ui, vi）,（uj, vj）,（um, vm）及節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)（xi, yi）,（xi, yi）,（xi, yi）代入（2-3）式可以得到： ui=?1+ ?2xi+ ?3yi uj=?1+ ?2xj+ ?3yj um=?1+ ?2xm+ ?3ym vi=?1+ ?2

49、xi+ ?3yi vj=?1+ ?2xj+ ?3yj vm=?1+ ?2xm+ ?3ym,三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù),由克來(lái)姆法則可知：當(dāng)2 ??0，上述方程有唯一解：,三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù),為了描述方便，引入系數(shù) ai= xj ym - xmyj bi= yj - ym ci= -xj + xm aj= xmyi - xi ym

50、 bj= ym - yi cj= -xm + xi am= xi yj - xj yj bm= yi - yj cm= -xi + xj,三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù),代入上式后可以得到,三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù),另外，由解析幾何知識(shí)可以知道?等于三角形i,j,m的面積，為了使面積不出現(xiàn)定值，我們規(guī)定i,j,m順序必須按照逆時(shí)針?lè)较蚺帕小?三節(jié)點(diǎn)

51、三角形單元的位移函數(shù),４.位移函數(shù)的插值函數(shù)形式假設(shè)這樣一個(gè)函數(shù)：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(i=i , j , m)代入（２-３）式后可得　　　u=Ｎiui +Ｎjuj+Ｎmum 　　　v=Ｎivi +Ｎjvj+Ｎmvm 式中：Ｎi，Ｎj ，Ｎm被稱為單元的形狀函數(shù)，簡(jiǎn)稱形函數(shù)或插值函數(shù)。,三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù),把（２-６）式寫成矩陣形式：簡(jiǎn)寫為：f= N?e　　　　　　　　　

52、　　　　　 （２-８）,三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù),式中的矩陣Ｎ反映了單元的位移形態(tài)，又是坐標(biāo)的函數(shù)，我們稱之為形函數(shù)矩陣，這種描述方式稱為位移函數(shù)的插值函數(shù)形式?！　⊥ㄟ^(guò)上面的推導(dǎo)，我們得到了兩種形式的位移函數(shù)， （２-８）（２-２）后一種描述更簡(jiǎn)單，更直觀，通常采用。這樣我們就建立了單元中任一點(diǎn)的位移和單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。,位移函數(shù)及其性質(zhì),當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移一定時(shí)，單元形態(tài)完全決定于Ｎi，Ｎj ，Ｎm這時(shí)形函數(shù)就具有如下的性

53、質(zhì)：　?。?形函數(shù)Ｎi在節(jié)點(diǎn)i處的值為１，而在其他兩個(gè)節(jié)點(diǎn)（j，m）處的值為零。　　即：?。蝘 （xi ，yi ）=1 而Ｎi （xj ，yj ）=Ｎi （xm ，ym ）=0同樣的?。蝚 （xi ，yi ）=0 Ｎj （xj，yj ）=1 Ｎi （xm ，ym ）=0 　Ｎm （xi ，yi ）=0 Ｎm （xj，yj ）=0 Ｎm （xm ，ym ）=1,位移函數(shù)及其性質(zhì),２.在單元

54、任一節(jié)點(diǎn)處，三個(gè)形函數(shù)之和等于１。證明如下：　 Ｎi（x，y）+Ｎj（x，y）+Ｎm（x，y） = （ai+ bix+ ciy+ aj+ bjx+ cjy+am+ bmx+ cmy）／（２ ?） =[（ ai + aj + am ）+ （ bi + bj + bm ）x+ （ ci + cj + cm ）y]／（２ ?） =（ ２ ?+0+0）/ （２ ?） =1此外，形函數(shù)與位移函數(shù)是同樣類

55、型的函數(shù)。如：位移函數(shù)　　u=?1+ ?2x+ ?3y　　　　形函數(shù)　　?。蝘=（ ai + bix + ciy）／（２ ?）,位移函數(shù)與解的收斂性,選擇位移函數(shù)時(shí)，為保證有限元法的收斂性，必須滿足以下４個(gè)條件：１.位移函數(shù)必須包含單元的常量應(yīng)變２.位移函數(shù)必須包含單元的剛體位移３.位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須是連續(xù)函數(shù)（連續(xù)性要求）４.位移函數(shù)應(yīng)使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（保續(xù)性要求）　　上述四個(gè)條件中，若全部滿足，這樣的位移

56、函數(shù)構(gòu)成的單元稱為協(xié)調(diào)單元，若只滿足前三條，則稱為非協(xié)調(diào)單元,位移函數(shù)與解的收斂性,下面我們用以下四個(gè)條件來(lái)考察三角形常應(yīng)變單元的位移函數(shù)（１）由?=[?x , ?y , ?xy]T =[?2 , ?6 , ?5 + ?3] T 　　因?2 , ?6 , ?5 + ?3都是常數(shù)，與某坐標(biāo)無(wú)關(guān)，因此含有常應(yīng)變項(xiàng)（２）將位移函數(shù)可改寫成,位移函數(shù)與解的收斂性,當(dāng)發(fā)生剛體位移時(shí)： ?x = ?x = ?xy =0　也就是　

57、　?2 = ?6 = ?5 + ?3 = 0　　這時(shí)：　　其中u0　, v0為平動(dòng)位移分量?！　?0為單元繞垂直于x，y平面的軸線作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角位移，它表示了剛體位移。,位移函數(shù)與解的收斂性,（３）位移函數(shù)（２-２）或是x，y的單值連續(xù)函數(shù)，故滿足連續(xù)性要求。（４）位移函數(shù)（２-２）式是線性函數(shù)，由于相鄰單元在公共節(jié)點(diǎn)處的位移值相等，而通過(guò)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)可以連成一直線，其連線上的位移相同，因此邊界上各點(diǎn)的位移是連續(xù)的

58、，不會(huì)出現(xiàn)：綜上所述，三角形常應(yīng)變單元屬于協(xié)調(diào)元,單元?jiǎng)偠确匠?對(duì)單元進(jìn)行力學(xué)特性分析目的在于確定單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，并稱之為單元?jiǎng)偠确匠蹋海薳 ?e =Ｆe　　式中：Ｒe ， ?e ——單元節(jié)點(diǎn)力及節(jié)點(diǎn)位移列陣　　　　　Ｋe ——單元?jiǎng)偠染仃?基本方法,基本方法,建立上述方程時(shí)可采用的方法（１）直接剛度法（２）虛位移原理或最小勢(shì)能原理——位移型有限元（３）余虛功原理或最小余能原理——力法有限元（４）變分

59、法（非結(jié)構(gòu)問(wèn)題）,基本方法,單元特性分析的步驟（１）假設(shè)位移函數(shù)（２）建立應(yīng)力，應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系（３）由能量原理，建立單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系（４）得到單元?jiǎng)傟?三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?（１）上節(jié)的知識(shí)可以知道位移函數(shù)為：　　　　　　u=Ｎiui +Ｎjuj+Ｎmum 　　　v=Ｎivi +Ｎjvj+Ｎmvm式中　Ｎi=（ ai + bix + ciy）／（２ ?）?。╥=i,j,m）（２）應(yīng)力應(yīng)變與

60、節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系對(duì)三節(jié)點(diǎn)三角形單元，節(jié)點(diǎn)位移　　　?e =[ui , vi , uj , vj , um , vm]T　　　Fe =[Fix , Fiy , Fjx , Fjy , Fmx , Fmy]T,三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?由彈力知識(shí)可知，幾何方程為：,三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?令：Ｂ=[Bi , Bj , Bm]且　　　　　　　　　 （i=i,j,m）方程可簡(jiǎn)寫為： ?= Ｂ?e,三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染?/p>

61、陣,我們稱Ｂ——單元的幾何矩陣，其物理意義反映了單元任一點(diǎn)的應(yīng)變與單元位移之間的關(guān)系?！　?duì)于一個(gè)給定的單元，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)一定，系數(shù)bi，ci也隨之確定， ?也為常數(shù)，所以幾何矩陣為常量矩陣，這也證明３節(jié)點(diǎn)三角形單元是一種常應(yīng)變單元?！　∮蓮椥岳碚撝嘘P(guān)于平面問(wèn)題的物理方程可知，當(dāng)不考慮變溫影響時(shí)，單元中任一點(diǎn)的應(yīng)力?為:　　 ? =D?式中Ｄ為彈性矩陣，反映了單元材料方面的特性。,三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?由上面

62、應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系代入后可得　　　? = D? = DB?e若令S= DB　則? = S?e式中，S——稱為單元的應(yīng)力矩陣　　物理意義：反映了單元中任一點(diǎn)的應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，對(duì)于３節(jié)點(diǎn)三角形單元D，B為常量矩陣， S也為常量矩陣，這種常應(yīng)變單元，也是一種常應(yīng)力單元，回顧一下，平面應(yīng)力問(wèn)題：,三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?而對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題如果采用：　　　　　　　　　　　代入,三角形平面單元的單元

63、剛度矩陣,兩種問(wèn)題具有相同的描述形式，只是對(duì)材料的彈性模量與泊松比進(jìn)行相應(yīng)的代換，則在計(jì)算中可以采用同樣形式的彈性矩陣。（３）單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系　　在位移型有限元法中，對(duì)單元的力學(xué)特性分析，最終是需要建立節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系，也就是確定單元的剛度矩陣。應(yīng)用虛位移原理來(lái)建立這種關(guān)系式?！　≡O(shè)某單元發(fā)生一虛位移，則該單元各節(jié)點(diǎn)上的虛位移為?＊e ，相應(yīng)地單元內(nèi)任一點(diǎn)處的虛應(yīng)變?yōu)椋??＊。根據(jù)?與?間的關(guān)系有：

64、　　 ?＊ =B ?＊e,三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?這時(shí)單元體在節(jié)點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)，根據(jù)虛位移原理，當(dāng)虛位移發(fā)生時(shí)節(jié)點(diǎn)力在虛位移上所做的功等于單元的虛應(yīng)變能，即：式中：Ｖe為單元的體積，上式稱為單元的虛功方程。把? = DB?e和?＊ =B ?＊e代入上式得由于節(jié)點(diǎn)位移?e及節(jié)點(diǎn)虛位移?＊e均為常量，提出積分外，有：,三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?進(jìn)一步可得：令：　　　　　　　則上式可寫為　　求得了我們

65、所要的形式的方程，稱之為單元?jiǎng)偠确匠?，式中的Ｋe稱為單元的剛度矩陣，反映了節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系?！　⊥瑯?，可采用最小勢(shì)能原理來(lái)建立單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式?！　∥覀兊玫降膯卧?jiǎng)偠染仃嚕薳是普遍公式，適用于各種類型的單元，對(duì)于三角形常應(yīng)變單元的具體表達(dá)式，顯式是什么,三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?（４）三角形常應(yīng)變單元?jiǎng)偠染仃嚨娘@式：　　由于普遍公式中，Ｂ，Ｄ均為常量矩陣，可以提出積分符號(hào)，而dＶ是單元的微元體體積

66、且dＶ=t ?dx ?dy　　式中t為單元的厚度，同一單元，厚度t為常數(shù)，故單元體積　　　　　　　　　　　　　　　　　?。??為單元的面積）　　普遍公式就可寫為：　　為了便于計(jì)算利用B=[Bi Bj Bm]將上式展開,三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?式中子剛陣為：Krs =t?BrTDBs （r,s= i,j,m）　　Krs是一個(gè)２?２階矩陣，因此三角形常應(yīng)變單元的剛度方程為

67、６?６的方程，也就是單剛階數(shù)＝單元的自由度數(shù)。　　對(duì)與平面應(yīng)力問(wèn)題：　　　　將： B=[Bi Bj Bm]及　　　　　　　　　　　代入,三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?（r,s= i,j,m）,三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?簡(jiǎn)寫為：相應(yīng)的：,三角形平面單元的單元?jiǎng)偠染仃?由上述公式可知：?jiǎn)蝿偂獩Q定于單元的形狀，大小，方向和材料性質(zhì)　　——無(wú)關(guān)單元平移或坐標(biāo)軸改變,單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì),（１）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣（２

68、）單元?jiǎng)偠染仃嚨闹鲗?duì)角元素恒為正值（３）單剛為奇異陣（４）單元?jiǎng)偠葍H與單元的幾何特性（Ｂ）及材料特性有關(guān)（Ｄ）而與外力無(wú)關(guān)?！　∩鲜鏊臈l性質(zhì)，與桿系的單剛性質(zhì)相同,載荷移置與等效節(jié)點(diǎn)載荷,１.由于在進(jìn)行有限元分析中，單元和單元之間僅通過(guò)節(jié)點(diǎn)相互聯(lián)系當(dāng)外載不是直接作用在節(jié)點(diǎn)上，那么需要將非節(jié)點(diǎn)載荷向節(jié)點(diǎn)移置，也就是　　　真實(shí)外載?。ɡ硐牖」?jié)點(diǎn)上的集中載荷移置后的載荷稱之為等效節(jié)點(diǎn)載荷,非節(jié)點(diǎn)載荷移置,非節(jié)點(diǎn)載荷移置,２