《有限元法基礎講義》ppt課件

1、有限元法基礎講義,,有限元法基礎講義,１.前言２.緒論３.彈性力學基本概念與方法４.平面問題的有限元法５.軸對稱問題的有限元法６.有限元方程的解法７.有限元法的程序設計８.等參數(shù)單元,前　言,１.課程簡介２.學習課程的基本要求３.選用教材，參考書,課程簡介,有限元法基礎這門課主要講授有限原法的基礎概念與原理，基本方法與程序（有限元）的基本使用方法，同時補充部分彈性力學的基本概念。課題講授中心平面問題為主，重點講授三角形

2、單元，等參數(shù)單元求解平面問題的基本理論與方法，同時介紹有限元方程組的解法，以ANSYS程序為例講解有限元程序的使用方法，并通過上機操作熟悉該軟件。,,通過介紹有限元法的基本概念，理論，方法與程序，使學生能夠掌握其求解力學問題的特點，解題過程，熟悉一種有限元程序，初步具備使用有限元方法解決工程設計分析問題的能力。,本課程講授的目的,本課程的要求,1. 做好筆記，及時復習與總結2 . 閱讀參考書籍獨立上機操作3 . 獨立上機操作,選用教

3、材及參考書,,《機械工程中的有限元基礎 》高德平主編 西北工業(yè)大學出版社 參考書：《有限元法》 李景涌編 北京郵電大學出版社 《有限單元發(fā)基本原理和數(shù)值方法》 王冒城編 清華出版社《彈性力學簡明教程》 徐芝綸 高等教育出版社,１.１有限元法的一般概念１.２有限元法與其他課程之間的關系,緒　論,有限元法是求解數(shù)理方程的一種數(shù)值計算方法，是解決工程實際問題的一種有力的數(shù)值計算工具，最初這種方法被用來研究復雜的飛機結構中

4、的應力，是將彈性理論，計算數(shù)學和計算機軟件有機的結合在一起的一種數(shù)值分析技術。由于這一方法的靈活，快速和有效性，是齊迅速發(fā)展成為求解各領域的數(shù)理方程 的一種通用的近似計算方法，目前已在許多學科領域 和工程問題中得到廣泛的應用。 常用數(shù)值分析方法：差分法，有限元法，有限體積法，邊界元法,有限元法的一般概念,有限元法的基本思想,將一個連續(xù)的求解域（連續(xù)體）離散化即分割成彼此用節(jié)點（離散點）互相聯(lián)系的有限個單元，在單元體內假設近似解的模式，

5、用有限個結點上的未知參數(shù)表征單元的特性，然后用適當?shù)姆椒?，將各個單元的關系式組合成包含這些未知參數(shù)的代數(shù)方程，得出個結點的未知參數(shù)，再利用插值函數(shù)求出近似解。是一種有限的單元離散某連續(xù)體然后進行求解得一種數(shù)值計算的近似方法。　　由于單元可以被分割各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好的適應復雜的幾何形狀，復雜的材料特性和復雜的邊界條件，再加上它有成熟的大型軟件系統(tǒng)支持，使它已成為一種非常受歡迎的，應用極廣的數(shù)值計算方法。,有限元法的基

6、本求解步驟,位移型有限元法求解靜力問題的一般步驟：　　?。保﹦澐謫卧?；　?。玻┯嬎銌卧獎偠染仃?；　?。常┻M行載荷移置；　?。矗┮爰s束，解方程組求得位移；　?。担┯嬎銘蛻儭Ｗⅲ喝粢怨?jié)點力為未知參數(shù)，先求出節(jié)點處的節(jié)點力，后求位移與應力的方法，稱為力型有限元法。,有限元法的基本概念,結構離散化： 1）劃分網(wǎng)格； 2）載荷移置； 3）

7、簡化約束。　　單元剛度矩陣與剛度系數(shù)： 1）單元剛度矩陣物理意義為單元抵抗變形的能力； 2）剛度系數(shù)的物理意義是產(chǎn)生單位位移時需要的力的大小。,有限元法與其他課程的關系,,,,,力學的分類,各學科的任務與特點,材料力學：研究桿狀構件在拉壓，剪切，彎曲，扭轉作用 下的應力和位移。結構力學：在材料力學基礎上研究桿狀構件所組成的結構 例如，

8、行架，剛架等，這些都是所謂的桿件系統(tǒng)。彈性力學：非桿狀結構，例如板和水壩，地基等實體結構以　　　　　及對桿狀構件作進一步，較精確的分析。它與材 料力學的研究方法不同，主要是在材力中引入了　　　　　構件形變狀態(tài)或應力分布的假設 ，使數(shù)學推導大　　　　　大簡化，其解是理論解（近似的），而彈性力學,,則更精確一些。計算力學：是應用結構力學，彈性力學，計算數(shù)學，計算機學　　　　　的一個結合，提供近似的數(shù)值計算方

9、法，解決問題，　　　　　而有限元法是其中的一種方法?！　∩鲜龈鞣N方法最終目標是確立研究對象的應力，形變和位移，用以校核其是否有所需要的強度和剛度。,各學科的任務與特點,彈性力學中的基本概念與方法,２.１彈性力學２.２彈性力學中的基本假定２.３彈性力學中的基本概念,彈性力學,即彈性體力學，有稱彈性理論，是固體力學的一個分支，主要研究彈性體由于受外力作用或溫度改變以及邊界條件變化等原因發(fā)生的應力，形變和位移。,（1）假定物體是連續(xù)

10、的 假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙，這樣物體內的應力，形變，位移等才可能是連續(xù)的，因而用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。只要組成物體的微觀尺寸及相林微粒之間的距離都比物體的尺寸小很多，那麼假定引起的誤差就不大。（2）假定物體是完全彈性的 完全彈性提出是物體能完全恢復原形而沒有剩余形變。這樣物體在任一瞬時的形變就完全決定于它在這一瞬時所受的外力，而與它的過去受力狀況無關，完全彈性體服從

11、虎克定律；，也就是形變與引起該形變的應力呈正比（線形彈性），彈性常數(shù)不隨應力或形變而變。,彈性力學中的基本假定,（3）假定物體是均勻的　　也就是，整個物體由同一材料組成，各部分具有相同的彈性。（4）假定物體是各向同性的　　即物體的彈性在各個方向都相同，這樣，物體的彈性常數(shù)才不隨訪向而變。由于鋼材作成的構件，雖然包含有各向異性的晶體，但晶體很微小，且隨機排列，所以起彈性大致是相同的。 符合以上四個假定的物體，就稱為理

12、想彈性體。,彈性力學中的基本假定,彈性力學中的基本假定,（5）假定位移和形變是微小的　　即假定物體受力后，整個物體所有各點的位移都遠遠小于物體原來的尺寸，而且應變和轉角都遠小于1。,彈性力學中的基本概念,,（1）外力 分為體積力和表面力，簡稱為體力和面力。 體力：是分布在物體體積內的力。如重力和慣性力 (N/m3)

13、 (N/m2),面力：是分布在物體表面上的力。如流體壓力和接觸力 F 在x，y，z軸上的投影X，Y，Z稱為該物體在P點的體力分量，以沿坐標軸正向為正，沿坐標軸負向為負。 F在x，y，z軸上的投影 ， ， 稱為在P點的面力分量，以沿坐標軸正向為正，沿坐標軸負向為負。（2）應力：研究物體在某一點P的內力。

14、 研究物體在其某一點P的內力,,彈性力學中的基本概念,,這個極限矢量S就是物體在截面 mn上的，在P點的應力，應力的S方向就是 △Q 的極限方向。對于應力，處了推導公式外，通常不用它在坐標軸方向的分量,，因為這些分量與物體的形變或材料強度都沒有直接的關系。與物體的形變或材料強度直接相關的，是應力在其作用截面的法線方向的分量，也就是正應力?及剪應力? 。因次（N/m**2 ）　　顯然可見，在物體內的一點P，不

15、同街面上的應力是不同的，為了分析這一點的應力狀態(tài)，即各街面上的應力的大小和方向。,,,彈性力學中的基本概念,彈性力學中的基本概念,PA= ?x PB= ?y PC= ?z,彈性力學中的基本概念,例如：?x是作用在垂直于x軸的面上 ?xy表示“x”垂直于x軸，表示“y”沿著y軸的方向 正面——截面上的外法線坐標軸的正向，沿正向為正 負面——截面

16、上的外法線坐標軸的負向，沿負向為正 剪應力與材料力學的不同,六個剪應力之間有一定的互等關系。例如，以ab為矩軸，可得： 同理： ?zx= ?xz ?xy = ?yx 可以證明：在物體的任意一點，如果已知?x 、?y 、?z、 ?yz、 ?zx 、?xy就可求得經(jīng)過該點的任意截面上的正應力和剪應力。因此，六個分量可以完全確定該點的應力狀態(tài)。（3）形變：就是形狀的改變，可以

17、歸結為長度和角度的改變。　　為了分析物體在某一點的形態(tài)狀態(tài)，在這一點沿著坐標軸 x, y ,z的正方向取三個微小的線段PA，PB，PC。物體變形后，三個線段的長度及它們之間的角度都將改變。,彈性力學中的基本概念,各線段的每個單位長度的伸縮，即單位伸縮或相對伸縮稱為正應變，各線段之間直角的改變，用弧度表示，稱為剪應變，分別用?x , ?xz表示。 正應變以伸長時為正，縮短是為正。 剪應變以直角變小

18、時為正，變大時為負。 可以證明，物體任意一點，如果已知了六個應變分量?x , ?y , ?z , ?yz, ?zx , ?xy 就可以求得經(jīng)過該點的任意線段的正應變，也可以求得經(jīng)過該點的任意兩個線段之間角度的改變。因此，這六個應變，稱為該點的形變分量，可以完全確定該點的形態(tài)狀態(tài)。,彈性力學中的基本概念,（4）位移：就是位置的移動，物體內任意一點的位移，用它在x，y，z三軸上的投影u，v，w來表示，它們沿坐標軸的正向為

19、正，負向為負。這三個投影稱為該點的位移分量，因次是長度。 一般而言，彈性體內任意一點的體力分量，面力分量，應力分量，形變分量和位移分量，都是隨著該點的位置而變的，因而都是位置坐標的函數(shù)。 在彈性力學的問題里，通常已知物體的形狀和大小，（即已知物體的邊界），物體的彈性常數(shù)，物體所受的力，物體邊界上的約束情況或面力，而應力分量，形變分量和位移分量則是需求解的。,彈性力學中的基本概念,彈性力學中的基本概念,為了由

20、彈性力學中的已知量求出未知量，必須建立這些已知量與未知量之間的關系，以及個未知量之間的關系，從而倒出一套求解的方程。 在倒出方程時，可以從三個方面來分析： 1 靜力學方面，建立應力，體力，面力之間的關系 2 幾何學方面，建立位移，形變，邊界位移之間的關系 3 物理學方面，建立形變，應力之間的關系,平面問題的基本理論,３.１平面應力問題與平面應變問題３.２平衡微分方程３.３平面問題中的點

21、的應力狀態(tài)３.４幾何方程與剛體位移３.５物理方程３.６邊界條件與圣維南原理３.７總結,平面應力問題與平面應變問題,任何一個彈性體都是空間的物體，一般的外力都是空間力系。但如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并承受特殊的外力，就可以向空間問題簡化成近似的平面問題，這樣處理分析和計算工作量將大為減少，而所的成果卻仍然可以滿足工程上的精確度的要求。,（1）平面應力問題　　設有很薄的等厚度板，受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力。如

22、，平板壩的平板支墩,,平面應力問題與平面應變問題,平面應力問題與平面應變問題,設板的厚度為t，以薄板的中面為xy面，因為板面上(z=?t/2)不受力，所以有　(?z)z=?t/2=0 , (?zx)z=?t/2=0 , (?zy)z=?t/2=0 ? ?y=0, ?zx=0, ?zy =0 　六個獨立? ?x ， ?y ， ?xy = ?yx 　3個且只是x，y的函數(shù)，不隨z而變化,,（2）平面應變問題

23、 與上相反，設有很長的柱形體，受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力。 假設該物體為無限長，可以以任意橫截面為 x 軸，則所有的量都不沿 　　　　　　z 變化，而只是 x , y 的函數(shù)，只有 x , y 的位移而 z 向位移為 0，因為所有個點的位移矢都平行于 xy 面，稱為平面位移問題，但習慣上稱為平面應變問題。,平面應力問題與平面應變問題,由對稱性?zx=0 , ?zy =0 剪應力

24、互等 ?xz=0 , ?yz =0 但由于 z 方向伸縮被阻止，?z 一般不等于零。,平面應力問題與平面應變問題,,,平面應力問題與平面應變問題,從靜力學角度出發(fā)介紹應力分量與體力分量之間的關系式即平衡微分方程見圖：,通過中心 C 并平行于 z 軸的直線為矩軸 以 x 軸為投影軸 以 y 軸為投影軸說明：（1）三個未

25、知數(shù) （2）平面應變問題中， ?z 不影響方程的建立，同樣適用,平面應力問題與平面應變問題,平面問題中的點的應力狀態(tài),繼續(xù)考慮平面問題的靜力學方面，假定已知任一點 P出的應力分量 ?x ， ?y ， ?xy = ?yx ，求出經(jīng)過該點的平行于 z 軸而傾斜 z 于軸，y 軸的任何斜面上的應力。,平面問題中的點的應力狀態(tài),取平面ＡＢ，當?ＡＢ??平面ＡＢ上的應力就成為Ｐ點斜面的應力Ｎ代表斜面ＡＢ的外法線方向，其方

26、向余弦為： cos(N,x)= l , cos(N,y)= m(1)設斜面長度為ds，lds，mds ½?lds?mds= ?PAB由 ?Fx=0 ?XN=l ?x +m ?xy ?Fy=0 ?YN=m?y +l ?xy(2)正應力?N ，剪應力為?N投影關系可得： ?N = l XN +m YN = l 2?z +m 2 ?y +2lm ?xy

27、 ?N = l YN –m YN = lm(?y –?x)+(l 2 –m 2 ) ?xy,如果已知 點處的應力分量 ?x ， ?y ， ?xy 就可以求出任意斜面上的正應力 ?N，剪應力 ?N 。 設經(jīng)過 P 點的某一斜面上的剪應力等于零，則該斜面上的正應力稱為 P 點上的一個主應力，而該斜面稱為P 點的一應力主面，該斜面的法線方向（即主應力的方向）

28、稱為 P 點的一個應力主向。 主應力經(jīng)推導可得出：,平面問題中的點的應力狀態(tài),而?1與x軸的夾角為 ?1 ，則 ?2與x軸的夾角為?2， ?1與?2互相垂直 同時兩個主應力也就是最大最小的正應力。 最大最小的剪應力 發(fā)生在x軸與y軸成45度的斜面上。,平面問題中的點的應力狀態(tài),幾何方程與剛體位移,現(xiàn)從幾何學方面考慮平面問題，介紹形變分量與位移分量之間的

29、關系式， 即幾何方程。 PA=dx　　 PB=dy　　P, A, B?Ｐ’, A ’, B ’,幾何方程與剛體位移,PA的正應變　　　　　　　　　　不考慮y向位移v引起的PA伸縮。同理PB的正應變　　　　　　　　　PA與PB間直角的改變，即剪應變：?xy由兩部分組成　　 (1)由y向位移v引起的，即x向PA的轉角　　(2)由x向位移u引起的，即y向PB的轉角,幾何方程與剛體位移,?，?減小為正　　　

30、　?剪應變　　則上式為幾何方程：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平動，轉動,,由上式可知：位移分量完全確定時，形變分量完全確定，反之則不成立。其原因是存在與形變無關的位移，因此必然是剛體位移。 既然物體在形變?yōu)榱銜r可以有剛體位移，可見，當物體發(fā)生一定形變時，由約束條件的不同，它可能有不同的剛體位移，因而它的位移并不是完全確定的。在平面問題中，存在兩個剛體位移，一個轉動位移。因而為了完全確定位移

31、，就必須有三個適當?shù)募s束條件來確定這三個常數(shù)。,幾何方程與剛體位移,物理方程,物理學方面，介紹形變分量與應力分量之間的關系式，即物理方程。 其中： Ｅ ——彈性模量（拉壓） Ｇ——彈性模量（剪切） ?——泊松常數(shù)（泊松比）,,在應變問題中

32、 如將 即可得相同方程,物理方程,以上我們介紹了 8 個方程，可當作平面問題中的基本方程。 2 個平衡微分方程 3 個幾何方程 3 個物理方程 集中包含 8 個未知數(shù)： 應力：3 個

33、 形變：3 個 位移：2 個 因此在適當?shù)倪吔鐥l件下，從基本方程中求解未知函數(shù)是可能的。,物理方程,邊界條件與圣維南原理,邊界 位移邊界： 應力邊界： 混合邊界：既有位

34、移，又有應力,邊界條件與圣維南原理,前提： （1）求解彈力問題時，使應力分量，形變分量，位移分量完全滿足 基本方程并不困難，但使邊界條件得到完全滿足卻有很大困難。 （2）在實際問題中，在物體的一小部分邊界上，僅知道面力的合力，而面力分部方式不明確，無從考慮邊界條件。 因而，圣維南原理指出：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換成為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對同一點的主矩也相同）

35、那麼近處的應力分布將顯著的改變，但遠處所受的影響可以不計。,邊界條件與圣維南原理,圣維南原理也可陳述成：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢及主矩都等于零），那麼，這個面力就只會使得近處產(chǎn)生顯著的應力，而遠處的應力可以不計。,邊界條件與圣維南原理,總 結,（1）有限元的基本概念（2）彈性力學的基本假定，基本概念與基本方程,平面問題的有限元法,４.１引言４.２位移函數(shù)４.２.１位移函數(shù)的一般形式４.２.２三節(jié)點三角形單

36、元的位移函數(shù)４.２.３位移函數(shù)及其性質４.２.４位移函數(shù)與解的收斂性４.３單元剛度方程４.３.１基本方法４.３.２三角形平面單元的單元剛度矩陣４.３.３單元剛度矩陣的性質,平面問題的有限元法,４.４載荷移置與等效節(jié)點載荷４.４.１非節(jié)點載荷的移置４.４.２載荷移置的普遍公式４.４.３載荷移置舉例４.４.４，２.４.５（自學）４.５結構剛度方程４.５.１集合的基本原則４.５.２結構剛度的建立４.５.３形成總剛的

37、常用方法４.５.４總剛的性質及其應用,平面問題的有限元法,４.６位移邊界條件的處理４.６.１總剛的奇異性４.６.２處理位移邊界條件的常用方法４.７應力計算４.７.１基本公式４.７.２變溫應力的計算４.７.３應力的表示方法４.７.４主應力和主方向４.８解題示例與公式推廣４.８.１解題示例,平面問題的有限元法,４.８.２位移型有限元法求解線彈性靜力問題的普遍公式４.９斜邊界問題的處理４.１０六節(jié)點三角形單元,引　言,

38、一　為什么先進行平面問題的有限元法：１.平面問題的有限元分析較簡單，具有典型性２.在工程應用中有其實際意義，主要表現(xiàn)在在滿足工程精度的要求下，降低問題的復雜性，提高分析問題的效率。３.平面問題的有限元分析是今后進一步分析軸對稱問題，三維問題及板殼問題的基礎。從平面問題的有限元法分析入手，可有利于有限元基本概念、方法、理論的理解與掌握。,引　言,二　選用的單元類型及特點　　進行平面問題研究時，選用三角形單元較簡單。三節(jié)點的三

39、角形單元又是最簡單而又被廣泛采用的一種單元類型?！　∮捎谠谄矫鎲栴}分析中，結構發(fā)生的是平面變形，三角形的三個節(jié)點可以看作是平面鉸，每個節(jié)點具有兩個自由度，這樣共有３個節(jié)點６個自由度，如果節(jié)點位移或其中某一個分量為零時，可在該節(jié)點處設置一個平面鉸支座或連桿支座，以限制其位移。由三角單元離散的結構是由三角形單元的節(jié)點鉸接而成的。,引　言,三　三角形單元的網(wǎng)格剖分原則１.各節(jié)點必須相連。如圖所示中（a）是正確的，而（b）是錯誤

40、的。,引　言,２.三角形單元不能奇異，也就是三角形單元中的三個邊長不能相差太大，或者有過大的鈍角或過小的銳角，如圖示,引　言,３.單元的大小，數(shù)目取決于計算精度的要求和計算容量的限制　　分網(wǎng)時首先要滿足計算精度的要求，同時可利用結構的對稱性，循環(huán)對稱性的特點，從厚結構中取出一部分進行分析，或者對有應力集中的構件，采用疏密不同的網(wǎng)格剖分。也可以采用子結構法。,引　言,４.同一單元內的結構，幾何特性與材料特性相同，也就是不要把厚度

41、不同或材料不同的區(qū)域劃分在同一個單元里。,引　言,四　節(jié)點編號的約定１.節(jié)點編號分為局部節(jié)點編號和總體節(jié)點編號兩種　　如下圖中的矩形，分為５個節(jié)點，４個單元，其中１，２，３，４，５為總體節(jié)點編號。而對于任一單元 ? 中，２，５，３為局部節(jié)點編號，在公式推導中用i，j，m編號我們約定其為逆時針順序。這主要是因為要保證用i，j，m節(jié)點計算的單元面積為正值，如下圖：,引　言,２.相鄰節(jié)點號的差值要盡可能小。如圖

42、 最大差值為5 最大差值為4,引　言,五　三角形單元劃分的示例,位移函數(shù),結構離散化后，要對單元進行力學特性分析，也就是確定單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系，這時就需要把單元內的任一點的位移分量表示成坐標的某種函數(shù)。這種函數(shù)就叫位移函數(shù)。,位移函數(shù),位移函數(shù)的一般介紹１.定義：把單元中任一點的位移分量與坐標的函數(shù)關系叫位移函數(shù)或叫位移模式。,位移函數(shù),２.選

43、擇位移函數(shù)的原因（１）決定了單元的力學特性。（意義）（２）反映了單元的位移形態(tài)。（物理意義）（３）它是利用位移法求解問題的開始。（基礎）,位移函數(shù),３.位移函數(shù)必須具備的條件（１）在節(jié)點上的值應等于節(jié)點的位移（２）所采用的函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實解,位移函數(shù)的一般形式,位移函數(shù)一般為多項式形式，這樣處理是從兩方面出發(fā)的（１）進行數(shù)學運算（如微分，積分）較簡單（２）任意階次的多項式可以近似地表示精確解，其一般形式為：

44、　u=u(x,y)=?1+ ? 2x+ ?3y + ? 4x2+ ?5xy + ? 6y2 + … + ? myn　v= v(x,y)=?m+1+ ? m+2x+ … + ?2myn　　 （２-１）式中: ,其中?1 …?２m為待定系數(shù)。式中的?也稱為廣義坐標，這種描述方式又稱為廣義坐標形式。

45、（一維形式多項式u(x)=?1+ ? 2x+ ? ３x2+ … + ? n＋１xn）,位移函數(shù)的一般形式,（２-１）式也可以參照帕斯卡三角形來確定,三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù),１.位移函數(shù)形式就是最簡單的情況而言，可以選取位移為坐標的線性函數(shù)形式，也就是：　　　u(x,y)=?1+ ? 2x+ ?3y　　　v(x,y)=?4+ ? 5x+ ?6y （２-２）　　對于圖２.５中的三角

46、形單元，為了確定（２-２）式中的待定系數(shù)?1??6，可以將節(jié)點i，j，m的位移值及坐標值代入上式，得到方程組：　　　u１=?1+ ? 2xi+ ?3yi　　　u１=?1+ ? 2xi+ ?3yi　　　　　　　（ i=i，j，m） （２-３）式中　ui ， vi——節(jié)點位移　 xi ， yi——節(jié)點坐標,三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù),這是一個一階線性方程組，在求解之前，回顧一下來克姆法則,三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù),２.克來姆法

47、則　設有一線性方程組：　　　a11x1+ a12x2 +…+ a1nxn =b1 a21x1+ a22x2 +…+ a2nxn =b2　　　…………　　　an1x1+ an2x2 +…+ annxn =bn （a11 ?ann系數(shù)）　當其系數(shù)行列式　不等于零時　 上述的方程組有唯一解： （j＝１，２…n）　

48、　其中　是將Ａ中第j列元素替換為右端項而得到的行列式,三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù),３.待定系數(shù)?1… ?６的求解　如果用節(jié)點位移（ui, vi）,（uj, vj）,（um, vm）及節(jié)點坐標（xi, yi）,（xi, yi）,（xi, yi）代入（2-3）式可以得到： ui=?1+ ?2xi+ ?3yi uj=?1+ ?2xj+ ?3yj um=?1+ ?2xm+ ?3ym vi=?1+ ?2

49、xi+ ?3yi vj=?1+ ?2xj+ ?3yj vm=?1+ ?2xm+ ?3ym,三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù),由克來姆法則可知：當2 ??0，上述方程有唯一解：,三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù),為了描述方便，引入系數(shù) ai= xj ym - xmyj bi= yj - ym ci= -xj + xm aj= xmyi - xi ym

50、 bj= ym - yi cj= -xm + xi am= xi yj - xj yj bm= yi - yj cm= -xi + xj,三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù),代入上式后可以得到,三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù),另外，由解析幾何知識可以知道?等于三角形i,j,m的面積，為了使面積不出現(xiàn)定值，我們規(guī)定i,j,m順序必須按照逆時針方向排列。,三節(jié)點

51、三角形單元的位移函數(shù),４.位移函數(shù)的插值函數(shù)形式假設這樣一個函數(shù)：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(i=i , j , m)代入（２-３）式后可得　　　u=Ｎiui +Ｎjuj+Ｎmum 　　　v=Ｎivi +Ｎjvj+Ｎmvm 式中：Ｎi，Ｎj ，Ｎm被稱為單元的形狀函數(shù)，簡稱形函數(shù)或插值函數(shù)。,三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù),把（２-６）式寫成矩陣形式：簡寫為：f= N?e　　　　　　　　　

52、　　　　　 （２-８）,三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù),式中的矩陣Ｎ反映了單元的位移形態(tài)，又是坐標的函數(shù)，我們稱之為形函數(shù)矩陣，這種描述方式稱為位移函數(shù)的插值函數(shù)形式?！　⊥ㄟ^上面的推導，我們得到了兩種形式的位移函數(shù)， （２-８）（２-２）后一種描述更簡單，更直觀，通常采用。這樣我們就建立了單元中任一點的位移和單元節(jié)點位移之間的關系。,位移函數(shù)及其性質,當節(jié)點位移一定時，單元形態(tài)完全決定于Ｎi，Ｎj ，Ｎm這時形函數(shù)就具有如下的性

53、質：　?。?形函數(shù)Ｎi在節(jié)點i處的值為１，而在其他兩個節(jié)點（j，m）處的值為零。　　即：?。蝘 （xi ，yi ）=1 而Ｎi （xj ，yj ）=Ｎi （xm ，ym ）=0同樣的　Ｎj （xi ，yi ）=0 Ｎj （xj，yj ）=1 Ｎi （xm ，ym ）=0 ?。蝝 （xi ，yi ）=0 Ｎm （xj，yj ）=0 Ｎm （xm ，ym ）=1,位移函數(shù)及其性質,２.在單元

54、任一節(jié)點處，三個形函數(shù)之和等于１。證明如下：　 Ｎi（x，y）+Ｎj（x，y）+Ｎm（x，y） = （ai+ bix+ ciy+ aj+ bjx+ cjy+am+ bmx+ cmy）／（２ ?） =[（ ai + aj + am ）+ （ bi + bj + bm ）x+ （ ci + cj + cm ）y]／（２ ?） =（ ２ ?+0+0）/ （２ ?） =1此外，形函數(shù)與位移函數(shù)是同樣類

55、型的函數(shù)。如：位移函數(shù)　　u=?1+ ?2x+ ?3y　　　　形函數(shù)　　?。蝘=（ ai + bix + ciy）／（２ ?）,位移函數(shù)與解的收斂性,選擇位移函數(shù)時，為保證有限元法的收斂性，必須滿足以下４個條件：１.位移函數(shù)必須包含單元的常量應變２.位移函數(shù)必須包含單元的剛體位移３.位移函數(shù)在單元內部必須是連續(xù)函數(shù)（連續(xù)性要求）４.位移函數(shù)應使得相鄰單元間的位移協(xié)調（保續(xù)性要求）　　上述四個條件中，若全部滿足，這樣的位移

56、函數(shù)構成的單元稱為協(xié)調單元，若只滿足前三條，則稱為非協(xié)調單元,位移函數(shù)與解的收斂性,下面我們用以下四個條件來考察三角形常應變單元的位移函數(shù)（１）由?=[?x , ?y , ?xy]T =[?2 , ?6 , ?5 + ?3] T 　　因?2 , ?6 , ?5 + ?3都是常數(shù)，與某坐標無關，因此含有常應變項（２）將位移函數(shù)可改寫成,位移函數(shù)與解的收斂性,當發(fā)生剛體位移時： ?x = ?x = ?xy =0　也就是　

57、　?2 = ?6 = ?5 + ?3 = 0　　這時：　　其中u0　, v0為平動位移分量。　　?0為單元繞垂直于x，y平面的軸線作剛體轉動時的角位移，它表示了剛體位移。,位移函數(shù)與解的收斂性,（３）位移函數(shù)（２-２）或是x，y的單值連續(xù)函數(shù)，故滿足連續(xù)性要求。（４）位移函數(shù)（２-２）式是線性函數(shù)，由于相鄰單元在公共節(jié)點處的位移值相等，而通過兩個節(jié)點可以連成一直線，其連線上的位移相同，因此邊界上各點的位移是連續(xù)的

58、，不會出現(xiàn)：綜上所述，三角形常應變單元屬于協(xié)調元,單元剛度方程,對單元進行力學特性分析目的在于確定單元節(jié)點力與節(jié)點位移的關系，并稱之為單元剛度方程：Ｋe ?e =Ｆe　　式中：Ｒe ， ?e ——單元節(jié)點力及節(jié)點位移列陣　　　　　Ｋe ——單元剛度矩陣,基本方法,基本方法,建立上述方程時可采用的方法（１）直接剛度法（２）虛位移原理或最小勢能原理——位移型有限元（３）余虛功原理或最小余能原理——力法有限元（４）變分

59、法（非結構問題）,基本方法,單元特性分析的步驟（１）假設位移函數(shù)（２）建立應力，應變與節(jié)點位移間的關系（３）由能量原理，建立單元節(jié)點力與節(jié)點位移間的關系（４）得到單元剛陣,三角形平面單元的單元剛度矩陣,（１）上節(jié)的知識可以知道位移函數(shù)為：　　　　　　u=Ｎiui +Ｎjuj+Ｎmum 　　　v=Ｎivi +Ｎjvj+Ｎmvm式中　Ｎi=（ ai + bix + ciy）／（２ ?）?。╥=i,j,m）（２）應力應變與

60、節(jié)點位移的關系對三節(jié)點三角形單元，節(jié)點位移　　　?e =[ui , vi , uj , vj , um , vm]T　　　Fe =[Fix , Fiy , Fjx , Fjy , Fmx , Fmy]T,三角形平面單元的單元剛度矩陣,由彈力知識可知，幾何方程為：,三角形平面單元的單元剛度矩陣,令：Ｂ=[Bi , Bj , Bm]且　　　　　　　　　 （i=i,j,m）方程可簡寫為： ?= Ｂ?e,三角形平面單元的單元剛度矩

61、陣,我們稱Ｂ——單元的幾何矩陣，其物理意義反映了單元任一點的應變與單元位移之間的關系。　　對于一個給定的單元，節(jié)點坐標一定，系數(shù)bi，ci也隨之確定， ?也為常數(shù)，所以幾何矩陣為常量矩陣，這也證明３節(jié)點三角形單元是一種常應變單元?！　∮蓮椥岳碚撝嘘P于平面問題的物理方程可知，當不考慮變溫影響時，單元中任一點的應力?為:　　 ? =D?式中Ｄ為彈性矩陣，反映了單元材料方面的特性。,三角形平面單元的單元剛度矩陣,由上面

62、應變與節(jié)點位移之間的關系代入后可得　　　? = D? = DB?e若令S= DB　則? = S?e式中，S——稱為單元的應力矩陣　　物理意義：反映了單元中任一點的應力與節(jié)點位移之間的關系，對于３節(jié)點三角形單元D，B為常量矩陣， S也為常量矩陣，這種常應變單元，也是一種常應力單元，回顧一下，平面應力問題：,三角形平面單元的單元剛度矩陣,而對于平面應變問題如果采用：　　　　　　　　　　　代入,三角形平面單元的單元

63、剛度矩陣,兩種問題具有相同的描述形式，只是對材料的彈性模量與泊松比進行相應的代換，則在計算中可以采用同樣形式的彈性矩陣。（３）單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系　　在位移型有限元法中，對單元的力學特性分析，最終是需要建立節(jié)點位移和節(jié)點力之間的關系，也就是確定單元的剛度矩陣。應用虛位移原理來建立這種關系式?！　≡O某單元發(fā)生一虛位移，則該單元各節(jié)點上的虛位移為?＊e ，相應地單元內任一點處的虛應變?yōu)椋??＊。根據(jù)?與?間的關系有：

64、　　 ?＊ =B ?＊e,三角形平面單元的單元剛度矩陣,這時單元體在節(jié)點力作用下處于平衡狀態(tài)，根據(jù)虛位移原理，當虛位移發(fā)生時節(jié)點力在虛位移上所做的功等于單元的虛應變能，即：式中：Ｖe為單元的體積，上式稱為單元的虛功方程。把? = DB?e和?＊ =B ?＊e代入上式得由于節(jié)點位移?e及節(jié)點虛位移?＊e均為常量，提出積分外，有：,三角形平面單元的單元剛度矩陣,進一步可得：令：　　　　　　　則上式可寫為　　求得了我們

65、所要的形式的方程，稱之為單元剛度方程，式中的Ｋe稱為單元的剛度矩陣，反映了節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系?！　⊥瑯樱刹捎米钚菽茉韥斫卧?jié)點力與節(jié)點位移的關系式。　　我們得到的單元剛度矩陣Ｋe是普遍公式，適用于各種類型的單元，對于三角形常應變單元的具體表達式，顯式是什么,三角形平面單元的單元剛度矩陣,（４）三角形常應變單元剛度矩陣的顯式：　　由于普遍公式中，Ｂ，Ｄ均為常量矩陣，可以提出積分符號，而dＶ是單元的微元體體積

66、且dＶ=t ?dx ?dy　　式中t為單元的厚度，同一單元，厚度t為常數(shù)，故單元體積　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ?為單元的面積）　　普遍公式就可寫為：　　為了便于計算利用B=[Bi Bj Bm]將上式展開,三角形平面單元的單元剛度矩陣,三角形平面單元的單元剛度矩陣,式中子剛陣為：Krs =t?BrTDBs （r,s= i,j,m）　　Krs是一個２?２階矩陣，因此三角形常應變單元的剛度方程為

67、６?６的方程，也就是單剛階數(shù)＝單元的自由度數(shù)?！　εc平面應力問題：　　　　將： B=[Bi Bj Bm]及　　　　　　　　　　　代入,三角形平面單元的單元剛度矩陣,（r,s= i,j,m）,三角形平面單元的單元剛度矩陣,簡寫為：相應的：,三角形平面單元的單元剛度矩陣,由上述公式可知：單剛——決定于單元的形狀，大小，方向和材料性質　　——無關單元平移或坐標軸改變,單元剛度矩陣的性質,（１）單元剛度矩陣是對稱矩陣（２

68、）單元剛度矩陣的主對角元素恒為正值（３）單剛為奇異陣（４）單元剛度僅與單元的幾何特性（Ｂ）及材料特性有關（Ｄ）而與外力無關?！　∩鲜鏊臈l性質，與桿系的單剛性質相同,載荷移置與等效節(jié)點載荷,１.由于在進行有限元分析中，單元和單元之間僅通過節(jié)點相互聯(lián)系當外載不是直接作用在節(jié)點上，那么需要將非節(jié)點載荷向節(jié)點移置，也就是　　　真實外載　（理想化）　節(jié)點上的集中載荷移置后的載荷稱之為等效節(jié)點載荷,非節(jié)點載荷移置,非節(jié)點載荷移置,２