極限存在準(zhǔn)則-兩個(gè)重要極限公式

1、2024年4月3日星期三,1,第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限,第一章,（Existence criterion for limits & Two important limits）,二、兩個(gè)重要極限,一、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則,三、內(nèi)容小結(jié),2024年4月3日星期三,2,1. 單調(diào)有界準(zhǔn)則,數(shù)列,單調(diào)增加,單調(diào)減少,準(zhǔn)則I 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,單調(diào)上升有上界數(shù)列必有極限,單調(diào)下降有下界數(shù)列必有極限,說 明:

2、(1) 在收斂數(shù)列的性質(zhì)中曾證明：收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一定收斂．,(2) 利用準(zhǔn)則Ⅰ來判定數(shù)列收斂必須同時(shí)滿足 數(shù)列單調(diào)和有界這兩個(gè)條件．,2024年4月3日星期三,3,(3) 準(zhǔn)則Ⅰ只能判定數(shù)列極限的存在性，而未給出求極限的方法．,例如，數(shù)列,，雖然有界但不單調(diào)；,，雖然是單調(diào)的，但其無界，,易知，這兩數(shù)列均發(fā)散．,數(shù)列,(4) 對(duì)于準(zhǔn)則I，,函數(shù)極限根據(jù)自變量的不同變化過程,也有類似的,準(zhǔn)則，,只是準(zhǔn)則形式上略

3、有不同.,例如，,準(zhǔn)則I′ 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào),在,的左極限,必存在．,并且有界，則,2024年4月3日星期三,4,作為準(zhǔn)則Ⅰ的應(yīng)用，我們討論一個(gè)重要極限：,首先，證,是單調(diào)的．,＝,＝,所以，數(shù)列,是單調(diào)增加的．,2024年4月3日星期三,5,顯然，,單調(diào)性的證明可證得數(shù)列,是單調(diào)增加的．設(shè)數(shù)列,由于數(shù)列,是單調(diào)增加的，,所以數(shù)列,是單調(diào)減少的.,又,其次，證,有界．,類似于,，則,則,. 綜上，根據(jù)極限存在準(zhǔn)則Ⅰ可

4、知，數(shù)列是,收斂的.,2024年4月3日星期三,6,通常用字母,來表示這個(gè)極限，即,也可以證明，當(dāng),取實(shí)數(shù)而趨于,或,時(shí)，函數(shù),的極限都存在且都等于,，即,利用變量代換，可得更一般的形式,2024年4月3日星期三,7,例1,解:,例2 求,解:,2024年4月3日星期三,8,2. 夾逼準(zhǔn)則,準(zhǔn)則II,,證:,由條件 (2) ,,當(dāng),時(shí),,當(dāng),時(shí),,令,則當(dāng),時(shí), 有,由條件 (1),即,故,,,,,2024年4月3日星期三,9,我

5、們可將準(zhǔn)則II推廣到函數(shù)的情形：,準(zhǔn)則II′,且,,注意:,準(zhǔn)則II和準(zhǔn)則II′統(tǒng)稱為夾逼準(zhǔn)則.,,.,,,的極限是容易求的,與,并且,與,關(guān)鍵是構(gòu)造出,利用夾逼準(zhǔn)則求極限,2024年4月3日星期三,10,例3,解：,由夾逼準(zhǔn)則得,2024年4月3日星期三,11,解: 利用夾逼準(zhǔn)則 .,且,由,思考題：,,,,,？,1,2,1,1,lim,2,2,2,=,ø,ö,ç,è,æ,+,+,+,

6、+,+,+,¥,®,p,p,p,n,n,n,n,n,n,L,2024年4月3日星期三,12,夾逼準(zhǔn)則不僅說明了極限存在，,而且給出了求極限的,方法．,下面利用它證明另一個(gè)重要的,圓扇形AOB的面積,證: 當(dāng),即,亦即,時(shí)，,顯然有,△AOB 的面積＜,＜△AOD的面積,,,,故有,注,極限公式：,2024年4月3日星期三,13,當(dāng),時(shí),注,2024年4月3日星期三,14,例4 求,解:,例5 求,（課本例7）

7、,解: 令,則,因此,原式,注:,利用變量代換，可得更一般的形式,2024年4月3日星期三,15,例6 求,（課本 例5）,解:,例7 求,（補(bǔ)充題）,解:,2024年4月3日星期三,16,內(nèi)容小結(jié),1. 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則,夾逼準(zhǔn)則;,單調(diào)有界準(zhǔn)則 .,2. 兩個(gè)重要極限,或,2024年4月3日星期三,17,課后練習(xí),習(xí) 題 1-6 1 （2）（4 ） 2 （2）（4）（6）

8、3（3）,思考與練習(xí),1. 填空題 ( 1～4 ),2024年4月3日星期三,18,解：,原式 =,2. 求,2024年4月3日星期三,19,3. 證明,證明：,對(duì)任一,，有,，則當(dāng),時(shí)，有,于是,,（1）當(dāng),時(shí)，,由夾逼準(zhǔn)則得,（2）當(dāng),時(shí)，,同樣有,2024年4月3日星期三,20,故極限存在，,4. 設(shè),, 且,求,解：,設(shè),則由遞推公式有,,∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,故,利用極限存在準(zhǔn)則,2024年4月3日星期三,21,證:,