數(shù)值分析課后答案（參考答案 ）

1、第一章第一章習(xí)題解答與問(wèn)題習(xí)題解答與問(wèn)題一、習(xí)題解答1設(shè)x0，x的相對(duì)誤差限為δ，求lnx的誤差。解：設(shè)x的準(zhǔn)確值為x，則有(|x–x||x|)≤δ所以e(lnx)=|lnx–lnx|=|x–x||(lnx)’|x=ξ≈(|x–x||x|)≤δ另解：e(lnx)=|lnx–lnx|=|ln(xx)|=|ln((x–xx)x)|=|ln((x–x)x1)|≤(|x–x||x|)≤δ2設(shè)x=–2.18和y=2.1200都是由準(zhǔn)確值經(jīng)四舍五入

2、而得到的近似值。求絕對(duì)誤差限ε(x)和ε(y)。解：|e(x)|=|e(–2.18)|≤0.005，|e(y)|=|e(2.1200)|≤0.00005，所以ε(x)=0.005，ε(y)=0.00005。3下近似值的絕對(duì)誤差限都是0.005，問(wèn)各近似值有幾位有效數(shù)字x1=1.38，x2=–0.0312，x3=0.00086解：根據(jù)有效數(shù)字定義，絕對(duì)誤差限不超過(guò)末位數(shù)半個(gè)單位。由題設(shè)知，x1，x2，x3有效數(shù)末位數(shù)均為小數(shù)點(diǎn)后第二位。故

3、x1具有三位有效數(shù)字，x2具有一位有效數(shù)字，x3具有零位有效數(shù)字。4已知近似數(shù)x有兩位有效數(shù)字，試求其相對(duì)誤差限。解：|er(x)|≤510–2。5設(shè)y0=28，按遞推公式y(tǒng)n=yn1–783100(n=1，2，)計(jì)算到y(tǒng)100。若取≈78327.982（五位有效數(shù)字），試問(wèn)，計(jì)算y100將有多大的誤差？解：由于初值y0=28沒(méi)有誤差，誤差是由≈78327.982所引起。記x=27.982，783?=xδ。則利用理論準(zhǔn)確成立的遞推式y(tǒng)n

4、=yn1–783100和實(shí)際計(jì)算中遞推式Y(jié)n=Yn1–x100(Y0=y0)兩式相減，得e(Yn)=Yn–yn=Yn1–yn1–(x–783)100所以，有e(Yn)=e(Yn1)–δ100利用上式求和δ?=∑∑=?=100111001)()(nnnnYeYe化簡(jiǎn)，得e(Y100)=e(Y0)–δ=δ所以，計(jì)算y100的誤差界為4100105001.05.0)(?==≤δεY6求方程x2–56x1=0的兩個(gè)根，問(wèn)要使它們具有四位有效數(shù)字

5、，D=acb42?至少1www.khdaw.com課后答案網(wǎng)（2）為了減少計(jì)算工作量，將和式作等價(jià)變換，變換后需要多少次乘法和加法。解（1）所用乘法次數(shù)：123n=n(n1)2，加法次數(shù)：[012(n–1)](n–1)=(n2)(n–1)2；（2）將和式等價(jià)變形為：∑∑==niijjiba11][所用乘法為n次，加法次數(shù)不變，仍為(n2)(n–1)2。11試構(gòu)造一個(gè)算法，對(duì)輸入的數(shù)據(jù)x0，x1，x2，，xn，以及x（均為實(shí)數(shù)），算法輸出

6、為(x–x0)(x–x1)(x–x2)(x–xn)的計(jì)算結(jié)果。解算法如下：第一步：輸入x；x0，x1，x2，，xn，M?(x–x0)；k?0；第二步：M?M(x–x0)；k?k1；第三步：判斷，若k≤n，則轉(zhuǎn)第二步；否則輸出M，結(jié)束。12利用級(jí)數(shù)公式L??=71513114π可計(jì)算出無(wú)理數(shù)π的近似值。由于交錯(cuò)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列Sn在其極限值上下擺動(dòng)，故截?cái)嗾`差將小于第一個(gè)被舍去的項(xiàng)的絕對(duì)值|an1|。試分析，為了得到級(jí)數(shù)的三位有效數(shù)字近似

7、值，應(yīng)取多少項(xiàng)求和。解由部分和∑=???=nkknkS11121)1(知，截?cái)嗾`差滿足121|4|≤?nSnπ顯然，為了得到三位有效數(shù)字的近似值，絕對(duì)誤差限應(yīng)該為0.0005=5104。只需令20001100005121=≤n所以，當(dāng)n≥1000時(shí)，部分和至少有三位有效數(shù)字。二、例題1設(shè)x1=1.21，x2=3.65，x3=9.81都具有三位有效位數(shù)，試估計(jì)數(shù)據(jù)：x1(x2x3)的誤差限。解：由于，|e(x1)|≤0.5102，|e(x

8、2)|≤0.5102，|e(x3)|≤0.5102，所以|e(x2x3)|≤102，|x1(x2x3)|≤|x1|1020.5102|x2x3|=(1.210.513.46)102=7.94102。2設(shè)計(jì)算球體V允許其相對(duì)誤差限為εr(V)=1%（或|er(V)|≤1%），問(wèn)測(cè)量球半徑R的相對(duì)誤差限εr(R)最大為多少解：由球體計(jì)算公式334RVπ=兩端取全微分，得dV=4πR2dR。故有)(4)(2ReRVeπ≈，)(3)(ReVer