三角形結(jié)構(gòu)中的一個解題系統(tǒng)-陶平生

1、奧林學(xué)堂 0571-87151959 成就夢想 1 三角形結(jié)構(gòu)中的一個解題系統(tǒng) 三角形結(jié)構(gòu)中的一個解題系統(tǒng) 陶平生 陶平生 在初等不等式的范圍內(nèi)，有許多是涉及三角形內(nèi)角函數(shù)關(guān)系的不等式。對于這類問題，傳統(tǒng)的做法通常是“化雜為弦” ，并借助正余弦定理或海倫公式將其歸結(jié)為邊的度量關(guān)系來解證。由于其變元受三角形條件約束，處理起來不甚方便。 以下從一個基本等式出發(fā)，導(dǎo)出相應(yīng)的運(yùn)算系統(tǒng)，利用“易弦為切” 的方法以及這一系統(tǒng)的特殊轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)，可以簡便

2、而有效地處理一系列三角形有關(guān)不等式的解證問題。 一、三角形中的一個運(yùn)算系統(tǒng) 一、三角形中的一個運(yùn)算系統(tǒng) 以下常設(shè)，x=cot A，y=cot B，z=cot C （或者 x= tan 2A ，y= tan 2B ，z= tan 2C ） ，其中 A、B、C 為三角形的三個內(nèi)角，則有： 1.1）x，y，z 中至少有二個正數(shù)，并且 x+y、y+z、x+z 及 x+y+z 都是正數(shù)。 事實(shí)上，當(dāng) x，y，z 表示半角的正切函數(shù)時，顯然 x，y

3、，z 都是正數(shù)。今考慮 x，y，z表示余切函數(shù)的情形，由于三角形中至少有二個銳角，即 x，y，z 中至少有二個正數(shù)，并且x+y=cot A +cot B= cossinAA+ cossinBB= sin( )sin sinA BA B? >0。同理有 y+z>0，x+z>0。又將這三式相加得 x+y+z>0。 1.2） 1 xy yz xz ? ? ? 這是由于， 在三角形 ABC 中成立等式cot A cot

4、 B + cot B cotC +cot A cotC =1， 以及 tan 2A tan 2B + tan 2B tan 2C + tan 2A tan 2C =1。 1.3） 2 1 ( )( ) x x y x z ? ? ? ? ， 2 1 ( )( ) y x y y z ? ? ? ? ， 2 1 ( )( ) z x z y z ? ? ? ?這只要將右端展開，并利用（1.2）式立即可得。 1.4）2 2 2 (1 )(1

5、 )(1 ) ( )( )( ) x y z x y y z x z ? ? ? ? ? ? ? ； 2 2 2 ( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 ) ( )( )( ) x y z y z x x z y x y y z x z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ； 2 22(1 )(1 )1x y x yz? ? ? ??，2 22(1 )(1 )1y z y zx? ? ? ??，2 22(1 )(1 )1

6、x z x zy? ? ? ??。 這只要利用（1.3）式立即可得。 1.5） 1 1 1 1x y z xyz ? ? ?（當(dāng) 0 xyz ? ） 只需將左端通分，并利用（1.2）式即可得到。 奧林學(xué)堂 0571-87151959 成就夢想 3 二、若干基本不等式 二、若干基本不等式 下面的一組不等式，對于 x，y，z 表示余切函數(shù)或半角的正切函數(shù)時均為適用。在解證其它不等式時，通常可化歸為這些情形。 2.1） 2 2 2 1 x y

7、 z ? ? ? 證： 2 2 2 1 x y z xy yz zx ? ? ? ? ? ? 2.2） 3 x y z ? ? ?證：由于 2 2 2 2 2( ) 3 x y z x y z xy yz xz ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） ，且 x y z ? ? 為正數(shù)，故3 x y z ? ? ? 。 2.3） 9 x y z xyz ? ? ?證：如果 x，y，z 中只有二個正數(shù)，則9 0 xyz ? ，而 0

8、 x y z ? ? ? ，此時結(jié)論顯然；如 x，y，z 都是正數(shù)，則因 1 xy yz xz ? ? ? ，故 1 1 1 9 xy yz xz ? ? ? ，則有 9 x y z xyz ? ? ?2.4） 39 xyz ?證：如果 x，y，z 中只有二個正數(shù)，則結(jié)論顯然；當(dāng) x，y，z 都為正數(shù)時，由于2 3 1 3 ( ) xy yz xz xyz ? ? ? ? ，所以 1 327 9 xyz ? ?2.5） 8 ( )( )

9、( ) ( ) 9 x y x z y z x y z ? ? ? ? ? ?證：( )( )( ) x y x z y z x y z xyz ? ? ? ? ? ? ?8 1 8 ( ) ( 9 ) ( ) 9 9 9 x y z x y z xyz x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?以上諸式中，等號成立的充要條件是 33 x y z ? ? ? ，即 ABC ? 為正三角形。 三、三角形中一些常規(guī)不等式的證明 三、