數學專業(yè)外文翻譯----分數階導數的兒童樂園

1、1浙江師范大學本科畢業(yè)設計(論文)外文翻譯譯文： 譯文：分數階導數的兒童樂園Marcia Kleinz , Thomas J. Osler大學數學學報（美國） ，2000 年 3 月，31 卷，第 2 期，第 82-88 頁1 引言我們都熟悉的導數的定義。通常記作1 ( ) ( ) df x D f x dx 或222 ( ) ( ) d f x D f x dx 或這些都是很容易理解的。我們同樣也熟悉一些有關導數的性質，例如 [ (

2、) ( )] ( ) ( ) D f x f y Df x Df y ? ? ? 但是像這樣的記號1/21/21/2 ( ) D ( ) d f x f x dx 或者 又代表什么意思呢？大多數的讀者之前肯定沒有遇到過導數的階數是1/2的。因為幾乎沒有任何教科書會提到它。然而，這個概念早在18世紀，Leibnitz已經開始探討。在之后的歲月里，包括L’Hospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann

3、, Fourier, Liouville等數學大家和其他一些數學家也出現過或者研究過的概念?，F在，關于“分數微積分”的文獻已經大量存在。近期關于“分數微積分”的兩本研究生教材也出版了，就是參考文獻[9]和[11]。此外，兩篇在會議上發(fā)表的論文[7]和[14]也被收錄。Wheeler在文獻[15]已編制了一些可讀性較強，較易理解的資料，雖然這些都還沒有正式出版。本論文的目的是想用一種親和的口吻去介紹分數階微積分。而不是像平常教科書里面的從

4、定義-引理-定理的方法介紹它。我們尋找了一個新的想法去介紹分數階導數。首先我們從熟悉的 n 階導數的例子開始，比如 Dn ax n ax e a e ? 。然后用其他數字取代自然數字 n。這種方式，感覺像是偵探一樣，步步深入。我們將尋求蘊含在這個構思里面的數學結構。我們在探討了各種思路，對分數階導數的概念后，才對分數階導數給出正式定義。 （如果想快速瀏覽它的正式定義，請參見米勒的優(yōu)秀論文，參考文獻[8]。 ）隨著探究的深入，我們會不時地

5、讓讀者去思考一些問題。對這些問題的答案將在本文的最后一節(jié)呈現。那到底什么是一個分數階導數呢？讓我們一起來看看吧……2 指數函數的分數階導數我們將首先研究指數函數ax e 的導數。因為他們導數的形式，比較容易推廣。我們熟悉ax e 的導數的表達式。1 2 2 3 3 , , ax ax ax ax ax ax D e ae D e a e D e a e ? ? ? ，在一般情況下，當 n 為整數時，n ax n ax D e a e ?

6、 。那么我們能不能用 1/2 取代 n，并記作1/2 1/2 ax ax D e a e ? 呢？我們何不嘗試一下？為什么不更進一步，讓 n 是一個無理數或者復數比如 1+i？9得到( /2) cos( ) sin( ) 2 2ix ix i ix D e i e e e x i x ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?，這與（2）式是吻合的。問題問題 5： sin( ) D ax ?是什么？4p x 的導數我們現在看看 x

7、 次方的導數。我們以p x 為例有：0 1 2 , , ( 1) , ,( 1)( 2) ( 1) . (3)p p p p p pn p p nD x x D x px D x p p xD x p p p p n x ?? ? ? ?? ? ? ? ???表達式（3）用連乘 的分子和分母去替換，則得到結果如下 ( )! p n ?( 1)( 2) ( 1)( )( 1) 1 ! (4) ( )( 1) 1 ( )!p p n p n

8、 p p p p n p n p n p x x x p n p n p n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??上式就是 的一般表達式。我們通過伽瑪函數，用任意數? 替換正整數 n。當（4）式中 n p D x的 p 和 n 是不是自然數時，伽瑪函數使他們在替換后任然有意義。伽馬函數是歐拉在 18 世紀引進的概念。當時是推廣記號 ，當 z 不是整數時。它的定義是 ，它具有 ! z 10( ) d t z z

9、 e t t?? ? ? ? ?這樣的性質 。 ( +1) ! z z ? ?那么我們可以將表達式（4）重新寫作 這使得當 n 不是整數式， ( 1) , ( 1)n p p n p D x x p n? ? ? ? ? ? ?（4）式還是有意義的。所以對于任意的? ，我們寫作( 1) (5) ( 1)p p p D x x p? ??? ? ? ? ? ? ?利用（5）式，我們可以將分數階導數延伸到很多的函數。因為對于任意給定的函數，