廣義BBM-Burgers-Ginzburg-Landau方程的Cauchy問題.pdf

1、本文分三章:第一章為引言;第二章利用壓縮映射原理研究廣義BBM-Burgers-Ginzburg-Landau方程Cauchy問題局部廣義解的存在唯一性;第三章利用解的延拓定理證明上述Cauchy問題整體廣義解的存在唯一性,并研究整體解的衰減性質(zhì).具體情況如下:我們研究下面廣義BBM-Burgers-Ginzburg-Landau方程的Cauchy問題其中v(x,t)表示未知函數(shù), G(s),g(s),fj(s),(j=1,2,…,n)

2、,為給定的非線性函數(shù),△表示Laplace算子,α>0,β>0,γ>0,δ≠0為常數(shù),v0(x)是定義在Rn上的已知初值函數(shù).為討論簡單起見,作展縮變換v(x,t)=u(y,τ)=u(?),則方程(1)變成若記h(u)=((?)-1)u+(?)g(u),(?)=a,(?)=b,則上面的方程可寫為不失一般性,研究下列Cauchy問題其主要結(jié)果如下:定理1設(shè)s>n/2,φ(x)∈Hs(Rn),h(ξ),fj(ξ),(j=1,2,…,n),G

3、(ξ)∈Ck(R),k=[s]+1,h(0)=fj(0)=G(0)=0,(j=1,2,…,n),則問題(3),(4)存在唯一的局部廣義解其中[0,T0)是解存在的最大時(shí)間區(qū)間,同時(shí),如果則T0=∞.定理2設(shè)s>n/2,φ(x)∈Hs(Rn),h(ξ),fj(ξ),(j=1,2,…,n),G(ξ)∈Ck(R),k=[s]+1,h(0)=fj(0)=G(0)=0,(j=1,2,…,n),[0,T0)是Cauchy問題(3),(4)解存在的最

4、大時(shí)間區(qū)間,則T0<∞的充要條件是定理3(三維情形)設(shè)s>9/2,φ(x)∈Hs(R3),h(ξ),fj(ξ),(j=1,2,3),G(ξ)∈Ck(R),k=[s]+1,h(0)=fj(0)=G(0)=0,|fj(ξ)|≤C|ξ|3,(j=1,2,3),ξG(ξ)≤-C|ξ|2+λ,(λ>0,ξ∈R),h’(ξ)≥0,|h"(ξ)|≤C(1+|ξ|μ),μ>0,10μ<λ+2,其中C>0是常數(shù),則問題(3),(4)存在唯一的整體廣義解注

5、1在定理3的條件下,當(dāng)s>11/2時(shí),Cauchy問題(3),(4)存在唯一的整體古典解定理4(二維情形)設(shè)s>4,φ(x)∈Hs(R2),h(ξ),fj(ξ),(j=1,2),G(ξ)∈Ck(R),k=[s]+1,h(0)=fj(0)=C(0)=0,(j=1,2),ξG(ξ)≤0,h’(ξ)≥0,|h’(ξ)|≤C(1+|ξ|2),|G(ξ)|≤C|ξ|3,|fj(ξ)|≤C|ξ|3,(j=1,2),其中C>0是常數(shù),則問題(3),(

6、4)存在唯一的整體廣義解注2在定理4的條件下,當(dāng)s>5時(shí),Cauchy問題(3),(4)存在唯一的整體古典解定理5(一維情形)設(shè)s>7/2,φ(x)∈Hs(R),h(ξ),f(ξ),,G(ξ)∈Ck(R),k=[s]+1,h(0)=f(0)=G(0)=0,ξG(ξ)≤0,h’(ξ)≥0,則問題(3),(4)存在唯一的整體廣義解注3在定理5的條件下,當(dāng)s>9/2時(shí),Cauchy問題(3),(4)存在唯一的整體古典解定理6設(shè)n=3,s>9/

7、2,φ(x)∈Hs(Rn),h(ξ),fj(ξ),(j=1,2,…,n),G(ξ)∈Ck(R),k=[s]+1,h(0)=fj(0)=G(0)=0,|fj(ξ)|≤C|ξ|3,(j=1,2,…,n),ξG(ξ)≤-C|ξ|2+λ,(λ>0,ξ∈R),G’(ξ)≤-B<0,h’(ξ)≥A>0,|h"(ξ)|≤G(1+|ξ|μ),μ>0,10μ<λ+2,則問題(3),(4)的整體解具有漸近性質(zhì)其中λ=min{A+1,bB}注4在定理4(n=