量子邏輯的內(nèi)蘊拓撲.pdf

1、量子力學和相對論是二十世紀兩項最偉大的科學成就.它們的創(chuàng)立和發(fā)展不僅導致了一系列重大技術發(fā)明,而且使得人們對客觀世界的運動規(guī)律有了基本正確的革命性的理解.自上世紀九十年代以來,與量子理論相關聯(lián)的量子計算機、量子信息、量子通訊等理論和技術更是得到了迅猛發(fā)展.然而要最終實現(xiàn)有價值的量子計算、量子通訊等,不僅在實用化中存在著巨大困難,而且有的困難甚至是原理性的.從一般原則上講,這些困難的根源是量子力學的測量問題.經(jīng)典的馮·諾伊曼測量理論是將每

2、個測量看做一個Hilbert空間上的正交投影算子,從而將研究測量問題轉(zhuǎn)化為研究Hilbert空間上的正交投影算子格.但此格僅能描述可精確測量的量子現(xiàn)象.1994年,Foulis等人引進了用于描述不可精確測量現(xiàn)象的數(shù)學結(jié)構,即效應代數(shù),這是量子理論的數(shù)學公理化問題的一個重大進展.眾所周知,自從扎德創(chuàng)立不確定性數(shù)學即模糊數(shù)學以來,其思想和方法在計算機、人工智能、控制論等領域得到了重要應用.具有不精確性的效應代數(shù)理論有可能將模糊數(shù)學與量子理論

3、統(tǒng)一起來.鑒于拓撲理論在計算機科學、邏輯推理、Domain理論中的基礎性和核心性作用,本文研究了效應代數(shù)的幾類典型內(nèi)蘊拓撲的若干性質(zhì)及運算連續(xù)性問題,主要工作包括如下幾方面:
　　1.在格效應代數(shù)中,關于效應代數(shù)運算⊕和在區(qū)間拓撲下的一元連續(xù)性已經(jīng)得到證明,而⊕和的二元連續(xù)性及格運算∧和∨的連續(xù)性是否成立仍未知.我們給出例子說明在區(qū)間拓撲下效應代數(shù)運算⊕的二元連續(xù)性不成立,格運算的一元連續(xù)性也不成立.本文通過對網(wǎng)在區(qū)間拓撲下收斂的

4、刻劃,證明了在格效應代數(shù)框架下⊕和滿足二元連續(xù)性的必要條件是其上的區(qū)間拓撲是Hausdorff拓撲.同時,給出了效應代數(shù)運算和格運算滿足二元連續(xù)性的充分條件.在第二章的最后,證明了標度效應代數(shù)上區(qū)間拓撲是Hausdorff拓撲,運算⊕和關于區(qū)間拓撲是二元連續(xù)的.
　　2.在效應代數(shù)E中,網(wǎng)的序收斂與序拓撲收斂是兩個不同概念,當兩者一致且E序-連續(xù)時,該效應代數(shù)稱為是序-拓撲的.本文得到,在完備的原子格效應代數(shù)E中,下面條件等價:(

5、1)E序-連續(xù),(2)E是序-拓撲的,(3)E是完全序不連通的拓撲格,(4)E是代數(shù)的.該結(jié)論不但從代數(shù)觀點,更從拓撲角度說明了原子的格效應代數(shù)的性質(zhì)比一般格效應代數(shù)要好得多.此結(jié)果將Erne等人的工作從正交模格提升到格效應代數(shù)上.同時,本文改進了標度效應代數(shù)在序拓撲意義下的一個基本矩陣定理,擴大了該定理的應用范圍.關于格效應代數(shù)運算在序拓撲下的一元連續(xù)性已經(jīng)得到證明,而二元連續(xù)性是否成立還沒有結(jié)論.本文給出了在完備的序-連續(xù)格效應代數(shù)

6、上,運算⊕滿足二元連續(xù)性的必要條件是其上的序拓撲是Hausdorff拓撲,并舉例說明了即使在完備的布爾代數(shù)上,⊕在序拓撲下也不滿足二元連續(xù)性.同時,給出了一系列使得運算⊕和滿足二元連續(xù)性的充分條件.標準算子效應代數(shù)是效應代數(shù)的典型代表,在量子力學中有重要應用,效應代數(shù)一詞正是來源于此.標準算子效應代數(shù)上的弱算子拓撲和強算子拓撲都是及其重要的拓撲,研究它們和內(nèi)蘊拓撲的關系是一個有趣的重要內(nèi)容.本章最后研究了標準算子效應代數(shù)上的區(qū)間拓撲、序

7、拓撲、弱算子拓撲及強算子拓撲之間的關系,得到如下結(jié)果:設WOT和SOT分別是標準算子效應代數(shù)E(H)上的相對弱算子拓撲和相對強算子拓撲,τi和τo分別是E(H)上的區(qū)間拓撲和序拓撲,則τi≤WOT≤SOT≤τo.
　　3.Frink理想拓撲是偏序集理論中一類重要的內(nèi)蘊拓撲.特別地,Frink指出它是鏈上及有限鏈乘積上的一類恰當拓撲.但由于其定義的抽象性,Frink理想拓撲在效應代數(shù)上的研究遠沒有區(qū)間拓撲和序拓撲一樣廣泛、深入,甚至

8、關于⊕和的一元連續(xù)性也沒有得到證明.本文在分配格效應代數(shù)上研究了Frink理想拓撲下的運算連續(xù)性問題,通過對完全不可約理想和對偶理想的一個直觀刻劃,用非常巧妙的方法證明了運算∧和∨的二元連續(xù)性及、⊕和的一元連續(xù)性.本結(jié)果蘊含了在布爾代數(shù)上,效應代數(shù)運算⊕和在Frink理想拓撲下滿足二元連續(xù)性,而本文分別舉例說明了此結(jié)論對于區(qū)間拓撲和序拓撲都不成立.因此,我們有理由相信,在效應代數(shù)理論中,Frink理想拓撲是比區(qū)間拓撲和序拓撲更為合適的拓

9、撲.偏序集的Frink理想拓撲之Hausdodrff性是一個有趣而困難的問題,引起了眾多學者的廣泛興趣.本文給出了格效應代數(shù)上Frink理想拓撲是Hausdodrff拓撲的一個充分條件.關于序拓撲和Frink理想拓撲的關系,本文證明了如下結(jié)論:設E是完備的原子分配格效應代數(shù),則Frink理想拓撲強于序拓撲,并且下列條件等價:(1)Frink理想拓撲與序拓撲相同,(2)1是有限元,(3)E中每個元都是有限元,(4)Frink理想拓撲與序拓