?？臻g,量子不變量和拓撲弦.pdf

1、在過去的幾十年，拓撲弦理論取得了重大進展，它對數(shù)學理論的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。柘撲弦理論揭示了很多令人驚異的數(shù)學結(jié)果，通過拓撲弦理論中的“對偶性”思想，看似不同的數(shù)學理論有著密切的聯(lián)系。這篇論文分為三部分，內(nèi)容涉及曲線?？臻g的相交性理論，紐結(jié)理論中的量子不變量，以及拓撲弦理論中B-模型理論。這三個方面通過拓撲弦理論中的兩個對偶密切地聯(lián)系在一起，即鏡像對稱和Chern-Simons/拓撲弦大N對偶。
　　 拓撲弦理論有兩種類型：A

2、-模型和B-模型，他們通過鏡像對稱聯(lián)系在一起。A-模型可通過數(shù)學中的Gromov-Witten理論來嚴格定義，但B-模型在一般情形下還沒有嚴格的數(shù)學定義。這兩種模型都有對應的開弦理論，其邊界條件由D-膜來控制。在計算A-模型的Gromov-Witten不變量時用到的主要技巧是局部化方法，它將復雜?？臻g上的運算約化到更簡單的?？臻g上。Gromov-Witten不變量的計算不可避免的會涉及到曲線模空間上的Hodge積分的計算。在論文的第一章

3、，我們研究了曲線?？臻g上的相交理論，包括Hodge積分的遞歸結(jié)構(gòu)以及曲線?？臻g的相交環(huán)中自然存在的關(guān)系。
　　 當拓撲弦理論的目標空間是環(huán)簇Calabi-Yau3維流形時，Chern-Simons/拓撲弦大N對偶提供了Gromov-Witten不變量的新的計算方法。物理學家發(fā)展了拓撲頂點的粘合算法來計算環(huán)簇Calabi-Yau3維流形的Gromov-Witten不變量。其相應的數(shù)學理論是由中國數(shù)學家李俊，劉秋菊，劉克峰和周堅發(fā)展

4、起來的。Witten在Chern-Simons量子場論的框架下，通過路徑積分的辦法定義了鏈環(huán)和3維流形的量子不變量。其嚴格的數(shù)學定義是由Reshetikhin和Tureav給出。本論文的第二章將研究量子不變量的一般漸進展開計算。
　　 在前面的論述中，我們提到了拓撲弦的A-模型和B-模型可通過鏡像對稱聯(lián)系在一起。當研究拓撲弦的散射振幅在Calabi-Yau模空間的不同相點展開時，B-模型有它的優(yōu)勢。因為它不僅可以計算在大半徑極限

5、時的展開，也可以計算在非幾何點的展開，包括orbifold點和conifold點的展開。對于閉弦的情形，求解B-模型的主要辦法是求解全純反常方程組。由于全純模糊量的存在，使得求解全純反常方程方法組的有效性受到了限制，盡管在某些情形下，我們可以通過一些邊界條件來確定出這種全純模糊量。但是在開弦的情形，目前還沒有這種邊界條件來控制這些全純模糊量。近來，V.Bouchard,A.Klemm,M.Marino和S.Pasquetti發(fā)展了Eyn