四元數(shù)體在四維空間中凸正多單形體中的應(yīng)用.pdf

1、在歐氏幾何學(xué)中，有著一種極為規(guī)則的圖形，稱為正多單形體，它們在在不同的維度下有著不同的名稱：在平面上，它們被稱為正多邊形，而在三維空間中，它們被稱為正多面體。它們在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、藝術(shù)散發(fā)著無盡的魅力，吸引著人們?nèi)ヌ剿鳌Ｔ诼v史的長河中，數(shù)學(xué)家們不懈的努力也使得這一領(lǐng)域碩果累累。
　　 1795年，德國數(shù)學(xué)家C．F．Gauss是出了有名的正十七邊形的幾何作圖法，但正n邊形作圖可能的充分必要條件是邊數(shù)可以因子分解為n=2mp1…

2、pk（m≥0）的形式，而每個Pi是相異的形如22ι+1的Fermat素數(shù)。
　　 古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派曾對五種正多面體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體作過專門研究。在群論中，每種正多面體都對應(yīng)著SO3中的旋轉(zhuǎn)群的有限子群，稱為正多面體群。
　　 1752年，瑞士數(shù)學(xué)家L．Euler發(fā)現(xiàn)了三維空間中任意簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E、和面數(shù)F滿足關(guān)系式V-E+F=2，這就是著名的歐拉多面體公式。

3、r>　　 1883年，法國數(shù)學(xué)家J.H.Poincare證明，Euler公式可以推廣到更高維，其中K是n維有限單純復(fù)形；αr為r維胞腔數(shù)。在本質(zhì)上，它們是GaussBonnet公式的一種表達形式。
　　 在更高維數(shù)下，瑞士幾何學(xué)家路德維?！な┤R夫利證明了在4維空間中，有六種凸正多單形體，分別是正五胞腔體、正八胞腔體、正十六胞腔體、正二十四胞腔體和正一百二十胞腔體。而當(dāng)維數(shù)n≥5時，則只有三種，它們的邊界數(shù)分別為n+1，2n，2

4、n。
　　 1948年，英國幾何學(xué)家哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特在他的《Regular Polytope》[1]一書中，詳細講述了四維空間里的六種正多單形體（前面已列舉的正五胞腔體、正八胞腔體、正十六胞腔體、正二十四胞腔體、正一百二十胞腔體和正六百胞腔體）的性質(zhì)，并給出了正多單形體的頂點的局部坐標(biāo)。他對于坐標(biāo)的計算方法是基于代數(shù)方程及三角函數(shù)的性質(zhì)。而事實上，利用四元數(shù)體工具則可以更簡潔的解決這些問題。
　　 四元

5、數(shù)體是一種拓展復(fù)數(shù)，最早由愛爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·哈密爾頓于1843年提出，當(dāng)時，四元數(shù)體成為一種研究幾何學(xué)和物理學(xué)的重要工具，被用來描述幾何運動和電磁學(xué)的麥克斯韋方程組。
　　 在以前對四元數(shù)體的應(yīng)用中，四元數(shù)體僅僅表示出了三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換，而沒有揭示出它作為四維空間中旋轉(zhuǎn)變換的一種特倒的本質(zhì)。本文通過汁算二維子平面方向張量，及張量反射變換公式，導(dǎo)出四維空間中用四元數(shù)體表示旋轉(zhuǎn)變換的完整公式，并揭示了四元數(shù)體表示旋轉(zhuǎn)變換的赤道平

6、面與旋轉(zhuǎn)乘子的關(guān)系。
　　 本文共解決以下三個問題：
　　 1．用四元數(shù)體表示四維空間中的反射及旋轉(zhuǎn)變換。
　　 2.用四元數(shù)體計算四維空間中最復(fù)雜的兩種正多單形體的頂點坐標(biāo)。
　　 3.判斷四維空間中正一百二十胞腔體的頂點是否有作為正五胞腔體頂點的子集。
　　 下面是本文對于第一個問題給出的結(jié)果：
　　 設(shè)qυ是一個四維向量對應(yīng)的四元數(shù)體，ρ是一個二維子空間，σ是以ρ為赤道面旋轉(zhuǎn)角為θ的

7、旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)R是ρ的一個方向張量矩陣，rij是它的第i行第j列元素，滿足令則對作旋轉(zhuǎn)變換σ以后對應(yīng)的四元數(shù)體qσ（υ）的值為：相比以前用的四元數(shù)體表示三維空間的旋轉(zhuǎn)變換，這個結(jié)果可以更直接求出旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)角、軸平面及赤道平面。
　　 正一百二十胞腔體和正六百胞腔體是四維空間中最復(fù)雜的兩種凸正多單形體。它們的頂點位置關(guān)系極其復(fù)雜。本文發(fā)揮了四元數(shù)體作為一種工具，計算出它們頂點的局部坐標(biāo)，與前面計算坐標(biāo)的方法相比，減少了計算量和數(shù)

8、據(jù)存儲負擔(dān)，得劍下面結(jié)果：
　　 點集（±4，0，0，0）、（±1，±1，±1，±1）及其坐標(biāo)分量的偶排列構(gòu)成凸正多單形體{3，3，5}的120個頂點。
　　 點集及其坐標(biāo)分量的偶排列構(gòu)成凸正多單形體{5，3，3}的600個頂點。這是問題2的結(jié)果，具體的計算過程在正文中有詳述。
　　 這個結(jié)果與考克斯特的結(jié)果一致，不同的地方就是這里把所有的分?jǐn)?shù)化成了整數(shù)，有利于發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)。
　　 四維空間中的六種正多

9、單形體之間有著嵌入關(guān)系。其中正五胞腔體嵌入正一百二十胞腔體足最難以發(fā)現(xiàn)的。這個結(jié)論可以用枚舉法證明，然而由于正一百二十胞腔體的頂點數(shù)多達600個，只能程序逐個計算。但本文通過坐標(biāo)內(nèi)部的聯(lián)系及正交變換的證明了一個更強的結(jié)論，并直觀地揭示了這些頂點的相對位置關(guān)系：
　　 設(shè)RP是一個正一百二十胞腔體，V是P的一個頂點，則可以在P的頂點中找出28個頂點，等分成七組，使得每組的四個頂點與V構(gòu)成正五胞腔體的五個頂點，且從不同組里選出的點構(gòu)

10、不成正五胞腔體的頂點。這個結(jié)果不僅給了問題3肯定的回答，而且給出了具體的數(shù)量。
　　 本文的結(jié)構(gòu)如下：第一章闡述基本概念，問提的由來：第二章則是先介紹幾何學(xué)和四元數(shù)體的基本知識，然后解決第一個問題。第三章則利用第一個問題的結(jié)果解決第二個問題，并利用第二個問題的結(jié)果分析并解決第三個問題。
　　 本文最后給出利用第一個問題的結(jié)果給出四元數(shù)計算四維空間中的幾何圖形在運動中的坐標(biāo)的方法，利用這種變換，可以大大減少動畫過程中的計算