外形設(shè)計(jì)中的幾何逼近及圖形轉(zhuǎn)換技術(shù)研究.pdf

1、本文圍繞計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)領(lǐng)域中的兩類占有重要地位的圖形處理技術(shù)--幾何逼近技術(shù)以及圖形轉(zhuǎn)換技術(shù)展開深入研究。 鑒于計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中的幾何逼近問(wèn)題主要針對(duì)特定的對(duì)象,采用逼近的方法用簡(jiǎn)單易操作的曲線曲面來(lái)近似代替原對(duì)象,本文主要涉及等距逼近、PH逼近、降階逼近、合并逼近以及有理曲線多項(xiàng)式逼近。 鑒于計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中的圖形轉(zhuǎn)換主要針對(duì)圖形之間的漸變轉(zhuǎn)化或精確轉(zhuǎn)化,本文主要涉及手繪圖形從首幀變到末幀的形狀調(diào)配轉(zhuǎn)換以及

2、曲線在不同調(diào)配基函數(shù)下的互變轉(zhuǎn)換。 在系統(tǒng)地論述這兩項(xiàng)技術(shù)的內(nèi)容、特點(diǎn)、定義、研究成果的基礎(chǔ)上,本文就以下幾方面給出了創(chuàng)新的研究成果： (I)幾何逼近 (1)針對(duì)目前逼近等距曲線大多采用多項(xiàng)式形式從而導(dǎo)致逼近曲線次數(shù)過(guò)高的弊病,我們抓住曲線參數(shù)速度這個(gè)影響等距曲線精確有理化的關(guān)鍵要素,基于Jacobi最佳最小二乘逼近理論,給出了有理Bezier曲線參數(shù)速度的有理多項(xiàng)式逼近,從而進(jìn)一步導(dǎo)出了有理Bezier曲線的等

3、距曲線有理逼近的新算法.該方法保持法矢平移方向,且所得逼近曲線插值原等距曲線端點(diǎn)。 (2)針對(duì)PH曲線具有等距曲線可有理表示及曲線參數(shù)速度為多項(xiàng)式函數(shù)等良好特性,然而現(xiàn)有設(shè)計(jì)方法沒(méi)有利用曲線的幾何參數(shù),因而缺乏幾何內(nèi)在特性導(dǎo)致應(yīng)用困難的現(xiàn)狀,我們以外形設(shè)計(jì)中最常用的三次PH曲線為基本模型,提出并實(shí)現(xiàn)了基于幾何參數(shù)的一整套PH曲線的插值與逼近算法,其中基本的幾何參數(shù)包括控制多邊形前后兩個(gè)邊向量的長(zhǎng)度之比ρ及夾角θ,控制多邊形首個(gè)邊

4、向量的長(zhǎng)度L及其與首個(gè)控制頂點(diǎn)向量的夾角δ,以及曲線轉(zhuǎn)向Dir.對(duì)于一條三次PH曲線的端點(diǎn)插值,推導(dǎo)了其Bezier表示的條件方程.進(jìn)一步,對(duì)于一條非三次PH曲線的保端點(diǎn)逼近,分別給出了基于{δ,θ},{ρ,θ}以及{ρ,δ}這三種幾何參數(shù)的算法,導(dǎo)出了相應(yīng)的逼近誤差界。 (3)針對(duì)NURBS曲面由于節(jié)點(diǎn)處理困惑表達(dá)形式復(fù)雜導(dǎo)致其降階逼近研究明顯缺乏的現(xiàn)狀,我們基于NURBS曲面的顯式矩陣表示,結(jié)合Chebyshev多項(xiàng)式逼近理

5、論,提出一種NURBS曲面降階新方法.分別對(duì)一小片NURBS曲面和整張NURBS曲面進(jìn)行降多階,并導(dǎo)出了誤差界計(jì)算公式.對(duì)整張曲面降階時(shí)先分別對(duì)各小片操作,再對(duì)各片降階逼近曲面的控制頂點(diǎn)集中其下標(biāo)相重的部分做加權(quán)平均得到最終的整張降階逼近曲面.提出的算法可以一次降多階,所得NURBS降階逼近曲面具有顯式表達(dá)式,實(shí)現(xiàn)了NURBS曲面降階的最佳或近似最佳一致逼近。 (4)針對(duì)多段曲線合并為工程急需但從未有人加以研究的現(xiàn)狀,我們利用B

6、ézier曲線離散后的矩陣表示,給出不同次數(shù)的若干段子曲線可精確合并的統(tǒng)一的矩陣表示.采用廣義逆矩陣求解方法求出逼近合并曲線的控制頂點(diǎn).在合并過(guò)程中,同時(shí)考慮了合并Bézier曲線在左右端點(diǎn)處與原Bézier曲線族插值或者達(dá)到高階插值的合并。 (5)針對(duì)有理曲線多項(xiàng)式逼近的精度與速度尚不盡如人意的現(xiàn)狀,我們導(dǎo)出有理Bézier曲線多項(xiàng)式逼近的矛盾方程組,進(jìn)一步基于廣義逆矩陣?yán)碚?給出了矩陣表示的最小二乘解.結(jié)合對(duì)于由原有理曲線權(quán)

7、因子為Bézier縱標(biāo)生成的多項(xiàng)式升階,實(shí)現(xiàn)在保持多項(xiàng)式逼近曲線次數(shù)不變的同時(shí),有效地提高有理Bézier曲線的多項(xiàng)式曲線逼近的精度。 (II)圖形轉(zhuǎn)換 (1)基于藝術(shù)圖形應(yīng)用價(jià)值高、然而傳統(tǒng)手繪方法成本大的現(xiàn)實(shí),我們提出一種新的關(guān)鍵幀動(dòng)畫方法來(lái)自動(dòng)生成藝術(shù)手繪圖形系列.引入圓域B樣條曲線作為藝術(shù)手繪圖形的輪廓線模型,并對(duì)首末兩幀圓域B樣條曲線的內(nèi)在幾何特征量進(jìn)行調(diào)配.對(duì)于給定的藝術(shù)手繪圖形的首末兩幀,首先基于骨架線提取

8、技術(shù)給出其骨架線,進(jìn)一步生成其圓域B樣條曲線表示,最后通過(guò)插值首末兩幀圓域B樣條曲線的內(nèi)在量得到中間幀,從而快速有效地實(shí)現(xiàn)藝術(shù)手繪圖形的形狀調(diào)配。 (2)基于B樣條基具有標(biāo)準(zhǔn)全正性和局部支柱性,所構(gòu)造的曲線兼具保形性及形狀局部可調(diào)性的現(xiàn)實(shí),同時(shí)也基于2003年Delgado和Pena提出的另一類用標(biāo)準(zhǔn)全正基(DP-NTP基)構(gòu)造的新曲線雖具保形性及求值運(yùn)算的線性時(shí)間復(fù)雜度,但沒(méi)有形狀局部可調(diào)性的現(xiàn)實(shí),為了使它們實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ),并在