CAGD中對偶基與幾何逼近問題的應(yīng)用研究.pdf

1、計算機(jī)輔助幾何設(shè)計，簡稱CAGD(Computer Aided Geometric Design)，是隨著航空、造船、機(jī)械設(shè)計和制造等現(xiàn)代工業(yè)的蓬勃發(fā)展與計算機(jī)的出現(xiàn)而發(fā)生與發(fā)展起來的一門新興的學(xué)科。其中自由曲線、曲面造型是其重要內(nèi)容。近些年來，新的曲線不斷被提出，如Wang-Ball曲線，Said-Ball曲線，SBGB曲線，WSGB曲線和WBGB曲線等。這些曲線與CAGD中使用最為廣泛的Bezier曲線相比大多也具有端點(diǎn)切觸性，凸包

2、性，保形性等。為了實現(xiàn)不同造型系統(tǒng)或圖形系統(tǒng)的數(shù)據(jù)交換，也為了獲得不同曲線再同一系統(tǒng)中混合使用，以及進(jìn)行拼接、求導(dǎo)、繪制等幾何操作的一致性，有必要研究不同曲線之間的轉(zhuǎn)換，對偶基就是實現(xiàn)曲線在各種不同的基下相互轉(zhuǎn)換時所普遍采用的工具。曲線/曲面的逼近與表示是CAGD中的兩大基本理論問題，其中，降階逼近，等距逼近，有理曲線/曲面的多項式逼近由于直接關(guān)系到幾何設(shè)計系統(tǒng)的效率，精度，質(zhì)量和功能已經(jīng)成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。有鑒于此，本文針對對偶基和幾

3、何逼近若干問題展開了較為深入的研究，主要的研究工作及成果如下：
　　 ●在對偶基的理論和應(yīng)用方面
　　 (1)構(gòu)造了NS冪基和WBGB基的對偶基，并利用對偶基給出了NS冪基和WBGB基下的Marsden恒等式，實現(xiàn)了Bezier曲線到NS冪基曲線、WBGB曲線的轉(zhuǎn)換，為充分利用Bezier曲線和NS冪基曲線，WBGB曲線各自的優(yōu)點(diǎn)提供了理論基礎(chǔ)。
　　 (2)通過引入一組參數(shù)K，L本文進(jìn)一步研究了廣義Ball曲線

4、的統(tǒng)一表示，給出了Bezier-Said-Wang型廣義Ball曲線(BSWGB曲線)，這族曲線將Said-Ball曲線，Wang-Ball曲線，WSGB曲線，SBGB曲線和WBGB曲線統(tǒng)一的表示出來，使得上述廣義Ball曲線成為BSWGB曲線族的特例。本文還使用對偶基作為工具對BSWGB基做了進(jìn)一步的研究，推導(dǎo)出它們的對偶基公式，使得文獻(xiàn)([奚97]，[OG97]，[江04]，[Wu04]，[蔣04a]，[蔣04 b]，[JWT06]

5、，[ZWT09b])的對偶基成為本文的特例。同時也解決了實際中的兩個問題：1)推導(dǎo)出一般冪基的BSWGB基表示，也即相應(yīng)的Marsden恒等式；2)推導(dǎo)出Bernstein基到BSWGB基的轉(zhuǎn)換公式。
　　 (3)通過引入兩向量函數(shù)內(nèi)積矩陣的概念和運(yùn)算，給出了SBGB基的帶權(quán)對偶基函數(shù)的顯式表達(dá)式，并得到了它的滿足邊界約束條件的帶權(quán)對偶基函數(shù)。本文還給出了SBGB基的積分形式的對偶泛函，提出了一種用SBGB基表示的、滿足一定插值

6、條件的多項式作平方可積函數(shù)最小二乘逼近的直接解法。本文的結(jié)果包含了帶權(quán)的Bernstein基，Said-Ball基和一些中間基函數(shù)的對偶基，并使得文獻(xiàn)([Jut98]，[RA07]，[RA08])的結(jié)果成為本文的特例。這些結(jié)果對于研究SBGB基的理論和推廣它的應(yīng)用將起一定的作用。利用上述結(jié)果，可以類似討論帶權(quán)的WBGB基，WSGB基和BSWGB基的對偶基函數(shù)。作為對帶權(quán)對偶基函數(shù)的應(yīng)用，本文還針對平面Bezier曲線的等距曲線，給出了相

7、應(yīng)的逼近算法。
　　 ●在S冪基的應(yīng)用方面
　　 S冪基函數(shù)擁有著良好的數(shù)值性質(zhì)，它與Bernstein基的轉(zhuǎn)換矩陣是非病態(tài)矩陣。S冪基不僅保留了冪基函數(shù)形式簡單、易于計算的優(yōu)點(diǎn)(滿足Horner嵌套算法)，并且采用該冪基的多項式曲線的系數(shù)矢量具有明顯的幾何意義，可以作為形狀操作工具。最重要的是這種冪基曲線對曲線的兩個端點(diǎn)都能做到保端點(diǎn)高階連續(xù)，特別有利于曲線/曲面的分段表示。Sanchez-Reyes對一元S冪基做了非

8、常完備的討論，并簡要的介紹了二元S冪基。在此基礎(chǔ)上，本文詳細(xì)的討論了二元S冪基的除法運(yùn)算和求平方根運(yùn)算。作為對二元S冪基的應(yīng)用，本文還給出了張量積Bezier曲面的降階，有理Bezier曲面的多項式逼近，Bezier曲面的等距逼近的二元S冪基算法。算法表明：使用二元S冪基多項式作為工具的逼近算法復(fù)雜度低，僅僅涉及到多項式的加法，減法和乘法，并在曲面的四個角點(diǎn)保高階插值，無須添加額外的約束條件。
　　 ●在等距曲線/曲面的逼近方面

9、
　　 (1)采用帶重節(jié)點(diǎn)的“兩點(diǎn)式”Newton插值算法，得到了等距曲線的多項式逼近算法和有理逼近算法，算法在曲線的兩個端點(diǎn)保端點(diǎn)高階插值，特別適合曲線的分段表示。適當(dāng)升高多項式的階數(shù)并結(jié)合離散算法，我們可以輕松的提高逼近精度，同時在離散點(diǎn)處保高階插值。
　　 (2)采用修正的Thiele型插值算法，得到了等距曲線的有理逼近算法，并進(jìn)一步考慮了保端點(diǎn)高階插值的有理逼近算法，算法中每個系數(shù)的求解只涉及到乘法，除法運(yùn)算，算