畢業(yè)論文--基于ukf的非線性狀態(tài)估計問題研究

1、<h2>　　基于UKF的非線性狀態(tài)估計問題研究</h2><p><b>　　呂保強</b></p><p>　?。兾鲙煼洞髮W 物理學與信息技術學院 陜西 西安 710062）</p><p>　　摘 要：介紹了卡爾曼濾波器的理論，UT (Unscented Transformation) 的基本思路與基本算法、以及UKF（Uns

2、cented Kalman Filtering）的理論分析和算法。針對非線性、高精度測量的環(huán)境，文中選用了一個雷達對目標跟蹤的非線性估計的例子進行研究, 并對UKF和EKF(Extended Kalman Filtering)兩種跟蹤算法進行了仿真，比較了兩者在非線性狀態(tài)估計中的濾波性能和特點，結果表明：在強非線性高斯系統(tǒng),UKF的濾波精度要高于 EKF。</p><p>　　關鍵詞 : 卡爾曼濾波器; UT;

3、UKF；非線性；EKF</p><p><b>　　1 緒論</b></p><p><b>　　1.1 引言</b></p><p>　　在濾波器的發(fā)展過程中，早期的維納濾波器涉及到對不隨時間變化的統(tǒng)計特性的處理，即靜態(tài)處理。在這種信號處理過程中，有用信號和無用噪聲的統(tǒng)計特性可與它們的頻率特性聯(lián)系起來，因此與經(jīng)典濾波器

4、在概念上還有一定的聯(lián)系。</p><p>　　維納濾波采用頻域設計法，運算復雜，解析求解困難，整批數(shù)據(jù)處理要求存儲空間大，造成其適用范圍極其有限，僅適用于一維平穩(wěn)隨機過程信號濾波。維納濾波的缺陷促使人們尋求時域內(nèi)直接設計最優(yōu)濾波器的新方法，其中美國學者R.E.Kalman的研究最具代表性。1960年，R.E.Kalman提出了離散系統(tǒng)的Kalman濾波;次年，他又與布西 (R.5Bucy)合作，把這一濾波方法推廣

5、到連續(xù)時間系統(tǒng)中，從而形成Kalman濾波估計理論［1］。與維納濾波不同，卡爾曼濾波是對時變統(tǒng)計特性進行處理，他不是從頻域，而是從時域的角度出發(fā)來考慮問題。</p><p>　　卡爾曼濾波是屬于現(xiàn)代濾波技術的一種狀態(tài)估計手段，本質(zhì)上來講濾波就是一個信號處理與變換，去除或減弱不想要的成分，增強所需成分的過程，這個過程既可以通過硬件來實現(xiàn)，也可以通過軟件來實現(xiàn)?？柭鼮V波屬于一種軟件濾波方法，其基本思想是以最小均方誤

6、差為最佳估計準則，采用信號與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時刻的估計值和當前時刻的觀測值來更新對狀態(tài)變量的估計，求出當前時刻的估計值，根據(jù)該算法建立的系統(tǒng)方程和觀測方程對需要處理的信號做出滿足最小均方誤差的估計。</p><p>　　目前，卡爾曼濾波理論廣泛應用于航空航天、導航定位、目標跟蹤、控制等各種領域。由于實際系統(tǒng)大多數(shù)是非線性系統(tǒng)，而最初提出的卡爾曼濾波算法僅適用于線性觀測的線性系統(tǒng)。為了解決這一問題，人們

7、開始研究把卡爾曼濾波器應用到非線性系統(tǒng)中，為此Bucy等人提出了非線性條件下的EKF (Extended Kalman Filtering) ［2］。應用于非線性系統(tǒng)的EKF算法對于非線性的系統(tǒng)方程或觀測方程進行泰勒展開，并取其一階近似項。這樣做之后，不可避免地引入了線性化誤差，當線性化假設不成立時，采用這種算法會導致濾波器性能下降甚至造成發(fā)散。另外，在一般情況下計算系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測方程的Jacobian矩陣或Hessians矩陣是很

8、困難的，增加了算法的計算復雜度。為了解決EKF中存在的問題。Julier和Ohlmann提出了一種新的適合于非線性系統(tǒng)的濾波器UKF [3]。UKF是針對非線性系統(tǒng)的一種改進型卡爾曼濾波器。UKF處理非線性系統(tǒng)的基本思路在于無味變換，而無味變換從根本上講是一種描述高斯隨機變量在非線性化變換后的概率分布情況的方法。UKF認為，與其將一個非線性化變換線性化、近似化，還不如將高斯</p><p>　　準確的、穩(wěn)定的、高

9、精度的卡爾曼濾波器，是獲取系統(tǒng)狀態(tài)以及各種信息的必要條件。然而由于種種原因，正如前面所說，一般的UKF濾波器在復雜多變的環(huán)境中，現(xiàn)有的卡爾曼濾波器難以起到良好的效果。為了能夠在各種復雜環(huán)境下，使得傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器的應用領域得到延伸，人們對傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器做出了許多改進。高精度、高穩(wěn)定性的卡爾曼濾波器是實現(xiàn)控制系統(tǒng)狀態(tài)估計的關鍵技術之一，因此提高UKF濾波器的精確性、跟蹤能力具有重要意義。</p><p>　　

10、1.2本文的主要研究內(nèi)容及結構</p><p>　　本文主要針對UKF的基礎理論及其在非線性系統(tǒng)中應用做了一些研究。在介紹UKF論的基礎上，對其在跟蹤目標等方面的濾波性能進行了有益的研究。各小節(jié)的主要內(nèi)容安排如下:</p><p>　　論文的主要研究內(nèi)容如下：</p><p>　　第一部分簡述了估計理論及卡爾曼濾波理論的提出、發(fā)展及應用，以及無味變換的提出及發(fā)展過程

11、。</p><p>　　第二部分主要介紹UKF基礎理論，依次講述了隨機非線性離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波理論，并給出了擴展卡爾曼濾波器的數(shù)學模型，接著詳細介紹了UT (Unscented Transformation)的理論和算法分析，并在此基礎上詳細推導了UKF基本方程。</p><p>　　第三部分對卡爾曼濾波技術在目標跟蹤中的應用課題進行了研究。一方面，利用卡爾曼濾波良好的跟蹤性能，實現(xiàn)了對

12、目標位置的狀態(tài)估計;另一方面，從分析UKF和EKF的對目標跟蹤性能的研究，進一步歸納和分析了UKF對非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計的性能和濾波特點。</p><p>　　第四部分在前文研究的基礎上對全文內(nèi)容作了總結。</p><p>　　2 UKF的基本思想及理論研究</p><p>　　2.1 非線性狀態(tài)估計原理</p><p>　　如果對非線性系統(tǒng)

13、不作任何假設，那么最小均方誤差意義上的最優(yōu)估計為條件均值[3]</p><p><b>　?。?-1） </b></p><p>　　其中是n時刻以前的觀測序列。估計這個期望值需要知道先驗概率密度。由它不僅能夠確定最小均方誤差估計器，而且不論任何特定的性</p><p>　　能估計都能得到最優(yōu)值。而對非線性狀態(tài)濾波過程的實現(xiàn)包括一步預測與測量

14、修正兩個階段。</p><p>　　2.1.1一步預測：</p><p>　　根據(jù)所有過去時刻的測量信息對狀態(tài)作最小方差估計 （2-2） </p><p>　　狀態(tài)估計質(zhì)量的優(yōu)劣利用一步預測誤差協(xié)方差矩陣描述 </p><p>&l

15、t;b>　?。?-3）</b></p><p>　　2.1.2測量修正：</p><p>　　獲得當前時刻的測量信息后，對狀態(tài)預測值進行修正，得到狀態(tài)的最優(yōu)估計 </p><p><b>　?。?-4）</b></p><p><b>　　（2-5）</b></p>

16、<p>　　（2-6） </p><p><b>　?。?-7）</b></p&

17、gt;<p><b>　　（2-8）</b></p><p>　　描述最優(yōu)狀態(tài)估值質(zhì)量優(yōu)劣的誤差協(xié)方差陣確定如下</p><p><b>　?。?-9）</b></p><p>　　2.2非線性的卡爾曼濾波 </p><p>　　卡爾曼濾波器估計一個用線性隨機差分方程描述的離散時間過程

18、的狀態(tài)變量。但是在實際的應用中所有的系統(tǒng)都是非線性的，其中許多還是強非線性的，在非線性系中被估計的觀測變量與過程變量的關系是非線性的。這時我們可以應用非線性估計領域的經(jīng)典算法EKF [4-5,15]來處理非線性的問題，它是將期望和方差線性化的卡爾曼濾波器。</p><p>　　考慮一般的非線性系統(tǒng)，狀態(tài)方程和觀測方程可表示為:</p><p><b>　　（2-10a）</

19、b></p><p><b>　?。?-10b）</b></p><p>　　式中為維狀態(tài)向量，為維觀測向量，為維控制向量，為系統(tǒng)噪聲，且 ，為觀測噪聲，且。與相互獨立且與系統(tǒng)狀態(tài)無關，并且均可以假設為高斯白噪聲，即：均值為零，方差分別為和。</p><p>　　我們的目的就是要遞推地在每次獲得觀測量后, 估計狀態(tài)量。定義狀態(tài)量的一步預測

20、為，其它類推,則上述問題在線性最小均方誤差意義上的線性最優(yōu)估計子為:</p><p><b>　?。?-11）</b></p><p>　　其中最的最優(yōu)預測， 為的最優(yōu)預測，稱為卡爾曼濾波增益，卡爾曼濾波器使用來反映新息對估計的重要程度。完整的濾波公式如下所示：2.2.1擴展卡爾曼濾波器時間更新方程：</p><p><b>　?。?

21、-12）</b></p><p><b>　?。?-13）</b></p><p>　　就像基本的離散卡爾曼濾波器，時間更新方程將狀態(tài)和協(xié)方差估計從 時刻向前推算到時刻。和是時刻的過程雅可比矩陣，是時刻的過程激勵噪聲協(xié)方差矩陣。</p><p>　　2.2.2擴展卡爾曼濾波器狀態(tài)更新方程:</p><p>&

22、lt;b>　?。?-14）</b></p><p><b>　?。?-15）</b></p><p><b>　?。?-16）</b></p><p>　　就像基本的離散卡爾曼濾波器，上面三式中的測量更新方程利用觀測值變量的值校正狀態(tài)估計和協(xié)方差估計。和 是 時刻的測量雅可比矩陣，是中時刻的觀測噪聲協(xié)方差

23、矩陣。</p><p>　　2.2.3通過分析，EKF算法具有如下的優(yōu)點：</p><p>　　(1)未知分布的均值和協(xié)方差的獲得僅需要保存較少的信息量，但卻能支</p><p>　　持大多數(shù)的操作過程，如確定搜索目標的區(qū)域等。</p><p>　　(2)均值和協(xié)方差具有線性傳遞性。</p><p>　　(3)均值和協(xié)

24、方差估計的集合能用來表征分布的附加特征，例如重要模式</p><p><b>　　等。</b></p><p>　　正是由于以上優(yōu)點，人們?nèi)匀幌Ｍ诜蔷€性濾波方法中應用EKF線性估形式。同時，作為對非線性函數(shù)線性化所帶來的副作用，EKF濾波器的缺點也非常的明顯：</p><p>　　(1)必須滿足小擾動假設,即假設非線性方程的理論解與實際解之差

25、為小量。也就是說EKF只適合弱非線性系統(tǒng),對于強非線性系統(tǒng),該假設不成立,此時EKF濾波性能極不穩(wěn)定,甚至發(fā)散; </p><p>　　(2)必須計算Jacobian矩陣及其冪,這是一件計算復雜、極易出錯的工作。</p><p>　　(3)EKF的另外一個缺點是初始狀態(tài)不太好確定，如果假設的初始狀態(tài)和初始協(xié)方差誤差較大，也容易導致濾波器發(fā)散。</p><p>　　2

26、.3 Uscented變換（UT）</p><p>　　卡爾曼濾波方法為非線性高斯濾波提供了一種次優(yōu)的遞推式實現(xiàn)方法，它在每一步的迭代過程中均需求出隨機分布經(jīng)過非線性變換(函數(shù))后的均值和方差，其中EKF濾波方法等非線性濾波器是采用近似非線性函數(shù)的方法來求得。有別于傳統(tǒng)的實現(xiàn)方法。UT變換的主要思想是“近似概率分布要比近似非線性函數(shù)更容易”[6]，它采用具有確定性的點集Sigma點，來表征輸入狀態(tài)的分布(或部分

27、統(tǒng)計特征)，然后就是對每個Sigma點分別進行非線性變換，通過加權計算捕捉到變換后的統(tǒng)計特性[7]，它的基本步驟可概括為: 關于 x 的 σ點( sigma- point) 集的產(chǎn)生→不確定性的非線性變換與傳遞→關于 y的統(tǒng)計特性的推算。這種方法把系統(tǒng)當作“黑盒"來處理，因而不依賴于具體的非線性，也不必計算Jacobian矩陣。種方法的本質(zhì)，可以用圖2-1來表達：</p><p>　　圖2-1 siga

28、m點的非線性傳遞</p><p>　　2.3.1構造Sigma點：</p><p>　　采用對稱采樣點策略時，其所選取的 Sigma點集關于 x 的均值對稱分布。對于均值，方差為 的n維隨機變量x，產(chǎn)生2n+1個列向量（sigma）為</p><p>　　， ，

29、 </p><p>　　， （2-17）</p><p>　　其中表示矩陣的第n行向量或者列向量, 而矩陣平方根的常見求法就是用 Cholesky [8-9]分解來獲得。為尺度參數(shù)，調(diào)整它可以提高逼近精度，用這組采樣點 可以近似表示狀態(tài) x 的高斯分布。</p><p>　　2.3.2對Si

30、gma點進行非線性變換 </p><p>　　對所構造的點集 進行非線性變換，得到變換后的Sigma點集</p><p>　　i=0,1,……,2n （2-18）</p><p>　　變換后的Sigma點集 即可近似地表示的分布。</p><p>　　2.3.3計算y的均值和方差</p><p>　　

31、對變換后的Sigma點集 進行加權處理，從而得到輸出量y 的均值和方差。</p><p><b>　?。?-19）</b></p><p><b>　?。?-20）</b></p><p><b>　?。?-21）</b></p><p><b>　?。?-22）&l

32、t;/b></p><p>　　,i=1,2……,2n （2-23）</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　其中和 分別為計算的均值和方差所用加權值 ，標量是自由參數(shù)，可以用來捕捉給定分布的高階信息，對于高斯分布，考慮到4階距的統(tǒng)計量，通常的取值為?？梢宰C明，該Sigma點集的輸入變量x具有相同的均值，

33、方差和高階奇次中心距[10]。</p><p>　　在均值和方差加權中需要確定 ，和 共3個參數(shù)，它們的取值范圍分別為：確定 周圍Sigma點的分布，通常設為一個較小的正數(shù)；為第二個尺度參數(shù)，通常設置為0或3-n；為狀態(tài)分布參數(shù)，對于高斯分布 是最優(yōu)的，如果狀態(tài)變量是單變量，則最佳的選擇是。</p><p>　　2.3.4 UT變換的特點如下：</p><p>　　

34、（1）對非線性函數(shù)的概率密度分布進行近似，而不是對非線性函數(shù)進行近似，即使系統(tǒng)的模型復雜，也不增加算法實現(xiàn)的難度。</p><p>　?。?）所得到的非線性函數(shù)的統(tǒng)計量的準確性可以達到三階（泰勒展開）。</p><p>　?。?）不需要計算Jacobin矩陣，可以處理不可導非線性函數(shù)。</p><p>　　2.4 UKF濾波算法</p><p&g

35、t;　　以上討論了在一次實現(xiàn)中如何用無味變換估計隨機量經(jīng)非線性映射后的統(tǒng)計特性, 但實際中更多的是要求能夠在線、實時、 反復地進行估計, 這就涉及到無味變換的遞推實現(xiàn)——無味濾波 ( UF, Unscented Filtering ) 。無味濾波的實現(xiàn)很簡單,是將無味變換對隨機變量經(jīng)非線性映射后統(tǒng)計信息的估計嵌到其它的濾波算法中。雖然并不局限于卡爾曼濾波, 但與無味變換最常見的結合還是卡爾曼濾波, 并被稱為UKF。</p>

36、<p>　　UKF濾波方法對噪聲的處理包含擴展和非擴展兩種方式[15]，前者在系統(tǒng)模型不變的情況下，將過程噪聲和觀測噪聲隱含在系統(tǒng)中，一次迭代過程只需要產(chǎn)生一次Sigma點集，但運算量明顯增大；而非擴展法則可以簡化Sigma點的個數(shù)，濾波實時性更好，較適合于處理加性高斯噪聲[11-13]。本文主要采用非擴展形式的UKF濾波算法，對于式(2-10)描述的非線性動態(tài)系統(tǒng)，假設其狀態(tài)噪聲和觀測噪聲均為高斯白噪聲，方差分別為和，則濾

37、波過程如下：</p><p><b>　　2.4.1初始化</b></p><p>　　根據(jù)輸入變量x的統(tǒng)計量和，選擇一種Sigma點采樣策略，得到輸入變量的Sigma點集，以及相對應的均值加權值和方差加權值： </p><p><b>　?。?-24）</b></p><p>　　2.4.2 狀

38、態(tài)估計</p><p>　　(1)計算sigma點：</p><p>　　其中n為選定特定的采樣策略所產(chǎn)生的Sigma點的個數(shù)，其中均值附近的Sigma點到中心點的距離表達式將會隨著不同的采樣策略而不同：</p><p>　　i=0 （2-25）</p><p>　　i=1,2…,n （2-26）</p>

39、<p>　　i=n+1,…,2n （2-27）</p><p>　　(2)時間更新方程（預測方程）：</p><p>　　由系統(tǒng)狀態(tài)方程對各個采樣的輸入變量Sigma點集中的每一個Sigma點進</p><p>　　行非線性變換，得到變換后的Sigma點集：</p><p><b>　?。?-28）</b&g

40、t;</p><p>　　對變換后的Sigma點集進行加權處理，從而得到一步預測狀態(tài):</p><p><b>　　（2-29）</b></p><p>　　使用同樣的方法求取狀態(tài)的一步預測方差陣：</p><p><b>　?。?-30）</b></p><p>　　根據(jù)一

41、步預測值，再次使用UT變換，產(chǎn)生新的Sigma點集： </p><p><b>　?。?-31）</b></p><p>　　, i=1,2…,n （2-32）</p><p>　　, i=n+1,…,2n （2-33）</p><p

42、>　　由非線性觀測方程對Sigma點集進行非線性變換：</p><p><b>　?。?-34）</b></p><p>　　使用加權求和計算得到系統(tǒng)的預測觀測值：</p><p><b>　　（2-35）</b></p><p>　　(3)測量更新方程：</p><p&g

43、t;<b>　　計算協(xié)方差</b></p><p><b>　　（2-36）</b></p><p>　　求得系統(tǒng)量測輸出變量的方差陣：</p><p><b>　?。?-37）</b></p><p><b>　　計算濾波增益陣：</b></p&g

44、t;<p><b>　?。?-38）</b></p><p>　　得到狀態(tài)更新后的濾波值：</p><p><b>　?。?-39）</b></p><p>　　求解狀態(tài)后驗方差陣：</p><p><b>　?。?-40）</b></p><

45、p>　　從以上實現(xiàn)過程可以清楚地看出，UKF濾波方法在式(2-29)、(2-30)、</p><p>　?。?-35）、(2-36)以及(2-37)這5個均值和方差的求解上，均通過UT變換方法加權求和得到；而2.2.2小節(jié)中的擴展卡爾曼濾波方法則是對系統(tǒng)的狀態(tài)和觀測方程進行線性化求得，這便是兩者的最大不同。</p><p>　　基于該基本UKF濾波算法，還可以構造平方根UKF濾波器(

46、Square Root</p><p>　　UKF，SRUKF)[6,14]，它可以有效避免濾波誤差方差陣和一步預報誤差方差陣失去對稱性和正定性，較好地解決了計算字長不夠而導致的濾波器數(shù)值發(fā)散等問題。</p><p>　　2.4.3通過分析，UKF算法具有如下的特點：</p><p>　　(1) UKF是對非線性函數(shù)的概率密度分布進行近似，用一系列確定樣本來逼近狀態(tài)

47、的后驗概率密度，而不是對非線性函數(shù)進行近似，不需要求導計算Jacobian矩陣。</p><p>　?。?）UKF沒有線性化忽略高階項，因此非線性分布統(tǒng)計量的計算精度較高</p><p>　?。?）系統(tǒng)函數(shù)可以不連續(xù)。</p><p>　　（4）隨機狀態(tài)可以不是高斯的。</p><p>　　3 UKF對目標位置的狀態(tài)估計</p>

48、<p><b>　　3.1 問題提出</b></p><p>　　考慮一個在二維平面x-y內(nèi)運動的目標M，假設M在水平方向（x）作近似勻加速直線運動，垂直方向（y）上亦作近似勻加速直線運動。首先，在直角坐標系中建立目標運動模型，在仿真中，觀測站和目標都用質(zhì)點表示。觀測站與目標的相對位置關系如圖3-1所示：</p><p>　　圖 3-1目標運動模型<

49、/p><p>　　則在笛卡爾坐標系下該質(zhì)點的運動狀態(tài)方程為：</p><p><b>　　(3-1) </b></p><p>　　式中其在前兩個變量表示觀測站與目標之間的位置，中間兩個變量表示相對運動速度，后面兩個變量表示相對運動加速度。是系統(tǒng)動態(tài)噪聲向量，系統(tǒng)矩陣如下:</p><p>　　假設一坐標位置為（0,0）的

50、雷達在觀測站對M進行測距和測角，實際測量中雷達具有加性測量噪，則在笛卡爾極坐標系下，系統(tǒng)的觀測方程為：</p><p><b>　　(3-2)</b></p><p>　　顯然在笛卡爾坐標系下，該模型運動觀測方程為非線性的。我們根據(jù)雷達測量值使用UKF算法對目標進行跟蹤，并與EKF算法結果進行比較。</p><p><b>　　3.2

51、 問題分析</b></p><p>　　3.2.1UKF濾波跟蹤分析：</p><p>　　考慮一般的非線性系統(tǒng)，狀態(tài)方程和觀測方程可表示為：</p><p><b>　?。?-3a）</b></p><p><b>　?。?-3b）</b></p><p>　　

52、設具有協(xié)方差陣，具有協(xié)方差陣，UKF算法為（2-24）至（2-40）。</p><p>　　3.2.2 EKF算法分析：</p><p>　　對于式（2-10）討論的非線性系統(tǒng)，由于狀態(tài)方程為線性的，可以定義：</p><p><b>　?。?-4a）</b></p><p><b>　?。?-4b）</

53、b></p><p>　　由于系統(tǒng)狀態(tài)方程為線性的，則，而量測方程為非線性的，對其關于求偏導，則EKF算法為（2-12）至（2-16）。</p><p><b>　　（3-5）</b></p><p>　　3.3實驗仿真與結果分析</p><p>　　假設設系統(tǒng)噪聲具有協(xié)方差陣: </p><

54、;p>　　具有協(xié)方差陣: </p><p>　　二者是不相關。觀測次數(shù)N=50，采樣時間為t=0.5。初始狀態(tài)。則生成的運動軌跡如圖3-2所示。</p><p>　　圖3-2 M的軌跡圖</p><p>　　3.3.1 t=0.1和t=0.5時將UKF和EKF濾波結果進行比較</p><p>　　我

55、們將UKF和EKF濾波算法進行比較，如圖3-3所示。為了方便對比，我們將測量值得到的距離和角度換算到笛卡爾坐標系中得到x-y測量值，通過分別比較值t=0.1和t=0.5時的濾波值，我們可以直觀的看到UKF算法濾波結果優(yōu)于EKF算法。</p><p>　　圖3-3 濾波結果對比圖</p><p>　　3.3.2下面定量分析濾波結果</p><p>　　首先計算UKF

56、和EKF濾波值得到的位置、與該時刻的實際位置的距離、。為了定量地比較 UKF和EKF性能,我們定義一次獨立實驗的均方根誤差[15]為:</p><p><b>　　（3-6）</b></p><p>　　其中,T 表示一次實驗的時間步長, 表示時刻的估計值,表示時刻的真值。對該模型做50次蒙特卡洛仿真，得到各個測量點（時刻）的距離均方根誤差，如圖3-4所示。在各個測量

57、時刻EKF濾波的RMSE值為3.5,UKF濾波的RMSE值為2.5,由此得出UKF濾波結果優(yōu)于EKF。</p><p>　　圖3-4 t=0.5時各個測量點的距離RMSE對比圖</p><p>　　3.3.3采樣間隔t對濾波結果的影響</p><p>　　下面討論不同的采樣間隔t對濾波結果的影響。我們分別取x軸方向和y軸方向預測軌跡值的距離均方根誤差，取t=0.5

58、,1.0,1.5，得到RMSE仿真結果。如下圖所示。</p><p>　　圖3-5 采樣時間t=0.5時結果</p><p>　　圖3-6 采樣時間t=1.0時結果</p><p>　　圖 3-7 采樣時間t=1.5時結果</p><p>　　從圖3-5可以看到，在采樣間隔t不太大時（t=0.5），EKF和UKF算法均能跟蹤目標，且UKF

59、算法濾波精度優(yōu)于EKF算法。從圖3-6可以看到，當t=1.0時在x方向，EKF和UKF算法均能跟蹤目標，在y方向UKF能跟蹤目標，而EKF算法濾波發(fā)散，在圖3-7中可以看到，當t=1.5時UKF算法跟蹤精度變化不大，EKF濾波在x方向和y方向均發(fā)散。</p><p>　　3.3.4濾波協(xié)方差陣對角線比較</p><p>　　對于EKF和UKF算法，在不同的t時，我們分別取其濾波協(xié)方差陣對角

60、線的第二個元素（即y軸方向位置方差），作出位置方差變化圖如下。</p><p>　　圖3-8 不同采樣間隔的y方向位置濾波方差變化圖</p><p>　　出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因為當采樣間隔t增大時，非線性函數(shù)Taylor展開式的高階項無法忽略，EKF算法線性化（一階展開）使得系統(tǒng)產(chǎn)生較大的誤差，導致了濾波的不穩(wěn)定。由于UKF算法可以精確到二階或者三階Taylor展開項，所以這種現(xiàn)象不明顯，但是

61、當t進一步增大，尤其是跟蹤目標的狀態(tài)變化劇烈時，更高階項誤差影響不可忽略，進而UKF算法也會發(fā)散導致無法跟蹤目標。</p><p>　　3.3.5測量誤差對濾波結果的影響。</p><p>　　取采樣間隔不變，如t=0.5s，對于不同的測量誤差，分析其對EKF和UKF算法濾波結果的影響。分別取，結果如下:</p><p>　　圖8 測量誤差陣為時濾波結果</

62、p><p>　　圖3-9 測量誤差陣為時濾波結果</p><p>　　圖3-10 測量誤差陣為時濾波結果</p><p>　　由上面四張圖對比可知，當測量誤差較小時，UKF濾波精度優(yōu)于EKF；當測量誤差較大時，UKF和EKF濾波精度相差不大。</p><p>　　3.3.6實驗分析和總結：</p><p>　　綜合以上分

63、析可以看到，UKF算法對于解決非線性模型濾波問題時，相對于EKF算法，它不需要計算雅克比矩陣，具有較好的濾波精度，而且在非線性嚴重或者高階誤差引入時，會推遲或延緩濾波發(fā)散，在測量誤差較大或者采樣時間增大時，也會降低UKF的濾波精度。同時 UKF利用確定的離散采樣點直接逼近狀態(tài)的后驗概率密度, 由于不需計算量測方程的Jacobian矩陣, 實現(xiàn)也相對簡單。以上仿真表明：UKF濾波方法算法較之EKF算法在相同仿真條件下對狀態(tài)的估計更準確，定

64、位精度更高，算法對非線性系統(tǒng)的適應性更強。</p><p><b>　　4 總結</b></p><p>　　UKF是近年來興起的非線性濾波方法, 它是將無味變換對隨機量經(jīng)非線性映射后統(tǒng)計信息的估計嵌入到卡爾曼的濾波算法中。對于解決大部分問題，它是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的，因此它被廣泛應用于非線性估計領域及系統(tǒng)辨識與參數(shù)估計等領域。本論文圍繞UKF的基礎理論，對U

65、KF在非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計應用展開了研究?，F(xiàn)將本文所做工作總結如下</p><p>　　(1)回顧了卡爾曼濾波的理論基礎、發(fā)展過程及應用前景，依次講述了隨機非線性離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波理論，并給出了擴展卡爾曼濾波器的數(shù)學模型，接著詳細介紹了UT (Unscented Transformation)的理論和算法分析，并在此基礎上介紹了UKF的基礎理論并詳細推導了UKF基本方程。</p><p>

66、;　　(2)針對一個強非線性、高斯的系統(tǒng)的跟蹤問題進行仿真,將UKF和EKF兩種算法的跟蹤效果進行比較，從理論分析和實驗結果兩方面表明：UKF濾波方法算法較之EKF算法在相同仿真條件下對狀態(tài)的估計更準確，定位精度更高，算法對非線性系統(tǒng)的適應性更強。</p><p>　　(3) 由于研究時間比較短、水平有限，本文沒有從理論上深入研究UKF的建模問題和系統(tǒng)特性，也沒有對UKF的濾波算法進行改進，在今后的研究中，要改善

67、UKF算法，提高UKF濾波器的精確性、跟蹤能力。</p><p><b>　　[參考文獻]</b></p><p>　　[1]Julier S,Uhlmann J,Durrant-Whyte H F.A new methodfor the nonlinear transformation of means and covariancesin filter and es

68、timator[J].IEEE Transactions on Auto-matic Control，2000，45( 3) : 477- 482．</p><p>　　[2] R.S.Bucy and K.D. Renne.Digital Synthesis of Nonlinear Filters[J], Automatica,</p><p>　　1971，7(3)：27—28.&l

69、t;/p><p>　　[3]AlspachDL,SorensonH·W.Noulinearb,sianestimation using Gaussian Sum aPppro-</p><p>　　ximation.IEEE ans.Automat.Control，1972:439一447. </p><p>　　[4] 彭丁聰.卡爾曼濾波的基本原理及應用[J

70、]. 軟 件 導 刊,2009,8(11):31-34.</p><p>　　[5]敬喜.卡爾曼濾波器及其應用基礎 [M].北京:國防工業(yè)出版社,1973.5-47.</p><p>　　[6] 楊 宏，李亞安，李國輝.種改進擴展卡爾曼濾波新方法[J].計算機工程與應用,2010,46(19):18-20.</p><p>　　[7] S.J.Julier and

71、J.K.Uhlmann.Unscented filtering and nonlinear Estimation .Proc-</p><p>　　eedings ofthe IEEE，2004，92(3)：401--,422.</p><p>　　[8]程水英.無味變換與無味卡爾曼濾波[J].計算機工程與應用，2008,44（24）:25-35.</p><p>

72、　　[9]萬 莉,劉焰春,皮亦鳴 .EKF、UKF、P F目標跟蹤性能的比較. 雷達科學與技術[J],2007,5(1):13-16.</p><p>　　[10]喬　坤,郭朝勇,史進偉.基于卡爾曼濾波的運動人體跟蹤算法研究[J]. 計算機與數(shù)字工程,2012,267(1):1-3.</p><p>　　[11]樊紅娟.無先導卡爾曼濾波算法分析[D]. 西南大學研究生院(籌),2007&l

73、t;/p><p>　　[12]Rambabu Kandepu , Bjarne Foss, Lars Imsland.Applying the unscented Kalman filter for nonlinear state estimation[J]. ournal of Process Control,2008,9(1):1-15</p><p>　　[13]曲春曉,陳偉.卡爾曼濾波

74、在飛行器姿態(tài)獲取系統(tǒng)中的實現(xiàn). 交通信息與安全,2011,6(29):139-142.</p><p>　　[14] 錢默抒,姜 斌,杜董生,楊 浩.新型 UKF 在非線性系統(tǒng)執(zhí)行器故障估計中的應用[J]. 東南大學學報(自 然 科 學 版),2011,41(S1):120-124.</p><p>　　[15] 劉羅仁, 羅金玲.U KF 濾波器在非線性組合信號系統(tǒng)中的應用研究[J].

75、沈陽工程學院學報( 自然科學版),2009,5(4):356-358.</p><p>　　UKF based on the problem of nonlinear state estimation research LvBaoQiang</p><p>　　(College of Physics and Information Technology Shanxi Normal Uni

76、versity Xi’an 710062 Shaanxi)</p><p>　　Abstract: This paper summarized the kalman filter theory, the basic idea of UT (the Unscented Transformation) and the basic algorithm, and the UKF (Unscented Kalman F

77、iltering) theoretical analysis and algorithms. Environment for non-linear, high-precision measurement, we selected a example of radar nonlinear estimation target tracking to study, UKF and EKF of tracking algorithm (Exte

78、nded Kalman Filtering) are used to simulation, Comparing the filter performance and characteristics of both the no</p><p>　　Key words: Kalman filter; UT; UKF ;Nonlinear ; EKF.</p><p><b>　　

79、致 謝</b></p><p>　　首先我要特別感謝我的論文指導老師葛寶對我的悉心指導和嚴格要求。葛老師嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度、循循善誘的教導、淵博的學識讓我受益匪淺。葛老師給我的精心指導，不僅使得我的理論水平有了很大的提高，同時還讓我學到了許多為人治學的道理，在此謹向葛老師致以誠摯的謝意。</p><p>　　在學習和做論文期間，許多學術上的疑問都得到了李太華老師的細心回答和&

80、lt;/p><p>　　啟發(fā)，李老師對于本文的修改提出了許多寶貴的意見和建議，使文章增色不少，在此對李老師表示最誠摯的謝意。</p><p>　　我對盛旺，王文杰 ，張利衛(wèi)，蔣先耀,高峰等同學們給予的支持和幫助表示最衷心的謝意。</p><p>　　同時我要感謝的我母校和大學四年中所有的老師，正是有你們的淳淳教導，使我們在大學四年中打下了堅實的專業(yè)基礎知識，這些知識將會