畢業(yè)論文---非線(xiàn)性方程的求解

1、<p>　　本科學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p>　　題目（中文）： 非線(xiàn)性方程的求解 </p><p>　?。ㄓ⑽模?The Solution of Nonlinear Equations </p><p>　　姓 名

2、</p><p>　　學(xué) 號(hào) </p><p>　　院 （系） 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系 </p><p>　　專(zhuān)業(yè)、年級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué) 2006級(jí) </p><p>　　

3、指導(dǎo)教師 </p><p>　　2010年4月15日</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　緒論1</b></p><p>　　1 非線(xiàn)性方程的簡(jiǎn)介1</p><p>　　1.1非線(xiàn)

4、性方程的背景1</p><p>　　1.2非線(xiàn)性方程的概念2</p><p>　　2非線(xiàn)性方程求解的數(shù)值方法3</p><p><b>　　2.1 二分法3</b></p><p>　　2.1.1 二分法的思想3</p><p>　　2.1.2 二分法的推理3</p>&

5、lt;p>　　2.1.3 二分法的應(yīng)用4</p><p>　　2.2 牛頓迭代法4</p><p>　　2.2.1 迭代法4</p><p>　　2.2.2 牛頓迭代法6</p><p>　　2.3 改進(jìn)牛頓迭代法10</p><p>　　2.3.1 改進(jìn)牛頓迭代法的背景10</p>&

6、lt;p>　　2.3.2 改進(jìn)的法11</p><p>　　3 牛頓迭代法和改進(jìn)牛頓迭代法的應(yīng)用12</p><p>　　3.1 牛頓迭代法的應(yīng)用12</p><p>　　3.2 改進(jìn)牛頓迭代法的應(yīng)用19</p><p><b>　　4 結(jié)束語(yǔ)22</b></p><p><

7、b>　　參考文獻(xiàn)23</b></p><p><b>　　致謝24</b></p><p><b>　　非線(xiàn)性方程的求解</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　非線(xiàn)性方程在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，很多熟悉的線(xiàn)性模型都是在一定的條

8、件下由非線(xiàn)性問(wèn)題簡(jiǎn)化得到的；非線(xiàn)性方程在科學(xué)與工程計(jì)算中的地位越來(lái)越重要,因此研究和探討非線(xiàn)性方程求解的方法是非常有必要的。 </p><p>　　本文先開(kāi)始介紹了非線(xiàn)性方程的概念及相關(guān)背景，再著重描述了非線(xiàn)性方程的求解的一些常用分法：二分法，迭代法，牛頓迭

9、代法。在這些方法當(dāng)中，牛頓迭代法是求解非線(xiàn)性方程的一種非常常用并且有效的方法，但是牛頓迭代法有一些應(yīng)用條件限制，因此提出了改進(jìn)的牛頓迭代法；針對(duì)非線(xiàn)性方程的實(shí)例用上面提到的方法進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并且比較了牛頓迭代法和改進(jìn)牛頓迭代法，最后介紹了牛頓迭代法在實(shí)際生活中的應(yīng)用。</p><p>　　【關(guān)鍵字】非線(xiàn)性方程 牛頓迭代法 數(shù)值計(jì)算</p><p>　　The Solution of No

10、nlinear Equations</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Nonlinear equations appear frequently in practical problems, and many of us are familiar with the linear model obtained by the sim

11、plified nonlinear problems under certain conditions. Nonlinear equations are becoming more and more important in science and engineering computing. Therefore, it is necessary to study and explore ways to solve nonlinear

12、equations.</p><p>　　Firstly, this paper recommend some basic conceptions and related background of</p><p>　　nonlinear equations, then describe some methods of the solution of nonlinear equation

13、</p><p>　　emphatically, such as: the procedure of dichotomy, the iterate method, the Newton iterate method and the improved Newton iterate method. It is very useful and effective to use the Newton iterate me

14、thod for solving nonlinear equations in those methods. However, we propose the improved Newton iterate method because of the limits of the Newton iterate method. Also ,we have carried on the approximate calculation to t

15、he nonlinear equations and have compared the Newton iterate method with the improve</p><p>　　In the end ,we introduce the application of the Newton iterate method in the real life.</p><p>　　【Key

16、 words】The nonlinear equations The Newton iterate method Numerical computation</p><p><b>　　緒 論</b></p><p>　　非線(xiàn)性是實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)的，并且在科學(xué)與工程計(jì)算中的地位越來(lái)越重要，很多我們熟悉的線(xiàn)性模型都是在一定的條件下由非線(xiàn)性問(wèn)題簡(jiǎn)化得到的，為得到更符

17、合實(shí)際的解答，往往需要直接研究非線(xiàn)性模型，從而產(chǎn)生非線(xiàn)性科學(xué)，它是21世紀(jì)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要支柱.非線(xiàn)性問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型有無(wú)限維的如微分方程，也有有限維的.從線(xiàn)性到非線(xiàn)性是一個(gè)質(zhì)的變化，方程的性質(zhì)有本質(zhì)的不同，求解方法也有很大的差別.</p><p>　　非線(xiàn)性方程的數(shù)值解法在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，特別是在各種非線(xiàn)性問(wèn)題的科學(xué)計(jì)算中更顯出它的重要性，而且，隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，有更多的領(lǐng)域涉及到非線(xiàn)性方程的求解問(wèn)題，

18、例如，動(dòng)力系統(tǒng)，非線(xiàn)性有限元問(wèn)題，非線(xiàn)性力學(xué)問(wèn)題，還有非線(xiàn)性最優(yōu)化與非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題等，因此，研究 性方程的解法就具有重要的實(shí)際意義.由于非線(xiàn)性方程的復(fù)雜性，在解法上除了極特殊的非線(xiàn)性方程外，直接法幾乎是不能使用的，這需借助于二分法，迭代法來(lái)求解.從計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看, Newton迭代法用來(lái)求非線(xiàn)性方程一種非常常見(jiàn)的而且是有效的方法，所以我們有必要研究和探討求解非線(xiàn)性方程的Newton方法.</p><p>　　1

19、 非線(xiàn)性方程的簡(jiǎn)介</p><p>　　1.1 非線(xiàn)性方程的背景</p><p>　　非線(xiàn)性科學(xué)是一門(mén)研究非線(xiàn)性現(xiàn)象共性的基礎(chǔ)學(xué)科.它是自20世紀(jì)六十年代以來(lái)，在各門(mén)以非線(xiàn)性為特征的分支學(xué)科的基礎(chǔ)上逐步發(fā)展起來(lái)的綜合性學(xué)科，被譽(yù)為本世紀(jì)自然科學(xué)的“第三次革命”.非線(xiàn)性科學(xué)幾乎涉及了自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，并正在改變?nèi)藗儗?duì)現(xiàn)實(shí)世界的傳統(tǒng)看法.科學(xué)界認(rèn)為：非線(xiàn)性科學(xué)的研究不僅具有重大的科

20、學(xué)意義，而且對(duì)國(guó)計(jì)民生的決策和人類(lèi)生存環(huán)境的利用也具有實(shí)際意義.由非線(xiàn)性科學(xué)所引起的對(duì)確定論和隨機(jī)論、有序與無(wú)序、偶然性與必然性等范疇和概念的重新認(rèn)識(shí)，形成了一種新的自然觀，將深刻地影響人類(lèi)的思維方法，并涉及現(xiàn)代科學(xué)的邏輯體系的根本性問(wèn)題.</p><p>　　非線(xiàn)性問(wèn)題的“個(gè)性”很強(qiáng)，處理起來(lái)十分棘手.歷史上曾有過(guò)一些解非線(xiàn)性方程的“精品”，但與大量存在的非線(xiàn)性方程相比，只能算是“鳳毛麟角”.因此，長(zhǎng)期以來(lái)，對(duì)

21、非線(xiàn)性問(wèn)題的研究一直分散在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域.20世紀(jì)六十年代以來(lái)，情況發(fā)生了變化.人們幾乎同時(shí)從非線(xiàn)性系統(tǒng)的兩個(gè)極端方向取得了突破：一方面從可積系統(tǒng)的一端，即從研究多自由度的非線(xiàn)性偏微分方程的一端獲得重大進(jìn)展.如在淺水波方程中發(fā)現(xiàn)了“孤子”，發(fā)展起一套系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，如反散射法，貝克隆變換等，對(duì)一些類(lèi)型的非線(xiàn)性方程給出了解法；另一方面，從不可積系統(tǒng)的極端，如在天文學(xué)、生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域?qū)σ恍┛雌饋?lái)相當(dāng)簡(jiǎn)單的不可積系統(tǒng)的研究，都發(fā)現(xiàn)

22、了確定性系統(tǒng)中存在著對(duì)初值極為敏感的復(fù)雜運(yùn)動(dòng).促成這種變化的一個(gè)重要原因十計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和廣泛應(yīng)用.科學(xué)家們以計(jì)算機(jī)為手段，勇敢地探索那些過(guò)去不能用解析方法處理的非線(xiàn)性問(wèn)題，從中發(fā)掘出規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，并打破了原有的學(xué)科界限，從共性、普適性方面來(lái)探討非線(xiàn)性系統(tǒng)的行為.在數(shù)值計(jì)算中，非線(xiàn)性問(wèn)題也是經(jīng)常遇到的一類(lèi)難題，特別是非線(xiàn)性方程組的數(shù)值求解問(wèn)題構(gòu)成了非線(xiàn)性科學(xué)的一個(gè)重要組成部分.</p><p>　　1.2非線(xiàn)性方程

23、的概念</p><p>　　非線(xiàn)性方程，就是因變量與自變量之間的關(guān)系不是線(xiàn)性的關(guān)系，一般可以表示為.這類(lèi)方程很多，例如平方關(guān)系、對(duì)數(shù)關(guān)系、指數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)關(guān)系等等.下面這些例子就是常見(jiàn)的非線(xiàn)性方程：，，.</p><p>　　非線(xiàn)性方程可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是多項(xiàng)式方程，這類(lèi)方程可以定義為：，.另一類(lèi)是非多項(xiàng)式方程，它不能用多項(xiàng)式方程的形式表示，沒(méi)有固定的形式.求解第一類(lèi)多項(xiàng)式方程，現(xiàn)在已經(jīng)有

24、了比較成熟的理論和方法.現(xiàn)在比較常用的一種數(shù)值方法是迭代法，能通過(guò)迭代次數(shù)的增加，從而越來(lái)越接近方程的解，求解第二類(lèi)非多項(xiàng)式方程，是現(xiàn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重點(diǎn)研究方向.一般來(lái)說(shuō)，求解此類(lèi)方程是采用隨機(jī)搜索的辦法.</p><p>　　2非線(xiàn)性方程求解的數(shù)值方法</p><p><b>　　2.1 二分法</b></p><p>　　2.1.1 二

25、分法的思想 </p><p>　　二分法是區(qū)間迭代法的一種.它是重復(fù)運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理,每次將區(qū)間壓縮一半且其中一個(gè)區(qū)間至少包含一個(gè)根,逐步縮短區(qū)間,直至最終區(qū)間長(zhǎng)度滿(mǎn)足一定的精度要求為止.</p><p>　　2.1.2 二分法的推理</p><p>　　先考察有根區(qū)間［a,b],取中點(diǎn)，將它分成兩半，然后進(jìn)行根的搜索，即檢查與是否同號(hào)，如果確系同號(hào)，說(shuō)明所求的根

26、在的右側(cè)，這時(shí)令=,=.</p><p>　　否則必在的左側(cè)，這時(shí)令=，=，不管出現(xiàn)哪一種情況，新的有根區(qū)間[,]的長(zhǎng)度僅為［,］的一半.對(duì)壓縮了有根區(qū)間[,]又可施行同樣的過(guò)程，即用中點(diǎn)=（+）/2，以將區(qū)間[,]再分為兩半，然后通過(guò)根的搜索判定所求根在的哪一側(cè)，從而又確定一個(gè)新的有根區(qū)間，長(zhǎng)度是[,]的一半.</p><p>　　如此反復(fù)二分下去，可得出一系列有根區(qū)間</p>

27、;<p><b>　　，</b></p><p>　　其中每個(gè)區(qū)間都是前一個(gè)區(qū)間的一半，因此的長(zhǎng)度=，當(dāng)時(shí)趨向零，就是說(shuō)，如果二分過(guò)程無(wú)限地繼續(xù)下去，這些區(qū)間最終必將收縮于一點(diǎn)，該點(diǎn)顯然就是所求的根.</p><p>　　每次二分后，設(shè)取有根區(qū)間的中點(diǎn)作為根的近似值，則在二分過(guò)程中可以獲得一個(gè)近似根的序列 ，則該序列必以根為極限.</p>

28、<p>　　不過(guò)在實(shí)際計(jì)算時(shí)，不可能完成這個(gè)無(wú)限過(guò)程，其實(shí)也沒(méi)有這個(gè)必要，因?yàn)閿?shù)值分析的結(jié)果允許帶有一定的的誤差，由于：</p><p>　　只要二分足夠多次（即k充分大）便有，這里為預(yù)定的精度.</p><p>　　2.1.3 二分法的應(yīng)用</p><p>　　例1 求方程在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)實(shí)根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第二位.</p><p&

29、gt;　　解 這里,而，取的中點(diǎn)=將區(qū)間二等分，由于，即與同號(hào)，故所求的根在右側(cè)，這時(shí)應(yīng)==,而得到新的有根區(qū)間[,].</p><p>　　如此反復(fù)二分下去，二分過(guò)程無(wú)需贅述，現(xiàn)在預(yù)估所要二分的次數(shù)，按誤差估計(jì)式，只要二分6次，便能達(dá)到預(yù)定的精度: </p><p>　　二分法計(jì)算結(jié)果如表1所示</p><p>　　表1二分法的計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)表</p>

30、<p><b>　　2.2 牛頓迭代法</b></p><p><b>　　2.2.1 迭代法</b></p><p>　　2.2.1.1 迭代法的思想</p><p>　　迭代法是一種逐步逼近的方法，首先選定方程f( x) = 0 的一個(gè)近似根后，然后使用某個(gè)固定公式，反復(fù)校正這個(gè)根的近似值，使之逐步精確化

31、，一直到滿(mǎn)足給定的精度要求為止.</p><p>　　2.2.1.2 迭代法的推理</p><p>　　設(shè)方程有根，把方程化為等價(jià)方程</p><p>　　這種方程是隱式的，不能直接得出它的根，但如果給出根的某個(gè)猜測(cè)值代放在的右端，可得，然后，又可取作為猜測(cè)值，進(jìn)一步得到，如此反復(fù)迭代如果按公式</p><p>　　確定的數(shù)列有極限，則稱(chēng)迭代

32、過(guò)程式收斂，這時(shí)極限值顯然就是方程的根.這種迭代法又稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)迭代法，由迭代過(guò)程所產(chǎn)生的數(shù)列并不都是收斂于某個(gè)數(shù)，與迭代方程的選取有關(guān).</p><p>　　2.2.1.3 迭代法的誤差公式</p><p>　　定理1 假定函數(shù)滿(mǎn)足下列條件：</p><p><b>　　對(duì)任意，有</b></p><p>　　存在正數(shù)

33、，使對(duì)任意，有</p><p>　　則迭代過(guò)程對(duì)任意初值均收斂于方程的根，且有如下誤差估計(jì)式：</p><p><b>　　證明 由式有</b></p><p>　　據(jù)此反復(fù)遞推得，于是對(duì)任意正整數(shù)，有：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　在上式中令

34、，注意到，即得，證畢.</p><p>　　2.2.1.4 迭代法的局部收斂性</p><p>　　定理2 設(shè)為方程的根，在的鄰近連續(xù)且，則迭代過(guò)程在鄰近具有局部收斂性.</p><p>　　證明 由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，存在的某個(gè)鄰域R：，使對(duì)任意成立。此外，對(duì)任意，總有，這是因?yàn)?lt;/p><p>　　于是，依據(jù)定理1可以斷定，迭代過(guò)程對(duì)任意初

35、值均收斂，證畢.</p><p>　　2.2.2 牛頓迭代法</p><p>　　2.2.2.1 牛頓迭代法的背景</p><p>　　牛頓迭代法（Newton's method）又稱(chēng)為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法.多數(shù)方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難

36、，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.</p><p>　　2.2.2.2 牛頓迭代法的推導(dǎo)</p><p>　　通過(guò)Taylor 進(jìn)行理論推導(dǎo)</p><p>　　設(shè)是f(x)=0的一個(gè)近似根，把f(x)在處泰勒展開(kāi)：</p><p>　　若取前兩項(xiàng)近似代替，則=0的近似線(xiàn)性方程為</p><p>　　設(shè)

37、，設(shè)其根為，則的計(jì)算公式為</p><p>　　這即是牛頓法，稱(chēng)為牛頓迭代公式，其迭代函數(shù)為</p><p>　　通過(guò)微分中值定理進(jìn)行推導(dǎo)</p><p>　　設(shè)是根的某個(gè)預(yù)測(cè)值，用迭代公式校正一次得，而由微分中值定理有</p><p><b>　　其中介于與之間.</b></p><p>　　假

38、定改變不大，近似地取某個(gè)近似值L，則由</p><p>　　得 </p><p>　　可以期望，按上式右端可得</p><p><b>　　是比更好的近似值.</b></p><p>　　將每得到一次改進(jìn)值算作一步，并用和分別表示第步的校正值和改進(jìn)值，則加速迭代計(jì)算方案可表述如下

39、：</p><p>　　校正 </p><p>　　改進(jìn) </p><p>　　其中中的可以是多種多樣的，當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的迭代公式是</p><p>　　運(yùn)用前面的加速技巧，對(duì)于迭代過(guò)程，其加速公式如下：</p><

40、p>　　記，上面兩個(gè)式子可以合并寫(xiě)成</p><p>　　這種迭代公式通常稱(chēng)為簡(jiǎn)化的公式，其相應(yīng)的的迭代函數(shù)是</p><p>　　需要注意的是，由于是的估計(jì)值，而，這里的實(shí)際上是的估計(jì)值，如果用代替式中的，則得如下形式的迭代函數(shù)：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其相

41、應(yīng)的迭代公式</b></p><p><b>　　這就是著名的公式.</b></p><p>　　2.2.2.3 法的幾何解釋</p><p>　　對(duì)于方程，如果是線(xiàn)性函數(shù)，則對(duì)它求根是容易的，法實(shí)質(zhì)上是一種線(xiàn)性化方法，其基本思想是將非線(xiàn)性方程逐步歸結(jié)為某種線(xiàn)性方程來(lái)求解.</p><p><b>

42、　　圖1 與軸的交點(diǎn)圖</b></p><p>　　方程的解可解釋為曲線(xiàn)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),（見(jiàn)圖1）取初值，將在初值處作Taylor展開(kāi)得：</p><p>　　取線(xiàn)性部分作為的近似值，有：，若，則有</p><p>　　類(lèi)似，我們也能得到：</p><p>　　這樣一直下去，我們可以得到迭代序列</p><

43、p>　　由上面圖可知，過(guò)曲線(xiàn)上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)引切線(xiàn)，并將該切線(xiàn)與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)坐為新的近似值，類(lèi)似這樣下去，我們可以得一個(gè)切線(xiàn)方程：</p><p>　　這樣求得的值必滿(mǎn)足式，由于這種幾何背景，牛頓法亦稱(chēng)切線(xiàn)法.</p><p>　　2.2.2.4 法的局部收斂性</p><p>　　對(duì)于一種迭代過(guò)程，為了保證它是有效的，需要肯定它的收斂性，同時(shí)考察它的收斂

44、速度.所謂收斂速度，是指在接近收斂過(guò)程中迭代誤差的下降速度.</p><p>　　定義 設(shè)迭代過(guò)程收斂于方程的根，如果迭代誤差當(dāng)時(shí)成立下列漸近關(guān)系式</p><p>　　則稱(chēng)該迭代過(guò)程是階收斂的，特別地，=1時(shí)稱(chēng)為線(xiàn)性收斂，時(shí)稱(chēng)為超線(xiàn)性收斂，=2時(shí)稱(chēng)為平方收斂.</p><p>　　定理 對(duì)于迭代過(guò)程，如果在所求根的鄰近連續(xù)，并且</p><p&

45、gt;　　則該迭代過(guò)程在點(diǎn)鄰近是階收斂的.</p><p>　　證明 由于，據(jù)定理可以馬上斷定迭代過(guò)程具有局部收斂性.</p><p>　　再將在根處展開(kāi)，利用條件，則有</p><p>　　注意到 ，，</p><p>　　由上式可得 </p><p&g

46、t;　　因此對(duì)于迭代誤差，有，這表明迭代過(guò)程確實(shí)是階收斂的，證明完畢.</p><p>　　由上面定理可知，迭代過(guò)程的收斂速度依賴(lài)于迭代函數(shù)的選取.對(duì)于公式，其迭代函數(shù)為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　假定是的一個(gè)單根，即，則由上式知，于是依據(jù)定理可以斷定，法在根的鄰近是平方收斂的.</p><

47、p>　　2.3 改進(jìn)牛頓迭代法</p><p>　　2.3.1 改進(jìn)牛頓迭代法的背景</p><p>　　牛頓迭代法是解非線(xiàn)性方程最著名和最有效的方法之一，在單根附近它比一般的迭代法有較快的收斂速度，但要注意它也有缺點(diǎn):首先，它對(duì)迭代初值選取要求嚴(yán)格，初值選取不好，可能導(dǎo)致不收斂;其次，它迭代一次要計(jì)算的值，這勢(shì)必會(huì)增加計(jì)算量，因此在這種情況下，提出改進(jìn)的法是非常有必要的.</

48、p><p>　　2.3.2 改進(jìn)的法</p><p>　　2.3.2.1 Simpson牛頓法和幾何平均牛頓法</p><p>　　設(shè)是方程的根，是可導(dǎo)函數(shù)，顯然成立：</p><p>　　若將上面公式的右端積分用數(shù)值積分Simpson公式近似代替，并令，則得：</p><p>　　上式中用近似代替，整理得迭代格式<

49、/p><p>　　中關(guān)于是隱式的，這給求解帶來(lái)很大的麻煩，為了避免隱式求解，我們提出了預(yù)估校正式：</p><p>　　式是牛頓迭代法與Simpson公式相結(jié)合得到的，我們稱(chēng)它為Simpson牛頓方法.</p><p>　　若將右端用代替，則得到迭代格式：</p><p>　　當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)，取，為了避免隱式求解，同樣給出了式的預(yù)估校正式：<

50、/p><p>　　的取法同上，我們稱(chēng)為幾何平均牛頓方法.</p><p>　　2.3.2.2 牛頓下山法</p><p>　　牛頓法的缺點(diǎn)之一是其收斂依賴(lài)與初值的選取，若偏離所求根較遠(yuǎn)，則牛頓法可能發(fā)散，為了防止迭代發(fā)散，我們對(duì)迭代過(guò)程再附加一項(xiàng)條件，既具有單調(diào)性：</p><p>　　滿(mǎn)足這項(xiàng)要求的算法稱(chēng)為下山法.</p><

51、;p>　　將法與下山法結(jié)合起來(lái)使用，即我們可在下山法保證函數(shù)值穩(wěn)定下降的前提下，用法加快了收斂速度.為此將法計(jì)算結(jié)果:</p><p>　　與前一步的近似值適當(dāng)加權(quán)平均作為新改進(jìn)值，即</p><p>　　其中稱(chēng)為下山因子，在希望挑選下山因子時(shí)，希望使單調(diào)性條件成立.</p><p>　　注意：下山因子的選擇是個(gè)逐步探索的過(guò)程，從開(kāi)始反復(fù)將減半進(jìn)行試算，如果能

52、定出值使單調(diào)性條件成立，則稱(chēng)下山“成功”，與此相反，如果在上述過(guò)程中找不到使條件成立的下山因子，則稱(chēng)“下山失敗”，這時(shí)需另選初值重算.</p><p>　　3 牛頓迭代法和改進(jìn)牛頓迭代法的應(yīng)用</p><p>　　3.1 牛頓迭代法的應(yīng)用</p><p>　　例1應(yīng)用牛頓迭代法和，分別導(dǎo)出求的迭代公式并求 </p><p>　　解 方程的牛

53、頓迭代法公式：</p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　由題意知: </b></p><p><b>　　牛頓迭代法公式</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b

54、>　　再由題意知:</b></p><p><b>　　牛頓迭代法公式</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　結(jié)論分析：本題主要應(yīng)用牛頓迭代法公式和極限還有導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，計(jì)算量大，著重考察對(duì)迭代法思想的深刻理解.</p><p>　　例2方程在附近有

55、根，把方程寫(xiě)成3種不同的等價(jià)形式：</p><p>　　(1) ，對(duì)應(yīng)迭代格式：</p><p>　　(2) ，對(duì)應(yīng)迭代格式：</p><p>　　(3) ，對(duì)應(yīng)迭代格式：</p><p>　　討論這些迭代格式在時(shí)的收斂性.若迭代收斂，試估計(jì)其收斂速度，選一種收斂格式計(jì)算出附近的根到4位有效數(shù)字.（收斂速度的計(jì)算和比較）</p>

56、<p><b>　　解 ，</b></p><p>　　，，，故方程在上有根.</p><p><b>　　，故方程在上有根.</b></p><p><b>　　，故方程在上有根.</b></p><p><b>　　對(duì)于迭代式（1）：</

57、b></p><p><b>　　，， </b></p><p>　　而，故該迭代局部收斂，且收斂速度為1階的.</p><p>　　對(duì)于迭代式（2）：在上，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，又</b><

58、/p><p>　　故該迭代在上整體收斂，且收斂速度為一階的.</p><p>　　對(duì)于迭代式（3）：在[1，2]上的值域?yàn)?，該迭代式不收?lt;/p><p>　　取迭代式，取初值進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果如下：</p><p><b>　　，，，</b></p><p><b>　　，，，</b&

59、gt;</p><p>　　結(jié)論分析：這題主要是分析迭代法的收斂性，以及收斂速度，著重考察對(duì)迭代法的收斂性和收斂速度的理解.</p><p>　　例3 用Newton迭代法解方程在初值附近的根，并用數(shù)學(xué)工具軟件Matlab求解.（保留小數(shù)點(diǎn)后6位有效數(shù)字）</p><p>　　解 由題意知初值，由牛頓迭代公式:</p><p>　　代入其中得

60、 ，</p><p>　　迭代4次后，發(fā)現(xiàn)與近似相等，因此得到此方程在初值一個(gè)根為1.732051（保留小數(shù)點(diǎn)6位有效數(shù)字）</p><p>　　下面用數(shù)學(xué)工具軟件Matlab求解.</p><p>　　首先牛頓迭代法在matlab的計(jì)算程序如下：</p><p>　　Function x=newton(fname,dfn

61、ame,x0,e)</p><p>　　%用途：Newton迭代法解非線(xiàn)性方程f(x)=0</p><p>　　%格式：x=nanewton(fname,dfname,x0,e)x 返回?cái)?shù)值解.</p><p>　　%fname和dfname分別表示f(x)及其導(dǎo)函數(shù)</p><p>　　%f(x),x0為迭代初值，e精度要求（默認(rèn)為1e-4

62、)</p><p>　　If nargin<4,e=1e-4: %精度默認(rèn)為1e-4</p><p><b>　　End</b></p><p>　　X=x0;x0=x+2*e; %使while成立，進(jìn)入whiler后x0得到賦值</p><p>

63、　　While abs(x0-x)>e</p><p><b>　　X0=x;</b></p><p><b>　　X0=x;</b></p><p>　　X=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);</p><p><b>　　End</b&g

64、t;</p><p>　　然后，當(dāng)時(shí)，f(x)>0, f(x)>0,即f(x)恒正，所以根在[0，2]，我們先用圖解法找初值，在用Newton法程序newton.m求解.</p><p>　　Fun=inline('x^3+x^2-3*x-3');</p><p>　　Fplot(fun,[0,2]);</p><p&

65、gt;<b>　　Grid on;</b></p><p><b>　　圖2求根圖</b></p><p>　　由圖2可知方程有唯一正根在[1.6，1.8]之間，我們?nèi)〕踔?.5代入Newton程序之中得：</p><p>　　Dfun=inline('3*x^2+2*x-3');</p>&

66、lt;p>　　Format long;</p><p>　　Newton(fun,dfun,1.5,1e-4);</p><p>　　Format short;</p><p>　　Ans=1.73205080756888</p><p>　　而用Matlab本身的函數(shù)fzero求出來(lái)的結(jié)果為：</p><p>

67、　　Format long</p><p>　　Fzero(inline('x^3+x^2-3*x-3'),1.5);</p><p>　　Format short</p><p>　　Ans=1.73205080756888</p><p>　　例4 住房是居民消費(fèi)一個(gè)主要部分，大部分人選擇銀行按揭貸款，然后在若干年內(nèi)逐月分

68、期還款，如果你借了10萬(wàn)，還款額一定超過(guò)10萬(wàn).</p><p>　　解 設(shè)貸款總額為，貸款期限為N個(gè)月，采取逐月等額方式償還本息，若為第K個(gè)月的欠款數(shù)，a為月還款，r為月利率，我們得到那些列迭代關(guān)系式</p><p><b>　　那么</b></p><p>　　因此得到月還款計(jì)算公式：</p><p>　　下面是一則

69、報(bào)紙?jiān)?002年2月12日第二版上一則房產(chǎn)廣告：</p><p><b>　　表2房貸數(shù)據(jù)表</b></p><p>　　不難算出，你向銀行總共借了25.2萬(wàn)，30年內(nèi)共要還款51.96萬(wàn)，約為當(dāng)初借款的兩倍，這個(gè)案例中的貸款年利率的是多少呢？</p><p>　　我們根據(jù)a=0.1436， =25.2，N=360，由上a的求解公式得到：<

70、;/p><p><b>　　我們令</b></p><p>　　則該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線(xiàn)性方程求解的問(wèn)題，令</p><p><b>　　求出r</b></p><p>　　我們先用Newton函數(shù)求解，在Matlab中輸入如下程序：</p><p>　　常識(shí)1：r應(yīng)比當(dāng)時(shí)活期存款月利

71、率略高一些，我們用當(dāng)時(shí)的活期存款利率為0.0198/2作為迭代初值，為剔除r=0這個(gè)沒(méi)有意義的根，我們對(duì)稍作變形；</p><p><b>　　Clear;</b></p><p>　　Fun=inline(’25.2*(1+r)^360/0.1436-((1+r)^360-1)/r’,’r’)</p><p><b>　　Fun=&

72、lt;/b></p><p>　　Inline function;</p><p>　　Fun(r)=25.2*(1+r)^360/0.1436-((1+r)^360-1)/r</p><p>　　Dfun=inline(’25.2*360*(1+r)^359/0.1436-(360*(1+r)^360-1)/(r^2)’);</p><p

73、>　　R=newton(fun,dfun,0.0198/2,1c-4);</p><p><b>　　R=12*r;</b></p><p><b>　　然后求到結(jié)果：</b></p><p><b>　　R=0.0553</b></p><p>　　由是得到年利率為5.

74、53%.</p><p>　　下面我們用Matlab中的fzero函數(shù)檢驗(yàn)一下：</p><p><b>　　Clear;</b></p><p>　　Fun=inline(’25.2*(1+r)^360-((1+r)^360-1)/r*0.1436’,’r’)</p><p><b>　　Fun=</b

75、></p><p>　　Inline function</p><p>　　Fun(r)=25.2*(1+r)^360-((1+r)^360-1)/r*0.1436</p><p>　　R=fzero(fun,0.0198/2);</p><p><b>　　R=12*r</b></p><p&

76、gt;<b>　　R=0.0553</b></p><p>　　3.2 改進(jìn)牛頓迭代法的應(yīng)用</p><p>　　例1 求方程的根，取初值（要求用三種方法）</p><p>　　解 （1）由題意知，用牛頓法公式：</p><p>　　將代入，迭代5次得：</p><p>　　（2）由Simpso

77、n牛頓法，</p><p>　　將代放，迭代3次得，.</p><p>　?。?）由幾何平均牛頓法，</p><p>　　將代放，迭代3次得，.</p><p>　　結(jié)論分析：此題應(yīng)用三種方法求解非線(xiàn)性方程，其中應(yīng)用牛頓迭代法，迭代5次得到了所要的結(jié)果，而用別的兩種方法：Simpson牛頓法和幾何平均牛頓法只迭代了三次就得到了結(jié)果，說(shuō)明這兩種

78、方法加快了迭代速度.</p><p><b>　　例2 求方程的根</b></p><p>　　解 (1) 取，用牛頓法公式：</p><p>　　將代入，得：，，.迭代三次得到的結(jié)果有6位有效數(shù)字.</p><p>　　（2）改用作為迭代初值，用牛頓法公式迭代一次得</p><p>　　這個(gè)結(jié)

79、果反而比更偏離了所求的根</p><p>　?。?）用牛頓下山法解,通過(guò)對(duì)逐取半進(jìn)行試算:</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，得：</b></p><p>　　由牛頓下山法得： 此時(shí)有</p><p><b>　　而，且</b></p><p>　　與些類(lèi)推，應(yīng)用牛頓下山法公

80、式得，由計(jì)算，，得</p><p><b>　　即為的近似值.</b></p><p>　　結(jié)論分析：我們由上面的解法可知，當(dāng)取的初值離非線(xiàn)性方程的近似根比較近時(shí)，可用牛頓迭代法較快的求得近似解，收斂速度較快，但是當(dāng)取的初值離近似根比較遠(yuǎn)時(shí)，牛頓迭代法有可能發(fā)散，因此這時(shí)就可用牛頓下山法，即保證迭代過(guò)程是收斂的，又可保證了用牛頓迭代法加快收斂速度.</p>

81、<p><b>　　4結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　本文主要討論求解非線(xiàn)性方程的解法，比如二分法，迭代法與牛頓迭代法及改進(jìn)牛頓迭代法的相關(guān)知識(shí).在迭代法中以Newton法最實(shí)用，最有效，它在單根附近具有二階收斂，但應(yīng)用時(shí)要選取較好的初始近似才能保證迭代收斂，當(dāng)然Newton法也有缺點(diǎn)，每次迭代都得去計(jì)算，以及其收斂依賴(lài)與初值的選取，若偏離所求根較遠(yuǎn)，則牛頓法可能發(fā)散，為了

82、克服這些缺點(diǎn)，可使用簡(jiǎn)單Simpson牛頓法，幾何平均牛頓法與Newton下山法，大大減化了計(jì)算量與提高了效率.Newton法是求解非線(xiàn)性方程組的最基礎(chǔ)、最常用、最重要的方法，很多新方法是以它的變型或改進(jìn)的，我們?nèi)匀痪哂醒芯康膬r(jià)值.</p><p>　　隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)大規(guī)模在數(shù)值計(jì)算的應(yīng)用，因此我們可以通過(guò)編程語(yǔ)言在計(jì)算機(jī)上求解那些計(jì)算量繁瑣，計(jì)算步驟重復(fù)的非線(xiàn)性方程，大大方便了我們，也加深計(jì)算機(jī)這門(mén)學(xué)科與數(shù)學(xué)的

83、聯(lián)系.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析(第4版)[M].北京:華中科技大學(xué)出版社.2006.</p><p>　　[2] 清華大學(xué)，北京大學(xué)計(jì)算方法編寫(xiě)組.計(jì)算方法[M].北京:科學(xué)出版社.2002.</p><p>　　[3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)

84、系. 數(shù)學(xué)分析(第3 版)[M].北京:高等教育出版社,2006.</p><p>　　[4] 李慶揚(yáng),關(guān)治,白峰杉. 數(shù)值計(jì)算原理[M] .北京:清華大學(xué)出版社,2005.</p><p>　　[5] 張誠(chéng)堅(jiān),高健,何南忠. 計(jì)算方法[M] .北京:高等教育出版社,2002.</p><p>　　[6] 吳勃英等.數(shù)值分析原理[M].北京:科學(xué)出版社, 2003.

85、</p><p>　　[7] HUAN G Ting - zhu , BAI Zhong - zhi. Bounds for spect ral radii of Iterative mat rices[J ] . Joural of applied sciences ,1998 ,16 (3) :269 – 275.</p><p><b>　　致謝</b><

86、/p><p>　　經(jīng)過(guò)兩個(gè)多月的努力，自己終于完成了畢業(yè)設(shè)計(jì)和畢業(yè)論文的寫(xiě)作工作，在這里我要感謝我的設(shè)計(jì)指導(dǎo)老師xx老師，是他在論文的選題及技術(shù)方向上給我提出許多寶貴的設(shè)計(jì)意見(jiàn)，在最后的測(cè)試修改階段又在百忙之中抽出時(shí)間為我提供了必要的幫助.xx老師以其嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)態(tài)度、高度的敬業(yè)精神、兢兢業(yè)業(yè)、孜孜以求的工作作風(fēng)和大膽創(chuàng)新的進(jìn)取精神對(duì)我產(chǎn)生重要影響.他淵博的知識(shí)、開(kāi)闊的視野和敏銳的思維給了我深深的啟迪.</p