普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題理(北京卷-含答案)

1、<p>　　絕密★本科目考試啟用前</p><p>　　2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試</p><p>　　數(shù) 學(xué)（理）（北京卷）</p><p>　　本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。</p><p>　　第一部分（選擇題 共

2、40分）</p><p>　　一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。</p><p>　?。?）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，則AB=</p><p>　?。ˋ）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}</p><p&g

3、t;　?。–）{x|–1x1} （D）{x|1x3}</p><p>　?。?）若復(fù)數(shù)（1–i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是</p><p>　?。ˋ）（–∞，1） （B）（–∞，–1）</p><p>　?。–）（1，+∞）

4、 （D）（–1，+∞）</p><p>　?。?）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為</p><p>　?。ˋ）2 （B） （C） （D）</p><p>　?。?）若x，y滿足 則x + 2y的最大值為</p><p

5、>　?。ˋ）1 （B）3</p><p>　?。–）5 （D）9</p><p><b>　　（5）已知函數(shù)，則</b></p><p>　?。ˋ）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B

6、）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)</p><p>　　（C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)</p><p>　　（6）設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的</p><p>　　（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件</p><p>　?。–）充分必要

7、條件 （D）既不充分也不必要條件</p><p>　　（7）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為</p><p>　?。ˋ）3 （B）2 （C）2 （D）2</p><p>　?。?）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)

8、宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是</p><p>　　（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）</p><p>　?。ˋ）1033 （B）1053 </p><p>　　（C）1073 （D）1093</p&g

9、t;<p>　　第二部分（非選擇題 共110分）</p><p>　　二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。</p><p>　　（9）若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m=_________.</p><p>　?。?0）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=–1，a4=b4=8，則=_______.</p><p>　?。?1）

10、在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,0），則|AP|的最小值為_(kāi)__________.</p><p>　?。?2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若，則=___________.</p><p>　　（13）能夠說(shuō)明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．若a＞b＞c，則a+b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為_(kāi)______________

11、_______________．</p><p>　　（14）三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=1，2，3.</p><p>　?、儆決i為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是_________.</

12、p><p>　?、谟沺i為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是_________.</p><p>　　三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。</p><p>　?。?5）（本小題13分）</p><p>　　在△ABC中， =60°，c=a.</p>&

13、lt;p>　?。á瘢┣髎inC的值；</p><p>　　（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面積.</p><p>　　（16）（本小題14分）</p><p>　　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．</p><p>　　（I）求證：M為

14、PB的中點(diǎn)；</p><p>　　（II）求二面角B-PD-A的大??；</p><p>　?。↖II）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．</p><p>　?。?7）（本小題13分）</p><p>　　為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)

15、據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.</p><p>　?。á瘢姆幍?0名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；</p><p>　?。á颍膱D中A，B，C，D四人中隨機(jī).選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；</p><p>　?。á螅┰嚺袛噙@100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與

16、未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論）</p><p>　　（18）（本小題14分）</p><p>　　已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）.過(guò)點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).</p><p>　　（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；</p>

17、;<p>　?。á颍┣笞C：A為線段BM的中點(diǎn).</p><p>　　（19）（本小題13分）</p><p>　　已知函數(shù)f（x）=excosx?x.</p><p>　?。á瘢┣笄€y= f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；</p><p>　?。á颍┣蠛瘮?shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的最大值和最小值.</p>

18、<p>　　（20）（本小題13分）</p><p>　　設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．</p><p>　?。á瘢┤簦?，求的值，并證明是等差數(shù)列；</p><p>　?。á颍┳C明：或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整

19、數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．</p><p>　　2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試</p><p>　　數(shù) 學(xué)（理）（北京卷）答案</p><p><b>　　一、</b></p><p>　?。?）A（2）B（3）C（4）D</p><p>　?。?）A

20、（6）A（7）B（8）D</p><p><b>　　二、</b></p><p>　　（9）2（10）1</p><p>　?。?1）1（12）</p><p>　　（13）（答案不唯一）（14）Q1p2</p><p><b>　

21、　三、</b></p><p>　?。?5）（共13分）</p><p>　　解：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)椋?lt;/p><p><b>　　所以由正弦定理得.</b></p><p><b>　?。á颍┮?yàn)椋?</b></p><p><b>　　由

22、余弦定理得，</b></p><p><b>　　解得或（舍）.</b></p><p>　　所以△ABC的面積.</p><p>　?。?6）（共14分）</p><p>　　解：（I）設(shè)交點(diǎn)為，連接.</p><p>　　因?yàn)槠矫?，平面平面，所?</p><p

23、>　　因?yàn)槭钦叫?，所以為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn).</p><p>　?。↖I）取的中點(diǎn)，連接，.</p><p><b>　　因?yàn)椋?</b></p><p>　　又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平?</p><p><b>　　因?yàn)槠矫妫?</b></p><p&g

24、t;　　因?yàn)槭钦叫?，所?</p><p>　　如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，</p><p><b>　　，.</b></p><p>　　設(shè)平面的法向量為，則，即.</p><p><b>　　令，則，.于是.</b></p><p>　　平面的法向量為，所以.<

25、;/p><p>　　由題知二面角為銳角，所以它的大小為.</p><p>　　（III）由題意知，，.</p><p>　　設(shè)直線與平面所成角為，則.</p><p>　　所以直線與平面所成角的正弦值為.</p><p>　?。?7）（共13分）</p><p>　　解：（Ⅰ）由圖知，在服藥的50名

26、患者中，指標(biāo)的值小于60的有15人，</p><p>　　所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)的值小于60的概率為.</p><p>　?。á颍┯蓤D知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C.</p><p>　　所以的所有可能取值為0,1,2.</p><p><b>　　.</b><

27、/p><p><b>　　所以的分布列為</b></p><p><b>　　故的期望.</b></p><p>　　（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.</p><p>　?。?8）（共14分）</p><p>　　解：（Ⅰ）由拋物線C：過(guò)

28、點(diǎn)P（1，1），得.</p><p>　　所以拋物線C的方程為.</p><p>　　拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.</p><p>　?。á颍┯深}意，設(shè)直線l的方程為（），l與拋物線C的交點(diǎn)為，.</p><p><b>　　由，得.</b></p><p><b>　　則

29、，.</b></p><p>　　因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.</p><p>　　直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.</p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b&

30、gt;　　所以.</b></p><p>　　故A為線段BM的中點(diǎn).</p><p>　　（19）（共13分）</p><p>　　解：（Ⅰ）因?yàn)?，所?</p><p>　　又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.</p><p><b>　?。á颍┰O(shè)，則.</b></p>

31、<p><b>　　當(dāng)時(shí)，，</b></p><p>　　所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.</p><p><b>　　所以對(duì)任意有，即.</b></p><p>　　所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.</p><p>　　因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.</p><p>　?。?/p>

32、20）（共13分）</p><p><b>　　解：（Ⅰ）</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，，</b></p><p><b>　　

33、所以關(guān)于單調(diào)遞減.</b></p><p><b>　　所以.</b></p><p><b>　　所以對(duì)任意，于是，</b></p><p><b>　　所以是等差數(shù)列.</b></p><p>　?。á颍┰O(shè)數(shù)列和的公差分別為，則</p><p

34、><b>　　.</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　①當(dāng)時(shí)，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，因此.</p><p><b>　　此時(shí)，是等差數(shù)列.</b></p><p><b>　?、诋?dāng)時(shí)，對(duì)任意，</b></p&g

35、t;<p><b>　　此時(shí)，是等差數(shù)列.</b></p><p><b>　?、郛?dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，有.</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　對(duì)任意正數(shù)，取正整數(shù)，</p