測繪工程畢業(yè)論文----空間三維坐標轉換問題的研究

1、<p>　　空間三維坐標轉換問題的研究</p><p>　　Three-dimensional space coordinate conversion problem</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　首先本文對有關空間三維直角坐標系做了系統(tǒng)概述，接著介紹了與坐標轉換相關的知識以及坐標轉換模型、參數(shù)的求解，

2、接著介紹了布氏模型、莫氏模型以及相關坐標轉換方法的成果，進一步探索了地心系和地心系、地心系和參心系、參心系和參心系之間的坐標轉換的幾種模型，詳述了線性與非線性空間三維坐標轉換，并采用基于改進的Gauss-Newton法的非線性三維直角坐標轉換方法給出了算例,并通過VB編出了個解算空間三維坐標轉換的程序，通過模擬算例驗證該程序的可行性。</p><p>　　關鍵詞：坐標系，轉換模型，轉換參數(shù)，坐標轉換</p&

3、gt;<p>　　Three-dimensional space coordinate conversion problem</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　First of all this article introduce the information of Spatial Cartesian coord

4、inate system,then introduce the knowledge of coordinate transformation and coordinate transformation model and parameters of the coordinate transformation ,then introduce Bruce model Morse model and the results of the co

5、ordinate transformation method,Further explore the center of the earth system and the the geocentric Department, several models of coordinate transformation between the geocentric system and parameters </p><p&

6、gt;　　Keywords:coordinate system, transformation model , transformation parameters ,coordinate transformation</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　

7、　AbstractII</p><p><b>　　1緒論1</b></p><p><b>　　1.1研究意義1</b></p><p><b>　　1.2研究現(xiàn)狀1</b></p><p><b>　　1.3研究內容1</b></p&g

8、t;<p>　　1.4研究思路與方法2</p><p>　　2測量坐標系基礎理論3</p><p>　　2.1地球橢球的基本幾何參數(shù)3</p><p>　　2.2建立大地坐標系的基本原理4</p><p>　　2.2.1橢球定位、定向的概念4</p><p>　　2.2.2坐標系的類型4<

9、;/p><p>　　2.2.3參考橢球定位與定向的實現(xiàn)方法5</p><p>　　2.2.4多點定位5</p><p>　　2.3我國常用的坐標系統(tǒng)5</p><p>　　2.3.1 1954年北京坐標系5</p><p>　　2.3.2 1980年國家大地坐標系6</p><p>　　2

10、.3.3 1954年北京坐標系（整體平差轉換值）7</p><p>　　2.3.4 WGS-84世界大地坐標系7</p><p>　　2.3.5 2000國家大地坐標系8</p><p>　　3測量坐標轉換模型9</p><p>　　3.1常用等價坐標系9</p><p>　　3.1.1大地坐標系9<

11、/p><p>　　3.1.2地心空間直角坐標系9</p><p>　　3.1.3參心空間直角坐標系9</p><p>　　3.1.4平面直角坐標系9</p><p>　　3.2測量坐標系轉換10</p><p>　　3.2.1同一參考橢球下大地坐標與空間直角坐標的轉換10</p><p>

12、　　3.2.2 大地坐標與高斯平面坐標之間的轉換11</p><p>　　3.2.3站心地平坐標系及其應用15</p><p>　　3.3兩個空間大地直角坐標系間的轉換模型17</p><p>　　3.3.1Bursa - Wolf 模型17</p><p>　　3.3.2Molodensky 模型18</p><

13、;p>　　3.3.3范士轉換模型18</p><p>　　4 測量坐標轉換實例20</p><p>　　4.1改進的高斯-牛頓法20</p><p>　　4.2基于改進的高斯-牛頓法的非線性三維直角坐標轉換22</p><p>　　5測量坐標轉換應用26</p><p>　　5.1 GPS定位結果的表示

14、方法26</p><p>　　5.2 GPS定位成果轉換為國家大地坐標系的三維坐標27</p><p>　　5.3 將GPS定位成果轉換至國家大地坐標系28</p><p>　　6測量坐標轉換系統(tǒng)的設計30</p><p>　　6.1系統(tǒng)性質30</p><p>　　6.2測量坐標轉換系統(tǒng)實現(xiàn)30</

15、p><p><b>　　結論與展望39</b></p><p><b>　　參考文獻40</b></p><p><b>　　致謝41</b></p><p><b>　　1緒論</b></p><p><b>　　1.

16、1研究意義</b></p><p>　　隨著現(xiàn)代科學技術的發(fā)展，常規(guī)大地測量方法已逐漸被衛(wèi)星大地測量方法所取代，這兩種方法在點位的表示方式上有所不同，并且隨著空間大地測量手段的不斷提高，不同基準的多種空間網已經逐漸形成，因此空間三維坐標系轉換的問題在測量工作中經常會遇到，如何正確及有效的解決轉換中遇到的問題，便是本文研究的意義。</p><p><b>　　1.2研究

17、現(xiàn)狀</b></p><p>　　自60年代以來,各國大地測量學者,經過大量研究,提出了多種坐標轉換模型及多種解算方法, 北美1927基準面(基于克拉克1966橢球體與北美1983基準面(基于GRS1980橢球體)之間坐標轉換是根據研究區(qū)內一系列已知點的大地坐標或網格坐標改正量進行插值進行的坐標系轉換；英國采用北向與東向的雙線性網格插值進行坐標轉換；挪威在海岸帶調查中，采用經緯度多項式用于坐標系轉換這

18、種方法進行新（ED87—歐洲1987基準面）、舊(ED50—歐洲1950基準面)坐標系之間的轉換；歐洲石油勘探組織(EPSG)對新、舊坐標系采用“雙線性插值”進行坐標轉換。</p><p>　　在國內空間三維直角坐標轉換中,通常采用7參數(shù)布爾沙—沃爾夫模型、莫洛金斯基模型和范式模型，并且劉經南院士和其同事在對這三種傳統(tǒng)轉換模型進行分析的基礎上，從理論和實踐上證明了這三個模型的等價性，并在此基礎上他還提出了第4個等

19、價模型—“武測模型”，這些模型雖然表示形式上略有差異，但從坐標轉換的最終結果而言，他們是等價的。</p><p><b>　　1.3研究內容</b></p><p>　　本文首先對國內外有關空間三維直角坐標轉換做了系統(tǒng)概述，接著介紹了與坐標轉換相關的知識以及坐標轉換模型、參數(shù)的求解，接著介紹了布氏模型、莫氏模型、武測模型以及相關坐標轉換方法的成果，進一步探索了地心系和

20、地心系、地心系和參心系、參心系和參心系之間的坐標轉換的幾種模型，詳述了線性與非線性空間三維坐標轉換，并采用基于改進的Gauss-Newton法的非線性三維直角坐標轉換方法給出了算例，接著采用抗差估計對觀測值進行了粗差的剔除，從而保證了得到的轉換參數(shù)是可靠的，最后展望了空間三維直角坐標的應用前景。概括的講，本文研究的主要內容為：      </p><p>

21、;<b>　　1) 坐標系統(tǒng)</b></p><p>　　2) 常見的空間三維坐標系統(tǒng)</p><p>　　3) 空間三維直角坐標轉換及模型</p><p>　　4) 線性與非線性空間三維坐標轉換</p><p>　　5) 模型轉換參數(shù)的可靠性及檢驗</p><p>　　6) 空間三維坐標轉換的前

22、景及其應用</p><p>　　本文提出的基于改進的Gauss-Newton法適合進行大旋轉角的三維直角坐標轉換，即使給定的轉換參數(shù)初值與模擬真值有非常大的偏差，但經過若干次迭代計算仍然獲取正確的轉換參數(shù)及其轉換坐標，這也證明采用本文提出的方法同樣適用于小旋轉角的空間三維直角坐標轉換，且不依賴于轉換參數(shù)的初值，并且采用穩(wěn)健估計對轉換參數(shù)進行檢驗，以確保轉換參數(shù)計算的準確性和可靠性.</p><

23、p>　　1.4研究思路與方法</p><p>　　連接這些空間網以及地面網的坐標基準是空間網與地面網聯(lián)合平差的前提，也是建立地心坐標系的必要條件。研究不同坐標系統(tǒng)的坐標轉換問題,主要是研究不同的空間直角坐標系的坐標轉換問題。不同的空間直角坐標系的坐標轉換,既包括不同的參心空間直角坐標系的轉換,或不同的地心空間直角坐標系的轉換,也包括一個參心空間直角坐標系與一個地心空間直角坐標系的轉換。因為衛(wèi)星大地測量的結果

24、屬于地心坐標系,而地面大地測量得到的是參心坐標系的結果,所以,目前研究不同空間直角坐標系轉換模型,也就是研究衛(wèi)星測量與地面測量的坐標轉換模型。</p><p>　　2測量坐標系基礎理論</p><p>　　2.1地球橢球的基本幾何參數(shù)</p><p><b>　　五個基本幾何參數(shù)</b></p><p><b>

25、;　　橢圓的長半軸： a</b></p><p><b>　　橢圓的短半軸： b</b></p><p>　　橢圓的扁率： </p><p>　　橢圓的第一偏心率：

26、 (2.1)</p><p>　　橢圓的第二偏心率： </p><p>　　各參考橢球參數(shù)見表2-1</p><p>　　表2-1 不同參考橢球參數(shù)</p><p>　

27、　我國所采用的的1954年北京坐標系應用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)；以后采用的1980國家大地坐標系應用的是1975國際橢球參數(shù)；而GPS應用的是WGS-84系橢球參數(shù)。</p><p>　　球橢球參數(shù)間的相互關系</p><p>　　并得：

28、 </p><p><b>　　推得：</b></p><p><b>　　同理可得：</b></p><p>　　2.2建立大地坐標系的基本原理</p><p>　　2.2.1橢球定位、定向的概念</p><p>　　

29、大地坐標系是建立在一定的大地基準上的用于表達地球表面空間位置及其相對關系的數(shù)學參照系，這里所說的大地基準是指能夠最佳擬合地球形狀的地球橢球的參數(shù)及橢球定位和定向。</p><p>　　橢球定位是確定橢球中心的位置,可分為兩類:局部定位和地心定位。局部定位要求在一定范圍內橢球面與大地水準面有最佳的符合,而對橢球的中心位置無特殊要求；地心定位要求在全球范圍內橢球面與大地水準面有最佳的符合,同時要求橢球中心與地球質心一

30、致或最為接近。</p><p>　　橢球定向是指確定橢球旋轉軸的方向,不論是局部定位還是地心定位,都應滿足兩個平行條件:</p><p>　?、贆E球短軸平行于地球自轉軸;</p><p>　?、诖蟮仄鹗甲游缑嫫叫杏谔煳钠鹗甲游缑?lt;/p><p>　　具有確定參數(shù)(長半徑a和扁率α),經過局部定位和定向,同某一地區(qū)大地水準面最佳擬合的地球橢球,

31、叫做參考橢球。</p><p>　　除了滿足地心定位和雙平行條件外,在確定橢球參數(shù)時能使它在全球范圍內與大地體最密合的地球橢球,叫做總地球橢球。</p><p>　　2.2.2坐標系的類型</p><p>　　參心坐標系:以參考橢球為基準的坐標系；</p><p>　　地心坐標系:以總地球橢球為基準的坐標系。</p><p

32、>　　無論參心坐標系還是地心坐標系均可分為空間直角坐標系和大地坐標系兩種,它們都與地球體固連在一起,與地球同步運動,因而又稱為地固坐標系,以地心為原點的地固坐標系則稱地心地固坐標系，主要用于描述地面點的相對位置；另一類是空間固定坐標系與地球自轉無關，稱為天文坐標系或天球坐行位置和狀態(tài)。在這里，我們研究地固坐標系。</p><p>　　2.2.3參考橢球定位與定向的實現(xiàn)方法</p><p&

33、gt;　　建立（地球）參心坐標系，需進行下面幾個工作：</p><p>　?、龠x擇或求定橢球的幾何參數(shù)（長短半徑）；</p><p>　?、诖_定橢球中心位置（定位）；</p><p>　?、鄞_定橢球短軸的指向（定向）；</p><p><b>　　④建立大地原點。</b></p><p>　　參考

34、橢球定位定向方法</p><p>　　選定某一適宜的點K作為大地原點，在該點上實施精密的天文測量和高程測量，由此得到該點的天文經度 ，天文緯度，至某一相鄰點的天文方位角和正高</p><p>　　得到K點相應的大地經度，大地緯度 ，至某一相鄰點的大地方位角和大地高 </p><p><b>　?。?.2）</b></p><

35、p><b>　　2.2.4多點定位</b></p><p>　　一點定位的結果在較大范圍內往往難以使橢球面與大地水準面有較好的密合。所以在國家或地區(qū)的天文大地測量工作進行到一定的時候或基本完成后，利用許多拉普拉斯點（即測定了天文經度、天文緯度和天文方位角的大地點）的測量成果和已有的橢球參數(shù)，按照廣義弧度測量方程按=最小或=最?。┻@一條件，通過計算進行新的定位和定向，從而建立新的參心大地

36、坐標系。按這種方法進行參考橢球的定位和定向，由于包含了許多拉普拉斯點，因此通常稱為多點定位法。</p><p>　　多點定位的結果使橢球面在大地原點不再同大地水準面相切，但在所使用的天文大地網資料的范圍內，橢球面與大地水準面有最佳的密合。</p><p>　　2.3我國常用的坐標系統(tǒng)</p><p>　　2.3.1 1954年北京坐標系</p><

37、;p>　　1954年，總參測繪局在有關方面的建議與支持下，鑒于當時的歷史條件，采取先將我國一等鎖與前蘇聯(lián)遠東一等鎖相聯(lián)接，然后以連接處呼瑪，吉拉林，東寧基線網擴大邊端點的前蘇聯(lián)1942年普爾科沃坐標系的坐標為起算數(shù)據，平差我國東北及東部一等鎖，這樣從蘇聯(lián)傳算來的坐標系定名為1954年北京坐標系。</p><p>　　1954年北京坐標系實際上是前蘇聯(lián)1942年普爾科沃坐標系在我國的延伸，但我國坐標系的大地點

38、高程（1956年黃海高程系）卻與前蘇聯(lián)坐標系的計算基準面不同，因此嚴格意義上來說，二者不是完全相同的大地坐標系。</p><p><b>　　特點:</b></p><p>　　1954年北京坐標系屬于參心坐標系；</p><p>　　采用克拉索夫斯基橢球參數(shù)；</p><p>　　多點定位:垂線偏差由900個點解得，大

39、地水準面差距由43個點解得；</p><p><b>　　參考橢球定向時令；</b></p><p>　　大地原點是前蘇聯(lián)的普爾科沃；</p><p>　　大地點高程是以1956年青島驗潮站求出的黃海平均海水面為基準；</p><p>　　高程異常是以前蘇聯(lián)1955年大地水準面重新平差結果為起算值，按我國天文水準路線推算

40、出來的；</p><p>　　提供的大地點成果是局部平差結果。 </p><p><b>　　問題和缺點：</b></p><p>　　克拉索夫斯基橢球比現(xiàn)代精確橢球相差過大；</p><p>　　只涉及兩個幾何性質的橢球參數(shù)（a和α），滿足不了當今理論研究和實際工作中所需四個地球橢球基本參數(shù)的要求；</p&g

41、t;<p>　　處理重力數(shù)據時采用的是赫爾默特1901到1909年正常重力公式，與之相應的赫爾默特扁球不是旋轉橢球，它與克拉索夫斯基橢球是不一致的；</p><p>　　對應的參考橢球面與我國大地水準面存在著自西向東明顯的系統(tǒng)性傾斜，在東部地區(qū)高程異常最大達到＋65米，全國范圍平均29米；</p><p>　　橢球定向不明確，橢球短軸指向既不是CIO,也不是我國的JYD196

42、8.0；</p><p>　　起始子午面不是國際時間局BIH所定義的格林尼治平均天文臺子午面，給坐標換算帶來一些不便和誤差；</p><p>　　坐標系未經整體平差而僅是局部平差成果，點位精度不高，也不均勻；</p><p>　　名不副實，容易引起一些誤解。</p><p>　　2.3.2 1980年國家大地坐標系</p>&l

43、t;p><b>　　特點：</b></p><p>　　1980年國家大地坐標系屬參心大地坐標系；</p><p>　　采用既含幾何參數(shù)又含物理參數(shù)的四個橢球基本參數(shù)。數(shù)值采用1975年IUGG第16屆大會的推薦值；</p><p><b>　　多點定位；</b></p><p>　　定向明確

44、。地球橢球短軸平行于由地球質心指向地極原點JYD1968.0方向，起始大地子午面平行于我國起始天文子午面；</p><p>　　大地原點在我國中部：陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)，簡稱西安原點；</p><p>　　大地點高程以1956年青島驗潮站求出的黃海平均海水面為基準；</p><p>　　1980年國家大地坐標系建立后，進行了全國天文大地網整體平差，計算了5萬余個點的成

45、果。</p><p><b>　　新問題：</b></p><p>　　原來的各種關于橢球參數(shù)的用表均要變更</p><p>　　低等點要重新平差，編撰新的三角點成果表</p><p>　　地形圖圖廓線和方里網線位置發(fā)生變化，并引起地形圖內地形、地物相關位置的改變</p><p>　　新形勢下19

46、80年國家大地坐標系的地極原點JYD1968.0已不能適應當代建立高精度天文地球動力學系帶要求。</p><p>　　2.3.3 1954年北京坐標系（整體平差轉換值）</p><p>　　它是在1980年國家大地坐標系的基礎上，改變IUGG1975年橢球至克拉索夫斯基橢球，通過在空間三個坐標軸上進行平移而來的。因此，其坐標值仍體現(xiàn)了整體平差的特點，精度和1980年國家大地坐標系相同，克服

47、了1954年北京坐標系局部平差的缺點；其坐標軸和1980年國家大地坐標系坐標軸相互平行，所以它的定向明確；它的橢球參數(shù)恢復為1954年北京坐標系的橢球參數(shù)，從而使其坐標值和1954年北京坐標系局部平差坐標值相差較小。</p><p><b>　　特點：</b></p><p>　　屬參心大地坐標系；長短軸采用克拉索夫斯基橢球參數(shù)；</p><p&g

48、t;　　多點定位，參心雖和1954年北京坐標系參心不相一致，但十分接近；</p><p>　　定向明確，與1980年國家大地坐標系的定向相同；</p><p>　　大地原點與1980年國家大地坐標系相同，但大地起算數(shù)據不同；</p><p>　　大地點高程基準是以1956年青島驗潮站求出的黃海平均海水面為基準；</p><p>　　提供坐標是

49、1980年國家大地坐標系整體平差轉換值，精度一致；</p><p>　　用于測圖坐標系，對于1:5萬以下比例尺測圖，新舊圖接邊，不會產生明顯裂痕。</p><p>　　2.3.4 WGS-84世界大地坐標系</p><p>　　該坐標系是一個協(xié)議地球參考系CTS（Conventional Terrestrial System）,其原點是地球的質心，Z軸指向BIH19

50、84.0定義的協(xié)議地球極CTP（Conventional Terrestrial Pole）方向，X軸指向BIH1984.0零度子午面和CTP赤道的交點，Y軸和Z、X軸構成右手坐標系。</p><p>　　WGS-84橢球采用國際大地測量與地球物理聯(lián)合會第17屆大會大地測量常數(shù)推薦值 </p><p>　　自1987年1月10日之后，GPS衛(wèi)星星歷均采用WGS-84坐標系統(tǒng)。因此GPS網的

51、測站坐標及測站之間的坐標差均屬于WGS-84系統(tǒng)。為了求得GPS測站點在地面坐標系（屬于參心坐標系）中的坐標，就必須進行坐標系的轉換。</p><p>　　2.3.5 2000國家大地坐標系</p><p>　　2008年3月，由國土資源部正式上報國務院《關于中國采用2000國家大地坐標系的請示》，并于2008年4月獲得國務院批準。自2008年7月1日起，中國將全面啟用2000國家大地坐標

52、系，國家測繪局受權組織實施。</p><p>　　2000國家大地坐標系是全球地心坐標系在我國的具體體現(xiàn)，其原點為包括海洋和大氣的整個地球的質量中心。2000國家大地坐標系采用的地球橢球參數(shù)如下：長半軸 a=6378137m </p><p>　　扁率　f=1/298.257222101 </p><p>　　地心引力常數(shù)　GM=3.986004418×1

53、014m3s-2</p><p>　　自轉角速度　ω=7.292l15×10-5rad s-1</p><p>　　采用2000國家大地坐標系具有科學意義，隨著經濟發(fā)展和社會的進步，我國航天、海洋、地震、氣象、水利、建設、規(guī)劃、地質調查、國土資源管理等領域的科學研究需要一個以全球參考基準為背景的、全國統(tǒng)一的、協(xié)調一致的坐標系統(tǒng)，來處理國家、區(qū)域、海洋與全球化的資源、環(huán)境、社會和信

54、息等問題，需要采用定義更加科學、原點位于地球質量中心的三維國家大地坐標系。</p><p><b>　　3測量坐標轉換模型</b></p><p>　　3.1常用等價坐標系</p><p>　　3.1.1大地坐標系</p><p>　　P點的子午面NPS與起始子午面NGS所構成的二面角叫做P點大地經度，P點的法線En與赤

55、道面的夾角B叫P點的大地緯度，P點的位置用L、B表示</p><p>　　3.1.2地心空間直角坐標系</p><p>　　地心空間直角坐標系是在大地體內建立的坐標系O-XYZ．，它的原點與地球質心重合，坐標軸系的配置方法如圖所示。Z軸與地球自轉軸重合，X軸與地球赤道面和起始子午面的交線重合，Y軸與XZ平面正交，指向東方，X、Y、Z構成右手坐標系，一點K的地心空間直角坐標用(z、y、z)表

56、示。地心坐標系是唯一的，因此這一坐標系確定地面點的“絕對坐標”，它在衛(wèi)星大地測量中獲得廣泛應用。</p><p>　　3.1.3參心空間直角坐標系</p><p>　　以橢球中心O為原點，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向為Y軸，橢球體的旋轉軸為Z軸構成右手坐標系O-XYZ，在該坐標系中，P點的位置用X、Y、Z表示 。</p><p><

57、b>　?。?.1）</b></p><p>　　3.1.4平面直角坐標系 </p><p>　　由于高斯投影是分帶進行投影的，每個投影帶都有各自不同的中央子午線，投影帶間互不相干，因些在每個投影帶中均可以建立各自不同的平面直角坐標系。由高斯投影知，中央子午線與赤道投影后均為直線且正交。如果以中央子午線的投影為縱坐標軸，即x軸，赤道的投影為橫坐標軸，即y軸，中央子午線與赤道

58、的交點O投影為原點o，于是，構成了高斯平面直角坐標系o-oy，如圖所示。</p><p>　　由于高斯平面坐標系的建立，嚴格地說，高斯投影中的第二個投影條件應改為"中央子午線投影為縱坐標軸"。 所以中央子午線又稱為軸子午線。它是計算經差的零子午線，也是計算等量經度l的"假定零子午線"。</p><p>　　圖3-1 高斯平面坐標系</p>

59、<p>　　3.2測量坐標系轉換</p><p>　　3.2.1同一參考橢球下大地坐標與空間直角坐標的轉換</p><p>　　1)（B，L，H）→（X，Y，Z）</p><p><b>　　（3.2）</b></p><p><b>　?。?.3）</b></p>&l

60、t;p>　　圖3-2大地坐標與空間直角坐標轉換示意圖</p><p>　　2)（X，Y，Z） → （B，L，H）</p><p><b>　?。ǎǎǎǎǎǎ?lt;/b></p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　3.2.2 大地坐標與高斯平面坐標之間的轉換</p&g

61、t;<p>　　1)高斯投影坐標正反算公式</p><p>　　已知某一點在橢球面上的大地坐標(B、L)，求其在高斯平面上的坐標(z、y)，稱其為高斯投影正算。正算的關系式如下：</p><p>　　x=F1(B、L) （3.5） </

62、p><p>　　y=F2(B、L) （3.6） </p><p>　　在高斯投影中，為了限制投影變形的程度，是將橢球面按子午圈分為若干相等經度差(例如60、30等)的投影帶，各以本帶中央大地經度為L0的子午圈作為軸子午線。投影就限制在各帶范圍內進行。</p&

63、gt;<p>　　高斯投影坐標正算公式 B,l—x,y</p><p>　　任一大地點要進行投影計算，應先看它的大地經度L是屬于那一帶，設該帶中央經線(即軸子午線)的經度為L0，則投影變形的程度只隨L一L0=l而變，而和其它無關，因此投影正算關系式可以寫為：</p><p>　　x=F1(B、l) （3.7）

64、 </p><p>　　y=F2(B、l) （3-8） </p><p>　　為了推導高斯投影正算公式，下面我們以上式為基礎，根據高斯投影的三個條件確定函數(shù)F1和F2的具體形式 ：</p><p>　　我們先根據第一個條件即

65、等角條件，導出投影函數(shù)式應該滿足的特征方程:</p><p><b>　?。ǎ?lt;/b></p><p><b>　?。?.9）</b></p><p>　　圖3-3高斯投影第一條件示意圖</p><p>　　高斯投影的第二個條件是：軸子午線的描寫形是一條直線，而且是投影點的對稱軸。</p>

66、;<p>　　圖3-4高斯投影第二條件示意圖</p><p>　　如圖3-4 (a)，OP為橢球面上投影帶的軸子午線，其經度為L0，在OP兩側有對稱的兩點A(B、l)和A′(B、-l)，軸子午線OP在平面上的描寫形為ox(見圖3-4 (b))，它是一條直線，同時也是平面坐標系的縱軸。因為A、 A′對稱于軸子午線，所以對稱,它們的平面坐標應分別為a(x,y)、 a′(x,-y)。這就要求投影函數(shù)滿足以

67、下關系式：</p><p>　　x=F1(B、±l) </p><p>　　±y=F2(B、±l) </p><p>　　也就是說,不管經度差l是正還是負，縱坐標x都應該是正值，而橫坐標y則與

68、l同號。</p><p>　　根據高斯投影的第三個條件，軸子午線描寫形沒有長度變形，因此這時縱軸坐標x應該等于橢球面上該點到赤道的子午線弧長X(圖)，即</p><p><b>　?。?.10）</b></p><p><b>　　(3.11)</b></p><p><b>　　(3.1

69、2)</b></p><p>　　圖3-5高斯投影第三條件示意圖</p><p><b>　　(3.13)</b></p><p><b>　　(3.14)</b></p><p><b>　　(3.15)</b></p><p>　　1）高

70、斯投影坐標反算公式 x,y —B,l</p><p>　　根據一點在高斯平面上的坐標x、y計算該點在橢球面上的大地坐標B、L，稱其為高斯投影反算。通過高斯投影正算，我們可以得到地面控制點的高斯平面直角坐標x、y，用平面坐標作為加密圖根控制網和測圖的依據非常方便。但在大地測量的某些計算和國防建設中常常需要大地坐標，如果沒有各大地點的大地坐標資料，就需要根據已知的平面坐標換算為大地坐標。例如，在國家控制網的拉普

71、拉斯點上把天文方位角化為大地方位角時，在用天文大地的方法求垂線偏差的大小時，在把地面觀測值歸算至橢球面時，在國防上求定長距離兩點間的方位和距離時，在為導彈發(fā)射提供必要的數(shù)據時都要用到大地坐標。此外，為保證大地測量計算工作的準確無誤，投影正、反算也可以互相檢核。</p><p>　　在進行高斯投影反算時，原面是高斯平面，投影面是橢球面，其相應的函數(shù)關系如下：</p><p>　　B=ψ1（x

72、,±y） （3.16） </p><p>　　+l=ψ2（x,±y） （3.17） </p><

73、;p>　　圖3-6高斯投影反算三條件示意圖</p><p>　　2）同正算一樣，高斯投影反算時，上式函數(shù)必須滿足前述三個條件，推導過程與正算公式相似。</p><p><b>　　滿足以下三個條件：</b></p><p>　?、賦坐標軸投影后為中央子午線是投影的對稱軸；</p><p>　　② x坐標軸投影后長度

74、不變；</p><p>　?、弁队熬哂姓涡再|，即正形投影條件。</p><p>　　3、高斯投影坐標正反算公式的幾何解釋</p><p>　?、佼擝=0時x=X=0，y則隨l的變化而變化，這就是說，赤道投影為一直線且為y軸。當l=0時,則y=0,x=X,這就是說，中央子午線投影亦為直線，且為x軸，其長度與中央子午線長度相等。兩軸的交點為坐標原點。</p>

75、;<p>　?、诋攍=常數(shù)時(經線),隨著B值增加，x值增大，y值減小，這就告訴我們，經線是凹向中央子午線的曲線，且收斂于兩極。即當用-B代替B時，y值不變，而x值數(shù)值相等符號相反，這就說明赤道是投影的對稱軸。</p><p>　?、郛擝=常數(shù)時(緯線)，隨著的l增加，x值和y值都增大，這就是說，緯線是凸向赤道的曲線。又當用-l代替l時，x值不變，而y值數(shù)值相等符號相反，這就說明，中央子午線是投影對

76、稱軸。由于滿足正形投影條件，所以經線和緯線的投影是互相垂直的。</p><p>　　④距中央子午線愈遠的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長度變形愈大。</p><p>　　3.2.3站心地平坐標系及其應用</p><p>　　1) 站心地平直角坐標系與空間大地直角坐標系的轉換關系</p><p>　　定義：站心點的法線為z軸，在地平面上以子午線

77、方向為x軸，y與x、z軸正交，指向東為正。</p><p>　　將站心坐標軸 XYZ 變換成與空間坐標系的指向一致，需要如下幾步：</p><p>　　(1) z坐標軸反向；</p><p>　　(2) 繞y軸900+B；</p><p>　　(3) 繞z軸旋轉-L。</p><p>　　將站心系坐標軸變換到與三維空間

78、直角坐標軸指向一致時的旋轉矩陣為：</p><p><b>　?。?.18）</b></p><p>　　顧及，站心系原點在空間坐標系中的坐標為：</p><p><b>　?。?.19）</b></p><p>　　則，站心系坐標到空間直角坐標系的變換公式為：</p><p&g

79、t;<b>　?。?.20）</b></p><p>　　由上式得，空間直角坐標系到站心系的變換公式為：</p><p><b>　?。?.21）</b></p><p>　　2) 站心極坐標系與站心地平直角坐標系的關系</p><p>　　定義：由站心系原點到點的空間距離、方位角和天頂距為坐標變量

80、確定三維點位，稱為站心極坐標系</p><p>　　圖3-7站心極坐標系示意圖</p><p><b>　?。?.22）</b></p><p>　　也可以用以下公式計算：</p><p><b>　?。?.23）</b></p><p>　　公式中的天頂距和方位角都歸算到以

81、法線為基準。測量時以垂線為基準的，需要作垂線偏差改正。</p><p>　　3) 空間直角坐標系與站心地平直角坐標系的旋轉矢量之間的關系</p><p>　　若x、y和z為空間坐標系的旋轉矢量， x、 y和z為站心坐標系的旋轉矢量。顧及旋轉矢量是平移不變量，旋轉關系與坐標矢量相同。</p><p><b>　?。?.24）</b></p&

82、gt;<p>　　圖3-8旋轉矢量關系示意圖</p><p>　　3.3兩個空間大地直角坐標系間的轉換模型</p><p>　　3.3.1Bursa - Wolf 模型</p><p>　　轉換參數(shù)包括三個平移參數(shù)、三個旋轉參數(shù)與一個尺度參數(shù)。</p><p><b>　?。?.25）</b></p&

83、gt;<p>　　R為前面所述的旋轉矩陣。當旋轉角為小角度時，上式可簡化為：</p><p><b>　　（3.26）</b></p><p>　　略去尺度參數(shù)和旋轉參數(shù)的乘積項，上式可進一步簡化為：</p><p><b>　　（3.27）</b></p><p>　　上式第二式常用

84、于轉換參數(shù)未知時，利用同名點在兩個坐標系中的坐標計算轉換參數(shù)。</p><p>　　上式應用于Pj，并與上式相減，得Pi與Pj兩點坐標差的坐標變換模型如下：</p><p><b>　　（3.28）</b></p><p>　　3.3.2Molodensky 模型</p><p>　　如果旋轉與尺度是相對于參考點PK，即

85、以參考點PK作變換中心。則有Molodensky 模型。</p><p><b>　?。?.29）</b></p><p>　　旋轉角為小角度時，上式可簡化為：</p><p><b>　　（3.30）</b></p><p>　　上式同樣可以簡化為求解轉換參數(shù)的形式如下：</p>&

86、lt;p><b>　　（3.31）</b></p><p><b>　　其中，</b></p><p><b>　?。?.32）</b></p><p>　　相應于Molodensky模型的坐標差的轉換模型與Bursa-Wolf模型相同。</p><p>　　3.3.3范

87、士轉換模型</p><p>　　若旋轉角是圍繞參考點的站心地平坐標系的坐標軸，即為范士轉換模型。將三維空間坐標系的旋轉角與站心系旋轉角的關系代入Molodensky模型，即得范士轉換模型如下：</p><p><b>　　（3.33）</b></p><p>　　4 測量坐標轉換實例 </p><p>　　4.1改進的

88、高斯-牛頓法</p><p>　　該方法解決了傳統(tǒng)空間 三維直角坐標轉換中采用的線性模型不適合大旋轉角的難題， 具有計算簡便,收斂速度快、 不依賴7個坐標轉換參數(shù)初值、 便于程序實現(xiàn)等特點。最后通過模擬算例驗證了該方法的正確性。</p><p>　　隨著測繪技術的發(fā)展， 測繪學中經常遇到三維直角坐標轉換的問題， 如在空間大地測量、 三維激光掃描、 測量機器人自由設站以及 GIS中都遇到大量

89、的大旋轉角的三維直角坐標的轉換問題。傳統(tǒng)的三維直角坐標轉換大多采用7參數(shù)線性模型（ 即包含3個坐標平移參數(shù)、 3個角度旋轉參數(shù)和1個尺度縮放參數(shù)） ， 只適用于小旋轉角。</p><p>　　基于改進的高斯 牛頓法的非線性三維直角坐標轉換方法， 該方法不僅適合小旋轉角也適用于大旋轉角的三維坐標轉換， 具有計算過程簡便、 收斂速度快、 不依賴 ７個坐標轉換參數(shù)初值、 計算結果精確、 便于程序實現(xiàn)等特點。最后通過模

90、擬算例驗證了該方法的有效性和正確性。</p><p><b>　　數(shù)學模型</b></p><p><b>　　(4.1)</b></p><p>　　三維直角坐標轉換模型為：</p><p>　　其中： ［ X Y Z］T新 表示經坐標轉換后的新坐標系統(tǒng)下的坐標， ［ X Y Z］T舊 表示舊坐標

91、系統(tǒng)下的坐標， ［ ΔX　ΔY 　ΔZ ］T為平移因子， ｋ為尺度縮放因子， Ｒ為坐標旋轉矩陣。坐標旋轉矩陣 Ｒ構成過程為： 首先將坐標軸繞 Ｘ軸逆時針旋轉 φ ， 得旋轉矩陣RX； 再將坐標軸繞新的Ｙ軸逆時針旋轉ψ ， 得旋轉矩陣 RY， 最后將坐標軸繞新的 Ｚ軸逆時針旋轉 θ ， 得旋轉矩陣 RZ； 將以上3次旋轉合并即可得坐標旋轉矩陣 R。即</p><p><b>　　(4.2)</b&g

92、t;</p><p><b>　　其中：</b></p><p><b>　　(4.3)</b></p><p>　　(4.4) </p><p>　　(4.5) </p><p>　　將 Ｒ代入式(1)線性化后得誤差方程

93、：Ｖ＝ＢｄＸ－ｌ</p><p><b>　　其中：</b></p><p><b>　　(4.6)</b></p><p><b>　　(4.7)</b></p><p><b>　　(4.8)</b></p><p><b

94、>　　(4.9)</b></p><p><b>　　(4.10)</b></p><p><b>　　(4.11)</b></p><p><b>　　(4.12)</b></p><p>　　上面式中的 、和單位為弧度。如果新、舊坐標系下有3個以上（ 含

95、 3個） 的基準點， 則可按最小二乘準則進行平差計算，求出 7個坐標轉換參數(shù)。</p><p>　　高斯-牛頓法的基本思想是把非線性模型在未知參數(shù)初值處進行線性化， 按最小二乘準則平差估計出一次近似值 ， 然后以該近似值作為下一次線性化的初值， 反復迭代計算逐次逼近真正的極小點。該方法可以利用現(xiàn)有的平差軟件，但它對未知參數(shù)的初值有較強的依賴性， 當初值較差時,會出現(xiàn)迭代計算發(fā)散現(xiàn)象【1，2】。而改進的高斯 －牛

96、頓法就是利用高斯-牛頓法求出第 ｋ次迭代計算未知參數(shù)的改正數(shù) ，然后在迭代計算過程中加入一個適當?shù)乃阉鞑介L ： (1 ) 則一定有：</p><p>　　' </p><p>　　其中 為第 ｋ 次迭代計算式</p><p>　　(2 ) 中的坐標改正數(shù)向量 Ｖ 。這樣就能保證 向

97、的極小值靠近， 可避免迭代的波動性， 從而得到收斂的非線性最小二乘估計。 (3) 式 中第 ｋ次迭代的搜索步長 計算公式為：</p><p>　　(4 ) 其中： 為第 ｋ 次迭代計算的有：</p><p>　　(5) 式中， ， 為第 ｋ次迭代計算式(2)中的 向量。</p><p>　　改進的高斯—牛頓法不僅具有平

98、方收斂速度，而且有每次迭代計算的工作量不大的優(yōu)點,還可以利用現(xiàn)有的平差軟件,當具有足夠基準點時,改進的高斯－牛頓法效果很好。</p><p>　　4.2基于改進的高斯-牛頓法的非線性三維直角坐標轉換</p><p><b>　　計算步驟如下：</b></p><p>　　1) 將 7個轉換參數(shù)的初值 取為：, ， ， ° ， &#

99、176; ， ° ，.</p><p>　　2) 對空間三維直角坐標轉換模型在 處線性化， 可得如式(2)所示的誤差方程，若有ｎ個基準點，可組成3n個誤差方程。按最小二乘準則下的間接平差模型估計轉換參數(shù)的改正數(shù)向量 接平差模型估計轉換參數(shù)的改正數(shù)向量 </p><p>　　3) 按式(5)計算目標函數(shù) </p><p>　　4) 按式(4 )計算搜索步長

100、值， 代入式(3)計算轉換參數(shù) 。</p><p>　　5) 按式(5)計算目標函數(shù) 。若 與 的差值ε小于給定的閾值 (取)， 則轉 6)； 否則令 ， 轉 2)</p><p>　　6) 輸出最終的轉換參數(shù) 和目標函數(shù)值 ， 迭代計算結束。</p><p><b>　　算例和分析</b></p><p>　　如

101、圖4-1所示， 已知點1～ 8分別為立方體的8個頂點，它們的坐標已知(見表4-1)。設這些點先沿X、Y、Z軸各平移500ｍ 、1000ｍ 、2000ｍ后，再分別繞軸逆時針旋轉 30°、45 °、60 °，尺度參數(shù)假定為1 ，變換后的坐標如表4-1。</p><p>　　圖4-1 模擬算例</p><p>　　表4-１ 　 模擬數(shù)據

102、（ 真值）</p><p>　　對7個轉換參數(shù)采用如下 4種不同方案的初值：</p><p>　　方案1 ： ， ， ， ° ，° ，° ， 方案2 ： ， ， ， ° ， ° ， ° ，。</p><p>　　方案3 ： ，， ， ° ， °， °

103、， 。</p><p>　　方案4: ， ， ° ， ° 。</p><p>　　取點1 、3 、8作為基準點,然后按照本文給出的基于改進的高斯牛頓法的非線性空間三維直角坐標轉換法進行迭代計算求解坐標轉換參數(shù)， 計算結果如表4-2所示。2 ) 將上面模擬算例中的 3個平移參數(shù)分別更改為10ｍ、50ｍ、100ｍ， 3個旋轉參數(shù)分別更改為30″ 、 1 ′ 、 5 ′ ，

104、 尺度參數(shù)取 0.5 ， 8個點的坐標基數(shù)改為100ｍ（ 即原先的 1000 100先的－1000 －100。取點 1 、3 、8作為基準點，并取轉換參數(shù)的初值為上例方案4的值， 經8次迭代計算后求得正確的轉換參數(shù)， 計算結果如表4- 3所示；然后將計算所得轉換參數(shù)代入式(1) 中計算各點經坐標轉換后的坐標，計算結果如表4-4所示。</p><p>　　表4-２ 　 轉換參數(shù)的

105、計算結果</p><p>　　表4-３ 　 算例的轉換參數(shù)計算結果</p><p>　　表4-4 　 轉換后坐標及其與模擬真值的較差</p><p>　　由表4-2可見：采用上述 4種不同初值的計算方案均能在很少的迭代次數(shù)內收斂， 并得到正確的 7個轉換參數(shù)，這說明利用本文提出的方法進行大旋轉角的三維直角坐標轉換是行之有效的。由表4-3 、

106、4-4見，即使給定的轉換參數(shù)初值與模擬真值有非常大的偏差，但經過若干次迭代計算仍然獲得正確的轉換參數(shù)及其轉換坐標，這也證明采用本文提出的方法同樣適用于小旋轉角的三維直角坐標轉換，且不依賴于轉換參數(shù)的初值。</p><p><b>　　4）結論</b></p><p>　　傳統(tǒng)的三維直角坐標轉換， 要求 3個旋轉角為微小量， 一般采用７參數(shù)線性模型， 不適合大旋轉角的坐

107、標轉換。而在現(xiàn)實中存在大量的大角度旋轉的坐標轉換工作， 因此傳統(tǒng) 7參數(shù)線性模型在這種情況下就變得束手無策?；诖?， 本文提出了一種基于改進的高斯 牛頓法的非線性三維直角坐標轉換方法， 該方法不但不依賴于轉換參數(shù)的初值， 收斂速度快， 而且計算簡便， 易于編程實現(xiàn)， 還能充分利用現(xiàn)有平差軟件。最后通過模擬算例驗證了該方法的可行性與正確性。不過， 該方法也有一定的局限性：一是基準點個數(shù)必須足夠多（ 一般不少于 3個） ； 二是該方法不具

108、有抗粗差能力， 倘若基準點含有粗差，則計算結果不準確（ 可在后續(xù)研究中加入抗差估計法， 如穩(wěn)健估計法， 以確保轉換參數(shù)計算的準確性和可靠性）</p><p>　　5測量坐標轉換應用 </p><p>　　GPS坐標定位成果（包括單點定位的坐標以及相對定位中解算的基線向量）屬于WGS-84大地坐標系坐標（因為衛(wèi)星星歷是以WGS-84坐標系為根據而建立的），而實用的測量成果往往是屬于某一國

109、家坐標系或地方坐標系（或叫局部的，參考坐標系）。參考坐標系與WGS-84坐標系之間一般存在著平移和旋轉的關系。實際應用中必須研究GPS成果與地面參考坐標系統(tǒng)的轉換關系。先介紹GPS定位結果的表示方法，然后介紹將GPS定位結果轉換為國家/地方獨立坐標系的方法，最后討論這幾種轉換方法的應用。</p><p>　　5.1 GPS定位結果的表示方法</p><p>　　WGS-84大地坐標系是GP

110、S衛(wèi)星定位系統(tǒng)采用的大地坐標系，因而，所有利用GPS接收機進行測量計算的成果均屬于WGS-84。</p><p>　　我們知道，GPS定位有單點絕對定位和點間相對定位兩種方法，定位結果的表示形式也隨結果的性質不同而不同，但都以WGS-84坐標系作為參考體。</p><p>　　單點定位確定的是點在WGS-84坐標系中的位置。大地測量中點的位置常用大地緯度B，大地經度L和大地高H表示，也常用

111、三維直角坐標X，Y，Z表示。</p><p>　　相對定位確定的是點之間的相對位置，因而可以用直角坐標差ΔX，ΔY，ΔZ表示，也可以用大地坐標差ΔB、ΔL和ΔH表示。相對定位時其中一個點是固定點。設為1號點，其坐標為X1、Y1、Z1或B1、L1、H1，則另一點（2號點）的三維直角坐標和大地坐標可分別求得如下：</p><p><b>　　(5.1)</b></p

112、><p><b>　　(5.2)</b></p><p>　　如果建立以固定點為原點的站心地平空間直角坐標系，參照（2-6）式則2號點在該坐標系內的坐標X、Y、Z與基線向量ΔX，ΔY，ΔZ關系為：</p><p><b>　　(5.3)</b></p><p><b>　　或 </b

113、></p><p><b>　　(5.4)</b></p><p>　　如果以天頂距Z天，方位角A和水平距離D來表示2號點在該站心空間直角坐標系內的位置，則有:</p><p><b>　　(5.5)</b></p><p><b>　　或</b></p>

114、<p><b>　　(5.6)</b></p><p>　　5.2 GPS定位成果轉換為國家大地坐標系的三維坐標</p><p>　　二維轉換后GPS網與地面網在原點和起始大地方位上已完全重合一致，而三維轉換就是使GPS網與地面網在原點和空間起始方向上完全重合一致。</p><p>　　首先也作GPS網的平移變換，使GPS網與地面網在

115、原點上重合一致，方法同上。然后，在原點建立站心空間直角坐標系，計算出GPS網與地面網在起始方向上的方位角A和高度角β。A和β的計算公式為:</p><p><b>　　(5.7)</b></p><p>　　于是，GPS網與地面網在起始方向上的方位角差和高度角差為:</p><p><b>　　(5.8)</b></

116、p><p>　　設GPS網各點相對于原點的三維直角坐標差為ΔX，ΔY，ΔZ，則各點經三維轉換后相對于原點的三維直角坐標差ΔX1，ΔY1，ΔZ1為:</p><p><b>　　(5.9)</b></p><p>　　最后得各點經三維變換后在國家大地坐標系內的三維直角坐標為:</p><p><b>　　(5.10)

117、</b></p><p>　　這樣便可求得各點在國家大地坐標系內的大地坐標B1、L1、H1。</p><p>　　若要再 將GPS網投影變換至地方坐標系內，可利用上述方法作類似轉換。</p><p>　　二維和三維轉換方法的應用</p><p>　　GPS網測建完成后，為了進行與地面網的聯(lián)合平差或約束平差，可首先利用上述轉換方法將

118、GPS網轉換至國家大地坐標系內或地方獨立坐標系內，再作平差計算。</p><p>　　由于GPS網與地面網在原點和起始方位上已完全重合一致，因此，可將轉換后GPS網中各點的坐標，各基線向量的方位角和邊長與地面網中的相應點的坐標，相應方向上的方位角和邊長進行比較，可作為GPS外部檢核的一種結果。</p><p>　　5.3 將GPS定位成果轉換至國家大地坐標系</p><

119、p>　　應用七參數(shù)轉換公式（2-21）進行坐標轉換時，GPS網與地面網應有三個以上的重合點。</p><p>　　當GPS網選定基準點的坐標后，便可由基準點的坐標值和基線向量的平差值計算各GPS點的WGS-84坐標值（X Y Z），重合點在地面網中的坐標由（B L H）D換算為（X Y Z）D，最后將重合點的兩套坐標值代入七參數(shù)公式（2-21）解算轉換參數(shù)（三個坐標平移參數(shù)，三個旋轉參數(shù)，一個尺度比參數(shù)）。

120、重合點多于三個時，一般用平差的方法進行求解轉換參數(shù)。轉換參數(shù)求出后，仍用公式（2-21）計算各GPS點在國家坐標系中的坐標，便實現(xiàn)了GPS定位結果至國家坐標系的轉換。</p><p>　　應當指出的是，GPS定位結果中，隨著基準點的坐標的不同，所求轉換參數(shù)會有很大差異。地面網重合點大地坐標中H 值（大地高）往往不能精確的給定，H=h+ζ中高程異常最高精度為米級，所以會給轉換后的坐標帶來一定誤差。重合點的個數(shù)與幾何