數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學系畢業(yè)論文設(shè)計----行列式的計算

1、<p>　　` 學科分類號 </p><p><b>　　本科生畢業(yè)設(shè)計論文</b></p><p>　　題目（中文）： 行列式的計算 </p><p>　　（英文）：The Calculation of Determinant </p>

2、<p>　　學生姓名：　 　　　　　　</p><p>　　學　　號：　 　　　　</p><p>　　系　　別：　數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學系　</p><p>　　?！　I(yè)：　數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學　　</p><p>　　指導教師：　 　　　　　　</p><p>　　起止日期：

3、 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要I</b></p><p><b>　　關(guān)鍵詞I</b></p><p>　　AbstractI</p><p>　　Key wordsI&l

4、t;/p><p><b>　　1前言1</b></p><p>　　2行列式的定義及其性質(zhì)2</p><p>　　3針對各種行列式的一般結(jié)構(gòu)特點歸納出常用的計算方法9</p><p><b>　　3.19</b></p><p><b>　　3.211<

5、/b></p><p><b>　　3.316</b></p><p><b>　　3.418</b></p><p><b>　　3.521</b></p><p><b>　　3.623</b></p><p>&

6、lt;b>　　參考文獻26</b></p><p><b>　　致 謝27</b></p><p><b>　　附 錄</b></p><p><b>　　行列式的計算</b></p><p><b>　　摘 要</b></p

7、><p>　　行列式是解決線性代數(shù)的工具，它的產(chǎn)生和最早的應(yīng)用都是在解線性方程組中，現(xiàn)在的應(yīng)用范圍已拓寬得較為廣泛，成為數(shù)學、物理學以及工科許多課程的重要工具。行列式的計算問題非常重要，它是行列式理論的重要組成部分。計算行列式的一般方法是不存在的（若不計在行列式定義中所給出的表達式的話）。處理特殊類型的行列式應(yīng)用著各種不同的計算方法，這些方法可以簡化行列式的計算。本文第一部分是一般行列式的計算方法，介紹了定義法、化

8、為上（下）三角形法、典型字母行列式法、利用“奇數(shù)階反對稱行列式等于零”的性質(zhì)、降階法、升階法、拆項法、遞推法、數(shù)學歸納法、分離線性因子法、公式法、元素變形法、乘積法、乘以已知行列式法、輔助法并且這16種方法對應(yīng)相應(yīng)的例題。第二部分是分塊矩陣的行列式的計算方法。 </p><p><b>　　關(guān)鍵詞</b></p><p>　　行列式；線性代數(shù)；計算方法 

9、</p><p>　　The Calculation of Determinant</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　The determinant is a tool to solve the linear algebra, its emergence and the earliest applic

10、ation are in solving linear equations, now the application scope get broader and broader and become the important tool for many courses,for example mathematics, physics and engineering and so on. The calculation of deter

11、minant is very important, it is an important part of the theory of the determinant. The general method of calculating the determinant is not exist (if it is neglected in determinant defini</p><p>　　should ap

12、plicate various calculation method, these methods can simplify the calculation of determinant </p><p>　　The first part of this text is general calculation method of determinant and it introduces the definiti

13、on method, into the upper (lower) triangle method, typical letters determinant method, using "odd number order antisymmetry determinant equals to zero" nature, order reduction method, order addition method, tea

14、r open study method, the recursive method, mathematical induction, separation linear factor method, formula method, element shape-shifting method, product method, multiplied by the known </p><p>　　The second

15、 part is the calculation methods of partitioned matrix determinant. </p><p><b>　　Key words</b></p><p>　　Determinant；the linear algebra；calculation method</p><p><b>

16、;　　1 前言</b></p><p>　　行列式最早出現(xiàn)在十六世紀關(guān)于線性方程組的求解問題，時至今日行列式的應(yīng)用卻遠不及如此，它在消元法，矩陣論，坐標變換，多重積分中的變量替換，解行星運動的微分方程，二次型有廣泛應(yīng)用，它不僅是線性代數(shù)的核心和基礎(chǔ)，也是線性代數(shù)理論中極其重要的組成部分。近些年，已有許多作者探究過行列式的性質(zhì)及其計算方法，如張曰云的“n 階r- 循環(huán)行列式的計算”，陳煒的“用間接遞推法

17、計算行列式”等。</p><p>　　通過對行列式的定義性質(zhì)及計算方法的探究，了解到行列式是一定是方陣，也就是行數(shù)和列數(shù)相等。行列式是矩陣的所有不同行且不同列的元素之積的代數(shù)和，和式中每一項的符號由積的各元素的行指標與列指標的逆序數(shù)之和決定：若逆序數(shù)之和為偶數(shù)，則該項為正；若逆序數(shù)之和為奇數(shù)，則該項為負。當然根據(jù)定義對行列式進行計算是一種方法，但如果行列式的階數(shù)較高的話，用定義去求解的話會比較麻煩，所以根據(jù)行列式

18、某些結(jié)構(gòu)特點探究一些較簡便的計算方法將具有重要意義。</p><p>　　下面來介紹一下全文的結(jié)構(gòu)，來幫助大家認識整篇文章的大意。全文共分為三個部分，第一部分介紹行列式的定義及其性質(zhì)，第二部分針對各種行列式的一般結(jié)構(gòu)特點歸納出常用的計算方法，第三部分對結(jié)構(gòu)較復雜的行列式歸納出特殊的計算方法，并加以總結(jié)。上面對全文有了一個整體的概括，接下來將具體細致的對三個部分進行論述。</p><p>　

19、　2．行列式的定義及其性質(zhì)</p><p><b>　　2．1逆序數(shù)</b></p><p><b>　　2．1.1 定義</b></p><p>　　個互不相等的正整數(shù)任意一種排列為：，規(guī)定由小到大為標準次序，當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就說有一個逆序數(shù)，該排列全部逆序數(shù)的總合用表示，等于它所有數(shù)字中后面小于

20、前面數(shù)字的個數(shù)之和。例如：</p><p><b>　　2．1.2 性質(zhì)</b></p><p>　　一個排列中任意兩個元素對換，排列改變奇偶性，即 。</p><p><b>　　證明如下：</b></p><p>　　設(shè)排列為，作次相鄰對換后，變成，再作次相鄰對換后，變成，共經(jīng)過次相鄰對換，而對

21、不同大小的兩元素每次相鄰對換逆序數(shù)要么增加1 ，要么減少1 ，相當于，也就是排列必改變改變奇偶性，次相鄰對換后，故原命題成立。</p><p>　　2．2．階行列式的定義及拓展</p><p>　　【例1】展開三階行列式： </p><p>　　解: 方法：固定行號1，2，3；列號可任意排列為，所有可能排列相應(yīng)的逆序數(shù)如下，共計種。</p>

22、<p><b>　　故</b></p><p>　　2.3 階行列式展項的特點</p><p>　　階行列式展開后，共有項，每一項中唯一包含且必須包含每一行和每一列中的一個元素，不能重復和也不能缺少，理解這一特點可以很快計算出結(jié)論只有少數(shù)幾項的行列式。</p><p><b>　　2.4 符號意義</b><

23、/p><p>　　中，代表第3行的全部元素； 表第5列的全部元素；余類推。不要錯誤理解為一個元素；</p><p>　　行列式---determinant,故常常把寫成。行---row, 一般用表示第一行與第二行對換，余類推。列----column, 用表示第二列與第七列對換，余類推。</p><p>　　2.5當行列式的元素是的函數(shù)，對行列式一階微分時（以三階為例），

24、有下列關(guān)系：</p><p>　　2.6．階行列式的5大性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)1：轉(zhuǎn)置（行與列順次互換）其值不變。</p><p>　　性質(zhì)2：互換任意兩行（列）其值變號。</p><p>　　性質(zhì)3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符號外。</p><p>　　性質(zhì)4：任意行列式可按某行（列）分解為兩個行列

25、式之和。</p><p>　　性質(zhì)5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列），其值不變。</p><p>　　行列式的五大性質(zhì)全部可通過其定義證明；而以后對行列式的運算主要是利用這五個性質(zhì)。</p><p>　　評 注 對性質(zhì)4的重要拓展：</p><p>　　設(shè)階同型矩陣，，而行列式只是就某一列分解，所以，應(yīng)當是個行列式之和，即。<

26、;/p><p>　　以我們經(jīng)常遇到三階行列式的特征值問題舉例如下：</p><p>　　其中，表示取被展開的行列式中的各列的第一子列，余類推。</p><p>　　特別地，如特征值行列式中，有兩行或兩列對應(yīng)成比例，上述公式可以簡化為：</p><p>　　評 注 韋達定理的一般形式為： </p><p>　　2.7．

27、行列式元素的余子式展開和階子式的余子式展開定理</p><p>　　2.7.1余子式的概念</p><p>　　元素的余子式：把行列式中某元素所在的行與列全部劃掉，剩余的元素組成的新行列式，稱為該元素的余子式，用表示。如果再考慮余子式的符號，則稱該元素的代數(shù)余子式，用表示。</p><p>　　階子式的余子式：把行列式中任意指定行與列的交叉元素組成的子行列式（稱階子

28、式）所在的行與列全部劃掉，剩余的元素組成的新行列式，叫階子式的余子式，也用表示。如果再考慮余子式的符號，則稱階子式的代數(shù)余子式，用表示。</p><p>　　其中：為所在的行的具體序號；為所在的列的具體序號。</p><p>　　例如：中，二階子式的余子式為；</p><p>　　二階子式的代數(shù)余子式為。</p><p>　　2.7.2 行

29、列式按某一行或一列元素的代數(shù)余子式展開定理 </p><p>　　評 注 元素的代數(shù)余子式與該元素無關(guān)，行列式按某一行元素的代數(shù)余子式展開形式中，代數(shù)余子式前面乘以不同的系數(shù)就可以得到不同的行列式。</p><p>　　如果把上述等式兩邊的中括號里的元素換成不同的值，就變成不同的行列式了。</p><p>　　2.7.3 行列式按階子

30、式的代數(shù)余子式展開（拉普拉斯定理）： </p><p>　　下面是經(jīng)常使用的兩個特殊的拉普拉斯展開式：</p><p><b>　　2.8．萊姆法則</b></p><p>　　2.8.1 克萊姆法則</p><p><b>　　元非齊次方程組：</b></p><p>&l

31、t;b>　　方程有唯一解：。</b></p><p>　　其中是將中的第列元素換成常數(shù)，其余元素不變而得到的行列式。</p><p>　　如果，對應(yīng)方程組叫齊次方程組。</p><p>　　2.8.2 克萊姆法則的應(yīng)用范圍</p><p>　?、僦贿m用于方程的個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等的情形；</p><p&g

32、t;　　②，克萊姆法則失效，方程可能有解，也可能無解；</p><p>　?、埤R次方程組總是有解，當無窮多個解（有非零解）；只有唯一的零解。</p><p><b>　　求</b></p><p><b>　　解：方法一：</b></p><p>　　方法二：利用拉普拉斯展開：</p>

33、<p>　　【例】設(shè)行列式 ，則有多少個根？</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　3.針對各種行列式的結(jié)構(gòu)特點歸納出常用的計算方法</p><p>　　3．1范德蒙行列式的計算</p><p>　　范德蒙德行列式的標準形式為:</p><p>　　即n 階范德

34、蒙行列式等于a1 ,a2,a3,…an這n個數(shù)的所有可能的差的乘積。根據(jù)范德蒙德行列式的特點,可以將所給行列式化為范德蒙德行列式,然后利用其計算。常見的方法有以下幾種。</p><p>　　(1).用加邊法轉(zhuǎn)化為范得蒙行列式</p><p>　　例1:計算n 階行列式</p><p><b>　　Dn=</b></p><

35、p>　　分析:行列式Dn與范德蒙行列式比較少了一個xin-1(i=1,2,…,n),利用加邊的方法在第n-1行與第n之間加上含有xin-1 (i=1,2,…,n)的行，再加上相應(yīng)的一列1，x1,x2…xn則利用行列式的展開式中xn-1的系數(shù)可得行列式Dn的解。</p><p>　　解:考慮n+1階范德蒙行列</p><p>　　Dn+1= =（x-）(x-) ．．．(x-)</

36、p><p>　　由于行列式Dn恰好是行列式Dn+1的元素的余子式Mn,n+1,即：</p><p>　　Dn= Mn,n+1=-A n,n+1,而由Dn+1按第n+1列展開的表達式及韋達定理知的系數(shù)為：</p><p>　　An,n+1=-（x1+x2+…+xn）</p><p>　　故Dn=（x1+x2+…+xn）</p><

37、;p>　?。?）.利用行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式</p><p>　　例2:計算n+1階行列式</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　Dn+1=</b></p><p>　　分析:該行列式的排列規(guī)律與范德蒙行列式的排列規(guī)律正好相反,為使Dn+1中各列元素的方冪

38、次數(shù)自上而下遞升排列, 可以將第n+1行依次與上行交換自至第1行, 第n行依次與上行交換自至第2行,??,第2行依次與上行交換自至第n行,于是共經(jīng)過n+(n-1)+ +2+1= 次行的交換得到n+1階范德蒙德行列式。</p><p><b>　　解： </b></p><p>　　Dn+1=( -1) </p><p>　　= ( -1)(a-

39、1-a)(a-2-a) (a-n-a)[a-2-(a-1)][a-n-(a-(n-1))]</p><p><b>　　=</b></p><p>　　(3).利用乘法規(guī)則轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式</p><p><b>　　Dn+1=</b></p><p>　　分析:此行列式中每一個元素都可以利用二項

40、式定理展開,可以變成乘積的和。根據(jù)行列式的乘法規(guī)則D = D1. D2.</p><p>　　解：設(shè)D1= ，D2= </p><p>　　對D2進行例2中的行的交換就得到范德蒙行列式,于是</p><p>　　Dn+1=D1D2= ... = (-1) </p><p><b>　　= ... .</b><

41、;/p><p>　　只要熟悉了范德蒙行列式適用的形式和使用技巧,就可以很好地應(yīng)用范德蒙行列式計算有關(guān)的行列式了。 </p><p>　　可加邊計算的行列式的結(jié)構(gòu)特征及計算法</p><p>　　形如|A+BC|的行列式可用加邊法計算,其中A是n階可逆對角矩陣(或次對角陣),B是n行m列矩陣, C是m行n列矩陣:</p><p>　　(1) 當m

42、=1時, 用單加邊法計算行列式;</p><p>　　(2) 當m=2時, 用雙加邊法計算行列式;</p><p>　　(3) 當m=3時, 用三加邊法計算行列式.</p><p>　　(4) 推廣:當m>3時,用m次加邊法計算行列式.</p><p>　　(1) 用單加邊法(m=1時)</p><p>　　當A

43、 是對角矩陣時, 設(shè)A=,B=,C=,則行列式|A+BC|可采單位邊加法計算, 其中a1a2?an≠0.</p><p>　　此時行列式的一般形式為:</p><p>　　其結(jié)構(gòu)特征為:行列式D的第i行有公因子bi,(主對角線例外)其第i列中有公因子ci (主對角線例外),且可分解為A+BC的形式,其中A是可逆對角矩陣.</p><p><b>　　計算方

44、法：</b></p><p>　　(2) 用雙加邊法(m=2時)</p><p>　　僅就A是次對角矩陣時給出證明,當A是對角矩陣時,可仿照計算.</p><p>　　設(shè)，則行列式|A+BC|可采用雙邊加法計算，其中a1a2?an≠0.</p><p>　　此時行列式的一般形式為:</p><p>　　其結(jié)

45、構(gòu)特征為:按行觀察行列式D的第i行中每個元素的第一項中都有公因子bi,第二項中都有公因子di(次對角線例外);按列觀察, 其第j 列的每個元素的第一項中有公因子cj,而第二項中都有公因子ej(次對角線例外),且可以分解為A+BC的形式.</p><p><b>　　計算方法:</b></p><p>　?。?） 三加邊計算法(m=3時)</p><

46、p>　　設(shè)則行列式|A+BC|可采用三加邊法計算.</p><p>　　此時行列式的一般形式為:</p><p>　　其結(jié)構(gòu)特征為:按行觀察行列式D的第i行的每個元素的第一項中都有公因子bi,第二項中都有公因子di,第三項中都有公因子ei (主對角線例外)；按列觀察,其第j 列的每個元素的第一項中都有公因子cj,第二項中都有公因子fj,第三項中都有公因子gj (主對角線例外),且可以

47、分解為A+BC的形式.</p><p><b>　　計算方法:</b></p><p><b>　　+</b></p><p><b>　?。?）小結(jié)</b></p><p>　　由以上過程可推知,形如|An×n+Bn×mCm×n|的行列式均可通過

48、m次加邊法來計算,其中A是n階可逆對角矩陣( 或次對角陣) . 當m=1 時, 采用單加邊法計算; 當m=2 時, 采用雙加邊法計算; 當m=3 時, 采用三加邊法計算. 當m>3 時, 采用m 次加邊法計算. m≥3 時, 計算量迅速增加, 因此常見題目中m 均取1, 2.</p><p><b>　　用遞歸法計算行列式</b></p><p>　　所謂遞歸法

49、, 是指把待解決的問題, 歸結(jié)到一類與原問題性質(zhì)相同的、規(guī)模更小的問題中去, 最終求獲原問題之解答。</p><p>　　行列式是典型的遞歸結(jié)構(gòu),它可以作如下遞歸定義:</p><p>　　其中,Ani是元素ani的代數(shù)余子式,1≤i≤n</p><p>　　因此, 高階行列式的計算總可以歸結(jié)為求其低階子式的計算,也就是說用遞歸法計算行列式具有一般的方法論意義。用遞

50、歸法解題的一般步驟是:</p><p>　　(1)尋找遞推關(guān)系式;</p><p>　　(2)根據(jù)遞推關(guān)系式,求所需的遞歸邊界條件;</p><p>　　(3)求解遞推關(guān)系,或論證遞推關(guān)系的性質(zhì)。</p><p>　　下面通過幾個實例進行說明。</p><p>　　例1 計算爪形行列式</p><p

51、><b>　　解　構(gòu)造數(shù)列</b></p><p><b>　　，，…,則</b></p><p>　　重復利用以上遞推公式,有</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　計算Vandermonde 行列式</p><p>&l

52、t;b>　　解　構(gòu)造數(shù)列</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　重復利用以上遞推公式，有</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　用“分拆法、參量法、分解法”計算行列式</p><p><b>　

53、?。ㄒ唬┓植鸱?lt;/b></p><p>　　利用行列式相加的性質(zhì), 把行列式分拆為若干個便于計算的行列式之和的方法叫分拆法.</p><p><b>　　例1 設(shè)矩陣</b></p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　證明：左式</b>

54、</p><p>　　用同樣分拆的方法反復下去, 最后得:</p><p><b>　?。ǘ﹨⒘糠?lt;/b></p><p>　　借助于適當?shù)剡x取參量, 來簡化行列式計算的方法稱為參量法。</p><p><b>　　例2 計算行列式</b></p><p><b>

55、;　　解:令</b></p><p>　　則由例1( 取) 知</p><p>　　例3 設(shè)為任意整數(shù)，那么，</p><p>　　證明:令，因為為任意整數(shù)，，因此。</p><p><b>　　若，那么</b></p><p><b>　　即，矛盾，所以</b>

56、;</p><p><b>　　（三） 分解法</b></p><p>　　利用矩陣乘積性質(zhì)把行列式分解成若干個行列式乘積的方法為分解法.也就是, 如果矩陣A 分解為A=A1A2A3?As, 其中Ai 都是n 階方陣( i=1, 2, ?, s) 則|A|=| A1| | A2| | A3|?| As |.</p><p><b>　

57、　例4 計算行列式</b></p><p><b>　　解： </b></p><p>　　n 階r- 循環(huán)行列式的計算</p><p><b>　?。?）．引言</b></p><p>　　n階r- 循環(huán)行列式是一種典型的行列式，它的計算方法非常巧妙，也很有代表性，研究它的計算方法

58、，可以提高計算行列式的能力，也能夠完善行列式的計算方法.下面給出它的定義：</p><p><b>　　定義形如：</b></p><p>　　的行列式稱為n 階r- 循環(huán)行列式．簡記為.</p><p>　　(2) n 階r-循環(huán)行列式的計算公式</p><p>　　定理1 設(shè)n 階方陣A 的特征根為；為任意多項式，則

59、方陣的特征根為</p><p>　　定理2 若D為引言中定義的n 階r- 循環(huán)行列式，則有</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中 為的n個互不相同的根。</p><p>　　把（1）式稱為n 階r- 循環(huán)行列式的計算公式，下面簡稱公式（1）.</p><p>　　下

60、面將用三種方法證明上述定理，這三種方法分別為：析因子法，作輔助行列式法，特征根法.</p><p>　　證法Ⅰ（析因子法）把D的第i列乘以，，加到第一列，得：</p><p><b>　　，此時，</b></p><p><b>　　利用</b></p><p>　　… … … …</p

61、><p>　　故D必含有因式f(xk),k=1,2,…,n.又每個f(xk)都是關(guān)于的一次齊次線性式,而其中含有文字的項全為,即的系數(shù)都是1;其中含有文字的項順序為,這些項的系數(shù)互不相等；故(k=1,2,…,n)各個線性因子是互素的,從而D應(yīng)有因式，又由于的展開式是含的n次齊次式，而D也是含有的n 次齊次式，故</p><p>　　證法Ⅱ（特征根法）令A為如下n階方陣</p>&

62、lt;p><b>　　則有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　假定</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可直接驗證有</b></p>

63、<p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是</b></p><p>　　由于根據(jù)題意，A的特征根為,由定理1知,</p>&l

64、t;p>　　方陣f(A)的特征根為，</p><p><b>　　故</b></p><p>　　公式（1）把n 階r- 循環(huán)行列式的計算轉(zhuǎn)化為了多項式值的計算,為了得到行列式的具體值,我們還要結(jié)合一些多項式理論進行詳細討論. 公式（1）的兩種證明方法不僅有一定的理論意義，而且還可用來計算其它類型的很多行列式；并且公式（1）也可計算其它類型的行列式，由于篇幅所限

65、，不再論述.</p><p>　　3.6 從一題多解談行列式計算</p><p>　　例 計算n 階行列式</p><p><b>　?。ㄒ唬┤切畏?lt;/b></p><p>　　三角形行列式包括上三角形行列式(主對角線下方的元素全為零的行列式)和下三角形行列式(主對角線上方的元素全為零的行列式) ,三角形行列式的值等于

66、主對角線上所有元素的乘積,即：</p><p>　　一些機構(gòu)較復雜的行列式經(jīng)過一系列的初等變換后可以變成三角形行列式。</p><p>　　例題解法一:將各列都加到第一列,并提取公因式,得:</p><p>　　第一列乘以( - a) 分別加到各列上,得:</p><p><b>　　二、拆行(列) 法</b></

67、p><p>　　拆行(列)法(或稱分裂行列式法)就是將所給行列式拆成兩個或若干個行列式之和,然后再求行列式的值。拆行(列) 法有兩種情況:一是行列式中有某行(列) 是兩項之和,可直接利用性質(zhì)拆項;二是所給行列式中行(列) 沒有兩項和形式。這時需作保持行列式之值不變,使其化為兩項和。例題解法二,將Dn 各列每個元素都寫成兩項之和,其中第一項為a ,除主對角線上元素的第二項為x - 2a外,其余各元素第二項均為0 ,即：

68、</p><p>　　根據(jù)行列式的性質(zhì),這個行列式可分成2n 個行列式之和,若某個行列式有兩個或兩個以上的列選自這個行列式各列的第一項,則該行列式至少有兩列相同,其值為0 ,因此,在這2n 個行列式中除去值為0 的外僅剩下n + 1 個,這n + 1 個行列式為:各列全選這個行列式各列的第二項或僅有一列選第一項,其它各列都選第二項。所以,這個行列式化為:</p><p><b>

69、　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003：55 -89. </p><p>　　[2] 周宇.淺談行列式的計算[J].遼寧：科教前沿，2009：137-150. </p><p>　　[3] 張景曉. 一類可加邊計算的行列式的結(jié)構(gòu)特征及計算方法[J].河北理科教學研究，2007（4）

70、：18-22.</p><p>　　[4] 張曰云.n 階r- 循環(huán)行列式的計算[J].山東：赤峰學院學報（自然科學版），2009（6）：3-4.</p><p>　　[5] 代冬巖.n階行列式的計算方法和技巧[J].龍江：哈爾濱職業(yè)技術(shù)學院學報，2008（1）：119-120.</p><p>　　[6] 牛海軍.范德蒙行列式在行列式計算中的應(yīng)用[J]. 遼寧：中

71、國科教創(chuàng)新導刊，2008（17）：140.</p><p>　　[8] 陳文華.計算行列式的幾種特殊方法[J].云南：保山師專學報，2008（2）：17-19.</p><p>　　[9] 陳煒. 用間接遞推法計算行列式[J].四川：綿陽師范學院學報，2007（11）：41-146. [10] 李曉琴. 用“分拆法、參量法、分解法”計算行列式[J].甘肅：甘肅高師學報，2008

72、 （2）：24-25.</p><p>　　[11] 章虎冬. 一道行列式的多種計算法[J].陜西：西安郵電學院學報，2009（3）：33-146.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　經(jīng)過近半年的忙碌和工作，本次畢業(yè)論文設(shè)計已經(jīng)接近尾聲，這也意味著我在懷化學院的四年的學習生活即將結(jié)束

73、?；厥准韧?，自己一生最寶貴的時光能于這樣的校園之中，能在眾多學富五車、才華橫溢的老師們的熏陶下度過，實是榮幸之至。在這四年的時間里，我在學習上和思想上都受益匪淺。這除了自身努力外，與各位老師、同學和朋友的關(guān)心、支持和鼓勵是分不開的。</p><p>　　論文的寫作是枯燥艱辛而又富有挑戰(zhàn)的。行列式的計算一直是理論界探討的熱門話題，老師的諄諄誘導、同學的出謀劃策以及朋友的支持鼓勵，是我堅持完成論文的動力源泉。在此，我

74、特別要感謝我的導師***老師。從論文的選題、文獻的采集、框架的設(shè)計、結(jié)構(gòu)的布置到最終的論文定稿，從內(nèi)容到格式，從標題到標點，她都費盡心血。沒有*老師的辛勤栽培、孜孜教誨，就沒有我論文的順利完成。</p><p>　　感謝我寢室的的各位同學，與他們的交流是我受益頗多。最后要感謝我的家人以及我的朋友們對我的理解、支持、鼓勵和幫助，正是有了他們，我所做的一切才更有意義；也正是有了他們，我才有了追求進步的勇氣和信心。&l