行列式的計(jì)算方法和應(yīng)用[畢業(yè)論文]

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　行列式的計(jì)算方法和應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué) </p>

2、<p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：行列式是線性代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，它也是討論線性方程組的有力工具，它在數(shù)學(xué)的很多分支中

3、都有著廣泛的應(yīng)用。行列式的計(jì)算靈活多變，具有較強(qiáng)的規(guī)律和技巧。本文首先介紹了行列式的概念和性質(zhì)，然后在行列式的概念、性質(zhì)的基礎(chǔ)上，討論了行列式的各種常見的求解方法，其中包括化三角法，利用范得蒙行列式求解法以及利用拉普拉斯定理的解法等，最后討論了行列式在求解線性方程組中的應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：行列式；化三角法；范得蒙行列式；拉普拉斯定理</p><p>　　Calculatio

4、n and application of determinant </p><p>　　Abstract：Determinant is an important part of linear algebra, and it is also a powerful tool in discussing linear equations, so it has a widely applications in many

5、 branches of mathematics. The method of calculating the determinant is flexible, and it also a challenging and exploratory task.In this paper, we firstly introduce the concept and property of determinant, then based on t

6、he concept and property of determinant, we discuss of the determinant methods which including triangulation Change me</p><p>　　Key words: The determinant; Change triangulation ;Vandermonde; Laplace theorem&l

7、t;/p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1.緒論錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　1.1 選題的背景錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　1.2 選題的意義錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.行列式的概念及性質(zhì)3</p><

8、p>　　2.1 行列式的概念3</p><p>　　2.2 行列式的性質(zhì)3</p><p>　　3.行列式的計(jì)算方法6</p><p>　　3.1 化三角形法6</p><p>　　3.2 按行列展開法（降階法）11</p><p>　　3.3 遞推法13</p><p

9、>　　3.4 加邊法14</p><p>　　3.5 析因法15</p><p>　　3.6 輔助行列式法1錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　3.7 范德蒙行列式18</p><p>　　3.8 利用拉普拉斯定理19</p><p>　　4.行列式在求解線性方程組的應(yīng)用21</

10、p><p>　　4.1 行列式在求解標(biāo)準(zhǔn)形式的元線性方程組中的應(yīng)用21</p><p>　　4.2 行列式在求解含參數(shù)線性方程組中的應(yīng)用23</p><p><b>　　5.結(jié)論25</b></p><p><b>　　致謝26</b></p><p><b

11、>　　參考文獻(xiàn)27</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 選題的背景</p><p>　　行列式理論產(chǎn)生于十七世紀(jì)末，到十九世紀(jì)末，它的理論體系已基本形成了。1693年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibnie，1646—1716）解方程組時(shí)將系數(shù)分離出來用以表示未知量，得到行列式原

12、始概念。當(dāng)時(shí)，萊布尼茲并沒有正式提出行列式這一術(shù)語。1729年，英國數(shù)學(xué)家馬克勞林 (Maclaurin，1698—1746)以行列式為工具解含有2、3、4個(gè)末知量的線性方程組。在1748年發(fā)表的馬克勞林遺作中，給出了比菜布尼茲更明確的行列式概念。1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克拉默 (Gramer，1704—1752)更完整地?cái)⑹隽诵辛惺降恼归_法則并將它用于解線性方程組。即產(chǎn)生了克拉默法則。1772年。法國數(shù)學(xué)家范德蒙 (Vandermond

13、e，1735—1796)專門對(duì)行列式作了理論上的研究，建立了行列式展開法則，用子式和代數(shù)余子式表示一個(gè)行列式。1172年，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯 (Laplace。1749梷1827)推廣了范德蒙展開行列式的方法。得到我們熟知的拉普拉斯展開定理。1813一1815年，法國數(shù)學(xué)家柯西 (Cauchy，1789—1857），對(duì)行列式做了系統(tǒng)的代數(shù)處理，對(duì)行列式中的元素加上雙下標(biāo)</p><p>　　行列式的概念最初是伴隨

14、著方程組的求解而發(fā)展起來的。行列式的應(yīng)用早已超出了代數(shù)的范圍，已成為解析幾何、數(shù)學(xué)分析、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)分支的基本工具。</p><p>　　1.2 選題的意義</p><p>　　行列式是線性代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，是討論線性方程組的一個(gè)有力工具，在很多數(shù)學(xué)分支中都有著廣泛的應(yīng)用，行列式的計(jì)算靈活多變，具有一定的規(guī)律和技巧，選擇合適的方法計(jì)算行列式就變得至關(guān)重要。</p>

15、;<p>　　行列式的一個(gè)主要應(yīng)用是解線性方程組。當(dāng)線性方程組的方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等時(shí)，方程組不一定總是有唯一解。對(duì)一個(gè)有個(gè)方程和個(gè)未知數(shù)的線性方程組，我們研究未知數(shù)系數(shù)所對(duì)應(yīng)的行列式。這個(gè)線性方程組有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)它對(duì)應(yīng)的行列式不為零。這也是行列式概念出現(xiàn)的根源。</p><p>　　當(dāng)線性方程組對(duì)應(yīng)的行列式不為零時(shí)，由克萊姆法則，可以直接以行列式的形式寫出方程組的解。但用克萊姆法則求解計(jì)算量

16、巨大，因此并沒有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，一般用于理論上的推導(dǎo)。行列式在數(shù)學(xué)中是一個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)榈木仃嚕≈禐橐粋€(gè)標(biāo)量，寫作或。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣?；蛘哒f，在維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對(duì)“體積”所造成的影響。無論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。</p><p>　　2. 行列式的

17、概念及性質(zhì)</p><p>　　2.1 行列式的概念</p><p><b>　　級(jí)行列式</b></p><p>　　等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，這里是1,2，...，的一個(gè)排列，每一項(xiàng)都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng)是偶排列時(shí)，帶有正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí)，帶有負(fù)號(hào)。這一定義可以寫成</p><p>　　這里

18、表示對(duì)所有級(jí)排列的求和。</p><p>　　定義表明，為了計(jì)算級(jí)行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素構(gòu)成的乘積。把構(gòu)成這些乘積的元素按行指標(biāo)排成自然順序，然后由列指標(biāo)所成的排列的奇偶性來決定這一項(xiàng)的符號(hào)。由定義看出，級(jí)行列式是由項(xiàng)組成的。</p><p>　　如計(jì)算行列式 的值。</p><p>　　解：根據(jù)定義，等于項(xiàng)的代數(shù)和.然而在這個(gè)行列式里，除了這

19、一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均為0，與其對(duì)應(yīng)的排列為，故 。</p><p>　　2.2 行列式的性質(zhì)</p><p>　　在行列式的定義中，為了決定每一項(xiàng)的下正負(fù)號(hào)，把個(gè)元素按行指標(biāo)排起來。事實(shí)上，數(shù)的乘法是交換的，因而這個(gè)元素的次序是可以任意寫的，一般地，級(jí)行列式中的項(xiàng)可以寫成</p><p>　　, (1)

20、</p><p>　　其中是兩個(gè)級(jí)排列.利用排列的性質(zhì)，不難證明(11)的符號(hào)等于</p><p>　　. (2)</p><p>　　按(1)來決定行列式中每一項(xiàng)的符號(hào)的好處在于，行指標(biāo)與列指標(biāo)的地位是對(duì)稱的，因而為了決定每一項(xiàng)的符號(hào)，同樣可以把每一項(xiàng)按列指標(biāo)排起來，于是定義又可以寫成</p>

21、<p>　　. (3)</p><p>　　由此即得行列式的下列性質(zhì)：</p><p>　　性質(zhì)1.行列互換，行列式的值不變，即</p><p>　　性質(zhì)2.行列式中某一行（列）元素有公因子，則可以提到行列式記號(hào)之外，即</p><p>　　這就是說，一行的公因子可以提出去，或者說以一數(shù)乘以行列式的一

22、行就相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘以此行列式。</p><p><b>　　事實(shí)上，</b></p><p>　　令，如果行列式中任一行為零，那么行列式值為零。</p><p>　　性質(zhì)3.如果行列式中某列（或行）中各元素均為兩項(xiàng)之和，即則這個(gè)行列式等于另兩個(gè)行列式之和。即</p><p>　　這就是說，如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這

23、個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外全與原來行列式的對(duì)應(yīng)的行一樣。</p><p>　　性質(zhì)4.如果行列式中有兩行（列）相同，則行列式等于零。所謂的兩行相同就是說兩行的對(duì)應(yīng)元素都相等。 </p><p>　　性質(zhì)5.如果行列式中兩行（列）成比例，則行列式等于零。 </p><p>　　性質(zhì)6.如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘數(shù)后加到另

24、一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，則行列式不變。 </p><p>　　性質(zhì)7.對(duì)換行列式中兩行（列）的位置，行列式反號(hào)。</p><p>　　利用上面行列式的性質(zhì)可以計(jì)算各種類型的行列式，下面將介紹行列式的各種常見的計(jì)算方法。</p><p>　　3. 行列式的計(jì)算方法</p><p>　　3.1 化三角形法</p><p

25、>　　此方法是利用行列式的性質(zhì)把給定的行列式表為一個(gè)非零數(shù)與一個(gè)三角形行列式之積，所謂三角形行列式是位于對(duì)角線一側(cè)的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對(duì)角線的三角形行列式等于主對(duì)角線上元素之積，涉及次對(duì)角線的階三角形行列式等于次對(duì)角線上元素之積且?guī)ж?fù)號(hào)。</p><p>　　我們看到，一個(gè)上三角形行列式</p><p>　　就等于它主對(duì)角線上元素的乘積。&l

26、t;/p><p>　　這個(gè)計(jì)算是很簡單的，下面我們想辦法把任意的級(jí)行列式化為上三角形行列式來計(jì)算。</p><p>　　定義 由個(gè)數(shù)排成的行(橫的)列(縱的)的表</p><p><b>　　(4)</b></p><p><b>　　稱為一個(gè)矩陣。</b></p><p>　　

27、,稱為矩陣(1)的元素，稱為元素的行指標(biāo)，稱為列指標(biāo)。當(dāng)一個(gè)矩陣的元素全是某一數(shù)域中的數(shù)時(shí)，它就稱為這一數(shù)域上的矩陣。</p><p>　　矩陣也稱為級(jí)方陣。一個(gè)級(jí)方陣</p><p><b>　　定義一個(gè)級(jí)行列式</b></p><p>　　稱為矩陣的行列式，記作。</p><p>　　定義：所謂數(shù)域上矩陣的初等行變換

28、是指下列三種變換</p><p>　　1）以中一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行；</p><p>　　2）把矩陣的某一行的倍加到另一行，這里是中任意一個(gè)數(shù)；</p><p>　　3) 互換矩陣中兩行的位置.</p><p>　　一般說來，一個(gè)矩陣經(jīng)過初等行變換后，就變成了另一個(gè)矩陣.當(dāng)矩陣經(jīng)過初等行變換變成矩陣時(shí)，我們寫成</p>&

29、lt;p>　　若一個(gè)矩陣的任一行從第一個(gè)元素起至該行的第一個(gè)非零元素所在的下方全為零，則稱這樣的矩陣為階梯形矩陣。</p><p>　　可以證明，任意一個(gè)矩陣經(jīng)過一系列初等行變換總能變成階梯形矩陣。</p><p>　　現(xiàn)在回過來討論行列式的計(jì)算問題.一個(gè)級(jí)行列式可看成是由一個(gè)級(jí)方陣決定的，對(duì)于矩陣可以作初等行變換，而行列式的性質(zhì)2，6，7正是說明了方陣的初等行變換對(duì)于行列式的值的影

30、響.每個(gè)方陣總可以經(jīng)過一系列的初等行變換變成階梯形方陣.由行列式性質(zhì)2，6，7，對(duì)方陣每作一次初等行變換，相應(yīng)地，行列式或者不變，或者差一非零的倍數(shù)，也就是。顯然，階梯形方陣的行列式都是上三角形的，因此是容易計(jì)算的。</p><p>　　李尚志[4]指出化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式

31、或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。</p><p>　　此種方法是利用行列式的性質(zhì)把給定的行列式表為一個(gè)非零數(shù)與一個(gè)三角形行列式之積，所謂三角形行列式是位于對(duì)角線一側(cè)的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對(duì)角線的三角形行列式等于主對(duì)角線上元素之積，涉及次對(duì)角線的階三角形行列式等于次對(duì)角線上元素之積且?guī)Х?hào)。 </p><p>　　原則上，每個(gè)行列式

32、都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對(duì)于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計(jì)算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。</p><p>　　例1.浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題（重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計(jì)算如下行列式的值，</p><p>　　分析：顯然

33、若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始，每一列與它一列中有個(gè)數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第列開始乘以－1加到第列，第列乘以－1加到第列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)算就簡單多了。</p><p><b>　　問題推廣：</b></p><p>　　例1中，

34、顯然是，這個(gè)數(shù)字在循環(huán)，那么如果是這個(gè)無規(guī)律的數(shù)在循環(huán)，行列式該怎么計(jì)算呢？我們把這種行列式稱為“循環(huán)行列式”。從而推廣到一般，求下列行列式</p><p>　　解： </p><p>　　首先注意，若為次單位根（即）</p><p>　?。ㄟ@里因?yàn)椋杂玫降龋?lt;/p><p><b>　　其中。&l

35、t;/b></p><p>　　設(shè)，所以有，。于是，互異且為單位根。</p><p><b>　　記，方陣，</b></p><p><b>　　由上述可知：。</b></p><p><b>　　故 </b></p><p><b&

36、gt;　　。</b></p><p>　　顯然 為范德蒙行列式，</p><p><b>　　所以，從而有，</b></p><p><b>　　因此。</b></p><p>　　在例1中，循環(huán)的方向與該推廣在方向上相反，所以例1與</p><p><b&

37、gt;　　相對(duì)應(yīng)，而，即得</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　從而當(dāng)時(shí)，對(duì)單位根，總有</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　

38、所以。</b></p><p><b>　　又因?yàn)?，令?lt;/b></p><p><b>　　則有：。</b></p><p><b>　　從而有</b></p><p><b>　　與例1的答案一致。</b></p><p

39、><b>　　例2.計(jì)算階行列式</b></p><p>　　分析：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3，…，列都加到第1列上，行列式不變，得</p><p>　　3.2 按行列展開法（降階法）</p><p>　　李書超[2]，裴禮文[5]在書中介紹了降階法的計(jì)算方法。</p><

40、;p>　　設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有</p><p>　　或 </p><p>　　其中為中的元素的代數(shù)余子式。</p><p>　　按行（列）展開法可以將一個(gè)階行列式化為個(gè)階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將階行列式降階直至化為許多個(gè)2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開

41、并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開法時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。</p><p>　　例3. 計(jì)算20階的行列式</p><p>　　分析：這個(gè)行列式中沒有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行次加減法和乘法運(yùn)算，這是人根本無

42、法完成的,更何況是階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對(duì)應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計(jì)算，</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　以上就是計(jì)算行列式最基本的兩種方法，接下來介紹的一些方法，不管是哪種，都要與行列式的性質(zhì)和基本方法結(jié)合起來。</p><p>

43、<b>　　3.3 遞推法</b></p><p>　　應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，階或階與階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法。</p><p>　　用此方法一定要看行列式是否具有較低階的

44、相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。</p><p>　　例4. 2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：</p><p><b>　　證明：,其中</b></p><p>　?。m然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之）</p><p>　　此行

45、列式的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對(duì)角”行列式[1]。從行列式的左上方往右下方看，即知與具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算。</p><p>　　證明：按第1列展開，再將展開后的第二項(xiàng)中階行列式按第一行展開有：</p><p>　　這是由和表示的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從階逐階往低階遞推，計(jì)算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式

46、是由階和階行列式表示階行列式，因此，可考慮將其變形為：</p><p>　　或 　</p><p>　　現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：</p><p><b>　　(5)</b></p><p><b>　　同樣有：</b></p><p><b

47、>　　(6)</b></p><p><b>　　因此當(dāng)時(shí)</b></p><p>　　由（5）（6）式可解得：。</p><p>　　雖然我們從一個(gè)行列式中可以看出有低階的相同的結(jié)構(gòu)，然后得到一遞推關(guān)系式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個(gè)遞推關(guān)系式是否可以簡化我們的計(jì)算，如果不行的話，就要適當(dāng)?shù)負(fù)Q遞推關(guān)系式，如本題。<

48、;/p><p><b>　　3.4 加邊法</b></p><p>　　有時(shí)為了計(jì)算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當(dāng)然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計(jì)算。要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為個(gè)元素的倍數(shù)的情況。&l

49、t;/p><p>　　加邊法的一般做法是：</p><p><b>　　特殊情況取 或 。</b></p><p>　　當(dāng)然加法不是隨便加一行一列就可以了。那么加法在何時(shí)才能應(yīng)用呢？關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。如下題：</p><p>　　例5. 計(jì)算階行列式</p><p>　　我們先把主

50、對(duì)角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為與相乘，第二行為與相乘，……，第行為與相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子，從而就可考慮此法。</p><p>　　在這里一定要注意，加邊法最在的特點(diǎn)就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可利用行列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達(dá)到了簡化計(jì)算的效果。</p><p><b>　　3.5

51、 析因法</b></p><p>　　如果行列式中有一些元素是變數(shù)（或某個(gè)參變數(shù)）的多項(xiàng)式，那么可以將行列式當(dāng)作一個(gè)多項(xiàng)式，然后對(duì)行列式施行某些變換，求出的互素的一次因式，使得與這些因式的乘積只相差一個(gè)常數(shù)因子，根據(jù)多項(xiàng)式相等的定義，比較與的某一項(xiàng)的系數(shù)，求出值，便可求得 。</p><p>　　那在什么情況下才能用呢？要看行列式中的兩行（其中含變數(shù)），若等于某一數(shù)時(shí)，使得兩行

52、相同，根據(jù)行列式的性質(zhì)，可使得。那么便是一個(gè)一次因式，再找其他的互異數(shù)使得，即得到與階數(shù)相同的互素一次因式，那么便可用此法。</p><p>　　例6.蘭州大大學(xué)2004招收攻讀碩士研究生考試工試題第四大題第（1）小題。需求如下行列式的值。</p><p>　　分析：根據(jù)該行列式的特點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有。但大家認(rèn)真看一下，該行列式是一個(gè)次多項(xiàng)式，而這時(shí)我們只找出了個(gè)一次因式,那么能否用析因法呢？我

53、們?cè)僮屑?xì)看一下，每行的元素的和數(shù)都是一樣的，為：，那么我們從第2列開始到第列都加到第1列，現(xiàn)提出公因式，這樣行列式的次數(shù)就降了一次。從而再考慮析因法。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　顯然當(dāng)：時(shí)，，又為次多項(xiàng)式。</p><p><b>　　設(shè)</b></p><p>

54、　　又中的最高次項(xiàng)為，系數(shù)為1，</p><p><b>　　因此得：</b></p><p>　　該題顯然用析因法是最簡便，但大家不要一味地只找使它等于0的數(shù)，而該最多只能有個(gè)數(shù)使它等于0，而行列式又是階是一個(gè)次多項(xiàng)式，從而我們想到的就是得用行列式的性質(zhì)把行列式的次數(shù)降低一次，使得原次多項(xiàng)式變?yōu)橐粋€(gè)一次多項(xiàng)式和一個(gè)次多項(xiàng)式的乘積，進(jìn)而便可求得其值。</p>

55、;<p>　　凡事要懂得變通，一道題不可能用一種方法就可以馬上解得。在析因法中，對(duì)于一個(gè)次多項(xiàng)式，當(dāng)你最多只能找出個(gè)使其行列式為零時(shí)，就要把它化為一個(gè)次多項(xiàng)式與一個(gè)次多項(xiàng)式的乘積。但一般找出的使其行列式為零的個(gè)數(shù)與行列式的次數(shù)差太多時(shí)，不用本方法。</p><p>　　3.6 輔助行列式法</p><p>　　輔助行列式法應(yīng)用條件：行列式各行（列）和相等，且除對(duì)角線外其余元

56、素都相同。</p><p><b>　　解題過程：</b></p><p>　　1）在行列式的各元素中加上一個(gè)相同的元素，使新行列式除主對(duì)角線外，其余元素均為0；</p><p>　　2）計(jì)算的主對(duì)角線各元素的代數(shù)余子式；</p><p><b>　　3)</b></p><p&

57、gt;　　例7. 大連理工大學(xué)2004年碩士生入學(xué)考試《高等代數(shù)》試題，第一大題填空題第2小題需求下列階行列式的值。</p><p>　　在的各元素上加上后，則有：</p><p><b>　　又，其余的為零。</b></p><p>　　若知道輔助行列式法的解題程序，用此法就可輕松地解出此題。但根據(jù)該行列式的特點(diǎn)，我們也可以用加邊法，把大部分

58、元素化為零，再化為三角形行列式也可輕易解出該行列式。</p><p>　　3.7 范德蒙行列式</p><p><b>　　范德蒙行列式</b></p><p>　　著名的范德蒙行列式，在線性代數(shù)中占有重要地位，研究它的應(yīng)用引起了一些數(shù)學(xué)家的興趣，在計(jì)算行列式時(shí)，可直接用其結(jié)果。李尚志[4]在書中用以下例子說明了計(jì)算范德蒙行列式的方法。<

59、;/p><p>　　例8. 計(jì)算階行列式</p><p>　　分析：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)，把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第行依次與第行，行，....,2行，1行對(duì)換對(duì)換，再將得到的新的行列式的第行與第行，行，....,2行對(duì)換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第行與第行對(duì)換，這樣，共經(jīng)過次對(duì)換后，得到</p><p>　　上式

60、右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以 。</b></p><p>　　3.8 利用拉普拉斯定理 </p><p>　　拉普拉斯定理在計(jì)算行列式時(shí)，主要應(yīng)用的情形，而很少用一般形式，不過當(dāng)行列式里零元素很多

61、時(shí)，運(yùn)用一般情形的拉普拉斯定理，往往會(huì)給行列式的計(jì)算帶來方便。</p><p>　　拉普拉斯展開定理：行列式中任一行（列）的各個(gè)元素與其代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值．</p><p>　　例如，（按第一行展開）</p><p><b>　?。ò吹诙姓归_）</b></p><p><b>　?。ò吹谌姓?/p>

62、開）</b></p><p>　　推論：行列式中任一行（列）元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。</p><p><b>　　例如，，則有。</b></p><p>　　梁保松[1]，李書超[2]，馬杰[3]等人在書中指出了拉普拉斯的4種特殊情形</p><p>　　1）

63、 2） </p><p>　　3） 3） </p><p>　　例9. 計(jì)算階行列式</p><p>　　解： 此題可以先進(jìn)行行列式變換，將行列式變換成為拉普拉斯的特殊情況，然后按照公式計(jì)算</p><p><b>　　。</b></p><p>　　4. 行列式在求解線性方程

64、組的應(yīng)用</p><p>　　線性方程組的研究起源于古代中國，在中國數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》一書中就有了線性方程組的介紹和研究，有關(guān)解方程組的理論已經(jīng)很完整。在以后近十個(gè)世紀(jì)里不再有所創(chuàng)新。大約在公元263年，劉徽撰寫了《九章算術(shù)注》一書，他創(chuàng)立了方程組的“互乘相消法”，為《九章算術(shù)》</p><p>　　中解方程組增加了新的內(nèi)容。</p><p>　　公元1247

65、年，秦九韶完成了《數(shù)書九章》一書，成為當(dāng)時(shí)中國數(shù)學(xué)的最高峰。在該書中，秦九韶將《九章算術(shù)》中解方程組的“直除法”改進(jìn)為“互乘法”，便線性方程組理論又增加了新內(nèi)容,至少用初等方法解線性方程組理論已由我國數(shù)學(xué)家基本創(chuàng)立完成。大約1678年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲首次開始線性方程組在西方的研究。1729年，馬克勞林首次以行列式為工具解含有2、3、4個(gè)未知量的線性方程組。1750年，克拉默在他的代表作《線性代數(shù)分析導(dǎo)言》中，創(chuàng)立了克拉默法則，用它解

66、含有5個(gè)末知量5個(gè)方程的線性方程組。1764年，法國數(shù)學(xué)家裴蜀(Bezout，1730-1783)研究了含有個(gè)未知量個(gè)方程的齊次線性方程組的求解問題，證明了這樣的方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。后來，裴蜀和拉普拉斯(Laplace，1749-1827)等以行列式為工具，給出了齊次線性方程組有非零解的條件。1867年，道奇森（Dodgson，1832-1898）的著作《行列式初等理論》發(fā)表，他證明了含有個(gè)未知量個(gè)方程的一般線性方程

67、組有解的充要條件是系數(shù)陣和增廣陣有同階的非零子式，這就是現(xiàn)在的結(jié)論：系數(shù)陣和增廣陣的秩相等。</p><p>　　如果線性方程組的變?cè)^少，則使用中學(xué)學(xué)的知識(shí)，用手算的辦法，用消元法或者加減法即可解線性方程組。但在變?cè)獢?shù)量多達(dá)幾百或者上千時(shí), 就必須用計(jì)算機(jī)來解題。這樣，就必須尋找解線性方程組的一般公式。</p><p>　　4.1 行列式在求解標(biāo)準(zhǔn)形式的元線性方程組中的應(yīng)用</p

68、><p>　　標(biāo)準(zhǔn)形式的元線性方程組</p><p><b>　?。?3）</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，...，</b></p>&

69、lt;p>　　當(dāng)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：線性方程組（13）式的唯一解求解公式為</p><p><b>　　，，...，</b></p><p>　　例10. 解線性方程組</p><p>　　解：由元線性方程組的求解公式得</p><p><b>　　由此可得：</b></p>

70、;<p><b>　　,,,</b></p><p>　　推論：如果含個(gè)方程的元線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。</p><p>　　特別地，對(duì)于齊次線性方程組</p><p>　　(14) </p><p>　　有齊次線性組(14)有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列

71、式為零。</p><p>　　4.2 行列式在求解含參數(shù)線性方程組中的應(yīng)用</p><p>　　因?yàn)閰?shù)的各種不同取值直接影響方程組是否有解，有多少個(gè)解，因而解含參數(shù)的線性方程組必須對(duì)參數(shù)取值加以討論。通常有以下2種方法：</p><p>　　方法1方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯形矩陣，然后根據(jù)是否成立討論參數(shù)取何值時(shí)線性方程組有解，何時(shí)無解。有解時(shí)再求一般

72、解。有時(shí)候采用方法1來求解時(shí)不能將增廣矩陣化為階梯形矩陣，因此可采用方法2。</p><p>　　方法2當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同時(shí)，先利用克拉默法則，即計(jì)算系數(shù)行列式，對(duì)于使得的參數(shù)值，方程組有惟一解，且可用克拉默法則求出惟一解(當(dāng)方程的階數(shù)不大時(shí))；而對(duì)于使得的參數(shù)值，分別列出增廣矩陣用消元法求解。</p><p>　　例11.取何值時(shí)，線性方程組</p><p&

73、gt;　　有惟一解、無解、無窮多解?在有無窮多解時(shí)，求通解。</p><p>　　分析：這是方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的含參數(shù)方程組，如果采用方法1，將是很繁瑣的，且易產(chǎn)生討論不全的錯(cuò)誤，所以采用方法2來求解。</p><p>　　解：方程組的系數(shù)行列式為</p><p>　　于是(1)當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解；</p><p>　　(2)當(dāng)時(shí)，

74、增廣矩陣</p><p><b>　　，，方程組無解；</b></p><p>　　(3)當(dāng)時(shí)，增廣矩陣</p><p><b>　　，，方程組無解；</b></p><p>　　(4)當(dāng)時(shí)，增廣矩陣</p><p>　　，方程組有無窮多解。同解方程組為，</p>

75、<p><b>　　通解為</b></p><p>　　或 （為任意常數(shù)）。</p><p>　　同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)研究室[11][14]也曾在書中說，行列式是一個(gè)特殊的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它是一個(gè)特殊的個(gè)變量的函數(shù)，正式因?yàn)槠涮厥庑?，它具有一系列特殊的性質(zhì)，由此產(chǎn)生了行列式理論。對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式線性方程組其系數(shù)行列式等于零以及非標(biāo)準(zhǔn)線性方程組的求解問題的研究，產(chǎn)生了矩陣?yán)?/p>

76、論。矩陣?yán)碚摰幕A(chǔ)仍是行列式理論。</p><p><b>　　5. 結(jié)論</b></p><p>　　本文首先介紹一下行列式的概念和性質(zhì)，對(duì)于一些常見行列式的計(jì)算大多是按照行列式的性質(zhì)按部就班地進(jìn)行，計(jì)算過程較為繁瑣，有時(shí)還會(huì)根據(jù)定義進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算量很大。</p><p>　　接下來介紹了行列式的一些計(jì)算方法。行列式大體可以分為兩類，數(shù)字行

77、列式和字母行列式，對(duì)于階數(shù)不高的數(shù)字行列式，通?？梢杂眯辛惺降亩x法直接進(jìn)行計(jì)算，或者應(yīng)用行列式的性質(zhì)化為上三角（下三角）的形式，亦可按照行列式的某一行（列）進(jìn)行展開降階計(jì)算，當(dāng)然也可以用其他的方法進(jìn)行計(jì)。對(duì)于字母行列式，求解的方法變化更多，通常需要觀察行列式的特點(diǎn)，然后選定方法再進(jìn)行求解，諸如利用范德蒙德行列式、拉普拉斯定理、行列式的乘法原理、行列式加邊等方法求解。</p><p>　　其中一些是常見的最基本的

78、方法，一些是特殊但很實(shí)用的方法。計(jì)算行列式的方法很多，也比較靈活，總的原則是：充分利用所求行列式的特點(diǎn)，運(yùn)用行列式的性質(zhì)及常用方法，行列式的計(jì)算方法之間不是相互獨(dú)立，而是相互聯(lián)系的，有時(shí)一個(gè)行列式可能有好幾種解法，有時(shí)綜合運(yùn)用多種方法可以更簡便的求出行列式的值。在掌握了行列式的解法之后，靈活運(yùn)用，用簡便的方法，使復(fù)雜的問題簡單化，有時(shí)幾種方法結(jié)合著用效果更好。</p><p>　　最后介紹了行列式在求解線性方程組

79、的應(yīng)用。主要分為兩類：一類是求解標(biāo)準(zhǔn)形式的元線性方程組；另一類是含參數(shù)線性方程組的求解。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 梁保松，蘇本堂．線性代數(shù)及其應(yīng)用．北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，2004.</p><p>　　[2] 李書超等．一類矩陣秩的恒等式及其推廣．武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，3（1）：96-98

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