行列式的計算方法畢業(yè)論文 (2)

1、<p>　　膈蒁螀螈肄蒁蒀羄羀薀薂螆羋蕿蚅羂膄薈螇螅膀薇薇羀肆膄蠆袃羂膃螁肈芁膂蒁袁膇膁薃肇肅芀蚅袀罿艿螈螞芇艿蕆袈芃羋蝕蟻腿芇螂羆肅芆蒂蝿羈芅薄羄芀芄蚆螇膆莃蝿羃肂莃蒈螆羈莂薁羈襖莁螃螄節(jié)莀蒃聿膈荿薅袂肄莈蚇肈羀莇蝿袀艿蕆葿蚃膅蒆薁衿肁蒅蚄螞羇蒄蒃袇羃蒃薆螀節(jié)蒂蚈羅膈蒁螀螈肄蒁蒀羄羀薀薂螆羋蕿蚅羂膄薈螇螅膀薇薇羀肆膄蠆袃羂膃螁肈芁膂蒁袁膇膁薃肇肅芀蚅袀罿艿螈螞芇艿蕆袈芃羋蝕蟻腿芇螂羆肅芆蒂蝿羈芅薄羄芀芄蚆螇膆莃蝿羃肂莃蒈螆羈

2、莂薁羈襖莁螃螄節(jié)莀蒃聿膈荿薅袂肄莈蚇肈羀莇蝿袀艿蕆葿蚃膅蒆薁衿肁蒅蚄螞羇蒄蒃袇羃蒃薆螀節(jié)蒂蚈羅膈蒁螀螈肄蒁蒀羄羀薀薂螆羋蕿蚅羂膄薈螇螅膀薇薇羀肆膄蠆袃羂膃螁肈芁膂蒁袁膇膁薃肇肅芀蚅袀罿艿螈螞芇艿蕆袈芃羋蝕蟻腿芇螂羆肅芆蒂蝿羈芅薄羄芀芄蚆螇膆莃蝿羃肂莃蒈螆羈莂薁羈襖莁螃螄節(jié)莀蒃聿膈荿薅袂肄莈蚇肈羀莇蝿袀艿蕆葿蚃膅蒆薁衿肁蒅蚄螞羇蒄蒃袇羃蒃薆螀節(jié)蒂蚈羅膈蒁螀螈肄蒁蒀羄羀薀薂螆羋蕿蚅羂膄薈螇螅膀薇薇羀肆膄蠆袃羂膃螁肈芁膂蒁袁膇膁薃肇肅芀蚅袀罿

3、艿螈螞芇艿蕆袈芃羋蝕蟻腿芇螂羆肅芆蒂蝿羈芅薄羄芀芄蚆螇膆莃蝿羃肂莃蒈螆羈莂薁羈襖莁螃螄節(jié)莀蒃聿膈荿薅袂肄莈蚇肈羀莇蝿袀艿蕆葿蚃膅蒆薁衿肁蒅蚄螞</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　中文摘要……………………………………………………………………1</p><p>　　關(guān)鍵詞…………………………………………………………

4、……………1</p><p>　　英文翻譯……………………………………………………………………1</p><p>　　前言 ………………………………………………………………………2</p><p>　　定義法計算行列式 …………………………………………………2</p><p>　?。?）、定義……………………………………………………………2

5、</p><p>　　（2）、行列式按一行（列）展開……………………………………4</p><p>　　二、主對角線法計算行列式………………………………………………5</p><p>　　三、范德蒙行列式的計算方法……………………………………………8</p><p>　　四、常用的一些其它方法 ……………………………………………11<

6、;/p><p>　　（1）、降階法 ………………………………………………………11</p><p>　?。?）、分和法 ………………………………………………………13</p><p>　　（3）、遞推法 ………………………………………………………15</p><p>　　（4）、加邊法 ………………………………………………………18</p&

7、gt;<p>　　五、用拉普拉斯定理行列式的乘法規(guī)則………………………………19</p><p>　　六、循環(huán)矩陣行列式的計算方法 ………………………………………24</p><p>　　總結(jié) ………………………………………………………………………28</p><p>　　參考文獻(xiàn) …………………………………………………………………29</p&g

8、t;<p><b>　　行列式的計算方法</b></p><p>　　摘要：行列式的計算是行列式理論的最重要的方面,計算行列式常用的方法有:定義法,主對角線法,利用計算范德蒙行列式方法,拉普拉斯定理行列式的乘法規(guī)則以及常用的一些其它方法,像降階法,分和法,遞推法,加邊法,等等。其中，主對角線法主要介紹了，什么樣的行列式可以利用主對角線法來計算，和怎樣計算。利用計算范德蒙行列式的

9、方法，主要介紹了，針對一些高階的，特殊的行列式，利用怎樣的方法可使行列式的計算更簡便些。利用計算范德蒙行列式的方法還介紹了，怎樣把非范德蒙的行列式，化為范德蒙行列式，再運用此方法進(jìn)行計算，從而使運算簡潔、方便。而行列式的拉普拉斯定理，則重點介紹了此定理，和利用定理來計算一些復(fù)雜的行列式，把一些高階的復(fù)雜的行列式，轉(zhuǎn)變成為幾個低階的便于計算的行列式的乘積，從而使計算更加簡潔、方便。在文章的末尾，花大篇幅，重點介紹了，另一種特殊的復(fù)雜的行列

10、式—循環(huán)矩陣行列式的計算方法。首先，文章定義了，符合什么條件的行列式，可稱為循環(huán)矩陣行列式，接著，利用引理、公理、定理，研究了對它的計算方法，從而得出了計算這種特殊行列式的簡便方法。實際上,在計算行列式時,上述幾種方法可同時交叉使用,最終目的使行列式</p><p>　　關(guān)鍵詞：行列式，主對角線法，范德蒙行列式，拉普拉斯定理行列式的乘法規(guī)則，循環(huán)矩陣行列式的計算方法。</p><p>　　

11、Computing Technology of the Determinant</p><p>　　Dong Yingying</p><p>　　(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) </p><p>　　Abstract: The determ

12、inant computation is the determinant theory most important side ，computation determinant commonly used method ：definition ，principal diagonal ，use calculates the Vandermonde determinant method, the Laplace theorem determ

13、inant product rule as well as commonly used some other methods,such as falls the step side, divides , the recursion and adds and so on. Among them, the principal diagonal law mainly introduced, any type determinant may c

14、alculate using the principal diagonal la</p><p>　　Key word: The determinant, the computing technology of the triangular determinant, Vandermonde is indebted to the determinant , the multiplication rule of L

15、aplace theorem determinant , the computing technology of the circulation matrix determinant.</p><p><b>　　前言</b></p><p>　　隨著人類社會的進(jìn)步，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)全球化進(jìn)程的日益加快，高等代數(shù)中行列式的計算方法正獲得了越來越大的發(fā)展動力和越來越

16、廣泛的應(yīng)用。行列式的計算是行列式理論的最重要的方面，是一個重要的問題，也是一個很麻煩的問題。計算行列式的方法有很多，但我們主要研究的是一些常用的方法，通過對這些常用方法的交叉使用使行列式的運算簡潔、方便、正確。</p><p>　　一、定義法計算行列式</p><p>　　(1)、定義:n級行列式</p><p><b>　　，</b><

17、/p><p>　　等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和，即</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　這一定義又可寫成:</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　例1 計算行列式</

18、p><p><b>　　。</b></p><p>　　解 展開式中項的一般形式是。若4，則。故只考慮=4的項,同理只考慮這些項，故</p><p><b>　　。</b></p><p>　　例2 計算行列式</p><p><b>　　。</b>

19、</p><p><b>　　解</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　定義法適合于計算所有的行列式，但僅在計算像二、三階這樣的低階行列式時簡單些，而對于高階的行列式計算起來就比較復(fù)雜，因此，在計算行列式時一般不常用定義法計算行列式。</p><p>　　(2)、行列式

20、按一行(列)展開</p><p><b>　　定理 設(shè)</b></p><p><b>　　d=，</b></p><p>　　表示元素的代數(shù)余子式，則下列公式成立</p><p><b>　　++……+=，</b></p><p><b>

21、　　++……+=，</b></p><p>　　其中=。 </p><p>　　例3 計算n階行列式</p><p><b>　　=。</b></p><p><b>　　解</b></p><p><b>　　=1&

22、lt;/b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=……=</b></p><p><b>　　=n!。</b></p><p>　　如果行列式的某行或某列的零元素較多，則此行列式就可選擇用按行或列展開來計算。在計算時就從這一行著手開始計

23、算。此方法比定義法要簡單，但更適合計算較低階的行列式，對于高階行列式的計算也較為復(fù)雜。</p><p>　　二、主對角線法計算行列式</p><p>　　我們知道上三角形行列式就等于主對角線上元素的乘積。同理,下三角形行列式:</p><p><b>　　=，</b></p><p><b>　　對角形行列式:

24、</b></p><p><b>　　=。</b></p><p>　　例4計算n+1階行列式</p><p><b>　　=，</b></p><p>　　其中(i=1,2,……,n)。</p><p><b>　　解</b></p&

25、gt;<p><b>　　=。</b></p><p>　　例5[3] 求 D=。</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　D=</b></p><p><b>　　=(n-1)</b></p>

26、<p><b>　　。</b></p><p>　　以上我們得出，類似于上或下三角形和對角形的行列式都可用主對角線法來計算行列式。這種方法較上兩種方法簡單。</p><p>　　三、范德蒙行列式的計算方法</p><p><b>　　行列式</b></p><p><b>　　d

27、=(1)</b></p><p>　　稱為n級的范德蒙(Vandermonde)行列式。對任意的n(n2),n級范德蒙行列式等于這幾個數(shù)的所有可能的差的乘積。</p><p>　　證明 (數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)n=2時，</p><p><b>　　，</b></p><p>　　結(jié)果是對的,設(shè)對于n-1級的范德蒙

28、行列式結(jié)論成立,現(xiàn)在來看n級的情形。</p><p>　　在(1)中,第n行減去第n-1行的倍,第n-1行減去第n-2行的倍。也就是由下而上依次地從每一行減去它上一行的倍,有,</p><p><b>　　=，</b></p><p>　　后面這行列式是一個n-1級的范德蒙行列式,根據(jù)歸納法假設(shè),它等于所有可能差的乘積;而包含的差全在前面出現(xiàn)了

29、。因此,結(jié)論對n級范德蒙行列式也成立。</p><p><b>　　故結(jié)果可寫作:</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　證畢。</b></p><p><b>　　計算行列式</b></p><p

30、><b>　　=。</b></p><p>　　解 作如下行列式使之配成范德蒙行列式:</p><p><b>　　=，</b></p><p>　　此處y是變數(shù),由此可知是p(y)的元素的余子式。</p><p><b>　　，</b></p><

31、p>　　另一方面將按它的第n+1列展開即得:</p><p><b>　　，</b></p><p>　　比較中關(guān)于的系數(shù)即得:</p><p><b>　　。</b></p><p>　　例7 計算下面n-1階行列式</p><p><b>　　。<

32、;/b></p><p>　　解 將行列式化成范德蒙行列式:</p><p><b>　　。</b></p><p>　　范德蒙行列式的計算方法比較簡單，但僅限于是范德蒙行列式，對于不是范德蒙行列式，但結(jié)構(gòu)類似于范德蒙行列式（如例6，例7）的完全可以轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式來計算。</p><p>　　四、常用的一些

33、其它方法</p><p><b>　?。?）、降階法</b></p><p>　　例8 計算行列式</p><p><b>　　。</b></p><p>　　解 設(shè)原行列式為，按第五行展開得:</p><p><b>　　。</b></p

34、><p><b>　　例9 計算</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　解 先將第i行減去第i+1行（i=1，2，3，……，n-1），然后再將第n列分別加到第1列，第2列，……，第n-1列有，</p><p><b>　　=</b></p

35、><p><b>　　。</b></p><p>　　降階法與行列式按行（列）展開類似，使高階行列式用低階行列式來表示，逐步簡化行列式的計算。</p><p><b>　?。?）、分和法</b></p><p>　　例10[4] 求 。</p><p><b>　　解

36、</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=+</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　利用分和法計算行列式時與行列

37、式的結(jié)構(gòu)有關(guān)，通過把復(fù)雜的行列式拆成若干個簡單的便于計算的行列式之和，可使行列式的運算更加簡便。</p><p><b>　　（3）、遞推法</b></p><p>　　利用數(shù)學(xué)歸納法的基本思想方法，建立遞推關(guān)系，即：找出與（j<n）的遞推關(guān)系，再求出低階之間的相應(yīng)遞推關(guān)系，最后求出，也可進(jìn)一步用數(shù)學(xué)歸納法證明此遞推關(guān)系的正確性。</p><

38、p>　　例11 計算2n階行列式</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故 </b></p><p&g

39、t;<b>　　。</b></p><p>　　例12 計算行列式</p><p><b>　　。</b></p><p>　　解 按第一列展開得：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即有遞推關(guān)系式： &

40、lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　為了得到的一般表達(dá)式，可先設(shè)，采用以下歸納法：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由此可以猜想：</b></p><p><b>

41、　　。</b></p><p>　　事實上，當(dāng)n=1時上式顯然成立，假設(shè)對階數(shù)小于n時公式成立，下證其等于n時也成立。</p><p><b>　　,故</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　在時，有</b></p>

42、<p><b>　　=</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　?。?）、加邊法</b></p><p>　　例13 計算n階行列式</p><p><b>　　。</b></p><p

43、>　　解 原式可變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　。</b></p><p>　　顯然當(dāng)x=2a時上式成立且。</p><p>　　加邊法的一般做法是：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　或</b><

44、/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　特殊情況取或。</b></p><p>　　五、用拉普拉斯定理行列式的乘法規(guī)則</p><p>　　為了便于介紹這一部分，首先我們將余子式和代數(shù)余子式的概念加以推廣。</p><p>　　定義1 在一個n級行列

45、式D中任意選定k行k列（kn）。位于這些行和列的交點上的個元素按照原來的次序組成一個k級行列式M，稱為行列式D的一個k級子式。在D中劃去這k行k列后余下的元素按照原來的次序組成的n-k級行列式稱為k級子式M的余子式。</p><p>　　從定義立刻看出，M也是的余子式。所以M和可以稱為D的一對互余的子式。</p><p>　　定義2 設(shè)D的k級子式M在D中所在的行、列指標(biāo)分別是：<

46、/p><p><b>　　；。</b></p><p>　　則M的余子式前面加上符號后稱做M的代數(shù)余子式。 </p><p>　　引理[2] 行列式D的任一個子式M與它的代數(shù)余子式A的乘積中的每一項都是行列式D的展開式中的一項，而且符號也一致。</p><p>　　證明 我們首先討論M位于行列式D的左上方的情形

47、：</p><p><b>　　D=，</b></p><p>　　此時M的代數(shù)余子式A為：</p><p><b>　　A=。</b></p><p>　　M的每一項都可寫作：</p><p><b>　　，</b></p><p&

48、gt;　　其中是1，2，……k的一個排列，所以這一項前面所帶的符號為：</p><p><b>　　中每一項都可寫作：</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中是k+1，k+2，……，n的一個排列，這一項在中前面所帶的符號是：</p><p><b>　　。

49、</b></p><p><b>　　這二項的乘積是：</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　前面的符號是：</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　因為

50、每個比每個都大，所以上述符號等于：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　因此這個乘積是行列式D中的一項而且符號相同。</p><p>　　下面來證明一般情形。設(shè)子式M位于D的第行；第列，這里；。變動D中行列的次序使M位于D的左上角。為此，先把第行依次與第行對換，這樣經(jīng)過了次對換而將第行換到第一行，再將行依次與第行對換而換

51、到第二行，一共經(jīng)過了次對換。如此繼續(xù)進(jìn)行，一共經(jīng)過了次行對換而把第 行依次換到第1，2，3，……k行利用類似的列變換，可以將M的列換到第1，2,……k列，一共作了：</p><p><b>　　次列變換。</b></p><p>　　我們用表示這樣變換后所得的新行列式，那么：</p><p>　　由此看出，和D的展開式中出現(xiàn)的項是一樣的，只是每

52、一項都差符號：。</p><p>　　現(xiàn)在M位于的左上角，所以M中每一項都是中的一項而且符號一致。但是，</p><p><b>　　MA= M</b></p><p>　　所以MA中每一項都與D中一項相等而且符號一致。證畢。</p><p>　　下面我們就來介紹拉普拉斯定理。</p><p>　

53、　定理 設(shè)在行列式D中任意取定了k（1kn-1）個行，由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。</p><p>　　證明 設(shè)D中取定k行后得到的子式為,，它們的代數(shù)余子式分別為定理要求證明D=。根據(jù)引理，中每一項都是D中一項而且符號相同。而且和無公共項。因此為了證明定理只要證明等式兩邊項數(shù)相等就可以了。顯然等式左邊共有n！項，為了計算右邊的項數(shù)，首先來求出t，根據(jù)子式的取法知

54、道t=因為中共有k！項，中共有（n-k）！項。所以右邊共有tk?。╪-k）！=n！項。證畢。</p><p>　　例14 計算n階行列式</p><p><b>　　。</b></p><p>　　解 </p><p><b>　　。</b></p><p&

55、gt;　　例15[1] 計算n級行列式</p><p><b>　　。</b></p><p>　　解 將第n行依次與第n-1行，n-2行，……，2行對換，經(jīng)過n-2次行的對換成為第2行，再將第n列依次與第n-1，n-2，……，2列交換，經(jīng)過n-2次列交換成為第2列，于是第1，2行按拉普拉斯定理展開：</p><p><b>　　

56、。</b></p><p>　　行列式的拉普拉斯定理也適用于計算所有的行列式，不同的是它不僅可以計算低階的行列式，還可以計算高階的行列式，使它們計算起來更加方便。</p><p>　　六、循環(huán)矩陣的行列式的計算方法</p><p>　　在介紹此方法之前，我們首先來看看幾個重要的概念。</p><p>　　定義1 n級方陣A稱為可

57、逆的，如果有n級方陣B，使AB=BA=E這里E是n級單位矩陣，即：</p><p><b>　　E=</b></p><p>　　那么B就稱為A的逆矩陣，記為。</p><p>　　定義2 記A是數(shù)域p上一n級矩陣，是一個文字，矩陣的行列式</p><p><b>　　，</b></p>

58、;<p>　　稱為A的特征值多項式，矩陣A的特征多項式的根稱為A的特征值。</p><p>　　因此，如果只寫出特征多項式的前兩項與常數(shù)項，就有：</p><p>　　由根與系數(shù)的關(guān)系可知，A的全體特征值的和為稱為A的跡，而A的全體特征值的積為。</p><p>　　下面我們就來介紹有關(guān)循環(huán)矩陣的行列式計算。</p><p>　

59、　定義 1 設(shè)是n個復(fù)數(shù)，稱矩陣</p><p><b>　　A=，</b></p><p>　　是以為元素的n階循環(huán)矩陣。</p><p>　　引理1[5] 設(shè)A是復(fù)數(shù)域上的n階矩陣，是A的特征值， 是復(fù)數(shù)域上的m次多項式，則矩陣A的多項式的特征值是。</p><p>　　定理1 設(shè)A是以為元素的n階

60、循環(huán)矩陣，則矩陣A的行列式其中是n次單位根。</p><p>　　證明 取</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以的特征值為的根，設(shè)為

61、。</p><p>　　令則A=由引理1知A的特征值為，故而證畢。</p><p>　　推論1 設(shè)A是以為元素的n階循環(huán)矩陣，則A可逆的充分與必要條件是與互素，即=1。</p><p>　　證明 由 A可逆的充分與必要條件是，即與沒有公共根，從而=1，證畢。</p><p>　　推論2 若與互素， </p&

62、gt;<p><b>　　則,</b></p><p><b>　　,……,</b></p><p><b>　　都與互素。</b></p><p>　　證明 因為分別以的系數(shù)為元素的循環(huán)矩陣和以的系數(shù)為元素循環(huán)矩陣的行列式最多相差一個符號，由此推論1便可推出此推論。證畢。<

63、;/p><p>　　推論3 ,是的根則是整數(shù)且可被n整除。</p><p>　　證明 由定理1, 是元素為整數(shù)的矩陣的特征值，從而是跡，且等于，故推論成立。證畢。</p><p>　　定義2 設(shè)是n個確定復(fù)數(shù)，Y是任意確定的非零的復(fù)數(shù)，稱矩陣A=為n階Y-循環(huán)矩陣，也稱廣義循環(huán)矩陣，簡記為。</p><p>　　注：定義2中的Y=1

64、就是定義1。</p><p>　　定理2 設(shè)n階Y-循環(huán)矩陣A=,則矩陣A的行列式其中是多項式的n個不同的根。</p><p>　　證明 令是多項式的n個不同的根，則，令</p><p><b>　　由</b></p><p>　　兩邊取行列式，再由行列式的性質(zhì)及，得證畢。</p><p&

65、gt;<b>　　例16 </b></p><p><b>　　=,</b></p><p>　　其中是的根，而，通過計算得：。</p><p>　　例17 已知A=，求矩陣A的行列式：</p><p><b>　　。</b></p><p>&l

66、t;b>　　解 設(shè)，</b></p><p>　　且令的根為，則由定理1知通過計算得。</p><p>　　綜上所述，我們知道n階循環(huán)矩陣是n階Y-循環(huán)矩陣的特例，故只要矩陣的結(jié)構(gòu)如Y-循環(huán)矩陣的均可用此種方法進(jìn)行計算。</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　以上主要介紹了

67、計算行列式的幾種常用的方法，通過對這幾種方法的熟練掌握和靈活運用，最終會使行列式的運算簡潔、方便、準(zhǔn)確，使我們得到所需要的結(jié)果。因此，行列式的計算方法是人類社會和經(jīng)濟(jì)生活中一種不可或缺的工具。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 武漢教育學(xué)院編：《高等代數(shù)》，武漢，高等教育出版社，1988。</p><p

68、>　　[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編：《高等代數(shù)》，北京，高等教育出版社，1988。</p><p>　　[3] 王品超編：《高等代數(shù)新方法》（下），北京，中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2003。</p><p>　　[4] 李師正，張玉芬等編：《高等代數(shù)解題方法與技巧》，北京，高等教育出版社，2004。</p><p>　　[5] 賈

69、璐，姚光同編：有關(guān)循環(huán)矩陣的行列式計算及其應(yīng)用，信陽師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2005（18）（3）。</p><p>　　羆羇蒅薃蚆袀莁薂螈肅芇薁袀袈膃薀薀肅聿蝕螞袆莈蠆螄肂芄蚈袇裊芀蚇蚆肀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁蚄羃羈芇蚄蚃膇膃莀螅罿聿荿袈膅莇莈薇羈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒞蚄肄莀莄螆袇芆蒃袈肅膂蒂薈裊肈蒂蝕肁蒆蒁袃襖莂蒀羅腿羋葿蚅羂膄蒈螇膇肀蕆衿羀荿薆蕿?zāi)h芅薆蟻罿膁薅螄膄肇薄羆羇蒅薃蚆袀莁薂螈肅芇薁袀袈膃薀薀

70、肅聿蝕螞袆莈蠆螄肂芄蚈袇裊芀蚇蚆肀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁蚄羃羈芇蚄蚃膇膃莀螅罿聿荿袈膅莇莈薇羈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒞蚄肄莀莄螆袇芆蒃袈肅膂蒂薈裊肈蒂蝕肁蒆蒁袃襖莂蒀羅腿羋葿蚅羂膄蒈螇膇肀蕆衿羀荿薆蕿?zāi)h芅薆蟻罿膁薅螄膄肇薄羆羇蒅薃蚆袀莁薂螈肅芇薁袀袈膃薀薀肅聿蝕螞袆莈蠆螄肂芄蚈袇裊芀蚇蚆肀膆蚆蝿羃蒅蚅袁膈莁蚄羃羈芇蚄蚃膇膃莀螅罿聿荿袈膅莇莈薇羈莃莈螀芃艿莇袂肆膅莆羄衿蒄蒞蚄肄莀莄螆袇芆蒃袈肅膂蒂薈裊肈蒂蝕肁蒆蒁袃襖莂蒀羅腿羋葿蚅羂膄蒈螇