數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文---關于初等幾何中的一些問題

1、<p><b>　　摘要</b></p><p>　　高等幾何是利用克萊因的變換群的觀點定義的幾何學，其能從更高的角度探索初等幾何，對初等幾何的相關證明、理論依據(jù)和命題的構造方面具有很好的指導作用。本文分析了高等幾何對初等幾何相關指導作用，闡明了其之間的相互關系，并利用高等幾何的思想方法對初等幾何命題進行變換，通過實例從高等幾何在點線結合、交比、反射變換和射影變換方面對初等幾何

2、的指導作用進行了探究，并闡述了高等幾何對初等幾何的作用在現(xiàn)代中學數(shù)學教學中的意義。</p><p>　　【關鍵詞】 高等幾何；初等幾何；變換</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Higher geometry is the use of the transformation of the view of k

3、lein, the definition of geometry Angle from higher primary geometry, to explore the relevant proof, elementary geometry theory and structure of proposition has very good guidance. Based on the analysis of higher geometry

4、 elementary geometric related guidance, illustrates the relationship between higher geometry, and using the method of elementary geometry proposition to transform from higher geometry, through examples in point, lin</

5、p><p>　　【Keyword】 higher geometry；elementary geometry；transform</p><p><b>　　前言</b></p><p>　　初等幾何是一種可測量的幾何，比較直觀、易懂，而高等幾何較抽象、難理解. 但高等幾何是初等幾何的延深課程，二者之間有很深的淵源.高等幾何作為一門幾何課程，有著

6、自身的特殊作用，高等幾何知識與初等幾何知識的溝通，為我們提供了解決初等幾何的一些方法.學好高等幾何，就能在更高層面上認識幾何學的基本特性，研究方法，內在聯(lián)系，可以認識到幾何學的本質，深化和發(fā)展幾何空間概念，以便更深入地駕馭和掌握初等幾何的內涵和外延。特別是在對初等幾何的教學方面，有著很好的促進作用。</p><p>　　“高等幾何”告訴我們在中學幾何之外，還有廣闊的幾何學新天地。這不僅開拓了讀者的眼界，而且有助于

7、讀者站在新的高度上，深入理解中學幾何教材，提高處理中學教材的能力。</p><p><b>　　相關知識簡介</b></p><p><b>　　幾何學：</b></p><p>　　學過數(shù)學的人，都知道它有一門分科叫作“幾何學”，然而卻不一定知道“幾何”這個名稱是怎么來的。在我國古代，這門數(shù)學分科并不叫“幾何”，而是叫作

8、“形學”?！皫缀巍倍郑谥形睦镌纫膊皇且粋€數(shù)學專有名詞，而是個虛詞，意思是“多少”。比如三國時曹操那首著名的《短歌行》詩，有這么兩句：“對酒當歌，人生幾何？”這里的“幾何”就是多少的意思。明末時期，杰出的科學家徐光啟首先把“幾何”一詞作為數(shù)學的專業(yè)名詞來使用。</p><p>　　幾何學的現(xiàn)代化則歸功于克萊因、希爾伯特等人?？巳R因在普呂克的影響下，應用群論的觀點將幾何變換視為特定不變量約束下的變換群。而希爾比

9、特為幾何奠定了真正的科學的公理化基礎。應該指出幾何學的公理化，影響是極其深遠的，它對整個數(shù)學的嚴密化具有極其重要的先導作用。它對數(shù)理邏輯學家的啟發(fā)也是相當深刻的。</p><p><b>　　高等幾何</b></p><p>　　《高等幾何》是高師院校數(shù)學專業(yè)的專業(yè)課程之一，主要包括射影幾何與幾何基礎兩部分內容。這是大學數(shù)學專業(yè)必修的一門課程，這門課程對學生畢業(yè)后從事

10、中學幾何教學有著非常重要的指導意義 。</p><p>　　高等幾何著力于培養(yǎng)學生的思維能力和對其知識的銜接和運用。并通過學習，使學生了解運用近代公理法建立幾何邏輯體系的基本思想，理解中學幾何教材的邏輯結構；掌握射影幾何的基本內容和研究方法，并了解一些幾何基礎內容。在中學教師的教學方面，能很好的加深學生對中學初等幾何和解析幾何的理論與方法的理解，能用較高的觀點處理初等幾何教材；擴大學生的知識領域，為進一步學習其它

11、后續(xù)課程打好基礎，從而提高學生的邏輯推理能力與空間想象能力。</p><p><b>　　初等幾何</b></p><p>　　初等幾何指可用坐標、向量、方程描述的幾何問題，即初等代數(shù)描述的幾何問題。</p><p>　　初等幾何在中學階段的教學中處于一個很重要的位置，他是學生從代數(shù)到幾何過度的第一次跳躍，更是學生從一般思維到抽象思維、邏輯思維

12、的過度。成功掌握一門初等幾何將對數(shù)學的學習過程起到很大的促進作用。但對于中學數(shù)學來說，初等幾何這一塊既是一個重點，更是一個難點，因為學生對初等幾何的學習認識和理解運用程度將直接關系的學生的成績、思維拓展、高中階段乃至本科階段的學習。</p><p>　　高等幾何對初等幾何的指導作用探究</p><p>　　更加全面的認識初等幾何</p><p>　　我們知道初等幾何

13、是以歐氏幾何為其學習內容的.用變換群的觀點看，歐氏幾何學就是研究正交變換下的圖形不變性質和不變量的幾何學.由于正交變換群是相似變換群的子群，相似變換群是仿射變換群的子群，而仿射變換群又是射影變換群的子群.因而所對應的幾何學從研究的范圍講是:射影幾何、仿射幾何、相似度量幾何、歐氏幾何。而從研究的內容來看，歐氏幾何研究的對象不僅包括度量性質和度量不變量，而且包括相似性質和相似不變量，仿射性質和仿射不變量，射影性質和射影不變量。即射影幾何，仿

14、射幾何，相似度量幾何，歐氏幾何。我們了解了這些關系才能全面地正確地掌握歐氏幾何的內容，同時在研究歐氏幾何許多具體問題時，我們才可以居高臨下的看待這些問題.</p><p>　　為初等幾何的部分內容提供了理論依據(jù)</p><p>　　如立體幾何直觀圖的畫法、截面圖的作法分別是以透視仿射對應性質及笛沙格定理的理論為依據(jù)的，著名的“九樹十行”問題是以巴卜斯定理為基礎的.還有些在中學難以講透的問題

15、在高等幾何中得到徹底講清楚，如:非退化二次曲線需每三點不共線的五點才能唯一確定，為什么圓只要不共線的三點就能確定，就是這樣一個問題.</p><p>　　九樹十行問題：把九裸樹栽成十行, 使得每行恰好有三裸樹。</p><p>　　巴布斯定理：（如圖1）即中線定理，設三角形ABC的邊BC的中點為P，則有</p><p><b>　　圖1</b>

16、</p><p>　　笛沙格定理：如圖2所示，,中，,,三線交于一點O，其充要條件是三點共線。</p><p><b>　　圖2</b></p><p><b>　　簡化初等幾何的證明</b></p><p>　　我們知道在高等幾何中，經(jīng)過適當?shù)姆律渥儞Q，任意一個三角形(平行四邊形、梯形、橢圓)可變

17、為正三角形(正方形、等腰梯形、圓)，那么對有關仿射性質的一些命題，將命題中的一般圖形用仿射變換變?yōu)樘厥鈭D形，如果所給命題在特殊圖形中成立，則根據(jù)仿射變換保持同素性、結合性、平行性、共線三點的單比不變、封閉圖形的面積之比不變等即可推出該命題在原圖形中也成立.在證明一些共點或共線問題時，可以利用“投影到無窮遠”的方法，把相交直線投影成平行直線，在投影后的圖形中，容易證明共點或共線問題，再利用中心投影保持結合性不變的性質，使原命題得證。還有利

18、用笛沙格定理及其逆定理證明共線點和共點線的問題；利用交比證明有關圓的問題；利用調和比的性質證明有關平分線段、平分角以及比例線段的問題等等。</p><p>　　為初等幾何構造新的命題</p><p>　　許多初等幾何的命題是以高等幾何為背景的.掌握了高等幾何相關知識并摸透它與初等幾何知識之間的聯(lián)系，就能構造出形式多樣、內容豐富的初等幾何新命題，如1978年全國中學數(shù)學競賽第二試的第一題“四

19、邊形兩組對邊延長后分別相交，且交點的連線與四邊形的一條對角線平行，證明:另一條對角線的延長線平分對邊交點連成的線段”（具體證明詳見例1）。此題就是以完全四點形的調和性質為背景的.</p><p>　　具體實例的應用與分析</p><p>　　完全四點形的調和性質在初等幾何證明上的作用。</p><p>　　完全四點形：平面上無三點共線的四個點以及連結其中任意兩點的六

20、條直線所組成的圖形稱為完全四點形。</p><p>　　性質1：完全四點形對應三點形的每一邊上有一組調和共軛點, 其中兩個點是對應點, 另外兩個點是這條邊與通過第三邊點的一對對邊的交點。</p><p>　　性質2：在完全四點形的每一條邊上有一組調和共軛點, 其中兩個點是頂點, 另外一對對偶點里, 一個點是對邊上的點, 另外一個點是這個邊與對應三點形的邊的交點。</p>&l

21、t;p>　　例1：（如圖3）四邊形兩組對邊延長后分別相交，且交點的連線與四邊形的一條對角線平行，證明：另一條對角線的延長線平分對邊交點連成的線段．</p><p><b>　　圖3</b></p><p>　　證明：設四邊形ABCD的對邊交點為E、F，并且BD∥EF，AC交BD于H，交EF于．</p><p>　　由于BD∥EF，所以&l

22、t;/p><p><b>　　故</b></p><p>　　例2:求證三角形三中線共點</p><p>　　已知: （如圖4）在中，分別為的中線,</p><p><b>　　求證:共點。</b></p><p><b>　　圖4</b></p>

23、;<p>　　證明:設BE交CF 于O, AO 交BC 于, </p><p>　　由EF∥BC, EF 交BC 于無窮遠點.</p><p>　　在完全四點形AFOE 中, </p><p>　　根據(jù)調和性質( BC, ) =-1</p><p>　　故為BC的中點, 故D和重合。</p><p>　　

24、亦即AD,BE,CF 共點.</p><p>　　例3:求證三角形的三條外角平分線和對邊相交,所得三點共線.</p><p>　　已知:（如圖5）中,∠C外角平分線交AB于E,∠A外角平分線BC交于F,∠B 外角平分線交AC于G,求證E, F, G 三點共線。</p><p><b>　　圖5</b></p><p>　

25、　證明:設P為內角平分線的交點,</p><p>　　AB與, BC與, AC與分別交于</p><p>　　根據(jù)德薩格定理, 共線。</p><p>　　又∠C 外角平分線交AB于E,</p><p>　　∠A 外角平分線交BC 于F,</p><p>　　∠B 外角平分線交AC 于G.</p><

26、;p><b>　　有.</b></p><p><b>　　在完全四點形 中,</b></p><p><b>　　根據(jù)調和性質</b></p><p><b>　　有 </b></p><p><b>　　故E 和重合.</b>

27、;</p><p>　　同理F和重合, 和重合.</p><p><b>　　所以三點共線.</b></p><p>　　例4：利用完全四點形的調和性質證明初等幾何問題</p><p>　　已知：（如圖6）△ABC中，AD⊥BC，H是AD上任意一點。連接BH，CH，分別交對邊于E，F(xiàn)，求證：AD平分∠EDF。</p

28、><p><b>　　圖6</b></p><p>　　證明：延長AC，F(xiàn)D交于點G，由完全四點形BFHD的調和性質，可得：</p><p>　　（A,C;E,Q）=-1</p><p>　　又因為D{A,C,E,F}{A,C,E,G}</p><p>　　所以（DA,DC,DE,DF）=-1<

29、;/p><p><b>　　因為ADBC,</b></p><p>　　所以AD平方∠EDF成立。</p><p>　　高等幾何的點線接合命題對初等幾何的指導作用。</p><p>　　例5：（世界聞名的初等幾何命題）如圖7，在△中角平分線交于點，.試證明△是等腰三角形。</p><p><

30、b>　　圖 7</b></p><p>　　分析： 眾所周知，一個三角形，如果它是等腰三角形，那么它兩個底角的角平分線相等。一個數(shù)學真命題的提出，人們往往喜歡追問它的逆命題的真?zhèn)?，現(xiàn)在問：一個三角形，它有兩個角的平分線相等，它是否是等腰三角形呢？回答是肯定的，但是要證明它卻不那么簡單，最好的方法是用反證法。</p><p><b>　　證明：∵<

31、/b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∵是和的角平分線</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　∴，即△是等腰三角形。</p><p>　　例6：試證三角形的三條中線共點。（如圖8）

32、</p><p><b>　　圖8</b></p><p>　　代沙格定理：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線。</p><p>　　代沙格定理的逆定理：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應邊（AB和DE、BC和EF、CA和

33、FD）的交點共線，則其對應頂點的連線共點。</p><p>　　分析： 證明此題若用初等幾何的方法來證是相當費力的，現(xiàn)在用高等幾何的方法來證明，有更深的認識。</p><p>　　證明：如圖8，AD，BE，CF分別為ΔABC的三邊BC，CA，AB 上的中線</p><p>　　所以EF∥BC，DE∥AB，DF∥AC</p><p>

34、<b>　　設，，</b></p><p>　　在ΔABC 與ΔDEF 中，</p><p>　　對應邊的交點共線于無窮遠直線，</p><p>　　則由代沙格定理的逆定理可知，</p><p>　　對應定點的連線AD，BE，CF 共點。</p><p>　　例7：如圖9所示，直線τ交ΔABC 的

35、三邊或其延長線于L，M，N，若直線AM，BN，CL 交成一個三角形PQR，求證：AQ，BR，CP 三直線共點。</p><p>　　圖9 圖</p><p>　　證明：利用中心射影將L，M，N 所在的直線τ投射到無窮遠直線</p><p><b>　　并作圖9的對應圖形</b></p><p&

36、gt;<b>　　∵是無窮遠點，</b></p><p><b>　　∴ </b></p><p>　　∴四邊形與都是平行四邊形</p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴是的中點</b></p><p>

37、;　　同理， 是的中點，是的中點</p><p>　　即，，是Δ三邊上的中線。</p><p>　　且可知，它們必交于一點。</p><p>　　由于中心射影同素性和接合性，</p><p><b>　　故 交于一點S。</b></p><p>　　中心射影：（如圖10）設與是同一平面內兩條不同的

38、直線，是在此平面內不在與上的一點。設是上任意一點，連接交直線于，點稱為點從投影到上的中心射影，稱為投影線，稱為投影中心，</p><p>　　顯然也叫做在上的中心射影。</p><p><b>　　圖10</b></p><p>　　交比在初等幾何當中的作用</p><p>　　例8：求證：“一個角的兩邊與這個角的內外角

39、平分線調和共扼”。</p><p>　　圖11圖</p><p>　　證明：在圖11中，順次為∠的內外角平分線，</p><p><b>　　作直線與平行，則。</b></p><p>　　若交于，于是△為等腰三角形，</p><p><b>　　因此,</b&g

40、t;</p><p>　　令與的無窮遠點為故(AB，T) =-1</p><p>　　所以(ab,cd)=-1。</p><p>　　圖所示，d，c順次為∠(a，b)的內外角平分線，</p><p>　　直線與a,b,c, d 分別交于A,B ,T ,P .</p><p>　　由于(ab,cd)=(AB,TP)，&l

41、t;/p><p><b>　　而BP=-PB，</b></p><p>　　所以AT ·PB= BT·AP，</p><p><b>　　即。</b></p><p>　　于是可得初等幾何中的角平分線性質定理。</p><p>　　角平分線性質定理:在中，平分

42、,交邊于,則有有下列式子成立：</p><p>　　例9：（蝴蝶定理）在圖12中，過弦BC的中點A的任何兩弦PQ、RS，設PS、RQ分別交BC于M、N。求證：AM=AN</p><p><b>　　圖12</b></p><p>　　證明：連SB、SC、QB、QC，則S(BP,RC)=Q(BP,RC)，再由直線BC截這兩組等交比的直線，則有（B

43、M,AC）=(BA,NC).</p><p><b>　　由此可知：</b></p><p>　　由已知：BA=AC.得</p><p><b>　　所以：</b></p><p><b>　　又因為：</b></p><p><b>　　所以

44、：MA=AN</b></p><p>　　總結：在上述論證中，應用了射影幾何的交比方法，非常簡便地解決了問題，而且計算交比的方法適用于所有的二階曲線，這樣就自然地將蝴蝶定理推廣到橢圓、拋物線、雙曲線上。</p><p>　　綜上所述，我們可以認識到高等幾何對中學數(shù)學，特別是中學幾何的教學具有重要的指導意義和作用，特別對于即將從事中學數(shù)學教學的老師，不僅要懂中學數(shù)學，更要拓展視野

45、，拓廣思路，能應用高等幾何原理去解決初等幾何問題，這樣才能更好地指導中學數(shù)學教學。</p><p>　　仿射幾何對初等幾何的相關指導作用</p><p>　　因經(jīng)適當?shù)姆律渥儞Q，一個任意三角形可變成正三角形，一個任意平行四邊形可變成正方形，一個橢圓可變成圓；同素性、平行性、共線三點的單比及封閉圖形的面積比等都是仿射性質。所以在一個只涉及到幾何圖形的仿射性質的命題中，如果該命題在特殊圖形中成

46、立，此時可以采用將給定的一般圖形用仿射變換變?yōu)樘厥鈭D形，在得出結論后又回到原圖形的辦法來完成命題的證明。</p><p>　　例10：求證：“正方形ABCD的一組鄰邊上有兩點，且EF//AC。則AEB和CFB面積相等“（見圖13）</p><p><b>　　圖13</b></p><p>　　證明：將此命題作一仿射對應，若經(jīng)仿射對應后的記號不

47、變，使正方形ABCD對應平行四邊形ABCD,E對應E,F 對應F。</p><p>　　在正方形ABCD中(見圖13)，</p><p><b>　　顯然有，</b></p><p>　　由于兩個多邊形面積之比為仿射不變量，</p><p>　　所以在平行四邊形ABCD中，</p><p>　　△

48、AED和△CFD面積相等。</p><p>　　于是可得另一命題“平行四邊形ABCD的一組鄰邊上有E,F兩點，且EF//AC，則△AED和△CFD面積相等”(見圖13).</p><p>　　例11：已知L、M、N分別為分ABC的三邊AB、BC及CA成相同比例的兩個線段的三等分點，求證：△ABC和△LMN有相同的重心。</p><p><b>　　圖14&

49、lt;/b></p><p>　　證明：經(jīng)適當仿射變換將三角形ABC變成正三角形 (圖14)。</p><p>　　設三角形的重心為、、、分別為L、M、N在仿射變換下的象。</p><p>　　因反射變換保持分一線段成兩線段的比不變，</p><p>　　容易證明△是正三角形,</p><p><b>

50、　　因此是△的重心，</b></p><p>　　即△’和△有相同的重心，</p><p>　　又仿射變換保持三角形重心不變，</p><p>　　故△ABC和△LMN重心相同。</p><p>　　例12. 命題:“從圓上一點E作EP垂直于直徑AB,P 為垂足，圓在E處的切線與在A,B處切線分別交于C,D，則AD,BC,EP共點

51、，且EP被交點平分，’(見圖15)</p><p>　　圖15圖</p><p>　　證明：此命題顯然為真，</p><p>　　令AD,BC交于T，</p><p>　　因為△BDT∽△ACT，</p><p><b>　　于是，</b></p><p>

52、;　　又CE = CA, BD = DE，</p><p><b>　　所以，</b></p><p>　　從而ET//BD//CA。</p><p><b>　　又,</b></p><p>　　所以EP // BD//CA，</p><p><b>　　即共點得

53、證明。</b></p><p>　　EP被交點平分容易證。</p><p>　　作一仿射對應，若經(jīng)仿射對應后的記號不變，于是可得另一命題：</p><p>　　“從橢圓上一點E作直徑AB的共扼弦EP與AB交于P，圓在E處的切線分別與在A,B處的切線分別交于C,D ，則AD,BC,EP共點，且EP被交點平分。(見圖)根據(jù)仿射性質，此命題亦為真。</p

54、><p>　　射影幾何對初等幾何教學的指導作用</p><p>　　例13：命題 :“三平行直線分別交兩平行的直線得三平行四邊形，這三平行四邊形的對角線交點共線且所在直線平行于一組對邊”(見圖16)。</p><p>　　圖16圖</p><p>　　證明：此命題顯然為真。在圖中，</p><p>　　

55、設過點S的三直線分別交過點T的二直線兩與于。</p><p>　　作一中心射影，使直線ST成為無窮遠直線，若各點在中心射影后的記號不變經(jīng)過中心射后//; ////;</p><p>　　這樣O,P,Q成為三平行四邊形的對角線交點，</p><p>　　故有O,P,Q共線且所在直線與,平行，</p><p>　　即O,P,Q與,的無窮遠點共線，

56、(見圖16)。</p><p>　　由于射影對應保持結合不變，所以中心射影前的四點T,O,P,Q也共線。于是可得另一命題共點三直線分別交共點兩直線得三四邊形這三四邊形的對角線交點與相交兩直線交點共線(見圖),</p><p>　　例14：命題:“已知BE// CF,BC交BE,CF分別于B,C，圓與BE,BC,CF分別相切于E,D ,F ，BF交EC于T，DT//BE//CF”(見圖17)

57、。</p><p>　　圖17圖</p><p>　　證明：此命題顯然為真，</p><p>　　因為△BET≌△FCT，</p><p><b>　　于是，</b></p><p>　　CD=CF,BD=BC</p><p><b>　　,<

58、;/b></p><p>　　從而DT//BE//CF。即得證明。</p><p>　　如圖所示，△ABC的旁切圓切邊BC于D,切邊AB和AC的延長線于E和F,BF交EC于T，作一射影變換，若各點在射影變換后的記號不變，使射影變換后，△ABC的旁切圓為一圓，EF變?yōu)閳A的直徑，A為垂直于直徑EF的直線相對應的無窮遠點。(見圖17)。</p><p>　　于是可得

59、另一命題“△ABC的旁切圓切邊BC于D，切邊AB和AC的延長線于E和F，設T是直線BF與CE的交點，則點A,D,T共線?！庇稍}得此命題亦為真。 </p><p>　　通過對本文的撰寫，本人所得到的收獲</p><p>　　能很好將高等幾何思想與初等幾何思想相結合</p><p>　　高等幾何是數(shù)學專業(yè)的一門重要的基礎理論課，其涵義較為廣泛

60、，在內容上以射影幾何為主，兼顧其它，方法上采用代數(shù)法兼綜合法而側重代數(shù)法。從理論和實踐的結合上學好高等幾何，能在更高層面上認識幾何學的基本特性，研究方法，內在聯(lián)系確認幾何學的本質升華和發(fā)展幾何空間概念。從而弄清高等幾何與初等幾何的內在聯(lián)系，幫助我們對初等幾何中的許多問題作透徹的理解，以至于更好的深入到數(shù)學的思想中去，很好的將其之間的思想融為一體。</p><p>　　對中學幾何教材的相關觀點有更強的認識</

61、p><p>　　幾何學的研究，被分為靜和動兩種觀點，公理法建立幾何學是研究幾何的靜的觀點；然而變換群下對應的幾何學是研究幾何的動的觀點，這兩種觀點是貫串現(xiàn)行高等幾何教材的兩條主線。</p><p>　　然而對于初等幾何教材，我們可以通過了解高等幾何在幾何學中的位置，進而更加全面和深刻的來理解和分析初等幾何。從而了解了歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何三者之間的關系，以及他們在初等幾何當中所起到的作用

62、。</p><p>　　提高自己對中學教材體系的掌控能力</p><p>　　在射影幾何中，運用射影幾何的理論來統(tǒng)一初等幾何問題，從而提高推廣問題的能力。在初等幾何中有一些命題，他們的內容各不相同，其證法也有差異，但從射影幾何觀點來看，他們都是一致的。例如：由三角形的三垂足構成的三角形的三邊與原三角形的對應邊的交點共線；三角形三邊中點連線所成的三角形與原三角形對應邊分別平行等等。這些命題在

63、初等幾何中不僅內容不同，且證明方法也有差異。但在射影幾何中來看，由于三角形的三條高線、三內角平分線、三中線分別共點，所以能夠由笛沙格定理直接推出其結論。</p><p>　　因為許多初等幾何的命題是以射影幾何為其背景的，所以只要掌握了射影幾何知識，并熟知它與初等幾何知識間的聯(lián)系，就能構造出形式多樣、內容豐富的初等幾何問題。故用射影幾何的相關理論來構造初等幾何問題，可以增強自己的創(chuàng)新能力。</p&

64、gt;<p>　　在幾何思維和分析能力上得到了升華</p><p>　　通過對本文的撰寫，使得我對于幾何問題的思考方面更加靈活，更加全面。從而深一層理解到眾所周知的對偶原則，就是相似、類比思維的產物，如綜合法與代數(shù)法的類比、幾何元素與數(shù)的類比、齊次坐標與向量的類比、點坐標與線坐標的類比等等。既而今后在從事相關的初等教學工作中，能夠充分利用高等幾何所體現(xiàn)出的思維，來培養(yǎng)學生相似類比和辯證思維的能力。&

65、lt;/p><p>　　另外，通過探索高等幾何對初等幾何的指導作用，使我認識到在教學中，不僅僅要結合基本理論進行講解，更應該提出一些值得探索和思維的問題，特別是與初等幾何相關聯(lián)的問題。雖然這些問題已經(jīng)被前人所解決，但對于學生而言，仍然是新問題。只有大膽的引導他們，讓他們去探討、去研究，這樣一來，不僅可以擴大學生的知識領域，還能培養(yǎng)學生鉆研教材、分析問題和解決問題的能力。</p><p><

66、;b>　　結論</b></p><p>　　高等幾何是數(shù)學專業(yè)的一門重要的基礎理論課。高等幾何的涵義較為廣泛。我國現(xiàn)在開設的高等幾何課內容上以射影幾何為主，兼顧其他，方法上采用代數(shù)法兼綜合法而側重代數(shù)法。目的旨在使學生系統(tǒng)接受射影幾何而主要又是實射影平面幾何的基本知識，認識射影空間的基本特性，研究方法和幾何學的本質，深化幾何空間的概念。從理論和實踐的結合上學好高等幾何，就能在更高層面上認識幾何學

67、的基本特性，研究方法，內在聯(lián)系，確認幾何學的本質，深化和發(fā)展幾何空間概念，以便更深入地駕馭和掌握初等幾何的內涵和外延。,我們明白了高等幾何與初等幾何的內在聯(lián)系，擴大了關于幾何學的眼界，了解到初等幾何在幾何學中所處的地位，就有助于我們從幾何學的全局與整體來理解和分析初等幾何教材，就能對初等幾何中的許多問題作透徹的理解，使我們獲得駕馭教材的本領，減少教學中的盲目性，避免發(fā)生錯誤。掌握了高等幾何，我們對處理初等幾何問題的能力增強了，因而在我們

68、備課、答疑和編造習題時就能以高等幾何為背景，設計出多種多樣的幾何題.此外，我們的數(shù)學教學，不只是給學生傳授書本上的知識，還要在傳授知識的同時，注意培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和創(chuàng)新能力.在高等幾何問題的研究中貫穿</p><p>　　綜上所述 ，高等幾何對初等幾何的作用非常大.特別對于我們立志成為人民教師的學子，要教好中學數(shù)學，不能只懂中學數(shù)學，要“站得更高，看得更遠”，應拓寬視野，拓廣思路，這樣才能更好地把握中學數(shù)學

69、.利用高等幾何的觀點和思想方法，將已知初等幾何命題進行變換，獲得相關的其他初等幾何命題，是十分有效的解題方法。只要我們有心，積極開動腦筋，就會把高等幾何的知識很好的運用到中學數(shù)學教學中去.</p><p><b>　　總結與體會</b></p><p>　　在對本文的撰寫過程中，遇到了很多的困難，但同樣也感受到了很多。從收集、查閱論文寫作的相關資料文獻到整理論文的相關

70、理論，再到論文的撰寫。這個過程真正讓我感受到自己在短時間內煥然一新的感覺，真正取得了很大的進步?，F(xiàn)對這段時間的論文設計情況總結一下，并分享一下自己的一些感受。</p><p><b>　　總結</b></p><p>　　通過對本文的撰寫，不僅讓我更加熟悉了高等幾何和初等幾何的相關知識，更讓我更進一步認識到高等幾何對初等幾何的相關指導作用。</p>&l

71、t;p>　　通過對本文的撰寫，讓我對初等幾何相關知識更加了解，并能從初等幾何相關問題中看到更深的含義。</p><p>　　通過對本文的撰寫，我更加急切地要成為一名人民教師，將自己所知、所想、所感、所悟都傳遞給每一位學生；同時我也相信自己一定能通過自己的不斷努力，變得越來越好。</p><p><b>　　體會</b></p><p>　

72、　論文寫作過程是辛苦的，但又能讓自己感受到快樂，因為在里面有很多東西是我在任何地方都學不到的。那就是非凡的自學能力，嚴謹?shù)乃季S能力，以及大膽嘗試的能力和獨立自主的能力。</p><p>　　在完成論文時，真正感受到我們大學四年學習最大的收獲就是個人各方面能力的培養(yǎng)，不僅僅要對理論知識進行了解，更應該加強理論聯(lián)系實際，提升實際操作能力。</p><p>　　做任何一件事情都不是隨隨便便就成功

73、的，都需要我們不斷的努力，不斷的加油，但只要我們有恒心，堅持不懈，最后絕對能夠獲取成功的。</p><p>　　學習無處不在，在任何一個時刻，任何一個地方，和任何人一起交流，都能學到很多的知識，關鍵是看自己抓住學習的機會不斷的學習。</p><p><b>　　致謝辭</b></p><p>　　我感謝學校和學院對我?guī)啄陙淼呐囵B(yǎng)，感謝關心和幫助

74、我的所有同學和老師。特別感謝本次論文撰寫過程中指導老師x老師對我的細心指導和幫助，xx老師讓我更加自信，更加努力，讓我在論文的撰寫過程中學到了更多知識，感受到更多。在此，我向x老師表示深深的謝意，謝謝您！</p><p><b>　　【參考文獻】</b></p><p>　?。?］羅崇善.高等幾何［M］.北京:高等教育出版社 1999.</p><

75、p>　?。?］梅向明. 高等幾何［M］. 高等教育出版社，1983.</p><p>　?。?］趙宏量. 幾何教學探索［M］. 西南師范大學出版社，1987.</p><p>　?。?］姜樹民等. 高等幾何學［M］. 陜西人民教育出版社，2000.</p><p>　?。?］黃良文，曾五一. 統(tǒng)計學原理［M］. 北京：中國統(tǒng)計出版社，1992.</p&g

76、t;<p>　?。?］黃虹. 算術平均數(shù). 重慶高等?？茖W校學報，2000，1（3）：60—61.</p><p>　?。?］章嵐. 幾個統(tǒng)計平均數(shù)之間的數(shù)量關系［J］. 統(tǒng)計與信息論壇，1999，</p><p>　?。?］鐘集.高等幾何.高等［M］教育出版社.1983.</p><p>　?。?］羅祟善，鄧純江，周開瑞.高等幾何講義［M］.四川科學

77、技 術出版社.1986</p><p>　?。?0］沈純理（等）.經(jīng)典幾何.北京科學出版社</p><p>　　［11］鄭崇友（等）.幾何學引論.高等教育出版社。</p><p>　　［12］朱德祥.初等幾何研究[ M] .北京: 高等教育出版社, 1999.</p><p>　?。?3］李長明.初等數(shù)學研究[ M] .北京: 高等教育出版社