畢業(yè)論文---微分和積分在不等式中的應(yīng)用

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目 : 微分和積分在不等式中的應(yīng)用 </p><p><b>　　摘　要</b></p><p>　　微積分和不等式都是數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容，本文在回顧了幾種常用的證明不等式的初等方法后，利用微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調(diào)性

2、、極（最）值的判定法、定積分的性質(zhì)等一些微積分知識(shí)探討不等式的證明方法，最后指出了微積分在不等式證明中的具體應(yīng)用．</p><p>　　微積分是數(shù)學(xué)中的重要組成部分，是研究函數(shù)的性質(zhì)，證明不等式，探求函數(shù)的極值、最值，求曲線的斜率和解決一些物理問題的有力工具．微積分的應(yīng)用為解決數(shù)學(xué)問題提供了新的思路，新的方法和新的途徑，可以說微積分是打開數(shù)學(xué)知識(shí)大門的一把鑰匙. 微積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛，在不等式證明中也

3、發(fā)揮著巨大的作用.不等式的證明方法很多，靈活地運(yùn)用微積分的性質(zhì)及相關(guān)定理是解決許多不等式證明問題的關(guān)鍵．本篇論文歸納和總結(jié)了一些證明不等式的方法與技巧，利用微積分證明不等式的基本思想和基本方法，提出了運(yùn)用這些方法和技巧能夠使不等式的求解過程更為簡(jiǎn)單的思路．</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　關(guān)鍵詞：微積分；不等式；微分中值定理；泰勒公式；函數(shù)

4、的單調(diào)性；極（最）值的判定法；</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　前言1</b></p><p>　　第一章 微積分2</p><p>　　§1 微積分的發(fā)展2</p><p>　　§2 微積分的概念3

5、</p><p>　　第二章 不等式7</p><p>　　§1 不等式的定義和性質(zhì)7</p><p>　　§2 常用的證明不等式的方法8</p><p>　　第三章 微積分在不等式中的應(yīng)用12</p><p>　　§1 利用微分證明不等式12</p>&

6、lt;p>　　§2 利用積分證明不等式19</p><p><b>　　結(jié)論23</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)24</b></p><p><b>　　致謝25</b></p><p><b>　　前 言</b>

7、</p><p>　　在高等數(shù)學(xué)中常常要證明一些不等式。而不等式的證明方法很多,在以往多采用代數(shù)或幾何方法,現(xiàn)在可借助于微積分的知識(shí),這是普遍應(yīng)用的一種方法。本論文著重介紹用微積分知識(shí)來證明不等式的幾種常用方法。利用微分中值定理 這是證明不等式用得最多的方法</p><p>　　不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。不等式的許多證法中,往往需要有較高的技巧。利用微積分的思想證明不等式,使不等式的

8、證明過程大大簡(jiǎn)化,技巧性降低。同時(shí)體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用。</p><p>　　利用微積分證明不等式,其中包利用泰勒公式、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的最值、曲線的凹凸性、構(gòu)造輔助函數(shù)、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)積分等方法,給出一些主要的證明方法,并舉例加以說明應(yīng)用</p><p>　　不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的重要難點(diǎn)之一。不等式的種類繁多，證明的方法難易懸殊，使用的技巧各異，教材對(duì)不等式的證明給出了系統(tǒng)總

9、結(jié)。盡管如此，我們?cè)诿鎸?duì)很多不等式時(shí)還是無法快速簡(jiǎn)便地證明它。我們不難發(fā)現(xiàn)它們都是以微積分為背景的。隨著課程改革，新課程的實(shí)施。微積分的初步知識(shí)進(jìn)入了高中教材，以定積分，導(dǎo)數(shù)為背景的不等式的證明題型在高考和各類競(jìng)賽中屢屢出現(xiàn)。本文分別從微分和導(dǎo)數(shù)兩個(gè)大的方向分類討論了證明不等式的幾類方法。</p><p>　　本文的目的，通過對(duì)不等式的證明，對(duì)微分，積分相關(guān)知識(shí)和相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行歸納，總結(jié)。使學(xué)生明白如何利用微分中介

10、定理，單調(diào)性判別法，最值原理，以及凸凹判別法等來證明不等式。</p><p>　　第一章 微積分</p><p>　　將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝， 而樹干的主要部分就是微積分．微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一．它既是一門基礎(chǔ)學(xué)科，又是一門應(yīng)用廣泛的學(xué)科．要想掌握高等數(shù)學(xué)的任何一個(gè)分支不熟悉微積分是不可能的，因此，研究微積分的一些性質(zhì)及應(yīng)

11、用具有很大的必要性．</p><p>　　§1 微積分的發(fā)展</p><p>　　從17世紀(jì)開始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題的解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科．17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支的還是牛頓和萊布尼茨．</p&g

12、t;<p><b>　　1.1微積分的思想</b></p><p>　　微積分成為一門學(xué)科是在17世紀(jì)，但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了．公元前3世紀(jì)，古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（公元前287～前212）的著作《圓的測(cè)量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思

13、想．極限理論作為微積分的基礎(chǔ)早在我國(guó)的古代就有非常詳盡的論述.意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》中，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的．這些都為后來的微積分的誕生作了思想準(zhǔn)備．</p><p>　　1.2 微積分的創(chuàng)立</p><p>　　由于17世紀(jì)工業(yè)革命的直接推動(dòng)，英國(guó)科學(xué)家牛頓和德國(guó)科學(xué)家萊布尼茨在許多數(shù)學(xué)家工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了微積分，他們?yōu)樽兞拷?/p>

14、了一種新型的行之有效的運(yùn)算規(guī)則，去描述因變量在一個(gè)短暫瞬間相對(duì)于自變量的變化率，以及在自變量的某個(gè)變化過程中因變量作用的整體積累，前者稱為微商，后者稱為積分，統(tǒng)稱微積分．此后，數(shù)學(xué)的發(fā)展逐漸出現(xiàn)了一日千里之勢(shì)，形成了內(nèi)容豐富的高等代數(shù)、高等幾何、與數(shù)學(xué)分析三大分支，在此基礎(chǔ)上，還出現(xiàn)了一些其他分支．</p><p>　　§2 微積分的概念</p><p>　　2.1 求變速直

15、線運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度</p><p>　　假定物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為，求物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度，可用</p><p>　　公式“速度=路程/時(shí)間”求得，而變</p><p>　　速直線運(yùn)動(dòng)的速度如何來求呢？下面</p><p><b>　　來討論這個(gè)問題.</b></p>

16、<p>　　如圖2.1，設(shè)物體在時(shí)刻的</p><p>　　位置為，在時(shí)刻的位置為</p><p>　　，則物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程為,物體的平均速度為</p><p>　　由于速度是連續(xù)變化的，故當(dāng)很小時(shí)，平均速度可以作為物體在時(shí)刻瞬時(shí)速度的近似值，而且越小，近似程度越好，所以當(dāng)時(shí)，若趨向于一定值，則平均速度的極限</p><p&

17、gt;　　就是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.</p><p>　　2.2 微分的基本概念及運(yùn)算法則</p><p>　　定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處有增量仍在該鄰域內(nèi)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，如果與之比當(dāng)時(shí)，極限</p><p>　　存在，那么這個(gè)極限值稱為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，并且說，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，記作，即</p><p><

18、b>　?。?lt;/b></p><p>　　如果極限不存在，就說函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)．</p><p>　　如果固定，令，則當(dāng)時(shí)，有，故函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)也可表示為</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　設(shè)函數(shù)與在點(diǎn)處可導(dǎo),則有如下求導(dǎo)法則:</p><p><b

19、>　　(1)；</b></p><p><b>　　(2)；</b></p><p>　　(3)（）．特別地,當(dāng) (為常數(shù))時(shí),有</p><p><b>　?。?</b></p><p>　　定義2 若函數(shù)在點(diǎn)處的改變量可以表示成</p><p>&l

20、t;b>　　，</b></p><p>　　其中為比高階無窮小，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微，并稱其線性主部為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記為或，即且有，這樣．</p><p>　　因?yàn)楹瘮?shù)的微分等于導(dǎo)數(shù)乘以，所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，就能得到相應(yīng)的微分運(yùn)算法則．</p><p><b>　　若函數(shù)與可微，則</b></p><

21、p>　　(1)，其中是常數(shù)；</p><p><b>　　(2)；</b></p><p><b>　　(3)；</b></p><p><b>　　(4).</b></p><p>　　2.3 定積分的基本概念及性質(zhì)</p><p>　　定義3

22、 設(shè)函數(shù)在上有定義,任取分點(diǎn)</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　分為個(gè)小區(qū)間．記</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　再在每個(gè)區(qū)間上任取一點(diǎn)，作乘積的和式：</p><p><b&

23、gt;　　，</b></p><p>　　如果時(shí)，上述極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的</p><p><b>　　定積分，記為</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中稱為被積函數(shù)，為被積式，為積分變量，為積分區(qū)間，分別稱為積分的下限和上限．<

24、;/p><p>　　定理1 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又是的任一個(gè)原函數(shù)，則有</p><p>　?。?(1)</p><p>　　公式(1)叫做牛頓-萊布尼茨公式．</p><p>　　例 利用牛頓—萊布尼茨公式計(jì)算下列定積分。</p><p>　　解： (1) (2)</p

25、><p>　　第二章 不等式</p><p>　　不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是求解一些數(shù)學(xué)問題的有效工具，不等式除了可以用來解決一些關(guān)于不等量的實(shí)際問題，對(duì)于研究函數(shù)的定義域和值域也有廣泛的應(yīng)用．</p><p>　　§1 不等式的定義和性質(zhì)</p><p>　　1.1不等式的定義 </p><p>

26、;<b>　　形如</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　的表達(dá)式稱為不等式，這里和可能是數(shù)也可是函數(shù)，記號(hào)稱為不等號(hào)，分別讀作：小于(小于等于)，大于（大于等于）．</p><p>　　用符號(hào)和表示的不等式稱為嚴(yán)格不等式，而用符號(hào)和表示的不等式稱為非嚴(yán)格不等式．</p>&l

27、t;p>　　不等式可分為兩類：算術(shù)(或數(shù)值)不等式，即只用數(shù)字表示的不等式，例如：,；非算術(shù)不等式，即除了數(shù)字以外還出現(xiàn)一個(gè)或幾個(gè)變量的函數(shù)的不等式，例如:，．</p><p><b>　　1.2不等式的性質(zhì)</b></p><p>　　在進(jìn)行證明不等式或利用不等式解題時(shí)，有必要將原不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)新的且與原不等式等價(jià)的不等式，因此，常利用下面一些不等式的性質(zhì)：

28、</p><p>　　性質(zhì)1 如果，那么；如果，那么．</p><p>　　性質(zhì)2 如果，那么；如果，那么．</p><p>　　性質(zhì)3 如果，那么；如果，那么．</p><p>　　性質(zhì)4 如果不等式的兩邊同乘(同除)同一個(gè)正的量，那么得到的不等式與原不等式同向；如果不等式的兩邊同乘(同除)同一個(gè)負(fù)的量，那么得到的不等式與原不等式反

29、向,即如果，，那么；如果，，那么；</p><p>　　如果，，那么；如果，，那么.</p><p>　　性質(zhì)5 如果不等式的左右兩邊同時(shí)加上一個(gè)量，那么所得到的不等式與原不等式同向，即</p><p><b>　　如果，那么．</b></p><p>　　§2 常用的證明不等式的方法</p>

30、<p><b>　　2.1差值比較法</b></p><p>　　差值比較法是證明不等式中最基本．最重要的方法之一，其理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“若，則；若，則．”</p><p>　　一般步驟為：①做差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看做為一個(gè)整體；②變形：將不等式兩邊做差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和

31、等等方式．其中變形是差值法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào)，最后肯定所要求不等式成立的結(jié)論，此方法一般是適用于被證的不等式兩段是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式． </p><p>　　例1 已知為正數(shù)，證明：.</p><p><b>　　證明 因?yàn)?lt;/b></p><p>&l

32、t;b>　　，</b></p><p><b>　　所以可得到</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　2.2綜合法</b></p><p>　　綜合法是利用已知條件、重要不等式或已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)

33、和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步地邏輯推理，最后推理出所要證明的不等式．其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”觀察逐步推出“結(jié)論”．其邏輯關(guān)系為：，即從已知逐步推演出不等式成立的必要條件，從而得出結(jié)論． </p><p>　　例2 已知為實(shí)數(shù)，求證．</p><p><b>　　證明 因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，，，</

34、b></p><p><b>　　三式相加并變形得：</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　同理可證</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　

35、所以 </b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　2.3分析法</b></p><p>　　分析法是從要證明的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定是否具備那個(gè)條件的過程，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“須知”，逐步靠攏“已知”，其邏輯關(guān)系：，為了證

36、明命題成立，只需求證命題為真，從而推演出又有直到為真，最后只需證明為真，而已知為真，故也必為真．其邏輯關(guān)系告訴我們分析法證明是步步尋求上一步成立的充分條件 ．</p><p>　　例3 已知，證明：，并討論為何值時(shí)等式成立． </p><p>　　證明 假設(shè)此不等式成立，于是</p><p><b>　　，</b></p>

37、<p><b>　　因?yàn)?，所?lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，，，</b></p><p>　　這顯然是成立的，且以上每步過程是可逆的，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等

38、式成立，原命題得證． </p><p><b>　　2.4換元法</b></p><p>　　換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜、變量較多、變量關(guān)系不甚明了的不等式引入一個(gè)或幾個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明以新的啟迪和解法．</p><p>　　例4 已知為正數(shù)，且，求證: ()．</p><p&g

39、t;　　證明 由已知，可設(shè)，．因?yàn)?lt;/p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，．</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b&

40、gt;　　.</b></p><p><b>　　2.5反證法</b></p><p>　　有些證明不等式的命題，從正面證明不容易，就可以從反面的角度去考慮，即要證明不等式，先假設(shè)，由題設(shè)及其他性質(zhì)推出其是矛盾的，從而肯定．凡涉及所證不等式為否定命題，唯一性命題，或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，一般都可以考慮用反證法．</p>

41、;<p>　　例5 已知：對(duì)于任意的正數(shù)，恒有，證明：．</p><p>　　證明 設(shè)，則，取，有</p><p>　　與已知相矛盾，所以假設(shè)不成立，于是原命題結(jié)論成立．</p><p><b>　　2.6放縮法</b></p><p>　　放縮法是當(dāng)直接證明不等式不容易時(shí)，借助一個(gè)或幾個(gè)中間變量通過適

42、當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明的目的. </p><p>　　常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)；②在分式中放大或縮小分子或分母；③利用均值不等式．</p><p>　　第三章 微積分在不等式中的應(yīng)用</p><p>　　不等式涉及數(shù)量之間大小的比較，而通過比較變量與變量之間相互制約的關(guān)系．因此，從某種意義上說, 對(duì)不等式的探討，在數(shù)學(xué)分析中甚至比等式的推演更為

43、重要．許多數(shù)學(xué)家證明和發(fā)現(xiàn)了不少重要的不等式，許多著名不等式在數(shù)學(xué)分析中都起到了重要的作用．所以對(duì)不等式的研究無論是實(shí)踐應(yīng)用，還是理論分析都有重要的意義．本章就從此基點(diǎn)出發(fā)，介紹利用微積分法證明不等式的幾種方法</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　§1 利用微分證明不等式</p><p>　　微分在不等式中的

44、應(yīng)用主要是利用微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、凸函數(shù)法等方法來證明不等式．以下對(duì)這些方法分別做詳細(xì)的介紹.</p><p>　　1.1利用微分中值定理證明不等式</p><p>　　定理1(微分中值定理） 如果函數(shù)，滿足下列條件:</p><p>　　(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；</p><p>　　(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，<

45、;/p><p>　　則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　由于在之間，因此將有一個(gè)取值范圍，即有一個(gè)取值范圍，這樣就得到了一個(gè)不等式．因此，可利用在區(qū)間內(nèi)的特點(diǎn)證明不等式．</p><p>　　例1 證明;設(shè)，則有．</p><p>　　證明　(1

46、) 當(dāng)時(shí)，上式顯然成立．</p><p>　　(2) 當(dāng)時(shí)，設(shè)，那么在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件.由于，故有，，即</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又由于，所以，于是</b></p><p><b>　　，</b></p>

47、<p><b>　　故當(dāng)時(shí)，有成立．</b></p><p>　　1.2 利用泰勒公式證明不等式</p><p>　　定理２（泰勒中值定理） 如果函數(shù)中含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，對(duì)意有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中<

48、/b></p><p>　　，　　　 　　　　　　</p><p>　　這里是與之間的某個(gè)值．</p><p>　　公式稱為按的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階泰勒公式，而表達(dá)式稱為拉格朗日型余項(xiàng)．</p><p>　　利用泰勒公式證明不等式的常用方法是將函數(shù)在所給區(qū)間的端點(diǎn)或一些特定點(diǎn)（如區(qū)間的中點(diǎn)、零點(diǎn)）展開，通過分析余項(xiàng)在點(diǎn)的性質(zhì)，

49、從而得到不等式．</p><p>　　例2 證明不等式：當(dāng)時(shí)，．</p><p>　　證明 利用泰勒中值定理可得函數(shù)在點(diǎn)的二階泰勒展式為</p><p><b>　　，．</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</

50、b></p><p><b>　　顯然．另一方面，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即&l

51、t;/b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　1.3 利用函數(shù)的增減性證明不等式</p><p>　　單調(diào)函數(shù)是一類很重要的函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)為工具可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性.</p><p>　　定理3 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).</p><p>　　(1)如果在內(nèi)，

52、那么函數(shù)在上單調(diào)遞增；</p><p>　　(2)如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減.</p><p>　　利用函數(shù)的增減性證明不等式的步驟為：</p><p>　　通過恒等變換(形)構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)（構(gòu)造輔助函數(shù)常用的方法是，直接將不等號(hào)右端項(xiàng)移到不等號(hào)左端，令不等號(hào)右端為零，左端即為所求的輔助函數(shù)）；</p><p>　　求在所給區(qū)間上的

53、一階導(dǎo)數(shù)，再判別一階導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上的符號(hào)；</p><p>　　有時(shí)需求在所給區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值或極限，以便作出比較，即可得到所要證明的結(jié)果．</p><p>　　例3 證明；當(dāng)時(shí)，.</p><p>　　證明 先證，令，則</p><p><b>　　，．</b></p><p>　　由此知當(dāng)

54、時(shí)，是遞減的(個(gè)別點(diǎn)處，不影響是遞減的結(jié)論)，所以當(dāng)時(shí)，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　；</b></p><p>　　再證左邊不等式，令 </p><p&g

55、t;<b>　　，</b></p><p>　　則 </p><p><b>　　，，，，</b></p><p>　　由，知，所以在時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增的，故在時(shí)，，即</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>&l

56、t;b>　　綜上所述，當(dāng)時(shí)，有</b></p><p><b>　　．</b></p><p>　　1.4利用函數(shù)的最值和極值</p><p>　　函數(shù)的最值和極值不僅在實(shí)際問題中占有重要的地位，對(duì)于證明不等式來說也是一個(gè)常用而有效的證明方法．函數(shù)的最值和極值證明不等式適用在某區(qū)間上成立的不等式,與利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式相

57、似，但二者又有明顯的不同，不同處在于對(duì)所作的輔助函數(shù)的處理上：利用函數(shù)的單調(diào)性的證明方法比較的是函數(shù)的端點(diǎn)值，而該方法是要考慮函數(shù)在區(qū)間上的最值和極值，需利用最值定理（若函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)必在該閉區(qū)間上取得最大值和最小值，當(dāng)函數(shù)取得最小值時(shí)，對(duì)任意的有，而當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，對(duì)任意的有）對(duì)最值進(jìn)行判斷，從而得出證明結(jié)論．</p><p><b>　　證明步驟為：</b></p>

58、<p>　　通過恒等變形構(gòu)造合適的輔助函數(shù)；</p><p>　　求在所給區(qū)間上的一階導(dǎo)數(shù)，從而判別一階導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上的符號(hào)；</p><p>　　根據(jù)輔助函數(shù)在此區(qū)間上是否存在極值和最值的比較，得出所需要的結(jié)論．</p><p>　　例4 設(shè)，證明不等式成立．</p><p><b>　　證明 設(shè)，則</b

59、></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由得唯一駐點(diǎn)，由</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　知，在上的最大值為1，最小值為，</p><p><b>　　故</b&g

60、t;</p><p><b>　　．</b></p><p>　　例5 證明；當(dāng)時(shí)，．</p><p><b>　　證明 令，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　令，得駐點(diǎn)(因?yàn)槭堑亩它c(diǎn)，所以不是駐點(diǎn)) 且當(dāng)時(shí)，&

61、lt;/p><p><b>　　；</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以是極大值也是最大值，從而得：</p><p><b>　　，</b></p&g

62、t;<p>　　即 </p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　1.5利用函數(shù)凹凸性證明不等式</p><p>　　定義1 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)．若對(duì)任意的恒有</p><p><b>　　，</b></p>

63、<p>　　則稱的圖形在上是凹的；若</p><p><b>　　．</b></p><p>　　則稱的圖形在上是凸的．</p><p>　　如果函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),那么就可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定曲線的凹凸性,這就是下面的曲線凹凸性的判定定理.</p><p>　　定理4 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)具有一階和二階

64、導(dǎo)數(shù),那么</p><p>　　(1)若在內(nèi),則在上的圖形是凹的；</p><p>　　(2)若在內(nèi),則在上的圖形是凸的.</p><p>　　利用函數(shù)凹凸性證明不等式首先找到輔助函數(shù)，利用輔助函數(shù)在所給區(qū)間的二階導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的凹凸性． </p><p>　　例6 證明不等式成立.</p><p>　　證明 構(gòu)造

65、函數(shù),則</p><p><b>　　,</b></p><p>　　因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是凹函數(shù),則由凹函數(shù)的定義有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b>

66、;</p><p>　　從而 </p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　1.6 微分定義法證明不等式</p><p>　　從微分定義出發(fā)證明不等式是最“原始”的做法，不易被人想到，但它在證明某些不等式中確有其優(yōu)勢(shì).</p><p>　　例7 設(shè)且

67、，為實(shí)常</p><p><b>　　數(shù)，試證．</b></p><p><b>　　證明 因?yàn)椋?lt;/b></p><p><b>　　，利用導(dǎo)數(shù)定義得：</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b

68、>　　由于，所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　即 ．</p><p>　　§2 利用積分證明不等式</p><p>　　2.1利用定積分定義及性質(zhì)證明不等式</p><p>　　運(yùn)用定積分的定義證明不等式是最

69、基本的做法在解某些不等式時(shí)會(huì)帶來良好的結(jié)果．</p><p>　　例1 對(duì)任意正整數(shù)，證明：．</p><p>　　證明 設(shè)，，當(dāng)時(shí)，顯然為凸函數(shù)．將區(qū)間 分成等分,則由定積分定義知</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p>

70、<p>　　. </p><p><b>　　從式前半部可得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從式后半部可得</b></p><p><b>　　，</b></p>

71、<p><b>　　故原不等式成立．</b></p><p>　　利用定積分的性質(zhì)證明不等式常用的是當(dāng)不等式中含有定積分（或被積函數(shù)）時(shí)，可利用積分性質(zhì)證明．定積分的性質(zhì)在不等式上的應(yīng)用所依據(jù)的原理是：若在區(qū)間上連續(xù)函數(shù)滿足，其中不等號(hào)至少對(duì)于中某一點(diǎn)處成立，則有．</p><p>　　例2 證明不等式成立．</p><p>　　證

72、明 當(dāng)時(shí)，，，則</p><p><b>　　．</b></p><p>　　因?yàn)樵谏暇鶠檫B續(xù)函數(shù)，且在內(nèi)均可導(dǎo)，則由定積分的性質(zhì)知，</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　2.2 利用柯西不等式證明不等式</p><p>　　定理５（柯西不等式）

73、 若函數(shù)在區(qū)間上皆可積，則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例3 設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，，證明：</p><p><b>　　．</b></p><p>　　證明　 因?yàn)?，所以設(shè)，則</p><p>　　， </p&g

74、t;<p>　　又因?yàn)?，所以設(shè)，， </p><p><b>　　由與得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　結(jié)論得證．</b></p><p>　　2.3利用積分上限函數(shù)(原函數(shù)法)證明不等式</p&g

75、t;<p>　　當(dāng)命題中出現(xiàn)條件在上連續(xù)時(shí)，可構(gòu)造積分上限函數(shù)，將數(shù)值不等式或定積分不等式轉(zhuǎn)化為(積分上限)函數(shù)不等式，然后利用函數(shù)單調(diào)性或定積分的性質(zhì)或泰勒公式解題．</p><p>　　例4 設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，證明</p><p><b>　　．</b></p><p>　　證明 構(gòu)造輔助函數(shù)，</p>

76、<p><b>　　顯然，對(duì)任意的，有</b></p><p><b>　　，．</b></p><p>　　因?yàn)閱握{(diào)遞增，則，故單調(diào)遞增，所以，</p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　　．</b></p&g

77、t;<p><b>　　結(jié) 論</b></p><p>　　不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，它反映了變量之間很重要的一種關(guān)系．論證不等式的方法很多，初等方法求解不等式，往往需要較高技巧，但利用微積分的思想證明不等式, 可使不等式的證明過程大大簡(jiǎn)化, 技巧性降低；同時(shí)能夠體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用．本文著重介紹用微積分知識(shí)證明不等式的幾種常用方法，常見的方法有微分中值定理，

78、函數(shù)的單調(diào)性，極（最）值的判定法，定積分的性質(zhì)，泰勒公式等．這些方法能夠使不等式的證明思路變得簡(jiǎn)單，從而利于問題的求解．</p><p>　　利用微積分證明不等式，我們首先必須要對(duì)導(dǎo)數(shù)，定積分的概念和基本性質(zhì)，定理有一個(gè)深刻的認(rèn)識(shí)，了解，掌握。在此基礎(chǔ)才可以結(jié)合實(shí)際需要，靈活運(yùn)用。進(jìn)而根據(jù)不等式的特點(diǎn)，選擇簡(jiǎn)更易行的方法證明不等式。我們?cè)诶煤瘮?shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值證明不等式時(shí)，最關(guān)鍵，最重要的一步就是構(gòu)造輔助函

79、數(shù)，并對(duì)輔助函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。從而確定在所考慮區(qū)間上的增減性，極值或最值性質(zhì)。由于所作輔助函數(shù)的不同，確定的符號(hào)的難易程度所不同。所以作輔助函數(shù)可作適當(dāng)變更。而我們?cè)诶梦⒎种兄刀ɡ?、泰勒公式、函?shù)的單調(diào)性、極（最）值的判定法、定積分的性質(zhì)等一些方法證明不等式時(shí)，一定要滿足它所要求的條件才可以用它來證明不等式。微分，導(dǎo)數(shù)為不等式的證明提供了不少簡(jiǎn)浩，明快的方法。使用時(shí)究竟用那種方法更適合，需要根據(jù)不等式的具體形式結(jié)合條件來加以選

80、擇，有的可以多種方法都能證明。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué) [M]，北京：高等教育出版社，2001：126-152</p><p>　　[2] 華羅庚，高等數(shù)學(xué)引論 [M]，北京：北京科學(xué)出版社，1981：65-71</p><p>　　[3]

81、費(fèi)定暉，周學(xué)圣主編.， 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集解集 [M]，山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001：87-90</p><p>　　[4] 盛祥耀，高等數(shù)學(xué) [M]，北京：高等教育出版社，2003：90-98</p><p>　　[5] 侯風(fēng)波，高等數(shù)學(xué) [M]，北京：高等教育出版社，2000：78-95</p><p>　　[6] 同濟(jì)大學(xué)，高等數(shù)學(xué) [M]，上海：同濟(jì)大學(xué)出

82、版社，1998：101-112</p><p>　　[7] 歐陽(yáng)光中，高等數(shù)學(xué) [M]，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1984：81-84</p><p>　　[8] 歐陽(yáng)光中，姚允龍，數(shù)學(xué)分析 [M]，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1993：108-113</p><p>　　[9] 陳傳璋，陳傳臨，朱學(xué)炎等, 數(shù)學(xué)分析 [M]，北京：高等教育出版社，2003：97-100<

83、;/p><p>　　[10] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析 [M ]，北京：高等教育出版社，1981：96-98</p><p>　　[11] 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，數(shù)學(xué)分析 [M]，北京：北京高教出版社，1994：117-119</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　我首先感謝我的指導(dǎo)教師阿孜古麗

84、，由于她的關(guān)心、支持和鼓勵(lì)使我有信心來完成此論文，并且論文寫作過程中為我提供了很多有助于論文進(jìn)展的設(shè)計(jì)思想和輔助材料．在論文初步完成時(shí)她在百忙之中審閱了我的論文，并提出了寶貴意見．因?yàn)椴杉{了老師的改進(jìn)意見，使本論文的質(zhì)量進(jìn)一步得到提高,最后我要對(duì)所有幫助我寫論文的同學(xué)表示感謝．</p><p>　　雖然此論文歷經(jīng)幾次修改，但由于我的學(xué)術(shù)水平有限，論文中可能存在許多不足和缺陷，敬請(qǐng)諸位老師和學(xué)友給予批評(píng)指正，以使我