coullet混沌系統(tǒng)的演化和控制實驗講義

1、<p>　　Coullet混沌系統(tǒng)的演化和控制實驗</p><p>　　混沌理論與量子理論和相對論并稱為二十世紀物理學三大突破性理論?；煦缋碚摻沂玖俗匀唤缰幸活惔_定性系統(tǒng)的不確定行為，是對牛頓確定性理論的重大突破。人們對混沌現(xiàn)象的認識和研究始于二十世紀六十年代，隨即滲透到數(shù)學、物理、生物、電子、氣象、信息等各個學科，引起了人們的極大興趣和廣泛關(guān)注，成為非線性科學研究的熱點。混沌是非線性系統(tǒng)表現(xiàn)出的類隨機

2、性，廣泛存在于自然界中，由著名的LORENZ系統(tǒng)引出的“蝴蝶效應”就說明了天氣預報不可能長期預測；Logistic系統(tǒng)和Henon系統(tǒng)分別揭示了生物競爭和天體演化中的混沌行為；Coullet系統(tǒng)就是描述三維流體中湍流發(fā)生機制的簡化模型。因此對混沌現(xiàn)象的認識和研究，具有十分重要的實際意義。</p><p>　　我們根據(jù)Coullet系統(tǒng)設(shè)計了混沌演化和控制的實驗，通過實驗，了解混沌系統(tǒng)從周期狀態(tài)演化到混沌狀態(tài)的分岔

3、過程，從而理解混沌系統(tǒng)外在無序表象下的內(nèi)在規(guī)律性；通過對混沌系統(tǒng)的控制，理解混沌系統(tǒng)仍然是可以控制并加以利用的。</p><p><b>　　[實驗目的]</b></p><p>　　1.觀察Coullet系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的演化過程。</p><p>　　2.測量Coullet系統(tǒng)各個穩(wěn)定周期狀態(tài)以及混沌狀態(tài)對應的參數(shù)值。</p>&

4、lt;p>　　3.測量Coullet系統(tǒng)各個穩(wěn)定周期狀態(tài)的周期。</p><p>　　4.研究Coullet系統(tǒng)的控制過程</p><p><b>　　[實驗原理]</b></p><p>　　1. Coullet系統(tǒng)的特性及分岔過程</p><p>　　Coullet系統(tǒng)是一個典型的三階自治立方非線性混沌系統(tǒng)，其

5、方程為</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　通過變量代換，令，式（1）可表示為下列方程組</p><p><b>　　(2)</b></p><p><b>　　系統(tǒng)具有如下特性：</b></p><p>　　1）系統(tǒng)具有奇對

6、稱性且滿足的變換不變性。</p><p>　　2）系統(tǒng)有三個平衡點，分別為（0，0，0）、（，0，0）。</p><p>　　由式(2)得到系統(tǒng)的Jacobian矩陣為：</p><p>　?。?） </p><p>　　通過改變系統(tǒng)的參數(shù)，Coullet 系統(tǒng)歷經(jīng)一系列分岔過程從穩(wěn)定的周期狀態(tài)到達混沌狀態(tài)。例如，僅改

7、變，其它參數(shù)保持不變，根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，系統(tǒng)特征方程的所有特征根應具有負實部，即 。</p><p>　　對于平衡點， 由式(3)得到特征方程為</p><p><b>　　(4)</b></p><p>　　當滿足時，系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡點處，由此可得參數(shù)的取值范圍為?？梢姡敃r，平衡點不會穩(wěn)定。</p>&l

8、t;p>　　同理可對平衡點進行分析，當時， 系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡點處; 對于系統(tǒng)在平衡點處穩(wěn)定的一周期態(tài)，可設(shè)系統(tǒng)的特征方程具有一對共軛虛根為，代入式(4)得到當時，系統(tǒng)在平衡點處的一周期態(tài)穩(wěn)定。穩(wěn)定的一周期態(tài)的周期。</p><p>　　圖1為系統(tǒng)參數(shù)保持不變，系統(tǒng)隨參數(shù)變化的分岔圖。</p><p>　　圖1. 系統(tǒng)隨參數(shù)變化的分岔圖</p><p>　　當時，

9、系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。Coullet系統(tǒng)的Jacobian矩陣在平衡點處的特征值：，；在處的特征值：，。系統(tǒng)的三平衡點都是不穩(wěn)定的鞍焦點，且都滿足，，。所以混沌系統(tǒng)是雙細胞奇異吸引子，相圖具有雙渦卷特征。系統(tǒng)的Jacobian矩陣在平衡點處的特征值滿足，，根據(jù)Shil’nikov方法，說明系統(tǒng)存在Smale馬蹄映射意義上的混沌。如圖2 所示。</p><p>　　圖2. Coullet系統(tǒng)的雙渦卷混沌相圖</p

10、><p>　　2. Coullet系統(tǒng)的控制</p><p>　　對Coullet系統(tǒng)實施形如的非線性反饋控制，在控制作用下系統(tǒng)方程為</p><p><b>　　(5)</b></p><p>　　式中為非線性反饋控制增益，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。理論分析表明，反饋控制增益必須取負值，才可能使系統(tǒng)從混沌狀態(tài)控制到穩(wěn)定的周期狀態(tài)。

11、因此該非線性反饋控制屬于負反饋控制，適當調(diào)整反饋控制增益的值，即可將Coullet混沌系統(tǒng)控制到穩(wěn)定的一周期和二周期狀態(tài)。</p><p><b>　　[實驗儀器]</b></p><p>　　本實驗采用Coullet混沌系統(tǒng)演化及控制實驗儀。</p><p>　　該儀器具備以下兩項功能：</p><p>　　1. 觀察

12、和測量Coullet系統(tǒng)從各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)到混沌狀態(tài)演變過程；</p><p>　　2. 對Coullet混沌系統(tǒng)實行有效控制。</p><p>　　儀器設(shè)計框圖如圖3所示。</p><p><b>　　圖3設(shè)計框圖</b></p><p>　　對Coullet系統(tǒng)不施加控制時，通過調(diào)節(jié)電位器R1改變Coullet系統(tǒng)

13、的參數(shù)，可在示波器上觀察Coullet系統(tǒng)各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)的相圖和時域圖；并可通過儀器上的電阻測量儀表測量與各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)對應的電阻值，計算出相應的系統(tǒng)參數(shù)，與理論值進行比較；也可以通過示波器和頻率計測量各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)的周期值，與理論值比較，對 Coullet系統(tǒng)的倍周期分岔過程進行驗證。</p><p>　　當Coullet系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，通過切換開關(guān)將控制器加在Coullet混沌系統(tǒng)上，對Cou

14、llet系統(tǒng)施加控制，通過調(diào)節(jié)電位器R2改變反饋控制參數(shù)，控制系統(tǒng)從混沌狀態(tài)到穩(wěn)定的周期狀態(tài)。同樣可以通過儀器上的電阻測量儀表測量與各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)對應的電阻值，計算出相應的反饋控制參數(shù)。</p><p>　　根據(jù)式（2）和式（5）設(shè)計的Coullet系統(tǒng)和控制Coullet 系統(tǒng)的電路框圖如圖4所示。</p><p>　　圖4 Coullet系統(tǒng)及控制電路圖</p>&

15、lt;p><b>　　[實驗內(nèi)容]</b></p><p>　　1. Coullet系統(tǒng)演化實驗</p><p>　　在進行Coullet系統(tǒng)演化實驗時，通過調(diào)節(jié)可變電阻使系統(tǒng)參數(shù)變化，由電路設(shè)計可知，計算系統(tǒng)參數(shù)的公式為</p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　式中固

16、定電阻。因此， 只要測量出Coullet系統(tǒng)各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)所對應的電阻值，就可計算出相應的系統(tǒng)參數(shù)，并可與理論值進行比較。</p><p>　　對電路進行歸一化處理后，系統(tǒng)穩(wěn)定周期態(tài)的周期的計算公式:</p><p><b>　　(7)</b></p><p>　　式中，分別為電路中積分器的電阻值和電容值，當，系統(tǒng)參數(shù)時，由式(7)計算出系

17、統(tǒng)穩(wěn)定一周期態(tài)的周期理論值為秒（這點可在出現(xiàn)穩(wěn)定一周期態(tài)時用頻率計實測出來）。</p><p>　　對系統(tǒng)各種穩(wěn)定周期態(tài)的周期值，我們可通過示波器進行觀察并讀出來。由Coullet系統(tǒng)的理論，通過研究我們知道該系統(tǒng)隨著參數(shù)減小，應逐步發(fā)生從少到多的倍周期分岔，最后到達混沌狀態(tài)。這一結(jié)論我們可根據(jù)示波器顯示的圖像，測量在各個倍周期分岔階段的R1電阻值，將測量的結(jié)果填入下面的表一中來加以驗證和研究。</p>

18、;<p>　　2. Coullet系統(tǒng)控制實驗</p><p>　　在Coullet系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，將控制器開關(guān)合上，即可對混沌系統(tǒng)實施控制。調(diào)節(jié)可變電阻使反饋控制增益改變，由電路設(shè)計可知，計算反饋控制增益的公式為</p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　式中固定電阻取10ＫΩ，因此， 只要測量出將Co

19、ullet系統(tǒng)控制到各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)所對應的R2電阻值，就可計算出控制增益的值。</p><p>　　隨著反饋控制增益的減小，對混沌系統(tǒng)的控制逐步減弱，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期數(shù)預期將逐步增大最后又重新進入混沌狀態(tài)。這一規(guī)律我們可通過改變R2的阻值并觀察示波器顯示的圖像來進行驗證。</p><p>　　將相關(guān)的測量和觀察數(shù)據(jù)填入表二中進行分析研究。</p><p>　　3.

20、 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可重復性研究</p><p>　　Coullet系統(tǒng)的各穩(wěn)定周期態(tài)是具有重復性的。即一旦由于把可變電阻從電路中撤出等原因使原混沌狀態(tài)被破壞，把可變電阻回復到原電路中后，稍加調(diào)整使系統(tǒng)又回到原來的穩(wěn)定周期態(tài)時，電路的各系統(tǒng)參數(shù)或控制參數(shù)基本保持不變。</p><p>　　此過程可在測量可變電阻時，根據(jù)切換開關(guān)前后的電路表現(xiàn)情況進行觀察研究。</p><p&

21、gt;<b>　　[實驗測量結(jié)果]</b></p><p>　　表一 Coullet系統(tǒng)演變過程</p><p><b>　　實驗結(jié)論或討論：</b></p><p>　　表二 Coullet系統(tǒng)控制過程</p><p><b>　　實驗結(jié)論或討論：</b></p&g