擴(kuò)展粒子群算法與經(jīng)典 算法的比較外文翻譯、中英對照、英漢互譯

1、<p>　　本科畢業(yè)設(shè)計（論文）外文翻譯譯文</p><p>　　題 目： 擴(kuò)展粒子群算法與經(jīng)典 </p><p>　　算法的比較 </p><p>　　專業(yè)班級： 信息0902班 </p><p><b>　　文獻(xiàn)名稱（中文）</b></

2、p><p>　　擴(kuò)展的粒子群算法與經(jīng)典優(yōu)化算法的比較：</p><p>　　一個關(guān)于靜止同步補(bǔ)償器放置問題的案例研究</p><p><b>　　文獻(xiàn)名稱（外文）</b></p><p>　　Comparison of Enhanced-PSO and Classical Optimization</p>&l

3、t;p>　　Methods: a case study for STATCOM placement</p><p>　　作者： Yamille 哈利和羅納德德爾</p><p><b>　　起止頁碼：1-31</b></p><p>　　出版日期（期刊號）：2013,7,13</p><p>　　出版單位：中國科學(xué)

4、出版社</p><p>　　概要—這篇論文證實了一種擴(kuò)展的粒子群優(yōu)化算法用于一個動力系統(tǒng)中解決柔性交</p><p>　　流輸電系統(tǒng)設(shè)備的優(yōu)化配置問題的有效性。在進(jìn)行關(guān)于靜止同步補(bǔ)償器設(shè)備優(yōu)化配置的</p><p>　　一項簡單且符合實際的案例研究中，就穩(wěn)態(tài)和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)而言，粒子群優(yōu)化算法的性能可</p><p>　　以和經(jīng)典優(yōu)化算法相比較。這

5、篇論文也談及了在文章中易于被忽視的概念和細(xì)節(jié)，因為</p><p>　　優(yōu)化算法的選擇在很大程度依賴于這些概念和細(xì)節(jié)。</p><p>　　關(guān)鍵詞：柔性交流輸電系統(tǒng)，經(jīng)典優(yōu)化，奔德斯分解，分支定界，進(jìn)化，計算技術(shù)，粒</p><p><b>　　子群優(yōu)化</b></p><p><b>　　Ⅰ、簡介</b

6、></p><p>　　柔性交流輸電系統(tǒng)的優(yōu)化配置概念還處在一個相對早期的調(diào)查階段。目前還沒有一</p><p>　　個被普遍接受的方法，許多研究人員都聲稱他們的方法比其他人的方法更好。鑒于在這</p><p>　　個領(lǐng)域中不同方法之間的一個比較，特別是在經(jīng)典方法和準(zhǔn)啟發(fā)式方法之間，判斷哪一</p><p>　　種方法性能最好已經(jīng)變得很

7、困難，因為每一種研究方法集中于不同的問題方程、系統(tǒng)規(guī)</p><p>　　模大小以及操作條件。</p><p>　　這篇論文為經(jīng)典算法和準(zhǔn)啟發(fā)式算法的性能比較提供了一個共同的背景。特別是在</p><p>　　奔德斯分解算法，分支定界算法(B&B)和擴(kuò)展的粒子群優(yōu)化算法，而粒子群優(yōu)化方法被</p><p>　　證實比其它的準(zhǔn)啟發(fā)式技術(shù)

8、更加有效。一項基于穩(wěn)態(tài)和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的簡單且符合實際的優(yōu)</p><p>　　化靜止同步補(bǔ)償器配置(一種柔性交流輸電系統(tǒng)設(shè)備)的案例研究被用來作為一個詮釋的</p><p>　　例子它更重要的表明這篇論文不是為了尋找某種特定問題的一種解決辦法，而是為了闡</p><p>　　述古典確定性方法和準(zhǔn)啟發(fā)式技術(shù)之間的差別以及對在文章中易于被忽視的優(yōu)化過程的</p>

9、<p>　　重要細(xì)節(jié)作出評論：離散優(yōu)化問題，理解性凸性假設(shè)條件下(不僅僅應(yīng)用于目標(biāo)函數(shù)),關(guān)</p><p>　　于局部最優(yōu)與全局最優(yōu)問題的探討(一種給定的目標(biāo)函數(shù))。</p><p>　　這篇論文接下來的部分如下：優(yōu)化背景(第二部分)，不應(yīng)該被忽視的概念和問題(第</p><p>　　三部分)，問題描述(第四部分)，優(yōu)化算法(第五部分)，模擬結(jié)果(第

10、六部分)，結(jié)束性評語</p><p><b>　　(第七部分)。</b></p><p><b>　?、?、背 景</b></p><p>　　優(yōu)化技術(shù)常被用來解決能夠主要被分成兩組的柔性交流輸電系統(tǒng)設(shè)備的優(yōu)化配置問</p><p>　　題：組成了主要的進(jìn)化計算技術(shù)的經(jīng)典方法和準(zhǔn)啟發(fā)式算法，第三種可選

11、擇的方法，例</p><p>　　如模態(tài)方法也可以考慮。然而，這些方法主要是基于技術(shù)的可行性而不是去尋找最優(yōu)化</p><p><b>　　解決辦法。</b></p><p><b>　　A、經(jīng)典優(yōu)化技術(shù)</b></p><p>　　在論文中，這個問題應(yīng)用了兩類經(jīng)典優(yōu)化方法：(1)混合型整數(shù)線性規(guī)劃

12、和(2)混合型</p><p><b>　　非整數(shù)線性規(guī)劃。</b></p><p>　　一方面，混合型整數(shù)線性規(guī)劃就像名稱所說的那樣需要的條件就是所有的變量是整</p><p>　　數(shù)。這樣，這種方法只能和直流功率流結(jié)合在一起使用。解決混合型線性整數(shù)方程問題</p><p>　　的主要算法是奔德斯分解算法，分支定界法和

13、格莫瑞流割算法。另一方面，混合型非線</p><p>　　性整數(shù)方程需要考慮到目標(biāo)函數(shù)和約束條件的使用。這樣，交流功率流就可以用于這個</p><p>　　案例。解決混合型非整數(shù)線性規(guī)劃問題被利用的最為廣泛的算法是奔德斯算法。不幸的</p><p>　　是，依賴系統(tǒng)參數(shù)的問題的規(guī)模和非凸性是可能引起收斂問題的關(guān)鍵。</p><p><b

14、>　　B、準(zhǔn)啟發(fā)式技術(shù)</b></p><p>　　計算技能的基礎(chǔ)技術(shù)，例如遺傳學(xué)算法(GA)、粒子群優(yōu)化算法(PSO)、模擬退火算法</p><p>　　(SA)、禁忌搜索算法(TS)和進(jìn)化規(guī)劃算法(EP)都是可以選擇用來解決優(yōu)化問題的方法。</p><p>　　候選解決方案在一定人口的個體中起著重要作用，最佳費用函數(shù)決定了解的存在條</p

15、><p>　　件。人類進(jìn)化就發(fā)生了，經(jīng)過生物和社會運營商的反復(fù)應(yīng)用，就取得了最佳方案</p><p>　　通常，歐洲學(xué)分轉(zhuǎn)換系統(tǒng)很適合解決混合型非整數(shù)線性規(guī)劃，然而這些方法的可擴(kuò)</p><p>　　展性需要進(jìn)一步的驗證。</p><p>　?、?、優(yōu)化方法：概念和問題</p><p><b>　　A、離散優(yōu)化問題

16、</b></p><p>　　一種常見的錯誤觀念就是從優(yōu)化的角度來說柔性交流輸電系統(tǒng)設(shè)備的優(yōu)化配置問題</p><p>　　并不具有挑戰(zhàn)性，因為這是一個離線問題。一些人認(rèn)為這個解決方案就像同時安排一定</p><p>　　數(shù)量的計算機(jī)并讓它們運行一樣簡單。成功的關(guān)鍵在于找到所有可能的解決方案，那么</p><p>　　最優(yōu)方案肯定

17、在已找到的方案中取得。</p><p>　　事實是甚至當(dāng)一種解決辦法在理論上可能對任何一個系統(tǒng)起作用時，而在實踐 中隨</p><p>　　著系統(tǒng)規(guī)模的擴(kuò)大和目標(biāo)函數(shù)變得更加復(fù)雜(瞬態(tài)性能是評價計算密集型的)，找到問題的</p><p>　　解決方案所需要的計算量會增加得非常迅速。如果也需要滿足 N-1 或 N-2的可能性規(guī)則，</p><p&g

18、t;　　或者增加系統(tǒng)的隨機(jī)因素和不確定性因素，僅僅評估案例的數(shù)量也會變得難以估量。</p><p>　　因此，對應(yīng)用到系統(tǒng)規(guī)劃問題中的優(yōu)化算法進(jìn)行研究，例如柔性交流輸電系統(tǒng)的配</p><p>　　置問題就變得非常重要。</p><p><b>　　B、凸性假設(shè)</b></p><p>　　就目標(biāo)函數(shù)而言，凸性是被主要分

19、析的概念：如果目標(biāo)函數(shù)是嚴(yán)格凸的，那么就可以</p><p>　　確保有一個唯一最優(yōu)解。</p><p>　　圖 3-1 全局極值與局部極值</p><p>　　這一特點是可取的，但是在動力系統(tǒng)中幾乎就沒有發(fā)生。大多數(shù)情況下，目標(biāo)函數(shù)</p><p>　　的圖形類似于圖形(3-1.b)中的函數(shù)。結(jié)果是梯度下降法往往受到局部極值的限制。在這些&

20、lt;/p><p>　　情形下，必須考慮到采用往搜索算法中加入隨機(jī)因素的特殊辦法。</p><p>　　凸性假設(shè)問題也可應(yīng)用到可行域中。例如在線性規(guī)劃問題中，如果可行域就像下圖</p><p>　　3-2.a(圖形 3-2.b 與圖形 3-2.a 作為對比)中一樣是凸集，那么就可以找到最優(yōu)解(用單純形</p><p><b>　　法或者

21、內(nèi)點法)。</b></p><p>　　圖 3-2 可 行 域 的 凸 性</p><p>　　最糟糕的情況出現(xiàn)在圖 3-2.c 中，在圖 3-2.c 中，可行域由有上下界的決策變量所確</p><p>　　定的有限區(qū)域的幾個分散的白色小區(qū)域組成 。分別為變量和變量 :(黑色區(qū)域)</p><p>　　把技術(shù)約束問題強(qiáng)加到動力系統(tǒng)

22、中時，論文后面所展示的圖形類型很具有代表性 。在這</p><p>　　種情形下，優(yōu)化算法應(yīng)該有有效的效益勘探機(jī)制 ，以便能夠快速找到可行方案 。因此，</p><p>　　在不可行域中只耗費最小的計算量。</p><p><b>　　C、全局優(yōu)化</b></p><p>　　另一個方面，在論文中容易被忽視的就是對全局變

23、量和局部變量的探討。與通常觀</p><p>　　點不同的是，這個主題跟應(yīng)用到動力系統(tǒng)中的不同目標(biāo)函數(shù)中的值并沒有關(guān)系。文中指</p><p>　　出對于一個給定的目標(biāo)函數(shù)問題可能有唯一的最優(yōu)解，這樣局部最優(yōu)解也是全局最優(yōu)解</p><p>　　(圖 3-1.a)或者這個問題也有多個局部最優(yōu)解和一個全局最優(yōu)解。在后者圖 3-1.b 中第一</p>&l

24、t;p>　　個白色星號表示 a 到 b 區(qū)間上的最小值，第二個白色星號表示b 到c 區(qū)間上的最小值。</p><p>　　黑色星號表示在整個 a 到 d 區(qū)間上的全局最小值。</p><p>　　這樣看來似乎前面介紹的概念都是多余的，然而，一旦一種優(yōu)化算法能夠提供了一</p><p>　　個解決方案，但在通常情況下，都不能保證這種優(yōu)化算法的性能。證實全局最優(yōu)解

25、能夠</p><p>　　取得僅僅是在線性規(guī)劃問題這種特殊的條件下。就混合型非整數(shù)線性規(guī)劃問題而言，如</p><p>　　果沒有局部極值條件的限制，能夠找出全局最優(yōu)解的每一種算法的性能需要分別加以研</p><p><b>　　究。</b></p><p><b>　　Ⅳ、問 題 描 述</b>&

26、lt;/p><p>　　需要解決的問題由一個 45 路公交系統(tǒng)中大量衛(wèi)星部件的優(yōu)化配置(車牌號)和額定功</p><p>　　率(機(jī)械震蕩分析)組成。而這些問題只是巴西電網(wǎng)中的一部分(圖 4-1)。</p><p>　　圖 4-1 在巴西電力系統(tǒng)中 45 路公共汽車部分路線圖</p><p>　　主要目標(biāo)是在電力系統(tǒng)中以最低費用使得母線電壓偏差最

27、小化，選擇這個客觀標(biāo)準(zhǔn)</p><p>　　和特殊的電力系統(tǒng)的原因是：(1)電力系統(tǒng)不是很大，因此進(jìn)行詳細(xì)地搜索能夠找到全局</p><p>　　最優(yōu)解。(2)問題有一個減少的、分散的和非凸性可行域。(3)如果瞬態(tài)分析也包括在內(nèi)的</p><p>　　話，穩(wěn)態(tài)標(biāo)準(zhǔn)僅僅被用來避免不符合要求的點。</p><p><b>　　A、目標(biāo)函

28、數(shù)</b></p><p>　　考察兩個目標(biāo)：(1)使在系統(tǒng)中的電壓偏差最小。(2)使費用最低。這樣在(4-1)和(4-3)</p><p>　　中定義兩個變量 J1和 J 2 .</p><p>　　在(4-1)中 J1是電壓偏差的度量指標(biāo)。在總線 k 中，在(4-1)中 J1 是電壓</p><p>　　偏差的度量指標(biāo)在總線

29、k 中是各個電壓值，N 是總線數(shù)目。 總費用函數(shù) 由兩個</p><p>　　部分組成：在系統(tǒng)中被組裝的每個部件的固定費用和與每個 部件大小相關(guān)的線性函數(shù)</p><p><b>　　形成的可變費用。</b></p><p><b>　　（4-2）</b></p><p>　　在(4-2)中， M

30、表示待分配部件的數(shù)目， C f 是每個部件的固定費用Cv 是每次機(jī)器運</p><p><b>　　行的費用。</b></p><p>　　由于 C f >>Cv , 在目標(biāo)函數(shù)中，能夠很方便地將最佳費用函數(shù)的每個術(shù)語規(guī)范化。</p><p><b>　?。?）</b></p><p>

31、　　在(4-3)中， J 2是費用度量單位， M max 是待配置衛(wèi)星部件的最大數(shù)目。</p><p>　　多元目標(biāo)優(yōu)化問題現(xiàn)在能夠使用由度量 J1 和 J 2 的加權(quán)和組成的總的目標(biāo)函數(shù) J 來</p><p>　　定義。如(4-4)中</p><p><b>　　（4）</b></p><p>　　每個度量的權(quán)值被調(diào)

32、整用來反映每個目標(biāo)的相對重要性。考慮到 J1 和 J 2 的最大量級，</p><p>　　指定權(quán)值 w1 和 w2 的值分別為1 , 0.5, 以便兩個變量有相同的重要性。</p><p><b>　　B、決策變量</b></p><p>　　決策變量是靜止同步補(bǔ)償器部件和它的大小的參數(shù) ，這些變量被放在如下的一個向</p>&

33、lt;p><b>　　量當(dāng)中：</b></p><p><b>　　（5）</b></p><p>　　在(4-5)中，? p (其中 p=1......M )是靜止同步補(bǔ)償器部件 p 的參數(shù)，決策變量的每個分量</p><p>　　都是整數(shù)， xi∈ Z2 M .</p><p><b

34、>　　C、約束性</b></p><p>　　在這個問題中，關(guān)于電力系統(tǒng)的特點和所需的電壓檔有幾個約束性條件。在這種特</p><p>　　殊條件下，在搜索區(qū)間中都有一個對應(yīng)的約束性條件。因為發(fā)電機(jī)總線有穩(wěn)壓器調(diào)節(jié)電</p><p>　　壓，所以省略了它們的搜索過程。</p><p>　　(1) 總線數(shù)目被限制在{1, 2,

35、 3..........N} .</p><p>　　只有一個部件可以在每個總線連接。</p><p>　　(3) 部件的數(shù)目：1≤ M≤ 5 .</p><p>　　(4) 每個部件的大?。?0≤? p≤ 250MVA .</p><p>　　(5) 所需的電壓檔需要另外 N 個定義的限制性條件： 0.95≤ Vk≤ 1.05<

36、/p><p>　　不滿足上述約束條件的每一種解決方案都被認(rèn)為是不可行</p><p><b>　　V. 優(yōu)化算法</b></p><p>　　在一個45型總線系統(tǒng)中，對于大量柔性輸電系統(tǒng)部件的最優(yōu)化配置，充分發(fā)展了三</p><p>　　種算法，把他們進(jìn)行比較有：奔德斯分解算法、分支定界法、 擴(kuò)展的粒子群優(yōu)化算法。</

37、p><p><b>　　A、奔德斯分解算法</b></p><p>　　這個方法分別由兩個連續(xù)階段的兩套決策組成。在第一個決策階段，延遲的一些約</p><p>　　束條件被用來減少原(主)問題的復(fù)雜性；在第二個階段，在找到第一個決策變量后 ，影</p><p>　　響有不確定初始值的決策變量的一些參數(shù)是已知的和固定的。這樣

38、，第二個問題就是如</p><p>　　何減少復(fù)雜性和變量的數(shù)目。</p><p>　　就靜止同步補(bǔ)償器配置問題而言 ，主要問題是考慮可分別由尋找最優(yōu)解的位置的子</p><p>　　向量和最優(yōu)解大小的子向量組成的決策向量。</p><p>　　不同的約束性條件被描述如下：</p><p>　　(1)第一階段：靜止同步

39、補(bǔ)償器受到了延遲約束，無功率的限制放寬了這些設(shè)備的電</p><p>　　源解決方案流 。每個STATCOM的控制器的參考電壓值被設(shè)置為1.0標(biāo)幺值 ，目標(biāo)函數(shù)對</p><p>　　應(yīng)的電壓偏差度量定義如(4-1)所示。</p><p>　　(2)第二階段：為了確定設(shè)備的位置 ，約束集僅被局限于取每個部件大小的最大值，</p><p>　　

40、目標(biāo)函數(shù)包括了如(4-4)所示的電壓偏差度量和成本度量。</p><p><b>　　B、分支定界法</b></p><p>　　分支定解法是一種通過評估所有可能解的子集來尋找一個最優(yōu)解決方案的經(jīng)典算</p><p>　　法。算法的主要步驟如[18][21][22]：</p><p>　　(1)分支：可行方案集被分割成更

41、簡單的子集。在每一次迭代中，選擇最可能的一個</p><p>　　子集，并作出努力內(nèi)找到它的最佳可行的解決方案.</p><p>　　(2)定界：該算法所得最優(yōu)目標(biāo)值的上限和下限，在每個階段只有一個上限u，對應(yīng)</p><p>　　的目標(biāo)值之間的所有可行的解決方案已經(jīng)出現(xiàn)第一次最小值。</p><p>　　(3)修剪：如果在某個階段，出現(xiàn)了子

42、集中的一個下界比當(dāng)前上界更大的集，那么就</p><p>　　在算法中修剪(丟棄)這個集。</p><p>　　分支、定界、修剪這些步驟重復(fù)進(jìn)行，直到找到了最優(yōu)解。</p><p>　　對于這個特殊問題，目標(biāo)函數(shù)作了如(4-4)中的定義，分支策略與深度優(yōu)先搜索相對</p><p>　　應(yīng)：對于可行位置的每個子集，將分支進(jìn)行分割成更小的子區(qū)間以

43、逐步確定靜止同步補(bǔ)</p><p>　　償器的大小間隔。通過丟棄盡可能多的子區(qū)間，分支法和定界法有利于減少搜索次數(shù)，</p><p><b>　　直到取得最優(yōu)解。</b></p><p>　　為了找到可行位置的特定子集，在下一個階段，選擇另一個可行位置的子集。重復(fù)</p><p>　　這個過程直到包括了所有的可行位置。&

44、lt;/p><p>　　C、擴(kuò)展的粒子群算法</p><p><b>　　(1) </b></p><p>　　典型粒子群算法的制定</p><p>　　粒子群算法認(rèn)為每一個粒子都代表問題的一種潛在解決方案，這樣，粒子就如(4-5)</p><p>　　所定義的那樣。通過使用如(4-4)所定義的適當(dāng)函

45、數(shù)來評估使得每一個粒子和群的最佳位</p><p>　　置待定的解決方案的性能。</p><p>　　在迭代過程中，每一個粒子的位置都是由(5-1)、(5-2)所確定。</p><p><b>　　(7) </b></p><p>　　每個粒子的速度取決于個體和群體的關(guān)系。</p><p>

46、;<b>　　(8)</b></p><p>　　在(5-2)中，wi 是0到1之間的正數(shù)，c1和 c2 分別是認(rèn)知和社會加速常數(shù)，rand1和 </p><p>　　rand 2分別是0到1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。最后， pi 是被找到的跟粒子相關(guān)的個</p><p>　　體的最佳位置，在粒子群中， pg 是被找到的全局最佳位置。</p&

47、gt;<p>　　為了避免群之間的差異性，對于超空間問題的每一維數(shù)的一個最大速度被定義為</p><p>　　vmax .此外 ，盡管優(yōu)化問題中包括了 整數(shù)變量 ，還是使用了 整數(shù)型粒子群優(yōu)化算法</p><p>　　里粒子的位置被四舍五入到最接近的整數(shù)[22]。</p><p>　　表5-1 粒子群算法參數(shù)</p><p>　

48、　(2) 擴(kuò)展的粒子群算法</p><p>　　為了某種特別應(yīng)用，在前部分，被描述的典型粒子群優(yōu)化算法通過擴(kuò)展以促進(jìn)問題</p><p>　　的多維空間的搜索[1]。</p><p>　　在每一個個體中，額外的邏輯都是由以下規(guī)則定義的：</p><p>　　(1) 如果相關(guān)粒子的最佳位置和群的最佳位置都是可行的解決方案 ，那么可以按照<

49、/p><p>　　(5-2)所示更新執(zhí)行速度。</p><p>　　(2) 如果還沒有找到粒子的一種解決方案，那么最好依賴社會知識 。執(zhí)行速度的更</p><p><b>　　新方程代入：</b></p><p><b>　　(9)</b></p><p>　　在這里， c 是一

50、個單一的加速常數(shù)： c=c1 +c2 , rand 是一個0到1之間均勻分布的隨</p><p><b>　　機(jī)數(shù)。</b></p><p>　　(1)如果沒有找到任何一個粒子的可行方案( gbest 和 pbest 的值都是不可行的)，那么</p><p>　　每個粒子的速度就可以通過使用如圖(10)所表示的最大速度的隨機(jī)值來更新。<

51、/p><p><b>　　(10)</b></p><p>　　在(5-4)中， rh 是一個0到1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)， vmax (h) 是 h 維問題超空間中的</p><p><b>　　最大速度。</b></p><p><b>　?、?、模擬結(jié)果</b></p>

52、;<p><b>　　窮舉搜索</b></p><p>　　為了確定全局最優(yōu)解，在圖4-1中對于每一個案件通過運行功率流解決方案來進(jìn)行窮</p><p>　　舉搜索以解決電力系統(tǒng) M 型靜止同步補(bǔ)償器的最優(yōu)化配置問題。解決方案表明需要滿足</p><p>　　在區(qū)域IV-C中的約束性條件的設(shè)備數(shù)目是兩個，并且計算量對應(yīng)371962

53、50功率流。</p><p>　　這個問題的可行區(qū)域被縮小了，而且變成分散和非凸性區(qū)域 。由于整個可行區(qū)域超</p><p>　　過了三維空間，所以不可能畫出整個可行域。</p><p>　　然而為了說明用途，圖6-1表明就算是在最好的情況下 ，也要考慮總線的所有可能位</p><p>　　置以及對于250 MVA的靜止同步補(bǔ)償器的每一個部件

54、大小的最大值。</p><p>　　圖6-1 1號部件的位置[總線數(shù)目] </p><p>　　超過問題多維空間的可行域(白色區(qū)域)圖6-1.</p><p>　　就總的案例數(shù)而言，圖6-2表明了可行域占有的百分比。</p><p>　　圖6-2 (a)可行位置占所有可能組合的百分比</p><p&

55、gt;　　(b)可行解決方案占所有問題的多維空間的百分比</p><p>　　圖6-3 電壓檔和靜止同步補(bǔ)償器部件</p><p>　　在設(shè)備被優(yōu)化配置以后，所有的電壓都是在上下5%的預(yù)定偏差范圍。此外，電壓偏</p><p>　　差度量 J1 從0.2482到0.1824的初始值提高了26.5%.</p><p>　　B、經(jīng)典算法與啟發(fā)式算

56、法</p><p>　　表二概括了經(jīng)典算法與擴(kuò)展的粒子群的整體性能數(shù)據(jù)。為了評估每一種算法的性能，</p><p>　　所考慮到的參數(shù)都是有利于找到算法的全局最優(yōu)解和它所需要的計算量。</p><p>　　表6-1 算法的性能— 45號總線系統(tǒng)</p><p>　　鑒于這些算法能夠找到最優(yōu)解，擴(kuò)展的粒子群算法和奔德斯算法能夠找到全局最優(yōu)<

57、;/p><p>　　解。另一方面，分支定界僅局限于用來尋找局部最小值。</p><p>　　就計算量而言，奔德斯分解算法的函數(shù)評估適合值是擴(kuò)展的粒子群算法的31.5倍。隨</p><p>　　著計算時間的增加，然而，這些算法僅僅是窮舉算法所需要的總的計算量的一小部分，</p><p>　　子群算法分別是0.17%、0.005%.</p>

58、;<p><b>　?、鳌⒔Y(jié) 論</b></p><p>　　論文把應(yīng)用到電力系統(tǒng)中的柔性交流輸電系統(tǒng)的最優(yōu)化配置問題的三種優(yōu)化算法進(jìn)</p><p>　　行了對比：奔德斯分解算法、分支定界算法和啟發(fā)式技術(shù)的粒子群算法，而且這些算法</p><p>　　被證實比解決這一類型問題的其它進(jìn)化計算技術(shù)更加有效。</p>&

59、lt;p>　　文中著重強(qiáng)調(diào)了易于被忽視的優(yōu)化過程的各個方面：可行域的收斂性問題：為了某</p><p>　　種應(yīng)用，減少了可行域的范圍，并使得可行域變得分散和非凸性。因此，在文中特別考</p><p>　　慮了優(yōu)化算法的搜索能力。</p><p>　　全局最優(yōu)化：直到現(xiàn)在還未能證實利用啟發(fā)式算法能夠?qū)で笞顑?yōu)解，為了對正在考</p><p&g

60、t;　　慮中的最優(yōu)化靜止同步補(bǔ)償器配置問題的穩(wěn)態(tài)和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)進(jìn)行研究，論文通過使用簡單</p><p>　　且符合實際的案例對這個方面進(jìn)行了分析。為了找到這個問題的全局最優(yōu)解，文中對45</p><p>　　型總線系統(tǒng)使用了窮舉算法，因此，利用不同優(yōu)化算法獲得的結(jié)果的性能可以被評估。</p><p>　　經(jīng)典算法和啟發(fā)式算法：就這些算法尋找最優(yōu)解和它們的計算量的性能而

61、言，經(jīng)典</p><p>　　算法、奔德斯分解算法以及分支定界法都可以和擴(kuò)展的粒子群算法相媲美。奔德斯分解</p><p>　　算法和擴(kuò)展的粒子群算法能夠?qū)ふ易顑?yōu)解，然而分支定界法僅局限于尋找一個局部最優(yōu)</p><p>　　點。跟以上所有的算法比起來，功率流的計算量比較小(窮舉搜索算法比起來)，但是由于</p><p>　　奔德斯分解算法比

62、擴(kuò)展的粒子群算法多花費30.5%的計算量，因此，將它們進(jìn)行比較肯定</p><p><b>　　有利于啟發(fā)式算法。</b></p><p>　　前面的結(jié)果驗證了擴(kuò)展的粒子群算法在用于一個電力系統(tǒng)中解決柔性交流輸電系統(tǒng)</p><p>　　設(shè)備的優(yōu)化配置這類特殊問題有效性。然而，最后的結(jié)論是到目前還沒有普遍適用于其</p><

63、p>　　它情形的優(yōu)化算法。算法的選擇依賴于所要研究的問題，在當(dāng)對于某種特殊問題選擇一</p><p>　　種優(yōu)化算法時，這篇論文對應(yīng)該考慮的不同方面作出了特別的努力。</p><p>　　Abstract—This paper validates the effectiveness of an enhanced particle swarm optimizer (Enhanced-P

64、SO) method in solving the problem of optimal allocation of FACTS devices in a power system. The performance of the Enhanced-PSO method is compared with classical optimization approaches using a simple but realistic case

65、study of optimal allocation of STATCOM devices, considering steady state and economic criteria. This paper also discusses the concepts and details about the optimization process tha</p><p>　　Index Terms— FAC

66、TS devices, classical optimization, Benders’decomposition, branch and bound, evolutionary computation techniques, particle swarm optimization.</p><p>　　I. INTRODUCTION</p><p>　　THE topic of opti

67、mal allocation of FACTS (Flexible AC Transmission System) devices is still in a relatively early stage of investigation. Currently, there is no widely</p><p>　　accepted method and many researchers claim thei

68、r methods to be “better” than others. Considering the present state-of-the-art in this area, a comparison of different methods, particularly between classical and metaheuristic approaches, has been difficult because each

69、 study focuses on different problem formulations, system sizes and operating conditions. </p><p>　　This paper provides a common background for comparing the performance of classical and metaheuristic optimiz

70、ation algorithms. In particular between Bender’s decomposition and Branch-and-bound (B&B) and the Enhanced-PSO method, which has been proven to be more effective than other metaheuristic optimization techniques [1].

71、A simple but realistic case study of optimal STATCOM allocation (a type of FACTS device), based on steady state and economic criteria, is used as an illustrative example. It is</p><p>　　The following section

72、s of this paper provide: an optimization background (section II), concepts and issues that should not be disregarded (section III), a problem description</p><p>　　(section IV), optimization algorithms (secti

73、on V), simulation results (section VI), and concluding remarks (section VII).</p><p>　　II. BACKGROUND</p><p>　　The optimization techniques used to solve the optimal allocation of FACTS devices

74、can be decomposed into two primary groups: classical approaches and metaheuristic</p><p>　　algorithms, consisting of mainly evolutionary computation techniques (ECTs). A third group of alternative methods,

75、such as modal analysis, may also be considered. However, these methods are primarily based on technical feasibility rather than on finding optimal solutions.</p><p>　　A. Classical Optimization Techniques<

76、/p><p>　　In the literature, two classes of classical optimization methodologies have been ap-</p><p>　　plied to this problem: (i) Mixed Integer Linear Programming (MILP) [2]-[4] and (ii) Mixed Inte

77、ger Non-Linear Programming (MINLP) [5]-[7].</p><p>　　On the one hand, the MILP formulation, as the name indicates, requires the relation -ships between all variables to be linear. Thus, this approach can be

78、only used togther with DC power flow only. The main algorithms for solving the MILP problem are Bender’s Decomposition [2], Branch and Bound (B&B), and Gomory cuts [3], [4]. On the other hand, the MINLP formulation a

79、llows for the use of a non-linear objective function and constraints, thus, AC power flow can be used in this case. The algorithm</p><p>　　B. Metaheuristic Techniques</p><p>　　Computational int

80、elligence based techniques, such as Genetic Algorithm (GA)[5],[6], [8]-[11], Particle Swarm Optimization (PSO) [12]-[14], Simulated Annealing (SA) [8], [15], Tabu Search (TS) [14], [15], and Evolutionary Programming (EP

81、)[16],[17],are alternative methods for solving complex optimization problems.</p><p>　　Candidate solutions play the role of individuals in a population and the cost function determines the environment where

82、the solutions exist. Evolution of the population then takes place and, after the repeated application of biological orsocial operators, the optimal solution is reached.</p><p>　　In general ECTs perform we

83、ll in MINLP problems.However the scalability of these methods requires further investigation.</p><p>　　III. OPTIMIZATION: CONCEPTS AND ISSUES</p><p>　　A. Optimization of offline problems</p&g

84、t;<p>　　A common misperception is the belief that the problem of optimal allocation of FACTS devices is not challenging from the optimization perspective because it is an offline problem. Some presume that the so

85、lution is as simple as arranging a number of computers in parallel and letting them run, for as long as it takes , until all possible solutions are found and the best one selected among them.</p><p>　　The

86、fact is that, even when this approach is theoretically possible to perform for any system, in practice the number of calculations required to find the solutions to the problem can grow extremely fast as the size of the

87、 system increases and the objective function becomes more sophisticated (evaluation of transient performance is computationally intensive). If it is also required to satisfy the N-1 or N-2 contingency criteria, or add st

88、ochastic components and uncertainties to the system , th</p><p>　　Therefore, the study of optimization algorithms applied to system planning problems, such as the problem of FACTS allocation is not trivial.&

89、lt;/p><p>　　B. Convexity assumptions</p><p>　　The concept of convexity is mostly analyzed in the case of the objective function: if the function is strictly convex a unique optimal solution is guar

90、anteed (Fig. 1.a).</p><p>　　f(x) (a) g(x) (b)</p><p>　　a b a c d</p><p>　　Fig. 1: Global versus local mi

91、nima</p><p>　　This characteristic is most desirable but it rarely occurs in power system problems. Most of the time the plot of the objective function resembles the function in Fig. 1.b. As a result, gradie

92、nt descent algorithms are prone to getting trapped in local valleys (local minima). In these cases, special mechanisms , such as injecting randomness to the search, must be considered.</p><p>　　The convexity

93、 assumption also applies to the feasible region. For example, in the case of linear programming problems, the optimum can be found (either by simplex</p><p>　　method or interior point method) if the feasible

94、 region is a convex set , as shown in </p><p>　　Fig. 2.a (as opposed to Fig, 2.b) [18].</p><p>　　var2 var2 var2</p><p>　　(A) (B)

95、 (C)</p><p>　　Var1 var1 var1</p><p>　　Fig. 2: Convexity of the feasible region</p><p>　　A worst case is presented in Fig. 2.c. wh

96、ere the feasible region consists of several small areas (white) scattered among the area limited by the upper and lower bounds </p><p>　　of the decision variables, var1 and var2 (black area).

97、 </p><p>　　This type of feasible region , as shown later in the paper , is typical when technical constraints are imposed in the power system . The optimization algorithms in this case should have efficient

98、 exploration mechanisms so that feasible solutions can be found fast and therefore minimum computational effort is wasted wandering around in an infeasible areas.</p><p>　　C. Global Optimality</p>&l

99、t;p>　　Another aspect that tends to be overlooked in the literature is the discussion of global versus local optimality . Contrary to general opinion , this topic is not related to comparing the values of different

100、objective functions applied to the same power system. Instead, it implies the understanding that , for a given objective function , the problem may a have a unique optimal solution, thus a local optimum is also the gl

101、obal</p><p>　　optimum (Fig. 1.a) or the problem may have several local optimal points plus the global optimum. Fig. 1.b represents the latter , where the first white star represent the minimum in the inter

102、val [a, b] , the second white star is the local minimum in the interval [b, c], and the black star is the global minimum in the overall interval [a, d]</p><p>　　This previous concept may seem superfluous,

103、however once an optimization algorithm provides a solution , normally there are no guarantees about its quality. Proof of global optimality can be obtained but only under very specific conditions as in the case of line

104、ar programming problems [18]. In the case of MINLP problems , the capability of each algorithm to find the global optimum, without getting trapped</p><p>　　in local minima, has to be studied separately.<

105、/p><p>　　IV. PROBLEM DESCRIPTION</p><p>　　The problem to be addressed consists of finding the optimal placement (bus number) and power rating (MVA) of multiple STATCOM units in a 45 bus system , pa

106、rt of the Brazilian power network (Fig. 3) [19].</p><p>　　Fig. 3: Diagram of the 45 bus section of the Brazilian power system</p><p>　　The main objective is to minimize the bus voltage deviation

107、s throughout the power system at minimum cost. The reasons for selecting the objective criteria and specific power system are: (i) the power system is not large; therefore an exhaustive manual search can be performed to

108、 find the global optimum, (ii) the problem has a reduced, scattered and non convex feasible region , and (iii) only a steady state criterion is</p><p>　　considered to avoid possible discrepancies if a

109、transient nalysis was also to be included [20].</p><p>　　A. Objective Function</p><p>　　Two goals are considered: (i) to minimize voltage deviations in the system and (ii) to minimize the cost.

110、 Thus, two metrics J1 and J2 are defined as in (1) and (3).</p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　where J1 is the voltage deviation metric, is the p.u. value of the voltage at bus k and N is

111、 the total number of buses.</p><p>　　The total cost function, Ctotal, consists of two components: a fixed cost per unit that is installed in the system and a variable cost that is a linear function of each u

112、nit size:</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　where M is the number of units to be allocated, Cf is the fixed cost per unit, Cv is the cost per MVA, and??p is the size in MVA of unit p.<