泰勒公式--畢業(yè)論文

1、<p><b>　　目 錄</b></p><p>　　一、泰勒公式簡介1</p><p>　　（一）泰勒公式的基本形式1</p><p>　　（二）泰勒公式余項類型2</p><p>　?。ㄈ┨├展降亩ɡ?</p><p>　　二、泰勒公式的證明6</p>

2、<p>　?。ㄒ唬┨├展阶C明初探6</p><p>　?。ǘ┳C明泰勒公式6</p><p>　　三、泰勒公式的應(yīng)用7</p><p>　?。ㄒ唬├锰├展角髽O限8</p><p>　?。ǘ├锰├展脚袛嗪瘮?shù)的極值9</p><p>　　（三）利用泰勒公式判定廣義積分斂散性10</

3、p><p>　　（四）利用泰勒公式證明中值定理11</p><p>　?。ㄎ澹├锰├展角笮辛惺降闹?3</p><p>　?。┨├展皆陉P(guān)于界的估計的應(yīng)用14</p><p><b>　　謝 辭17</b></p><p><b>　　參考文獻18</b>&l

4、t;/p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　泰勒公式是高等數(shù)學中一個非常重要的內(nèi)容,它將一些復雜函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù),這種化繁為簡的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學問題的有力杠桿。但一般高數(shù)教材中僅介紹了如何用泰勒公式展開函數(shù)，而對泰勒公式的應(yīng)用方法并未深入討論，在教學過程中學生常因?qū)W用脫離而難以理解。</p><p

5、>　　本文論述了泰勒公式的一些基本內(nèi)容，并著重介紹了它在數(shù)學分析中的一些應(yīng)用。泰勒公式是數(shù)學分析中的重要知識，在某些題目中運用泰勒公式會達到快速解題的目的。本文主要從不同的方面對泰勒公式進行綜合論述：利用泰勒公式求極限，求無窮遠處極限，證明中值公式，中值點的極限，證明不等式，導數(shù)的中值，關(guān)于界的估計，方程中的應(yīng)用，用泰勒公式巧解行列式。對于泰勒公式如何更廣泛的應(yīng)用于高等代數(shù)中這一問題，還在進一步的研究中。</p>&

6、lt;p>　　關(guān)鍵字： 泰勒公式 極限 函數(shù)不等式 函數(shù)方程</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　Taylor formula is a very important concept in advanced mathematics. It divides complicated functions into polyn

7、omial functions. It have became a powerful leverage when we analysis and research other mathematics problem because of its simplicity. However, normal advanced mathematic textbooks only introduce how to use Taylor formul

8、a to expand the functions and never get into the applications of Taylor formula, The students are always hard to use it because we teach it detached from use in teaching</p><p>　　Key Words： Taylor formula

9、limit function inequality function equation</p><p><b>　　一、泰勒公式簡介</b></p><p>　　隨著近代微積分的發(fā)展，許多數(shù)學家都致力于相關(guān)問題的研究，尤其是泰勒，麥克勞林、費馬等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世紀早期英國牛頓學派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學家泰勒，在微積分學中將函數(shù)展

10、開成無窮級數(shù)而定義出來的。泰勒將函數(shù)展開成級數(shù)從而得到泰勒公式，對于一般函數(shù)，設(shè)它在點存在直到階的導數(shù)，由這些導數(shù)構(gòu)成一個次多項式</p><p>　　稱為函數(shù)在點處的泰勒多項式，若函數(shù)在點存在直至階導數(shù)，則有</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　稱為泰勒公式.</b></p>

11、<p>　　眾所周知，泰勒公式是數(shù)學分析中非常重要的內(nèi)容，是研究函數(shù)極限和估計誤差等方面不可或缺的數(shù)學工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在近似計算上有著獨特的優(yōu)勢，利用它可以將非線性問題化為線性問題，且有很高的精確度，在微積分的各個方面都有重要的應(yīng)用。它可以應(yīng)用于求極限、判斷函數(shù)極值、求高階導數(shù)在某些點的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性、近似計算、不等式證明等方面。</p><p>　?。ㄒ唬┨├展降?/p>

12、基本形式</p><p>　　無論在近似計算或理論研究上，我們總是希望用一個多項式來近似地表示一個比較復雜的函數(shù)，這樣做將會帶來很大的方便。比如，為了計算多項式的值，只須用加、減、乘三種運算，連除法都不需要，這是其他函數(shù)甚至很簡單的初等函數(shù)所不具有的特點。</p><p>　　設(shè)給定了一個函數(shù)，我們要找到一個在指定點附近與很近似的多項式?，F(xiàn)在可以回顧一下函數(shù)的微分。在研究微分用于近似計算時

13、，我們有一個近似公式</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　(1.1)</b></p><p>　　公式表明，在點附近的函數(shù)值可以用的一次多項式近似表示，且當（此時是無窮?。a(chǎn)生的誤差為較高階的無窮小?，F(xiàn)

14、在的問題是，用這樣的一個一次多項式來近似計算，它的精確度往往并不能滿足實際的需要。因此我們希望找到一個關(guān)于的次多項式</p><p><b>　　(1.2)</b></p><p>　　來近似表示，并使當時，其誤差是較高階的無窮小。要想這樣，那么多項式的系數(shù)，究竟應(yīng)當取何數(shù)呢？這個問題，無疑要根據(jù)給定的函數(shù)來確定，并且可以從前面的(1.1)式得到啟發(fā)，我們把</

15、p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　與一次多項式</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　對照一下，可知應(yīng)該取</p><p><b>　　，</b></p><

16、;p>　　而的這兩個數(shù)值可以由等式</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　分別求得。事實上，</b></p><p>　　由此不難推想，為了確定次多項式的全部系數(shù)，我們應(yīng)該假定在點附近具有直到n+1階的導數(shù)，別且滿足下列條件：</p><p><b>　

17、　(1.3)</b></p><p>　　由(1.2)計算在點的各階導數(shù)值，代入上面等式(1.3)，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　，</b></p><p>

18、　　代入(1.2)式則得</p><p><b>　　(1.4)</b></p><p>　　這就是我們找的關(guān)于的n次多項式，稱為在點的n次泰勒多項式。它的各項系數(shù)是以在點的各階導數(shù)表出的。</p><p>　　（二）泰勒公式余項類型</p><p>　　泰勒公式的余項分為兩類，一類是定性的，一類是定量的，它們的本質(zhì)相同

19、，但性質(zhì)各異。定性的余項如佩亞諾型余項，表示余項是比（當時）高階的無窮小。如，表示當時，用近似，誤差（余項）是比高階的無窮小。定量的余項如拉格朗日型余項（也可以寫成）。</p><p>　　泰勒多項式表示時所產(chǎn)生的誤差</p><p><b>　　，</b></p><p>　　當時，它是比高階的無窮小。其中稱為n階余項。</p>

20、<p>　　根據(jù)上面的假定，在點附近具有n+1階導數(shù)（因已假定在點附近具有n+1階導數(shù)，而多項式具有任何階導數(shù)），并注意到等式(1.3)，則有</p><p>　　因此，當時，是型不定式。我們反復應(yīng)用洛比達法則，可推得</p><p>　　即 。</p><p>　　這就證明了，當時，余項是比高階的無窮小。因此所找到的多項式

21、滿足了我們最初提出的要求。我們記</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這樣一來，給定的函數(shù)就可以表示為</p><p>　　余項叫做皮亞諾（Peano）型余項。應(yīng)給指出的是，皮亞諾余項只是對余項給出一個階的估計，它僅說明當時是比還要高階的無窮小。因此只是說明了在時的極限性質(zhì)。如果在點附近具體取定了一個值，那么余項到底有多

22、大，從皮亞諾余項是無從得知的。</p><p>　　下面介紹利用的導數(shù)表示的余項，即所說的拉格朗日型余項。</p><p>　　我們先對兩個函數(shù)和在以和為斷點的區(qū)間上應(yīng)用柯西中值定理，得</p><p><b>　?。ㄔ谂c之間）</b></p><p>　　再對兩個函數(shù)和在以及為端點的區(qū)間上應(yīng)用柯西中值定理，得</

23、p><p><b>　?。ㄔ谂c之間）</b></p><p>　　如此繼續(xù)進行n+1次后，便得</p><p><b>　?。ㄔ谂c之間）</b></p><p>　　而（因是n次多項式，所以），故由上式得</p><p><b>　　（在與之間）</b>&l

24、t;/p><p>　　這就是的導數(shù)表示的余項，稱為拉格朗日型余項。</p><p>　　綜合以上的討論，我們得到了一下的重要定理。</p><p>　　（三）泰勒公式的定理</p><p>　　定理1.1（泰勒定理） 如果函數(shù)在點的附近有直到n+1階的導數(shù)，則對于點附近的，可表示為的n次多項式與余項的和</p><p>

25、<b>　　(1.5)</b></p><p>　　其中 （在與之間）</p><p>　　定理中的(1.5)式稱為具有拉格朗日型余項的泰勒公式。</p><p>　　當時，泰勒公式(1.5)式變?yōu)?lt;/p><p><b>　　，</b></p><p>　　

26、這就是拉格朗日中值公式?？梢娞├展绞抢窭嗜展降耐茝V。</p><p>　　在泰勒公式(1.5)式中，令，則得</p><p><b>　　(1.6)</b></p><p>　　其中 （在與之間）</p><p>　　公式(1.6)是在原點的泰勒公式，也稱為麥克勞林(Maclaurin)公式

27、。</p><p><b>　　二、泰勒公式的證明</b></p><p>　?。ㄒ唬┨├展阶C明初探</p><p>　　兩種余項的泰勒公式所表達的根本思想都是怎樣用多項式來逼近函數(shù)，帶有佩亞諾余項的泰勒公式是反映了極限性質(zhì)的漸進等式，所以這個公式在求極限時很有用，對余項可以提供充分小的估計值。帶有拉格朗日余項的泰勒公式有確切的表達式，當然也

28、有像中值這樣不確定的因素，但是并不妨礙定理的使用，為近似計算的誤差估計提供了理論依據(jù)。</p><p>　　（二）證明泰勒公式 </p><p>　　定理2.1：（帶有佩亞諾型余項的泰勒公式）若函數(shù)在點存在直至階導數(shù)，則有，</p><p><b>　　即。</b></p><p><b>　　證明：設(shè)<

29、/b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　現(xiàn)在只要證</b></p><p><b>　　由可知，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　并易

30、知</b></p><p>　　因為存在，所以在點的某鄰域內(nèi)存在階導函數(shù)。于是，當且時，允許接連使用洛必達（L'Hospital）法則次，得到</p><p>　　所以定理2.1成立。</p><p>　　定理2.2：若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導函數(shù)，在內(nèi)存在階導函數(shù)，則對任意給定的，至少存在一點，使得證明：作輔助函數(shù)</p>&l

31、t;p><b>　　，</b></p><p>　　所以要證明的（1）式即為</p><p>　　不妨設(shè)，則與在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且</p><p>　　又因，所以由柯西中值定理證得</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　所以定

32、理2.2成立</b></p><p><b>　　三、泰勒公式的應(yīng)用</b></p><p>　　泰勒公式不僅在極限和不等式證明中能解決許多問題，同時也是研究分析數(shù)學的重要工具。其原理是很多函數(shù)都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式來研究函數(shù)近似值式和判斷級數(shù)收斂性的問題。因此泰勒公式在數(shù)學實際應(yīng)用中是一種重要的應(yīng)用工具，我們必須掌握它，用泰勒公式這一知識

33、解決更多的數(shù)學實際問題。</p><p>　?。ㄒ唬├锰├展角髽O限</p><p>　　為了簡化極限運算,有時可用某項的泰勒展開式來代替該項,使得原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項式有理式的極限,就能簡捷地求出。</p><p>　　例1 求極限 </p><p>　　分析：此為型極限,若用羅比達法求解，則很麻煩,這時可將和分別用泰勒展開

34、式代替,則可簡化此比式。</p><p><b>　　解 ： 由,得</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　例2 求極限 </b></p><p>

35、　　解： 用(1.11)后，有</p><p>　　可以想象，若用洛比達法則，將是非常麻煩的。</p><p><b>　　求極限</b></p><p><b>　　例3 求極限 </b></p><p><b>　　解： </b></p><

36、;p>　　（二）利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值</p><p>　　例4 (極值的第二充分條件)設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導,在處二階可導,且,.</p><p>　　(i)若,則在取得極大值.</p><p>　　(ii) 若,則在取得極小值.</p><p>　　證明 ： 由條件，可得f在處的二階泰勒公式</p><p

37、><b>　　.</b></p><p><b>　　由于,因此</b></p><p><b>　　.(*)</b></p><p>　　又因,故存在正數(shù),當時,與同號.所以,當時,(*)式取負值,從而對任意有</p><p><b>　　,</b>

38、;</p><p>　　即在取得極大值.同樣對,可得在取得極小值.</p><p>　?。ㄈ├锰├展脚卸◤V義積分斂散性</p><p>　　在判定廣義積分斂散性時, 通常選取廣義積分進行比較, 在此通過研究無窮小量的階來有效地選中的值，從而簡單地判定的斂散性（注意到：如果得收斂，則得收斂）。</p><p>　　例5 廣義積分的斂散性

39、. </p><p><b>　　解 ： </b></p><p>　　因此，，即是的階，而收斂，故收斂，從而。</p><p>　　例6 廣義積分是否收斂？</p><p>　　解: </p><p>　　是的一階無窮大量，又發(fā)散，也發(fā)散。</p&

40、gt;<p>　?。ㄋ模├锰├展阶C明中值定理</p><p>　　接下來，我們通過例題來說明，泰勒公式是如何證明中值公式的。</p><p>　　例7 設(shè)函數(shù)在上三階可導，試證：存在，使</p><p><b>　　。</b></p><p>　　證明 ： 設(shè)為使下式成立的實數(shù)：</p>

41、<p><b>　　。</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　。</b></p><

42、p>　　根據(jù)羅爾定理，使，即</p><p><b>　　而將在展開有：</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　其中，比較得，其中。</p><p>　　例8 設(shè)在上有二階導數(shù)。試證：，使得</p><p><b>　　(1)&

43、lt;/b></p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　法1 對函數(shù)利用上例結(jié)果，或重復上例的證明即得。</p><p>　　法2 將函數(shù)在點處按泰勒公式展開，記，則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>

44、;　　，</b></p><p><b>　　其中。于是</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　注意到導函數(shù)的介值性，，使得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　代入(2)式即得欲證的

45、式(1)。</p><p>　　法3 記，在泰勒展開式</p><p>　　兩端，同時取上的積分。注意右端第二項積分為0.第三項的積分，由于導數(shù)有介值性，第一積分中值定理成立：，使得</p><p>　　因此(3.1)式成立。</p><p>　?。ㄎ澹├锰├展角笮辛惺降闹?lt;/p><p>　　若一個行列式可看做

46、的函數(shù)（一般是的n次多項式）,記作,按泰勒公式在某處展開,用這一方法可求得一些行列式的值.</p><p><b>　　例 9</b></p><p><b>　　求n階行列</b></p><p>　　D= （1） <

47、;/p><p>　　解 ： 記,按泰勒公式在z處展開：</p><p><b>　　, （2）</b></p><p><b>　　易知</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　由（3）得,.<

48、/b></p><p>　　根據(jù)行列式求導的規(guī)則,有</p><p>　　于是在處的各階導數(shù)為</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　… … … …</p><p>　　把以上各

49、導數(shù)代入（2）式中,有</p><p><b>　　若,有,</b></p><p><b>　　若,有.</b></p><p>　?。┨├展皆陉P(guān)于界的估計的應(yīng)用</p><p>　　我們在數(shù)學分析課文中學習知道了有些函數(shù)是有界的，有的有上節(jié)，而有的有下界，再結(jié)合泰勒公式的知識與泰勒公式的廣

50、泛應(yīng)用，這里我們探討泰勒公式關(guān)于界的估計，這里通過例題來分析界的估計.</p><p>　　數(shù)學分析中，有很多計算都是涉及到函數(shù)的界的，接下來，我們就用泰勒公式對函數(shù)的界進行估計。</p><p>　　例10 設(shè)函數(shù)在上二階可導，當時，， 。</p><p><b>　　試證：當時，。</b></p><p>

51、;<b>　　證明 ： 因</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p

52、><b>　　。</b></p><p>　　例11 設(shè)函數(shù)在上三階可導，并且和在上有界，證明：和也在上有界。</p><p><b>　　證明 ： 因</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　取得</b><

53、/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　兩式相減得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b><

54、/p><p><b>　　，，</b></p><p>　　其中 ，</p><p><b>　　同理兩式相加得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故和也在上有界。</b&

55、gt;</p><p>　　例12 設(shè)為二次可微函數(shù)</p><p>　　試證： ，且。表示。</p><p><b>　　證明 ：</b></p><p>　　法1 （在與之間），</p><p><b>　?。ㄔ谂c之間），</b></p>&

56、lt;p><b>　　二式相減</b></p><p>　　即 ，</p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　即 對一切成立。</p><p&g

57、t;　　故判別式 ，</p><p>　　即 對一切成立。</p><p>　　所以 ，且。</p><p>　　法2 (1)式可改寫成</p><p>　　， (2)</p><p>　　而 為常數(shù)。所以(9)式右

58、端作為的函數(shù)時，當 取最小。令，代入得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以 。</b></p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析[M]. 高等教育出版社. 2001.&l

59、t;/p><p>　　[2] 同濟大學數(shù)學系. 高等數(shù)學[M]. 高等教育出版社. 2007.4.</p><p>　　[3] 譚康. 泰勒公式家泰勒級數(shù)之妙用[J]. 高等數(shù)學研究. 2010.3.</p><p>　　[4] 劉玉璉 傅沛仁. 數(shù)學分析講義[M]. 人民教育出版社. 2000.</p><p>　　[5] 張自蘭 崔福蔭. 高