畢業(yè)論文淺談泰勒公式及其應(yīng)用

1、<p>　　LUOYANG NORMAL UNIVERSITY</p><p>　　成人教育本科生畢業(yè)論文</p><p>　　Adult Education Bachelor’s Thesis</p><p>　　淺談泰勒公式及其應(yīng)用</p><p>　　摘要：大學(xué)泰勒公式在數(shù)學(xué)分析中是極其重要的公式，并且在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中也占有一席之

2、地。泰勒公式是研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差等方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具，在近似計(jì)算上有著獨(dú)特的優(yōu)勢，在微積分的各個(gè)方面有著重要的應(yīng)用。本文主要對泰勒公式在求極限、估計(jì)誤差、證明求解積分、經(jīng)濟(jì)學(xué)計(jì)算等幾個(gè)方面的應(yīng)用給予舉例說明進(jìn)行研究。</p><p>　　關(guān)鍵詞：泰勒公式 求極限 不等式 行列式</p><p>　　DISSCUSSION ON THE APPLICATION OF TAYLOR F

3、ORMULA</p><p>　　Abstract: Taylor formula is an important formula in mathematical analysis and also occupy a space for one person in the function limit and the estimation error in the approximate calculation

4、etc. It has unique advantages and important application in the aspects of calculus. This paper focuses on the Taylor formula in limit, economics and other aspects by giving examples. </p><p>　　Key words: Tay

5、lor formula; limit ;economic</p><p>　　1、利用泰勒公式求極限</p><p>　　對于待定型的極限問題，一般可以采用洛比達(dá)法則來求，但是，對于一些求導(dǎo)比較繁瑣，特別是要多次使用洛比達(dá)法則的情況，泰勒公式往往是比洛比達(dá)法則更為有效的求極限工具。利用泰勒公式求極限，一般用麥克勞林公式形式，并采用佩亞諾型余項(xiàng)。當(dāng)極限式為分式時(shí)，一般要求分子分母展成同一階的

6、麥克勞林公式，通過比較求出極限。</p><p><b>　　例1 求</b></p><p>　　分析：此題分母為，如果用洛比達(dá)法則，需連用4次，比較麻煩.而用帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式解求較簡單。</p><p><b>　　解： 因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　將換成有<

7、;/b></p><p>　　又 </p><p>　　所以 </p><p><b>　　故 </b></p><p><b>　　例2 求極限</b></p><p>　　解： 因?yàn)榉帜傅拇螖?shù)為4，所以只要把，展開到

8、的4次冪即可。</p><p>　　故 </p><p>　　帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式是求函數(shù)極限的一個(gè)非常有力的工具 ,運(yùn)用得當(dāng)會(huì)使求函數(shù)的極限變得十分簡單。</p><p>　　例4 估計(jì)近似公式 的絕對誤差。</p><p><b>　　解： 設(shè),則因?yàn)?lt;/b>&l

9、t;/p><p><b>　　所以</b></p><p>　　帶有拉格朗日型余項(xiàng)的二階麥克勞林公式為：</p><p><b>　　從而： </b></p><p>　?。?）利用泰勒公式求近似值</p><p>　　例5 計(jì)算的值，使其誤差不超過</p>

10、<p>　　解： 由 得</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)</b></p><p><b>　?。ǎ?lt;/b></p><p><b>　　故，當(dāng)時(shí)，便有</b></p><p>　　從而略去而求得的近似值為</p><p>　　3

11、、泰勒在不等式證明中的應(yīng)用 </p><p>　　關(guān)于不等式的證明，我們已經(jīng)知道了許多方法，如利用拉格朗日中值定理來證明不等式，利用函數(shù)的凸性來證明不等式，以及通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式的方法。下面我們舉例說明，泰勒公式也是證明不等式的一個(gè)重要方法。</p><p>　　例6 設(shè)在二次可導(dǎo)，而且，，試求存在，使。</p><p>　　證明

12、： 由于在的最小值不等于在區(qū)間端點(diǎn)的值，故在內(nèi)存在，使，由費(fèi)馬定理知，。</p><p><b>　　又</b></p><p><b>　?。ń橛谂c之間）</b></p><p><b>　　由于，不令和，有</b></p><p><b>　　所以</b&g

13、t;</p><p>　　當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，可見與中必有一個(gè)大于或等于8。</p><p>　　在行列式計(jì)算中的應(yīng)用</p><p>　　若一個(gè)行列式可看做x的函數(shù)（一般是x的n次多項(xiàng)式）,記作f(x),按泰勒公式在某處展開,用這一方法可求得一些行列式的值。</p><p>　　例7 求n階行列式</p><p>&

14、lt;b>　　（3）</b></p><p>　　解： 記,按泰勒公式在z處展開：</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　易知</b></p><p><b>　　（5）</b></p><p>&l

15、t;b>　　由（5）得,。</b></p><p>　　根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有</p><p>　　于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　… … … …</p&

16、gt;<p>　　把以上各導(dǎo)數(shù)代入（2）式中,有</p><p><b>　　若,有,</b></p><p><b>　　若,有。</b></p><p>　　5、在判定斂散性方面的應(yīng)用</p><p>　?。?）在廣義積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用</p><p>　　

17、在判定廣義積分?jǐn)可⑿詴r(shí), 通常選取廣義積分進(jìn)行比較, 在此通過研究無窮小量的階來有效地選中的值，從而簡單地判定的斂散性（注意到：如果得收斂，則得收斂）。</p><p>　　例8 研究廣義積分的斂散性.。 </p><p><b>　　解 ： </b></p><p>　　因此，，即是的階，而收斂，故收斂，從而。</p><

18、p>　　（2）泰勒公式在討論級數(shù)收斂性中的應(yīng)用</p><p>　　首先給出以下兩個(gè)定理 </p><p>　　定理3 若,且～ ,則與 同斂散性。</p><p>　　定理4 若條件收斂,而絕對收斂,則條件收斂。</p><p>　　利用上述兩個(gè)定理和泰勒公式可以很方便地討論一些復(fù)雜級數(shù)的斂散性。</p><p&

19、gt;　　例9 判別 ， 的斂散性。</p><p>　　此題難度很大,用其他方法幾乎無法討論其斂散性,若用泰勒公式作工具則能輕而易舉地得出結(jié)論。</p><p>　　解: 由泰勒公式得的一階展開式,在0與之間,從而，在0 與之間,于是</p><p>　　因?yàn)楫?dāng)時(shí)條件收斂,當(dāng)時(shí)絕對收斂,又由知, 當(dāng) 時(shí)，收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散。所以，當(dāng)時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)條件收斂,當(dāng) 時(shí)絕對收斂

20、。</p><p>　　7、在證明與求解積分方面的應(yīng)用</p><p>　?。?）在定積分證明的方面，泰勒公式對于求被積函數(shù)有二階或二階以上的連續(xù)導(dǎo)數(shù)的問題來說十分的好用，主要是通過作輔助函數(shù)，對有用的點(diǎn)進(jìn)行泰勒公式展開并對余項(xiàng)作合適的處理。 </p><p>　　例11 設(shè)在上二階連續(xù)可微，則在這個(gè)區(qū)間上存在一個(gè)，使得。</p><p>　

21、　證明：令，將在處展開，</p><p><b>　　得在之間，</b></p><p><b>　　令，則得到</b></p><p><b>　?。?） </b></p><p><b>　　令，則得到</b></p><p>

22、<b>　?。?0）</b></p><p>　　用（9）-（10）得到</p><p><b>　　再令，且，則</b></p><p>　　因?yàn)樵谏线B續(xù)，由介值定理知，使得</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　（2）泰勒公式

23、在求解數(shù)值積分中的應(yīng)用</p><p>　　設(shè)為的原函數(shù)，由牛頓—萊布尼茲公式知，對定義在區(qū)間上的定積分，有：</p><p>　　但是，并不是區(qū)間上的所有可積函數(shù)的積分值計(jì)算都可由牛頓—萊布尼茲公式解決的，有的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，或者有的原函數(shù)十分復(fù)雜難以求出或計(jì)算。如被積函數(shù)、等函數(shù)的積分都無法解決；又或者當(dāng)被積函數(shù)為一組離散的數(shù)據(jù)時(shí)，對于這種積分更是無能為力了。理論上，定積分是

24、一個(gè)客觀存在的確定的數(shù)值，要解決的問題就是能否找到其他途徑來解決定積分的近似計(jì)算。利用泰勒公式建立定積分的近似計(jì)算公式，可實(shí)現(xiàn)定積分的近似計(jì)算。解法具體地說，如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開成冪級數(shù)，則把這個(gè)冪級數(shù)逐項(xiàng)積分，用積分后的級數(shù)就可算出定積分的近似值。</p><p>　　例12 計(jì)算定積分的近似值</p><p><b>　　解: 因?yàn)?</b></p

25、><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　由此式得到 </b>&

26、lt;/p><p>　　此時(shí)誤差 </p><p>　　8、泰勒公式判斷求解函數(shù)的根與性質(zhì)</p><p>　?。?）、利用泰勒公式證明根的唯一存在型</p><p>　　例13 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，，對，，證明：在內(nèi)存在唯一實(shí)根。</p><p>　　分析：這里是抽象函數(shù)，直接討論

27、的根有困難，有題設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，，可考慮將在點(diǎn)展開一階泰勒公式，然后設(shè)法用介值定理證明。</p><p>　　證明： 因?yàn)?，所以單調(diào)減少，又，因此時(shí)，，故在上嚴(yán)格單調(diào)減少，在點(diǎn)展開一階泰勒公式有：</p><p>　　由題設(shè)，于是有，從而必存在，使得又因?yàn)?，在上?yīng)用連續(xù)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的介值定理，存在使，由的嚴(yán)格單調(diào)性知唯一，因此方程在內(nèi)存在唯一實(shí)根。</p><p&g

28、t;　?。?）、利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值</p><p>　　例14 （極值的第二充分條件）設(shè)在的某鄰域處一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，</p><p>　?。╥）若，則在取得極大值。</p><p>　?。╥i）若，則在取得極小值。</p><p>　　證明： 由條件，可得在處的二階泰勒公式</p><p><

29、b>　　由于，因此 </b></p><p><b>　　（11）</b></p><p>　　又因，故存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，和同號，所以當(dāng)時(shí)，（11）式取負(fù)值，從而任意有：，即在取得極大值。同樣對可得在取得極小值。</p><p>　　（3）利用泰勒公式判斷函數(shù)的凸凹性</p><p>　　例15 設(shè)在上連

30、續(xù)，在上具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的。</p><p>　　證明：設(shè)為內(nèi)任意兩點(diǎn)，且足夠小。為中的任意泰勒公式在幾何計(jì)算上的應(yīng)用 </p><p>　?。?）、泰勒公式在外推上的應(yīng)用</p><p>　　外推是一種通過將精度較低的近似值進(jìn)行適當(dāng)組合，產(chǎn)生精度較高的近似值的方法，它的基礎(chǔ)是泰勒公式，其原理可以簡述如下：</p><

31、p>　　若對于某個(gè)值，按參數(shù)算出的近似值可以展開成</p><p><b>　　（18）</b></p><p>　?。ㄟ@里先不管的具體形式），那么按參數(shù)算出的近似值 （19）</p><p>　　和與準(zhǔn)確值的誤差都是階的。 </p>&l

32、t;p>　　現(xiàn)在，將后(19)式乘2減去（18）式，便得到</p><p>　　也就是說，對兩個(gè)階的近似值化了少量幾步四則運(yùn)算進(jìn)行組合之后，卻得到了具有階的近似值。這樣的過程就稱為外推。</p><p>　　若進(jìn)行了一次外推之后精度仍未達(dá)到要求，則可以從出發(fā)再次外推，</p><p><b>　　，</b></p><

33、p>　　得到階的近似值。這樣的過程可以進(jìn)行步，直到</p><p><b>　　，</b></p><p>　　滿足預(yù)先給定的精度.外推方法能以較小的待解獲得高精度的結(jié)果，因此是一種非常重要的近似計(jì)算技術(shù)。</p><p>　　例 17 單位圓的內(nèi)接正邊形的面積可以表示為 </p><p><b>　　

34、這里,按照泰勒公式</b></p><p>　　因此，其內(nèi)接正邊形的面積可以表示為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　用它們作為的近似值，誤差都是量級的。</p><p>　　現(xiàn)在將這兩個(gè)近似的程度不夠理想的值按以下方式組合：</p><p>　　那么通過簡單

35、的計(jì)算就可以知道</p><p>　　項(xiàng)被消掉了！也就是說，用近似表示，其精度可以大大提高。</p><p>　?。?）求曲線的漸近線方程</p><p>　　若曲線上的點(diǎn)到直線的距離在或時(shí)趨于零，則稱直線是曲線的一條漸近線。當(dāng)時(shí)稱為水平漸近線，否則稱為斜漸近線.顯然，直線是曲線的漸近線的充分必要條件為</p><p><b>　　

36、或</b></p><p>　　如果是曲線的漸近線，則</p><p><b>　?。ɑ颍?。</b></p><p><b>　　因此首先有</b></p><p><b>　?。ɑ颍?lt;/b></p><p>　　其次，再由（或）可得<

37、;/p><p><b>　?。ɑ颍?lt;/b></p><p>　　反之，如果由以上兩式確定了和，那么是曲線的一條漸近線。</p><p>　　中至少有一個(gè)成立，則稱直線是曲線的一條漸近線，當(dāng)時(shí)，稱為水平漸近線，否則稱為斜漸近線。而如果在趨于某個(gè)定值時(shí)趨于或，即成立</p><p>　　則稱直線是的一條垂直漸近線。</p&

38、gt;<p>　　注意，如果上面的極限對于成立，則說明直線關(guān)于曲線在和兩個(gè)方向上都是漸近線。</p><p>　　除上述情況外，如果當(dāng)或時(shí)，趨于或，即</p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　則稱直線是曲線的一條垂直漸近線。&

39、lt;/p><p>　　例18 求 的漸近線方程。</p><p>　　解： 設(shè) 的漸近線方程為，則由定義</p><p><b>　　=</b></p><p>　　由此為曲線的漸近線方程。</p><p>　　11、泰勒公式關(guān)于界的估計(jì)</p><p>　　在數(shù)學(xué)分析課文

40、中學(xué)習(xí)知道了有些函數(shù)是有界的，有的有上界，而有的有下界，結(jié)合泰勒公式的知識與泰勒公式的廣泛應(yīng)用，可以用泰勒公式解決界的估計(jì)。</p><p>　　例19 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，時(shí)，.試證：當(dāng)時(shí)，。</p><p>　　證明： </p><p><b>　　所以</b></p><p>　　又　 在

41、處的麥克勞林展開式為 </p><p><b>　?。?1）</b></p><p>　　比較（20）和（21）中的系數(shù),得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這里,我們通過Maclaurin 公式把求解一個(gè)復(fù)雜的反三解函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),而后者的求解

42、是非常簡單的。</p><p><b>　　三、總結(jié) </b></p><p>　　文章主要對泰勒公式的證明進(jìn)行簡要的敘述，然后借助數(shù)學(xué)軟件（mathematica）利用計(jì)算機(jī)模擬的方法對泰勒公式的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。歸納整理泰勒公式在求極限與導(dǎo)數(shù)、判定級數(shù)與廣義積分的斂散性、不等式的證明、定積分的證明等方面的應(yīng)用。從而體現(xiàn)泰勒公式式在微分學(xué)中占有很重要的地位。<

43、/p><p><b>　　參考文獻(xiàn):</b></p><p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高教出版社 2001</p><p>　　[2] 唐清干. 泰勒公式在判斷級數(shù)及積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用[J]. 桂林電子工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2002(02) :3-22 </p><p>　　[3] 岳楊 Taylor級