畢業(yè)設(shè)計(jì)--正態(tài)分布及其在教育評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p>　　( 2013 屆 ) </p><p>　　題 目： 正態(tài)分布及其在教育評(píng)價(jià)中的應(yīng)用 </p><p>　　學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 <

2、;/p><p>　　專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要2</b></p><p>　　Abstract3</p><p><

3、;b>　　1 引言4</b></p><p>　　1.1 正態(tài)分布4</p><p>　　1.1.1 正態(tài)分布的密度函數(shù)及其圖形4</p><p>　　1.1.2 正態(tài)分布的特征5</p><p>　　1.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其分布函數(shù)7</p><p>　　1.3 正態(tài)隨機(jī)變量落在區(qū)間上的概

4、率分布問(wèn)題8</p><p>　　1.4中心極限定理12</p><p>　　2正態(tài)分布在教育評(píng)價(jià)中的應(yīng)用13</p><p>　　2.1 常見成績(jī)的分布規(guī)律14</p><p>　　2.2 確定評(píng)價(jià)對(duì)象的相對(duì)位置15</p><p>　　2.3 確定招生錄取分?jǐn)?shù)線及優(yōu)生分?jǐn)?shù)線16</p>&

5、lt;p>　　2.4 確定等級(jí)評(píng)定人數(shù)17</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)18</b></p><p>　　正態(tài)分布及其在教育評(píng)價(jià)中的應(yīng)用</p><p>　　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 程凌芬（20905011006）</p><p><b>　　指導(dǎo)老師：周宗好</b>&

6、lt;/p><p>　　摘要：正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有著重要的地位，其應(yīng)用極為廣泛，例如人的身高、體重，炮彈的彈落點(diǎn)的分布，誤差的分析等等，由于正態(tài)分布首先是高斯在研究誤差分析時(shí)提及到的，故又稱高斯分布。</p><p>　　本文描述了正態(tài)分布的特征，正態(tài)分布密度函數(shù)及其圖像的性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其分布函數(shù)，正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的概率問(wèn)題，以及正態(tài)分布應(yīng)用廣泛的理論依據(jù)。正態(tài)分布在實(shí)

7、際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用，本文側(cè)重論述了正態(tài)分布在教育評(píng)價(jià)中的應(yīng)用，常見成績(jī)的分布規(guī)律，評(píng)定評(píng)價(jià)對(duì)象的相對(duì)位置，確定招生錄取分?jǐn)?shù)線以及確定等級(jí)評(píng)定人數(shù)等的應(yīng)用，教育評(píng)價(jià)運(yùn)用正態(tài)分布的知識(shí)來(lái)解決一系列的問(wèn)題，會(huì)使得教育評(píng)價(jià)的結(jié)果更為公正、客觀，這對(duì)教學(xué)質(zhì)量的提高和教學(xué)管理水平的提高都有著重要的意義。</p><p>　　關(guān)鍵詞：正態(tài)分布；標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)；教育評(píng)價(jià)；考試成績(jī)；評(píng)定</p><p>

8、　　Normal distribution and its application in the Educational EvaluationMathematics and Statistics and Applied Mathematics Cheng Lingfen (20905011006)Instructor: ZHOU Zonghao</p><p>　　Abstract: Normal distr

9、ibution plays an important role in probability theory and mathematical statistics, and its wide range of applications, such as the distribution of the person's height, weight, shells, bomb-fall, error analysis, first

10、 due to the normal distribution is Gaussian in the study mentioned in the error analysis, it is also known as the Gaussian distribution. This article describes the characteristics of a normal distribution, normal dis

11、tribution density function of the nature o</p><p>　　Keywords: normal distribution; standard scores; educational evaluation; examination results; assessment</p><p><b>　　1 引言</b></p

12、><p>　　我們周圍有許多事情都離不開數(shù)學(xué)，這樣的例子枚不勝舉，就概率問(wèn)題而言，在生活中就有著很多應(yīng)用，而正態(tài)分布又是概率學(xué)中一個(gè)非常重要的分布，它有著比較特殊的性質(zhì)和應(yīng)用，中心極限定理是正態(tài)分布廣泛應(yīng)用的理論依據(jù)。工程技術(shù)與自然界中有許多隨機(jī)變量都是服從正態(tài)分布的，例如工程零件的重量、尺度、使用壽命，炮彈落點(diǎn)的分布，某個(gè)地區(qū)的年降雨量，以及學(xué)生考試的分?jǐn)?shù)等等。就本文著重介紹了正態(tài)分布在教育評(píng)價(jià)中的應(yīng)用，考試成績(jī)的

13、分布情況，以及哪些因素影響成績(jī)的分布。確定評(píng)價(jià)對(duì)象的相對(duì)位置，對(duì)在不同的學(xué)校，不同的年級(jí)，不同的學(xué)科老師的教學(xué)質(zhì)量的評(píng)價(jià)，利用正態(tài)分布可以客觀準(zhǔn)確的確定他們的相對(duì)位置。也可以利用正態(tài)分布確定招生錄取分?jǐn)?shù)線以及優(yōu)生分?jǐn)?shù)線，比如各省以及全國(guó)的高考錄取分?jǐn)?shù)線就是利用正態(tài)分布來(lái)加以確定的，還有學(xué)校確定各個(gè)年級(jí)各個(gè)學(xué)科的優(yōu)生分?jǐn)?shù)線。運(yùn)用正態(tài)分布還可以確定等級(jí)評(píng)定的人數(shù)，根據(jù)學(xué)生考試成績(jī)可以分為不同的等級(jí)，根據(jù)等級(jí)求出各等級(jí)的人數(shù)，估計(jì)某個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間

14、的人數(shù)等等。研究正態(tài)分布在教育評(píng)價(jià)中的應(yīng)用，使得教學(xué)管理更為合理、客觀、公正。</p><p><b>　　1.1 正態(tài)分布</b></p><p>　　1.1.1 正態(tài)分布的密度函數(shù)及其圖形</p><p>　　在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有著多種分布。正態(tài)分布就是其中一個(gè)重要的分布，由于高斯在研究誤差分析時(shí)首先用正態(tài)分布來(lái)描述誤差的分布，所以又稱為

15、高斯分布或者誤差分布。</p><p>　　設(shè)為隨機(jī)變量，若的密度函數(shù)為：</p><p><b>　　1.1-1</b></p><p>　　則稱服從正態(tài)分布，稱為正態(tài)變量，記為。其中π為3.1415926……, e為2.71828……，µ為總體的平均值，也稱位置參數(shù)。σ為總體的標(biāo)準(zhǔn)差，也稱尺度參數(shù)。</p><

16、p>　　正態(tài)分布密度函數(shù)p（x）的圖像如圖1.1-1所示</p><p>　　圖1.1-1 正態(tài)分布密度函數(shù)</p><p>　　1.1.2 正態(tài)分布的特征</p><p>　　σ和µ是正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)，當(dāng)µ和σ確定時(shí)，正態(tài)密度函數(shù)圖像也就確定了。圖1.1-2和圖1.1-3中給出了µ和σ分別變化時(shí)，相應(yīng)正態(tài)密度函數(shù)圖像的變化情況

17、。</p><p>　　圖1.1-2 保持σ值不變，改變µ的值</p><p>　　圖1.1-3 保持µ值不變，改變?chǔ)业闹?lt;/p><p>　　由圖1.1-2可以看出，如果保持σ不變，改變µ的值，那么圖像的形狀保持不變，而圖像沿x軸平移。這也說(shuō)明了正態(tài)密度函數(shù)圖像的位置是由µ來(lái)確定的，故亦稱µ為位置參數(shù)。</p

18、><p>　　同樣，由圖1.1-3可以看出，如果保持µ不變，而改變?chǔ)业闹?，那么圖形的位置將保持不變，形狀卻有所改變。σ越小，圖像則呈現(xiàn)高而瘦，分布比較集中；σ越大，圖像則呈現(xiàn)矮而胖，分布比較分散，這也說(shuō)明了正態(tài)分布密度函數(shù)圖像的尺度是由σ來(lái)確定的，故亦稱尺度函數(shù)。</p><p>　　對(duì)公式1.1-1進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到：</p><p><b>　　

19、1.1-2</b></p><p>　　令=0，則，當(dāng)時(shí)，有極大值，也是最大值，（從圖1.1-1也能看出）極大值為 。</p><p>　　再對(duì)公式1.1-2進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到：</p><p><b>　　1.1-3 </b></p><p>　　令=0，則，即是曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)。</p>

20、<p>　　表1.1-1 正態(tài)曲線特征</p><p>　　由圖1.1-1和表1.1-1可知：</p><p>　?。?）x=µ是曲線的對(duì)稱軸，在x=µ時(shí)，函數(shù)取得極大值也是最大值，即。當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減，曲線呈中間高，兩頭低的鐘的形狀。</p><p>　　（2）x的取值范圍為實(shí)數(shù)集R，當(dāng)x離µ越遠(yuǎn)時(shí)，的值就

21、越來(lái)越??；當(dāng)x趨于時(shí)，曲線無(wú)線接近x軸，但與x軸永不相交。</p><p>　　（3）曲線總在x軸的上方，即有>0恒成立。</p><p>　　（4）正太密度函數(shù)曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)，分別在處。</p><p>　?。?）曲線與x軸所圍的面積為1，µ的左右兩側(cè)均為0.5。</p><p>　　正態(tài)分布的可加性：設(shè)隨機(jī)變量,,且與獨(dú)立

22、,則，。</p><p>　　1.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其分布函數(shù)</p><p>　　在上節(jié)中所講的正態(tài)分布密度函數(shù)曲線與x軸所圍面積為1，很容易想到，求曲線下的面積可以通過(guò)積分來(lái)解決。下面對(duì)公式1.1-1進(jìn)行積分，可得：</p><p><b>　　1.2-4</b></p><p>　　上式即為正態(tài)分布N（，）的分布函

23、數(shù)，它是一條光滑呈上升趨勢(shì)的S形曲線，如圖1.2-4所示。</p><p>　　圖1.2-4 分布函數(shù)</p><p>　　從概率論的角度去考慮，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)在區(qū)間上的積分，而其在上的積分值為1， 也是概率分布函數(shù)。</p><p>　　我們稱的正態(tài)分布，即時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。一般記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為U，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為,分布函數(shù)為，即<

24、/p><p><b>　　1.2-5</b></p><p><b>　　1.2-6</b></p><p>　　標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖像如圖1.2-5所示：</p><p>　　圖1.2-5 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)</p><p>　　在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中，由于位置參數(shù)µ和

25、尺度參數(shù)σ已經(jīng)確定，分別為0和1，所以的值就可以算出來(lái)，具體的值見標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表。</p><p>　　1.3 正態(tài)隨機(jī)變量落在區(qū)間上的概率分布問(wèn)題</p><p>　　連續(xù)型隨機(jī)變量X落在區(qū)間上的概率等于它的密度函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即：</p><p>　　= 1.3-7 </p><p>　　而對(duì)于正態(tài)

26、隨機(jī)變量X在區(qū)間上的概率則為：</p><p><b>　　=</b></p><p>　　= 1.3-8</p><p>　　對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量U在區(qū)間上的概率為：</p><p>　　= 1.3-9</p><p>　　隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概

27、率計(jì)算問(wèn)題。</p><p>　　如果X~，則X落在區(qū)間上的概率計(jì)算如下：</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　和均可從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查得。<

28、;/p><p>　　例1：設(shè)X~，求：（1） </p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　（3）</b></p><p><b>　　解：（1）=</b></p><p><b>　　==0.7881</b&g

29、t;</p><p><b>　?。?）=1</b></p><p><b>　　=1</b></p><p>　　=1=1-0.9332=0.0668</p><p><b>　　（3）=</b></p><p><b>　　=</b&

30、gt;</p><p>　　=0.9332-0.7881=0.1451</p><p>　　由（1）、（2）、（3）、可知：</p><p>　　++=1,即x在整個(gè)區(qū)間上取值，其概率為1，這也就說(shuō)明了正態(tài)密度函數(shù)曲線與x軸所圍的面積為1。</p><p>　　由上可知，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中有：</p><p><b

31、>　　，</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　1-,</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　（c≥0）</b></p><p>　　例2

32、：設(shè)，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表求下列事件的概率：</p><p><b>　?。?）,</b></p><p><b>　?。?）,</b></p><p><b>　　（3）,</b></p><p><b>　?。?）</b></p>&l

33、t;p>　　解：(1) =0.9332</p><p>　?。?）=1-=1-0.9332=0.0668</p><p>　　(3) =2-1=2×0.9772-1=0.9544</p><p>　　(4) =-=0.9332-0.8413=0.0919</p><p>　　隨機(jī)變量的概率計(jì)算問(wèn)題</p><

34、;p>　　如果，那么X落在區(qū)間上的概率，應(yīng)該是對(duì)它的密度函數(shù)在區(qū)間上進(jìn)行積分所得，即：</p><p><b>　　=</b></p><p>　　這個(gè)積分是可以求出來(lái)的，但可能會(huì)比較麻煩，而且當(dāng)位置參數(shù)µ和尺度參數(shù)σ改變時(shí)，積分值也會(huì)不同。我們不可能對(duì)每一組µ和σ都制造出正態(tài)分布表，更何況µ和σ的組合是無(wú)限的，所以沒辦法去制造出無(wú)

35、數(shù)種正態(tài)分布表。但我們可以設(shè)法將一般的正態(tài)分布的隨機(jī)變量X化成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后再利用已有的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，來(lái)解決一般的正態(tài)分布的概率問(wèn)題。</p><p>　　隨機(jī)變量，X的分布函數(shù)為：</p><p>　　可以令，則上式可化為：</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=

36、</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　令，則</b></p><p><b>　　上式=</b></p><p><b>　　=&

37、lt;/b></p><p><b>　　=1=1</b></p><p>　　如果隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，那么相應(yīng)事件的概率很容易就可以求出來(lái)。但在實(shí)際問(wèn)題中，不是所有的隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，那對(duì)于一般的正態(tài)分布，該如何求出與相應(yīng)變量的事件的概率。下面給出一個(gè)定理：</p><p>　　如果隨機(jī)變量，那么。</p>

38、<p>　　任何一個(gè)正態(tài)分布都可以通過(guò)以上的線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)正太分布。</p><p>　　例3：設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，求事件的概率。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　=0.99871+0.9772</p><p><b>　　=0.9759</b>&l

39、t;/p><p>　　例4：設(shè)隨機(jī)變量，求。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　當(dāng)=1時(shí)，</b></p><p><b>　　當(dāng)=2時(shí)，</b></p><p><b>　　當(dāng)=3時(shí)，</b><

40、;/p><p>　　由上可知，當(dāng)=3時(shí)，X落在區(qū)間上的概率為0.9973，由于觀測(cè)值落在范圍內(nèi)占總觀測(cè)值的99.73%，超出該范圍的只有0.27%。在這個(gè)范圍內(nèi)幾乎包含了所有的觀測(cè)值，這就是正態(tài)分布中的“原則”。正態(tài)分布的“原則”在實(shí)際工作中有著廣泛的應(yīng)用，比如工業(yè)生產(chǎn)上的控制圖、質(zhì)量管理、質(zhì)量控制等等。</p><p><b>　　1.4中心極限定理</b></p

41、><p>　　林德伯格-萊維中心極限定理：設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且，存在，若記</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則對(duì)任意實(shí)數(shù)有，。</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，，其中，，可知。即設(shè)獨(dú)立同分布，，則時(shí)，。由該定理可知，設(shè)獨(dú)立同分布，方差存在，不管原來(lái)的分布

42、是什么，只要當(dāng)充分大，就可以用正態(tài)分布去逼近隨機(jī)變量和的分布。</p><p>　　棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理：設(shè)重伯努利試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為，記為次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且記</p><p><b>　　，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有</b></p><p><b>　　。</b></p><

43、;p>　　，，，,且獨(dú)立同分布，根據(jù)林德伯格-萊維中心極限定理可知，設(shè)，時(shí)，。</p><p>　　2正態(tài)分布在教育評(píng)價(jià)中的應(yīng)用</p><p>　　教育評(píng)價(jià)是指在一定的教育價(jià)值觀的指導(dǎo)下，依據(jù)確立的教育目標(biāo)，通過(guò)使用一定的技術(shù)和方法，對(duì)所實(shí)施的各種教育活動(dòng)、教育過(guò)程和教育結(jié)果進(jìn)行科學(xué)判定的過(guò)程。它是教育部門評(píng)定學(xué)校工作的一個(gè)重要手段。正態(tài)分布在教育評(píng)價(jià)中有著廣泛的應(yīng)用，在教育實(shí)踐

44、中同樣有很多現(xiàn)象符合或者接近正態(tài)分布。 比如學(xué)生的能力，學(xué)生的考試成績(jī)，比較學(xué)生以及老師的相對(duì)位置，評(píng)定等級(jí)人數(shù)的確定，考試錄取分?jǐn)?shù)線的確定等等。</p><p>　　2.1 常見成績(jī)的分布規(guī)律</p><p>　　考試成績(jī)是反饋教學(xué)效果,檢測(cè)教學(xué)質(zhì)量,評(píng)價(jià)教學(xué)質(zhì)量的依據(jù)。因此，對(duì)考試成績(jī)做出定量分析是一項(xiàng)非常必要的工作。在大量考試成績(jī)研究中，可以看出，凡是符合教學(xué)規(guī)律的考試，它的總體成績(jī)

45、都服從正態(tài)分布或者接近正態(tài)分布，考試分?jǐn)?shù)特別高的和考試分?jǐn)?shù)特別低的所占概率很小，處于中間分?jǐn)?shù)段的概率很大。但如果考試人數(shù)很少時(shí)，或者考題偏難或偏于容易，成績(jī)就會(huì)出現(xiàn)偏態(tài)分布。</p><p>　　上學(xué)期我在祁門二中實(shí)習(xí)了兩個(gè)月，在學(xué)校實(shí)習(xí)的期間，我?guī)У哪莻€(gè)班級(jí)經(jīng)常考試，每次考試成績(jī)都是由我來(lái)統(tǒng)計(jì)的。在大多數(shù)的考試中，都會(huì)有幾個(gè)同學(xué)得滿分，二三十分的也總會(huì)有幾個(gè)人，而大多數(shù)人的分?jǐn)?shù)都在八十分左右。就拿我們班的期中考

46、試成績(jī)來(lái)說(shuō)，成績(jī)分布情況如圖2.1-6所</p><p>　　圖2.1-6 數(shù)學(xué)期中考試成績(jī)</p><p>　　從圖中可以看出這次期中考試成績(jī)基本服從正態(tài)分布，呈現(xiàn)中間高，兩頭低的分布趨勢(shì)。</p><p>　　在我統(tǒng)計(jì)的分?jǐn)?shù)中，也會(huì)出現(xiàn)原始分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布的，原因有很多種，可能由于考試試題特別難或者特別容易，也可能是因?yàn)榭荚嚨娜藬?shù)較少，還有可能是由于考紀(jì)偏松或

47、者為了片面追求某種達(dá)標(biāo)的目的等等，這些因素都有可能造成考試成績(jī)的原始分?jǐn)?shù)呈偏態(tài)分布。</p><p>　　在考試中會(huì)因?yàn)楦鏖T學(xué)科每次試題的難易程度不同，分值的意義就會(huì)不同，那么其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)也會(huì)有所不同。對(duì)于那些不同考試成績(jī)的原始分?jǐn)?shù)就不能用原始的代數(shù)方法來(lái)處理了，也不能進(jìn)行相互比較，因?yàn)樗鼈兊幕鶞?zhǔn)不同，所有就失去了可比性。因此單憑原始的分?jǐn)?shù)就無(wú)法準(zhǔn)確的確定學(xué)生成績(jī)的優(yōu)劣和其在集體中的相對(duì)位置。在大多數(shù)的教育統(tǒng)計(jì)中，

48、都將考試的原始分?jǐn)?shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，只有這樣才能使教學(xué)評(píng)價(jià)更為公平、公正、客觀。</p><p>　　2.2 確定評(píng)價(jià)對(duì)象的相對(duì)位置</p><p>　　在實(shí)際的教學(xué)工作中，教學(xué)管理者會(huì)經(jīng)常對(duì)不同的學(xué)校、不同的班級(jí)、不同的教師的教學(xué)效果進(jìn)行分析比較，進(jìn)而可以明確它們?cè)诳傮w中較為準(zhǔn)確的相對(duì)位置。</p><p>　　在實(shí)際的教學(xué)中，如果只是單一的依靠所測(cè)定的原

49、始分?jǐn)?shù)來(lái)進(jìn)行分析比較，比如，總分?jǐn)?shù)、平均分等，這就存在著很大的不科學(xué)性，是不可取的。每次考試或者測(cè)定的原始分?jǐn)?shù)，盡管可以用來(lái)進(jìn)行橫向的比較，但始終屬于缺乏一定的參照點(diǎn)的非標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)分范圍。為了使評(píng)定更具客觀性、科學(xué)性，只有將這些非標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)分轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)分，然后再進(jìn)行分析比較。前面所提到的“標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)”就是一種標(biāo)準(zhǔn)化的計(jì)分，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，表示一個(gè)分?jǐn)?shù)在總體中所處位置的相對(duì)位置量數(shù)。然而，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中又稱標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)為“Z分?jǐn)?shù)”，它

50、是原始分?jǐn)?shù)與總體平均數(shù)的差，再除以總體的標(biāo)準(zhǔn)差所得的商，其求法去下：</p><p>　　,其中X為原始分?jǐn)?shù)，為總體的標(biāo)準(zhǔn)差，為總體的平均數(shù)。</p><p>　　從公式中可以看出，Z的取值可能為0，也可能為正的或者負(fù)的。當(dāng)某個(gè)原始分?jǐn)?shù)等于平均分時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)就等于0，即Z=0；當(dāng)原始分?jǐn)?shù)大于標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)為正值，即Z＞0；當(dāng)原始分?jǐn)?shù)小于標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)時(shí)平均分時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)為負(fù)值，即Z＜0。這

51、批分?jǐn)?shù)全部轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)后，它們的整個(gè)分布形態(tài)并沒有發(fā)生變化。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)準(zhǔn)確地刻畫了一個(gè)分?jǐn)?shù)在一批分?jǐn)?shù)中的相對(duì)位置，但是，由于標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)有負(fù)值，并且有時(shí)會(huì)帶有小數(shù)的，就不容易被人們理解和應(yīng)用，因此人們?cè)跇?biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步轉(zhuǎn)換，從而便發(fā)展起了一系列其他形式的標(biāo)準(zhǔn)分。轉(zhuǎn)換公式為：</p><p>　　,其中，為其他形式的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，是轉(zhuǎn)換方程的斜率，是轉(zhuǎn)換方程的截距。</p><p>　　例如，

52、現(xiàn)在要評(píng)價(jià)某個(gè)學(xué)校初二年級(jí)語(yǔ)文、英語(yǔ)、數(shù)學(xué)三位教師在上學(xué)期的教學(xué)效果，給出表2.2-2的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：</p><p><b>　　表2.2-2</b></p><p>　　人們看到上面的表格，習(xí)慣上會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)教師的教學(xué)效果最好，因?yàn)閺陌嗌系钠骄秩タ?，?shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)最高。但在教學(xué)評(píng)價(jià)中，需要更為客觀，更為科學(xué)的評(píng)價(jià)。由于三位老師所教的學(xué)科不同，只是從原始分?jǐn)?shù)的角度是

53、沒有辦法進(jìn)行直接比較的，所以應(yīng)該從具有等距意義的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)比較，評(píng)價(jià)的結(jié)果卻截然不同，語(yǔ)文老師的教學(xué)效果則是最好的。</p><p>　　通過(guò)把原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，不但可以比較不同的學(xué)科之間老師的教學(xué)效果，同時(shí)還可以比較不同的班級(jí)、不同的學(xué)校或者是同年級(jí)同學(xué)科老師之間的教學(xué)效果。如果評(píng)價(jià)對(duì)象在入口或者出口上存在較大的差異，則還可以分別計(jì)算各自入口或出口的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，再用它們的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)之差來(lái)進(jìn)行比較，就更能對(duì)教學(xué)效

54、果做出更加科學(xué)、公正、客觀的評(píng)價(jià)。</p><p>　　2.3 確定招生錄取分?jǐn)?shù)線及優(yōu)生分?jǐn)?shù)線</p><p>　　目前，我國(guó)仍然是傳統(tǒng)的應(yīng)試教育，學(xué)生從小學(xué)升初中會(huì)有考試，初中升高中也有考試，高中畢業(yè)時(shí)就會(huì)面臨高考，我們都知道，不是所有的初中生都有機(jī)會(huì)上高中，更不是每位學(xué)生都有機(jī)會(huì)上大學(xué)。因?yàn)檫@之間有中考和高考，而中考和高考都是按照一定的比例來(lái)錄取的，而錄取分?jǐn)?shù)線的確定就需要科學(xué)、合理，

55、這樣才公平、公正。</p><p>　　例如，常模轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)是根據(jù)高考目的，把原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。其標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的平均分為500，標(biāo)準(zhǔn)差為100，每個(gè)常模轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)都與相應(yīng)分?jǐn)?shù)以下的考生數(shù)和考生總數(shù)的比例有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如某考生數(shù)學(xué)高考的成績(jī)?yōu)?90分，根據(jù)高考標(biāo)準(zhǔn)分與百分等級(jí)對(duì)照表，得出這位考生分?jǐn)?shù)以下的考生占考生總數(shù)的比例。查表690分對(duì)應(yīng)的比例為9.7127998%，如果這位考生為前年某省理工類考生，前年理工

56、類考生數(shù)為9786人，那么他超過(guò)9505人，比他分?jǐn)?shù)高的考生大概281人，其算法如下：9786×(1-0.97127998)。很容易就可以看出考生在全體考生中的位置，再根據(jù)常模轉(zhuǎn)換來(lái)確定錄取分?jǐn)?shù)線。</p><p>　　同樣，用這種方法還可以確定各個(gè)年級(jí)以及各個(gè)學(xué)科的優(yōu)生分?jǐn)?shù)線，無(wú)論對(duì)哪個(gè)學(xué)校或者哪個(gè)年級(jí)來(lái)說(shuō)，其中都會(huì)有一部分優(yōu)秀生。那么如何來(lái)確定優(yōu)秀生，這也是一個(gè)問(wèn)題。有很多教育管理部門直接擬定一個(gè)分

57、數(shù)線，然后按照這個(gè)分?jǐn)?shù)線去評(píng)定優(yōu)秀生，這樣做其實(shí)很不科學(xué)，也被很多教師所反對(duì)。確定優(yōu)生分?jǐn)?shù)線要有科學(xué)性，才能令人們嘆服，也不會(huì)被教師所反對(duì)。利用正態(tài)分布的理論來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，就會(huì)輕松、合理許多。運(yùn)用正態(tài)分布來(lái)確定優(yōu)生分?jǐn)?shù)線的具體方法如下：</p><p>　　如果確定優(yōu)生率為,就可以根據(jù)的值去查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得出Z的值，再利用就可以求出各科優(yōu)生分?jǐn)?shù)了，即：。</p><p>　　例如,某市

58、先設(shè)定初中一年級(jí)的優(yōu)生率為20%，在期末考試中，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)的平均成績(jī)分別是82分、85分、84分，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別是12、13、11.5，那么語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)各科的優(yōu)生分?jǐn)?shù)線就可以利用前面的公式求出來(lái)，優(yōu)生分?jǐn)?shù)線分別為： ,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得， </p><p><b>　　Z=0.85， ，</b></p><p><b>　　， <

59、/b></p><p>　　這將比事先擬定的優(yōu)生分?jǐn)?shù)線更能服眾,才不會(huì)被老師們所反對(duì)，可見，正態(tài)分布在確定分?jǐn)?shù)線中的作用是很大的。</p><p>　　2.4 確定等級(jí)評(píng)定人數(shù)</p><p>　　在教育評(píng)價(jià)中也會(huì)將學(xué)生的成績(jī)分為幾個(gè)不同的等級(jí)，比如說(shuō)，在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，教育部門為了加強(qiáng)對(duì)高中課程的管理和質(zhì)量監(jiān)控，同時(shí)，也為了可以向高校提供更多關(guān)于考生的信息，設(shè)

60、置了普通高中學(xué)生學(xué)業(yè)水平測(cè)試。學(xué)生的成績(jī)就實(shí)行了等級(jí)計(jì)分，分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)。再例如我們經(jīng)常看到有的時(shí)候我們的成績(jī)單上的評(píng)價(jià)是優(yōu)、良、中、差四個(gè)等級(jí)等等。然而正態(tài)分布在確定每個(gè)等級(jí)的人數(shù)中又起著很重要的作用。</p><p>　　在學(xué)生的能力或者成績(jī)基本符合正態(tài)分布時(shí)，可以將正態(tài)分布基線上的Z值在-3到3之間六個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的距離分成四等份，然后再求出每個(gè)部分的面積，查表可以得出結(jié)果，再乘以總?cè)藬?shù)，就是每個(gè)等級(jí)

61、評(píng)定的人數(shù)。</p><p>　　例如，某學(xué)校高一年級(jí)總共有1000名學(xué)生，在期中考試中，其英語(yǔ)成績(jī)剛好符合正態(tài)分布，現(xiàn)在學(xué)校要將學(xué)生的英語(yǔ)成績(jī)分成優(yōu)、良、中、差四個(gè)等級(jí)，那么每個(gè)等級(jí)應(yīng)該設(shè)定多少學(xué)生？像這樣的問(wèn)題就可以利用上面的方法來(lái)確定，將Z為-3到3分成四個(gè)等份，因?yàn)樵?3到3以外的為小概率事件。-3到-1.5之間為差，-1.5到0之間為中，0到1.5之間為良，1.5到3之間為優(yōu)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可知：&l

62、t;/p><p>　　那么成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)約為0.0654×1000≈67人，成績(jī)良好的人數(shù)約為0.4332×1000≈433人，成績(jī)中等和差等的人數(shù)分別與成績(jī)良好和優(yōu)秀的人數(shù)基本相同，分別約為433人和67人。</p><p>　　利用正態(tài)分布的理論可以根據(jù)等級(jí)求出各個(gè)等級(jí)的人數(shù)，同時(shí)還可以估計(jì)某個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間的人數(shù)。例如，某學(xué)校初二年級(jí)一共有300名學(xué)生，期末考試中，數(shù)學(xué)成績(jī)

63、的平均分為85分，其標(biāo)準(zhǔn)差為6，問(wèn)在70分到80分之間大概有多少人。因?yàn)檫@是求某一分?jǐn)?shù)段的概率問(wèn)題，所以我們首先將原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，即Z分?jǐn)?shù)，</p><p>　　再求-2.5到-0.83之間的概率，通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表可得，所以分?jǐn)?shù)在70分到80分之間的概率為P=0.4938-0.2967=0.1917，即分?jǐn)?shù)在該分?jǐn)?shù)段的學(xué)生約為300×0.1917≈59人。</p><

64、p>　　利用正態(tài)分布可以將定性的評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化為量化的評(píng)價(jià)，總而言之，正態(tài)分布在教育評(píng)價(jià)中有著很多應(yīng)用，也為教育工作克服了許許多多的困難和弊端，使得教育評(píng)價(jià)加客觀、公正，使得教學(xué)管理工作更為科學(xué)化。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.2版.北京：高等教育出版社，2001.2：106-

65、107.</p><p>　　[2] 邵丹. 正態(tài)分布與參考值范圍[EB/OL]. [2013-1-31].</p><p>　　[3]馬淑英. NORMSDIST()函數(shù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值[EB/OL]. </p><p>　　[4] 茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.2版.北京：高等教育出版社，2001.2：106-107.</p>

66、<p>　　[5] 茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.2版.北京：高等教育出版社，2001.2：106-107. </p><p>　　[6] 茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.2版.北京：高等教育出版社，2001.2：106-107.</p><p>　　[7] 全國(guó)十二所重點(diǎn)師范大學(xué)聯(lián)合編寫.2版.北京：教育科學(xué)出版社，2008,12：308.<

67、;/p><p>　　[8] 鄒啟文. 概率統(tǒng)計(jì)理論在教育評(píng)價(jià)中的應(yīng)用[EB/OL]. [2010-12-24]. </p><p>　　[9] 張純. 聚焦普通高中學(xué)業(yè)水平考試[EB/OL]. [2013-4-8]. </p><p>　　[10] 田華.論正態(tài)分布在教育評(píng)價(jià)中的應(yīng)用[EB/OL]. [2013-2-25]. </p><p>　

68、　本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))任務(wù)書</p><p>　　本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))開題報(bào)告</p><p>　　本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))指導(dǎo)記錄</p><p>　　本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))中期檢查表</p><p>　　本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))答辯資格審查表</p><p>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)作品(實(shí)物)驗(yàn)收單（此表有就填）</