數學建模論文-水資源短缺風險綜合評價

1、<p><b>　　數學建模論文</b></p><p>　　題目：B題：水資源短缺風險綜合評價</p><p><b>　　姓名： </b></p><p><b>　　學號：</b></p><p><b>　　2011-6-15</b>&l

2、t;/p><p>　　題目：水資源短缺風險綜合評價</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　近年來，隨著經濟的快速發(fā)展，工業(yè)用水，農業(yè)用水量有逐年增大的趨勢，加之工業(yè)污染的日益加劇，人口規(guī)模的逐漸增加，各種不確定因素使得水資源短缺的風險日漸上升，對北京而言，雖然從2003年開始加大對再生水的利用，也啟動了南水北調工程，但水資源

3、短缺的風險因子仍然具有很大的不確定性。為此建立模型找出水資源短缺的主要風險因子，并對其進行評價，同時作出風險等級劃分是很有必要的。這將有利于我們分析各個因子是如何影響水資源短缺風險的，并由此作出相應調控，來降低短缺風險。</p><p>　　第一問要找出主要的風險因子，采用比較簡單的灰色關聯分析，用Matlab編程算出各風險因子與缺水量序列的關聯度，并以此為主要標準，按其大小對各因子作出排序，從而找出主要風險因子

4、。</p><p>　　第二問要對北京市水資源短缺風險進行綜合評價， 并作出風險等級劃分，我們采用層次分析法，將缺水量作為目標層，將供水量，用水量，外部因素作為第一準則層，將所考慮的各個風險因子作為第二準則層，將對風險等級的選擇作為方案稱，從上往下依次作出下層對上層的成對比較矩陣，并作一致性檢驗，得出各因子對上一層的影響權重，最終得到各風險因子的層次總排序，由此分析出各因素對缺水風險的影響，并采取相應對策，降低風

5、險。由于作比較判斷矩陣一般用專家評分發(fā)法，但鑒于條件限制，在這里，我將充分利用所給數據，結合灰色關聯分析的原理，做出下一層相對上一層的關聯度，并以此為依據做出兩兩比較矩陣。經檢驗，層次模型用于短缺風險的評價以及分析個因子的影響是比較有效的，尤其是對于我們適當作出方案決策，降低風險很有幫助。</p><p>　　關鍵詞：水資源短缺 風險因子 風險等級 灰色關聯分析 層次分析</p><p>

6、;<b>　　1.問題的重述</b></p><p><b>　　1.1問題的提出：</b></p><p>　　水資源，是指可供人類直接利用，能夠不斷更新的天然水體。主要包括陸地上的地表水和地下水。</p><p>　　風險，是指某一特定危險情況發(fā)生的可能性和后果的組合。</p><p>　　水資

7、源短缺風險，泛指在特定的時空環(huán)境條件下，由于來水和用水兩方面存在不確定性，使區(qū)域水資源系統發(fā)生供水短缺的可能性以及由此產生的損失。</p><p>　　近年來，我國、特別是北方地區(qū)水資源短缺問題日趨嚴重，水資源成為焦點話題。</p><p>　　影響水資源的因素很多,例如：氣候條件、水利工程設施、工業(yè)污染、農業(yè)用水、管理制度，人口規(guī)模等。</p><p>　　題目第

8、一問要求我們評價判定北京市水資源短缺風險的主要風險因子，在這里取如下因子進行研究：</p><p>　　再生水利用量，污水總量，降雨量，農業(yè)用水，工業(yè)用水，生活用水，人口規(guī)模以及水資源總量。</p><p>　　題目第二問要求建立一個數學模型對北京市水資源短缺風險進行綜合評價， 作出風險等級劃分并陳述理由，依次為依據來調控各風險因子，達到降低缺水風險的目的。</p><

9、p><b>　　1.2 問題的分析</b></p><p>　　第一問由于問法較簡單，而且所給數據隨機性太強，波動性大，數據量不足，不便用回歸分析的方法來做，所以采用鄧聚龍教授提出的灰色系統理論比較合適，這里只需用到灰色關聯分析即可。</p><p>　　第二問要稍微復雜一些，要求對水資源短缺風險作出綜合評價，那就需要找出各因子對水資源短缺風險的影響權重，不同風

10、險等級中各因子的權重系數是不同的，由此我們可以按照低風險區(qū)的權重系數為標準對各因子進行調控，從而降低缺水風險，按照這個思路，我們采取層次分析法來建立模型，詳細找出不同年份各因子比重以及風險的等級。</p><p><b>　　2.模型的基本假設</b></p><p>　?。?）.題中所給數據都是有效的</p><p>　?。?）.再生水的利用

11、是從2003年開始的，以前的都為0</p><p>　?。?）.缺水量的多少可以代表缺水的程度及風險大小</p><p>　　（4）.第二問中同一層因素間不存在支配關系，且上層對下層有支配作用</p><p>　　（5）.除了供水和用水之外，其他因素均列為外部因素</p><p><b>　　3.符號說明</b><

12、/p><p>　　3.1第一問符號說明</p><p>　　時間序列：T( ),按提供的數據 從1979年到2008年共30年；</p><p>　　缺水量序列： X0( )</p><p>　　再生水利用量：X1( )</p><p>　　污水總量序列：X2( )</p><p>　　降雨量序列

13、： X3( )</p><p>　　農業(yè)用水序列：X4( )</p><p>　　工業(yè)用水序列：X5( )</p><p>　　生活用水序列：X6( )</p><p>　　人口規(guī)模序列：X7( )</p><p>　　水資源總量序列：X8( )</p><p><b>　　其中n=

14、30</b></p><p>　　定義：缺水量=用水量-水資源總量</p><p><b>　　即 </b></p><p>　　3.2第二問符號說明</p><p>　　目標層：A表示對缺水風險的綜合評價</p><p>　　第一準則層：由3個因子組成：水資源總量B1，總用水量B2，

15、其他外部因素B3;</p><p>　　第二準則層：由9個因子組成：降雨量C1,再生水量C2，南水北調C3,農業(yè)用水C4，工業(yè)用水C5,</p><p>　　生活及其他用水C6，污水總量C7,人口規(guī)模C8,水利工程C9;</p><p>　　方案層：由四個等級組成：高風險D1，中度風險D2，低風險D3，無風險D4;</p><p>　　4.問

16、題一模型的建立，分析與求解</p><p><b>　　4.1建立模型</b></p><p>　　對第一題，采用灰色關聯分析理論進行建模，其相關理論如下：</p><p>　　設X={ }為灰色關聯因子集， 作為參考序列(即目標序列)， 為比較序列(即相關因素序列)， （k=1,2…,n）分別為 和 的第k個點的數值，即</p>

17、<p><b>　　……</b></p><p><b>　　……</b></p><p>　　其中比較序列共有m行；</p><p><b>　　任取 ,令</b></p><p>　　稱 為 與 的灰關聯系數， 為數據 與 的灰色關聯度， 稱為分辨系數, 稱為

18、點權重,滿足 。</p><p>　　一般地，若 ,則說明 的關聯程度比 的關聯程度要高，或者理解為 對 的影響程度比 對 的影響程度要大。</p><p>　　按照定義，上述關聯度為 與 的灰色關聯度,記為 ，相對關聯度主要反映 與 相對于初始點的變化率的相似程度。</p><p>　　由于 與 長度相同，且初值不為零， 與 分別是二者的初值像，令 為初值像所連折

19、線與t軸所圍曲邊梯形的面積，則 與 的灰色絕對關聯度為：</p><p>　　絕對關聯度主要反映折線 與 之間的相似程度。</p><p>　　取 ,則 與 的灰色綜合關聯度為：</p><p>　　灰色綜合關聯度能夠較為全面地表征序列之間的的聯系是否緊密， 表示絕對關聯度所占的比重， 表示相對關聯度所占的比重。</p><p>　　本題取缺

20、水量序列X0為灰色關聯因子集，即目標序列，X1—X7分別為7個相關因子集，按照上述理論，用Matlab編程，計算出各相關因子序列與目標序列的相對關聯度，然后按照這7個關聯度的大小對著7個因子進行排序，從而找出主要的風險因子。</p><p><b>　　4.2.模型的求解</b></p><p>　　用Matlab編程先對矩陣A=( )進行歸一化處理，代碼如下：<

21、;/p><p>　　function Bdata=Dataones(A)</p><p>　　[m,n]=size(A);</p><p><b>　　for i=1:m</b></p><p><b>　　for j=1:n</b></p><p>　　B(i,j)=A(i,j

22、)/A(1,j);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　Bdata=B;</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　得到歸

23、一化矩陣Bdata。</p><p>　　由歸一化矩陣，算出各因子序列與目標序列的關聯度,代碼如下：</p><p><b>　　M文件1：</b></p><p>　　%計算兩個序列X與Y之間的相對關聯度;</p><p><b>　　%t為分辨系數;</b></p><p&g

24、t;　　function RXY=relate(X,Y,t)</p><p>　　[m,n]=size(X);</p><p>　　A=abs(X-Y);</p><p>　　a1=min(A);</p><p>　　a2=max(A);</p><p><b>　　RXY=0;</b></

25、p><p><b>　　for i=1:m</b></p><p>　　b=abs(X(i,1)-Y(i,1));</p><p>　　R(i)=(a1+t*a2)/(b+t*a2);</p><p>　　RXY=RXY+R(i)/m;</p><p><b>　　end</b>

26、</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　M文件2：</b></p><p>　　%計算矩陣A中各列與第一列的相對關聯度;</p><p>　　function Rel=Relates(A,t)</p><p>　　[m1,n1]=size(A

27、);</p><p>　　for i=1:n1</p><p><b>　　X=A(:,1);</b></p><p><b>　　Y=A(:,i);</b></p><p>　　Rel(i,1)=relate(X,Y,t);</p><p><b>　　end &

28、lt;/b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　4.3.模型的結果</b></p><p>　　用Matlab算得各因子與缺水量的關聯度如下（取分辨系數t=0.8）：</p><p><b>　　Rel =</b></p>

29、<p><b>　　NaN</b></p><p><b>　　0.6929</b></p><p><b>　　0.7113</b></p><p><b>　　0.7713</b></p><p><b>　　0.7020<

30、;/b></p><p><b>　　0.7036</b></p><p><b>　　0.8843</b></p><p><b>　　0.6886</b></p><p><b>　　0.7239</b></p><p>

31、　　再按此關聯度對各因子排序如下：</p><p>　　由此可見缺水量的主要影響因子為人口和降雨量，其次為水資源總量，污水量，工業(yè)用水，農業(yè)用水，再生水和生活用水幾乎處于同等地位。</p><p>　　所以我們把人口規(guī)模，降雨量，水資源總量和工業(yè)污染作為北京市水資源短缺風險的主要風險因子。</p><p>　　5.問題二模型的建立，分析與求解</p>

32、<p><b>　　5.1.建模原理</b></p><p>　　5.1.1 層次分析模型簡介</p><p>　　層次分析法解決問題的基本思想與人們對一個多層次、多因素、復雜的決策問題的思維過程基本一致，最突出的特點是分層比較，綜合優(yōu)化．其解決問題的基本步驟如下：</p><p>　　(1) 分析系統中各因素之間的關系，建立系統的遞

33、階層次結構，一般層次結構分為三層，第一層為目標層，第二層為準則層，第三層為方案層。</p><p>　　(2) 構造兩兩比較矩陣（判斷矩陣）,對于同一層次的各因素關于上一層中某一準則（目標）的重要性進行兩兩比較，構造出兩兩比較的判斷矩陣。</p><p>　　(3) 由比較矩陣計算被比較因素對每一準則的相對權重，并進行判斷矩陣的一致性檢驗。</p><p>　　(4

34、) 計算方案層對目標層的組合權重和組合一致性檢驗，并進行排序。</p><p>　　利用層次分析法研究問題時，首先要把與問題有關的各種因素層次化，然后構造出一個樹狀結構的層次結構模型，稱為層次結構圖。一般問題的層次結構圖分為三層， </p><p>　　最高層為目標層(O): 問題決策的目標或理想結果，只有一個元素。</p><p>　　中間層為準則層(C): 包括

35、為實現目標所涉及的中間環(huán)節(jié)各因素，每一因素為一準則，當準則多于９個時可分為若干個子層。</p><p>　　最低層為方案層(P): 方案層是為實現目標而供選擇的各種措施，即為決策方案。</p><p>　　一般說來，各層次之間的各因素，有的相關聯，有的不一定相關聯；各層次的因素個數也未必一定相同。實際中，主要是根據問題的性質和各相關因素的類別來確定。</p><p>

36、;<b>　　構造比較矩陣</b></p><p>　　構造比較矩陣主要是通過比較同一層次上的各因素對上一層相關因素的影響作用。而不是把所有因素放在一起比較，即將同一層的各因素進行兩兩對比。比較時采用相對尺度標準度量，盡可能地避免不同性質的因素之間相互比較的困難。同時，要盡量依據實際問題具體情況，減少由于決策人主觀因素對結果造成的影響。</p><p>　　設要比較個

37、因素對上一層（如目標層）的影響程度，即要確定它在中所占的比重。對任意兩個因素和，用表示和對的影響程度之比，按１～９的比例標度來度量。于是，可得到兩兩成對比較矩陣，又稱為判斷矩陣，顯然</p><p><b>　　,</b></p><p>　　因此，又稱判斷矩陣為正互反矩陣。</p><p><b>　　比例標度值</b>

38、</p><p>　　標度 含 義</p><p>　　1 與的影響相同</p><p>　　3 比的影響稍強</p><p>　　5 比的影響強</p><p>　　7 比的影響明顯地強</p

39、><p>　　9 比的影響絕對地強</p><p>　　2,4,6,8 與的影響之比在上述兩個相鄰等級之間</p><p>　　與的影響之比為上面的互反數</p><p>　　比例標度的確定：?。薄沟模箓€等級，而取的倒數（見表6-1）。</p><p>　　由正互反矩陣的性質可知，只要確定

40、的上（或下）三角的個元素即可。在特殊情況下，如果判斷矩陣的元素具有傳遞性，即滿足</p><p>　　則稱為一致性矩陣，簡稱為一致陣。</p><p>　　5.1.2 相對權向量確定</p><p>　　相對權向量的確定有多種方法，一般分為和法、求根法（幾何平均法）及特征根法。在本次項目中我們采取的相對較為容易的和法來確定特征根。其具體算法如下：</p>

41、<p>　　取判斷矩陣個列向量歸一化后的算術平均值，近似作為權重，即 </p><p>　　類似地，也可以對按行求和所得向量作歸一化，得到相應的權重向量。</p><p>　　5.1.3 一致性檢驗</p><p>　　通常情況下，由實際得到的判斷矩陣不一定是一致的，即不一定滿足傳遞性和一致性。實際中，也不必要求一致性絕對成立，但要求大體上是一致的，即

42、不一致的程度應在容許的范圍內。主要考查以下指標：</p><p>　　(1) 一致性指標：。</p><p>　　(2) 隨機一致性指標：，通常由實際經驗給定的，如表6-2。</p><p>　　表6-2：隨機一致性指標</p><p>　　1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

43、0 11 12 13 14 15</p><p>　　0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.54 1.56 1.58 1.59</p><p>　　(3) 一致性比率指標：，當時，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的，則對應的特征向量可以作為排序的權重向量。此時</p&g

44、t;<p>　　其中表示的第個分量。</p><p><b>　　5.2建立模型</b></p><p>　　該問要求對水資源短缺風險作出綜合評價，我們要找出各因子對水資源短缺風險的影響權重，并得到最終的各因素層次總排序，并由此對問題進行分析。</p><p>　　按照層次分析方法的原理，將整個模型分為四層：</p>

45、<p>　　第一層為目標層A,即缺水量A；</p><p>　　第二層為第一準則層B，即總供水量B1，總用水量B2，其他外部因素B3；</p><p>　　第三層為第二準則C，即降雨量C1，再生水C2，農業(yè)用水C3，工業(yè)用水C4，生活及其他用水C5，污水總量C6，人口規(guī)模C7；</p><p>　　建立的層次模型如下：</p><p&

46、gt;<b>　　5.3.模型的求解</b></p><p>　　由于1979年到2002年沒有對再生水進行利用量為0，故這段時間不考慮再生水的影響，或者將其看成是負影響。</p><p>　　首先按照所給數據求出缺水量的大小，將缺水的風險等級分為四級，分類如下：</p><p>　　其中卻水量為負時，水量過剩，表示無風險；缺水量為0—10時，

47、表示風險較小；缺水量為 </p><p>　　10—20時，表示中度風險；缺水量為20以上時表示風險較大；</p><p>　　根據第一問的灰色關聯理論，計算出各層次對上一層因子的灰色關聯度并以此來構造成對比較矩陣。由Matlab編程求得各層次間的灰色關聯度如下：</p><p>　　第一準則層對目標層：</p><p>　　第二準則層對第一

48、準則層：</p><p>　　方案層對第二準則層：</p><p>　　構造目標層的成對比較矩陣：</p><p>　　構造第二準則層對第一準則層的成對比較矩陣：</p><p>　　構造方案層對第二準則層的成對比較矩陣：</p><p>　　用層次分析法軟件yaahp得到結果如下：</p><p&

49、gt;<b>　　5.4.結果分析</b></p><p>　　從計算結果看出，各個成對判斷矩陣均經過了一致性檢驗，說明模型的效果比較好。</p><p>　　各個因子對總目標，即風險等級的權重匯總如下：</p><p><b>　　第一準則層：</b></p><p>　　第二準則層各個因子：&l

50、t;/p><p>　　從上述數據對各因子作權重排序如下：</p><p>　　結合結果中的數據，可以看出：</p><p>　　1.外部因素包括污水總量，人口規(guī)模，水利工程設施等對風險等級的權重最大，對這些因素作適當的控制可以較好的降低風險等級；</p><p>　　而外部因素中，人口規(guī)模有占有最大的比重，達到0.4762，從北京歷年人口數量上可

51、以看出，自1979年以來，人口數量基本上呈穩(wěn)步上升的趨勢，其走勢圖如下：</p><p>　　所以人口的迅速增長對缺水風險的影響還是比較大的，從后面生活用水對風險度得影響也可以看出，人口的的增長主要不斷加大了生活用水量，加之浪費又比較嚴重的話，會導致生活用水量的嚴重不足，因而僅僅依靠控制人口是不太現實的，所以大力宣揚節(jié)約用水的良好作風才是最關鍵的；</p><p>　　2.水資源總量，即水

52、的來源如果不能較好的保障，將會引起較高的缺水風險，所以，應該繼續(xù)加大再生水的利用，同時利用好南水北調工程所帶來的效用；</p><p>　　3.由表6和表7可以看出，再生水量和南水北調都會對缺水量造成較高的風險，從數據上也可以看出自從2003年加大再生水的利用之后，缺水程度也有減輕的趨勢，所以應該繼續(xù)加大再生水的利用量，同時充分利用南水北調工程所帶來的水量；</p><p><b&g

53、t;　　5.5.模型評價</b></p><p><b>　　層次分析法的優(yōu)點：</b></p><p>　　系統性——將對象視作系統，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策——系統分析（與機理分析、測試分析并列）；</p><p>　　實用性——定性與定量相結合，能處理傳統的優(yōu)化方法不能解決的問題；</p>&

54、lt;p>　　簡潔性——計算簡便，結果明確，便于決策者直接了解和掌握。</p><p><b>　　層次分析法的局限：</b></p><p>　　粗略——定性化為定量，結果粗糙；</p><p>　　主觀——主觀因素作用大，結果可能難以服人。</p><p>　　本題模型的建立取決于層次分析模型對相關因素作綜合

55、評價的優(yōu)勢，通過各個因素對缺水風險的影響權重來分析各自對缺水風險的影響程度，從而對降低風險等級作出正確有效的決策。</p><p>　　但本模型的缺陷就是在構造個層次之間的成對比較矩陣時，是依照下層因子對上層因子的關聯度來確定的，有一定的主觀性。</p><p><b>　　參考書目：</b></p><p>　　[1]劉煥彬，苦在強，廖小勇，

56、陳文略，張忠誠.《數學模型與實驗》，北京：科學出版社，2008</p><p>　　[2]周永正，詹棠森，方成鴻，邱望仁.《數學建?！?，上海：同濟大學出版社，2010</p><p>　　[3]蔣啟源，謝金星，葉俊.《數學模型》，北京：高等教育出版社，2003</p><p>　　[4]jpfcyzr, http://wenku.baidu.com/view/8ed

57、22a93daef5ef7ba0d3c24.html,2011年6月15</p><p><b>　　附錄： </b></p><p><b>　　附錄一：參考數據</b></p><p>　　附錄2：用Matlab計算成對比較矩陣的特征值及作一致性檢驗</p><p>　　%求A的最大特征根和特征

58、向量，并作一致性檢驗;</p><p><b>　　%變量聲明如下：</b></p><p>　　%RI—隨機一致性指標;</p><p><b>　　%n—A的列長度;</b></p><p><b>　　%w—權向量;</b></p><p>　　%

59、lmta—最大特征根;</p><p>　　%CI—一致性指標;</p><p>　　%CR—一致性比率;</p><p>　　%RIn—A的一致性指標;</p><p>　　%flag—標志變量;</p><p>　　%Wij Wi W—臨時變量;</p><p>　　function [w,

60、lmta,CI,RIn,flag]=maxlmta(A)</p><p>　　RI=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51];</p><p>　　%將A的每一列向量歸一化;</p><p>　　Asum=sum(A);</p><p>　　n=length(A);</p>

61、;<p><b>　　for j=1:n</b></p><p><b>　　for i=1:n</b></p><p>　　Wij(i,j)=A(i,j)./Asum(1,j);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　

62、end</b></p><p>　　Wij=Wij'; %將Wij按行求和;</p><p>　　Wi=sum(Wij);</p><p><b>　　Wi=Wi';</b></p><p>　　W=sum(Wi); %將Wi歸一化;&

63、lt;/p><p><b>　　w=Wi./W;</b></p><p>　　lmta=sum(1/n*(A*w)./w);</p><p>　　RIn=RI(1,n);</p><p>　　CI=(lmta-n)/(n-1);</p><p>　　CR=CI/RIn; %

64、計算CR;</p><p>　　if (CR<0.1)||(n<=2) %判斷一致性檢驗;</p><p>　　disp('通過一致性檢驗')</p><p><b>　　flag=1;</b></p><p><b>　　else</b></p>&

65、lt;p>　　disp('不能通過一致性檢驗')</p><p><b>　　flag=0;</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　fprintf('CR=%f',CR);</p><p><b>　　w</b&