數(shù)學建模優(yōu)秀論文-基于模糊數(shù)學的水資源效率評價

1、<p>　　基于模糊數(shù)學的水資源效率評價</p><p>　　摘要：對各行業(yè)水資源效率進行專項評價時，既要考慮該行業(yè)發(fā)展程度，又要考慮該行業(yè)用水量相對于水資源總量的消耗量。為此我們構(gòu)造了兩個指標（行業(yè)年用水量/水源總量）和G（行業(yè)年用水量/（行業(yè)年GDP*水資源總量））對各行業(yè)進行評價。</p><p>　　對各省份進行綜合評價時，對象比較的指標值之間有不同的相關、重疊或函數(shù)關系

2、，對象之間的好、壞分類邊界模糊。用傳統(tǒng)的聚類方法無法有效的描述其模糊性，所以我們建立了模糊數(shù)學聚類模型，求出對象間的模糊等價矩陣，并構(gòu)造了模糊統(tǒng)計量F來確定最佳分類。</p><p>　　為了確定每一類的優(yōu)劣情況，我們建立了基于模糊數(shù)學的優(yōu)選熵權(quán)模型，采用熵值法定權(quán)消除了人為賦權(quán)造成的主觀性，從而求出每一類的優(yōu)屬度，優(yōu)屬度越接近1的水資源利用效率和效益越好。</p><p>　　為了彌補單

3、純采用省份間橫向比較的不合理性，我們以山東省03-07年的水資源狀況為例，采用G值法對其進行專項評價，采用模糊優(yōu)選熵權(quán)模型引入可持續(xù)發(fā)展程度指標進行綜合評價，很好的反映了該省水資源狀況的發(fā)展情況。</p><p>　　關鍵詞：模糊數(shù)學、聚類分析、傳遞閉包、熵值法定權(quán)、可持續(xù)發(fā)展度</p><p><b>　　一、問題重述</b></p><p>

4、;　　當前我國水資源嚴重缺乏，但是水資源浪費、利用效率及效益低下的現(xiàn)象卻普遍存在。水資源的不合理利用成為嚴重制約我國經(jīng)濟社會可持續(xù)發(fā)展的瓶頸，為了逐步提高我國水資源的利用效率和效益，請建立合理的水資源效率和效益評價體系，并利用題中給出的水資源總量、年降水量、農(nóng)業(yè)萬元GDP用水量、工業(yè)萬元GDP用水量、人均COD排放量、人均水資源量、人均生活用水量等指標，對13個省市的水資源狀況進行專項和綜合評價。若上述指標未能構(gòu)成合理的水資源效率評價體

5、系，是否能提出更好的評價指標與評價方法。</p><p><b>　　二、問題分析</b></p><p>　　對不同省市的水資源利用效率進行專項評價時，既要考慮其農(nóng)業(yè)（或工業(yè)）的節(jié)水程度，又要考慮其農(nóng)業(yè)（或工業(yè)）用水的消耗量。農(nóng)業(yè)節(jié)水程度可用農(nóng)業(yè)萬元GDP來表示，農(nóng)業(yè)（或工業(yè)）用水消耗量可用農(nóng)業(yè)（工業(yè)）萬元GDP與水資源總量表示。</p><p&

6、gt;　　對各省份進行綜合評價時，對象比較的指標值之間有不同的相關、重疊或函數(shù)關系，對象之間的好、壞分類邊界模糊。用傳統(tǒng)的聚類方法無法有效的描述其模糊性，所以我們建立了模糊數(shù)學聚類模型。為了確定每一類的優(yōu)劣情況，建立了基于模糊數(shù)學的優(yōu)選熵權(quán)模型。</p><p><b>　　三、模型建立與求解</b></p><p>　　3.1利用提供的數(shù)據(jù)，分別對各個行業(yè)水資源效率

7、進行專項評價。</p><p><b>　　符號說明：</b></p><p><b>　　Q該省水資源總量；</b></p><p>　　M該省農(nóng)業(yè)（或工業(yè)）年GDP；</p><p>　　N該省農(nóng)業(yè)（或工業(yè)）年用水總量；</p><p><b>　　評價體系：&

8、lt;/b></p><p>　?。?）為該省農(nóng)業(yè)（或工業(yè)）萬元GDP，越小說明該省產(chǎn)生一萬元GDP用水量越少，說明該地區(qū)農(nóng)業(yè)（或工業(yè)）更發(fā)達，更具有可持續(xù)性，故越小越好。</p><p><b>　　各省份按值排序：</b></p><p>　?。?）令為該省農(nóng)業(yè)年耗水率，越小說明該省節(jié)水措施更好，發(fā)展更具有可持續(xù)性，故越小越好。<

9、;/p><p>　　為此我們構(gòu)造了函數(shù)H= ，H越小說明水資源利用效率越高。但是從所給的數(shù)據(jù)中無法知道N值，可以做替代，帶入H得，函數(shù)H與G具有相同的增減性，所以只需計算各省份G（該行業(yè)水資源消耗量函數(shù)）的值，其中G值越小的水資源利用效率越高。</p><p>　　各省份按G值排序如下表：</p><p>　　3.2利用提供的數(shù)據(jù)，考慮到各個省市的水資源條件和產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)差

10、異，給出這12個省市的綜合用水效益的合理評價。</p><p>　　3.2.1水資源評價模糊數(shù)學聚類分析與等級評價</p><p><b>　　建立指標特征值矩陣</b></p><p>　　設系統(tǒng)有n個待分組的對象集，有m個對對象進行評價的指標集，則系統(tǒng)的指標特征值矩陣為：</p><p><b>　　==&

11、lt;/b></p><p>　　式中為第i個對象第j個指標的特征值。</p><p><b>　　數(shù)據(jù)無量鋼化</b></p><p>　　為了消除量綱效應,建模前對各指標數(shù)據(jù)進行無量綱化處理得到歸一化矩陣A,文中選用的無量綱化公式如下:</p><p><b>　　對于正向指標,</b>&

12、lt;/p><p><b>　　對于負向指標,</b></p><p>　　為第i ( i = 1, 2, ?, n) 個對象第j( j = 1, 2, ?m)個指標的特征值，為第j個指標的最大值和最小值。</p><p>　　注釋：（程序見附錄一）</p><p><b>　　建立模糊相似關系</b>

13、</p><p>　　利用相關系數(shù)法建立模糊相似矩陣A</p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　注釋：（程序見附錄二）</p><p>　　在模糊相似關系的基礎上建立模糊等價關系</p><p>　　用平方法求傳遞閉包：先自乘，即。如果，再自乘，即。如果，則再自乘，直到，則

14、就是的傳遞閉包。其中,所以用平方方法至多需求得到了傳遞閉包矩陣即等價矩陣。</p><p>　　注釋：（程序見附錄三）</p><p>　　根據(jù)參數(shù)值進行模糊聚類</p><p>　　參數(shù)值其實就是設定的模糊度，根據(jù)得到的等價矩陣，當參數(shù)從小到大變化時，就得到分類對象的動態(tài)聚類圖。</p><p>　　注釋：（程序見附錄四）</p>

15、;<p><b>　　確定最佳參數(shù)值</b></p><p>　　上述聚類方法為我們提供了一個動態(tài)聚類圖，在實際應用中我們需要選定一個最優(yōu)的參數(shù)以確定論域中對象的分類結(jié)果。</p><p>　　參數(shù)值的確定可以用模糊統(tǒng)計量來選擇。設是n個待分類的元素集，又假設的元素一共分成類(對應的參數(shù)值為入)，第i類包含個元素．令第i類中全體元素的第k個特征的均值，論

16、域中全體元素的第k個特征的均值。</p><p><b>　　定義模糊統(tǒng)計量為：</b></p><p>　　其中，表示歐氏距離，。分母中的為第i類中第j個元素且：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　故分子描述的是類內(nèi)元素的距離，而分母描述的是類間距離，因而F值越大，分類越

17、合理，對應F最大的參數(shù)值就是最佳參數(shù)值。</p><p>　　（7）確定每一類的優(yōu)屬度</p><p>　　為了對各類的水資源利用效率進行綜合評價，現(xiàn)設有各省水資源利用程度為模糊集合，并分別用來表示8個評價指標。用每一類的元素的指標的均值作為該類的指標值。因為對每一類而言，都有上述指標的影響，只是程度有輕重，每種指標對評價結(jié)果的影響是不一樣的，所以可以用熵值法確定權(quán)重來反映。</p&

18、gt;<p><b>　　①熵值法定權(quán)：</b></p><p>　　熵值法定權(quán)是一種根據(jù)各項指標觀測值所提供的信息大小來確定指標權(quán)重的方法。在信息論中,熵意味著平均信息量,信息熵越大其信息的效用值越小,反之信息的效用值越大[ 4 ]。利用熵的概念,確定指標權(quán)重的計算公式如下:</p><p>　　式中: pij為第i項指標下第j個評價對象的權(quán)重; ei

19、為第i項指標的熵值; gi為第i項指標的差異性系數(shù); wi為第i項指標的權(quán)重。</p><p>　　注釋：（程序見附錄五）</p><p>　　②模糊優(yōu)選熵權(quán)模型：</p><p>　　根據(jù)相對隸屬度定義,劣、優(yōu)指標相對優(yōu)屬度向量分別為</p><p>　　被則對象的優(yōu)屬度為：</p><p>　　式中: p為距離參數(shù)

20、( p = 1為海明距離, p = 2為歐氏距離,通常取p = 1) ; d ( ) 為廣義權(quán)距離。為（2）中無量綱化得到的矩陣R。uj越接近于1,其相應對象的優(yōu)屬度越高。</p><p>　　注釋：（程序見附錄六）</p><p>　　3.2.2模型應用實例</p><p><b>　　特征值矩陣</b></p><p&g

21、t;<b>　　數(shù)據(jù)無量鋼化R</b></p><p><b>　　模糊相似矩陣A</b></p><p><b>　　模糊等價矩陣</b></p><p><b>　　模糊聚類</b></p><p><b>　?。?）確定最優(yōu)分類</b

22、></p><p>　　根據(jù)模糊統(tǒng)計量F得：分為五類時最優(yōu)。</p><p><b>　?。?）確定優(yōu)屬度</b></p><p>　　其對應的優(yōu)屬度向量u=[0.7345 0.7112 0.7277 0.5462 0.3927]</p><p>　　很好={河北，云南，山西，山東，河南，安徽，浙江}<

23、;/p><p><b>　　好={湖南}</b></p><p>　　一般={湖北，廣東，新疆}</p><p><b>　　差={廣西}</b></p><p><b>　　很差={北京}</b></p><p>　　3.3上述反映水資源利用情況的指標是否

24、已構(gòu)成了一個合理的水資源利用效率和效益評估指標體系？</p><p>　　上述指標對水資源利用效率和效益的評估不夠全面；</p><p>　?。?）在問題一中，我們構(gòu)造了兩個量來對農(nóng)業(yè)、工業(yè)各省水資源進行專項評價，但是由于不同省份水資源總量相差很大，并且各省的農(nóng)業(yè)種植面積和工廠多少不一，從而造成如北京這樣的省市，雖然其（農(nóng)業(yè)萬元GDP）很小但是G值很大，顯然利用G值對不同省份進行水資源利用

25、效率專項評價是不合理的。而對于同一省份來說，其水資源總量、農(nóng)業(yè)種植面積、工廠數(shù)量年變化不大，G值可以把同一省份不同年份的水資源利用發(fā)展情況很好的表現(xiàn)出來，如果G值逐年減小說明節(jié)水措施有效反之則應改變措施。另外用值對不同省份同年進行橫向比較仍然是有效地。</p><p>　?。?）上述水資源利用情況的指標只是以地域橫向比較不同省份之間的水資源利用效率和效益，因不同省份之間在地理、氣候、社會、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)等方面差異太大，

26、單純采用地域上的橫向比較不免有失偏頗，不能充分反映出本地區(qū)的水資源利用方面的發(fā)展情況。為彌補這方面的不足我們建立了模糊優(yōu)選熵權(quán)模型對同一省份不同年份的指標進行分析，并用可持續(xù)發(fā)展程度指標進行評價。</p><p>　　3.3.1模糊優(yōu)選熵權(quán)模型</p><p>　?。?）建立指標特征值矩陣。</p><p>　　（2）熵值法定權(quán)（見上文（7）①）</p>

27、<p>　?。?）無量綱化處理（見上文（2））</p><p>　　（4）模糊優(yōu)選熵全模型（見上文（7）②）</p><p>　　3.4運用你所建立的水資源利用效率和效益評估指標體系與評價模型，對你所能收集到的我國各個省市水資源利用情況按專項和綜合分別進行評估。</p><p>　　山東省03-07年水資源狀況</p><p>

28、　　利用上述數(shù)據(jù)我們對山東省03-07年水資源利用效率和效益進行專項和綜合評價。</p><p>　　3.4.1利用G值對山東省水資源效率和效益進行專項評價</p><p>　　從表中可以看出，工業(yè)G值和農(nóng)業(yè)G值逐年降低，說明山東省水資源利用效率和效益是逐年增加的。</p><p>　　3.4.2利用模糊優(yōu)選熵權(quán)模型得到每年的可持續(xù)發(fā)展程度：</p>

29、<p>　　從表中可以看出，山東省的可持續(xù)發(fā)展程度大體上是逐年增加的。</p><p><b>　　四、模型應用：</b></p><p>　　當對我國各省水資源利用情況進行評估時，利用上述模型，不僅從地域方面對各省市進行橫向評價，而且應對同一省份不同年份進行縱向評價。從而得到一個合理的水資源效率和效益評價體系。</p><p>&l

30、t;b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]吳士力，《通俗模糊數(shù)學與程序設計》（第一版），北京；中國水利水電出版社，2008年 ；</p><p>　　[2]章文波 陳紅艷，《使用數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析及SPSS 12.0 應用》（第一版），北京；人民郵電出版社，2006年；</p><p>　　[3]劉增進 王振雨 朱光亞，《模糊優(yōu)選熵權(quán)模型在

31、水資源評價中的應用》；人民黃河2007年5月第二十九卷第五期；</p><p><b>　　附錄</b></p><p><b>　　附錄一：</b></p><p>　　%本程序為求無量綱矩陣；</p><p>　　%xnew為無量綱矩陣；</p><p><b>

32、;　　%x為原始矩陣；</b></p><p>　　%p為正向指標的標號；</p><p>　　%q為負向指標的標號；</p><p>　　function xnew=onesmatrix(x,p,q)</p><p>　　[n,m]=size(x);</p><p>　　xnew=zeros(n,m);&

33、lt;/p><p>　　p1=numel(p);</p><p>　　q1=numel(q);</p><p>　　if p1+q1~=m</p><p>　　error('變量錯誤！');</p><p><b>　　end</b></p><p><b

34、>　　for i=1:n</b></p><p>　　for j1=1:p1</p><p>　　xnew(i,p(j1))=(x(i,p(j1))-min(x(:,p(j1))))/(max(x(:,p(j1)))-min(x(:,p(j1))));</p><p><b>　　end</b></p><

35、p>　　for j2=1:q1</p><p>　　xnew(i,q(j2))=(max(x(:,q(j2)))-x(i,q(j2)))/(max(x(:,q(j2)))-min(x(:,q(j2))));</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p>

36、<p><b>　　附錄二：</b></p><p>　　%本程序為求解模糊相似矩陣；</p><p>　　%x(i,j)為第i項對象第j個指標的值；</p><p>　　%r(i,j)為模糊相似矩陣；</p><p>　　function r=fuzzyfun(x)</p><p>　

37、　[n,m]=size(x);</p><p>　　r=zeros(n,n);</p><p><b>　　for i=1:n</b></p><p><b>　　for j=1:n</b></p><p><b>　　s1=0;</b></p><p>

38、;<b>　　s2=0;</b></p><p><b>　　s3=0;</b></p><p><b>　　for k=1:m</b></p><p>　　s1=s1+abs(x(i,k)-mean(x(i,:)))*abs(x(j,k)-mean(x(j,:)));</p><

39、p>　　s2=s2+(x(i,k)-mean(x(i,:)))^2;</p><p>　　s3=s3+(x(j,k)-mean(x(j,:)))^2;</p><p><b>　　end</b></p><p>　　r(i,j)=s1/sqrt(s2*s3);</p><p><b>　　end</

40、b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　附錄三：</b></p><p><b>　　%此函數(shù)求r的自乘</b></p><p>　　function r1=multimat(r)</p><p>　　n=si

41、ze(r);</p><p>　　r1=zeros(n);</p><p>　　for i=1:n(1)</p><p>　　for j=1:n(1)</p><p><b>　　p=[];</b></p><p>　　for k=1:n(1)</p><p>　　p=[p

42、,min([r(i,k),r(k,j)])];</p><p><b>　　end</b></p><p>　　r1(i,j)=max(p);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　%

43、M為傳遞閉包矩陣；</p><p>　　%r為模糊相似矩陣；</p><p>　　function M=fun1(r)</p><p>　　r1=multimat(r);%此函數(shù)求r的自乘；</p><p>　　while ~isequal(r1,r)</p><p><b>　　r=r1;</b&g

44、t;</p><p>　　r1=multimat(r1);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　M=r; </b></p><p><b>　　附錄四：</b></p><p>　　%此函數(shù)判斷A，B是否有相同項；&l

45、t;/p><p>　　function t=isbelong(A,B)</p><p>　　n=numel(A);</p><p>　　t=0;%否返回0；</p><p><b>　　for i=1:n</b></p><p><b>　　for j=1:n</b></p

46、><p>　　if A(i)~=0 & A(i)==B(j)</p><p>　　t=1;%是返回1；</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p&g

47、t;<p>　　%此函數(shù)是把A集合與B集合合并；</p><p>　　function [A,B]=belong(A,B)</p><p>　　n=numel(A);</p><p>　　p=zeros(1,n);</p><p>　　m=sort([A,B]);</p><p>　　for j=1:2*

48、n</p><p>　　if m(j)~=0</p><p>　　p(1)=m(j);</p><p><b>　　break;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><

49、;p><b>　　k=2;</b></p><p>　　for i=j+1:2*n</p><p>　　if m(i)~=0 & m(i)~=m(i-1)</p><p>　　p(k)=m(i);</p><p><b>　　k=k+1;</b></p><p>

50、;<b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　A=p;</b></p><p>　　B=zeros(1,n);</p><p>　　%該函數(shù)是聚類函數(shù)；</p><p>　　%M為模糊等價矩陣；&l

51、t;/p><p><b>　　%l為分類參數(shù)；</b></p><p>　　function [C,Rc]=Classify(M,l)</p><p>　　n=size(M);</p><p>　　C=zeros(n);</p><p>　　for i=1:n(1)</p><p&

52、gt;　　for j=1:n(1)</p><p>　　if M(i,j)>=l</p><p><b>　　C(i,j)=1;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><

53、;b>　　end</b></p><p>　　Rc=zeros(n);</p><p>　　for i=1:n(1)</p><p><b>　　t=1;</b></p><p>　　for j=i:n(1)</p><p>　　if C(j,i)==1</p>&

54、lt;p>　　Rc(i,t)=j;</p><p><b>　　t=t+1;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p

55、>　　Rc1=zeros(n);</p><p>　　while ~isequal(Rc1,Rc)</p><p><b>　　Rc1=Rc;</b></p><p>　　for i=1:n(1)-1</p><p>　　for j=i+1:n(1)</p><p>　　if isbelon

56、g(Rc(i,:),Rc(j,:))</p><p>　　[Rc(i,:),Rc(j,:)]=belong(Rc(i,:),Rc(j,:));</p><p><b>　　end </b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b>

57、</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　附錄五：</b></p><p>　　%p(i,j)為第i項指標下第j個評價對象的權(quán)重；</p><p>　　%e(i)為第i項指標的熵值；</p><p>　　%g(i)為第i項指標的差異性系數(shù)；&l

58、t;/p><p>　　%w(i)為第i項指標的權(quán)重；</p><p>　　function [e,g,w]=Weight(x)</p><p><b>　　x=x';</b></p><p>　　[m,n]=size(x);</p><p>　　p=zeros(size(x));</p&

59、gt;<p>　　k=1/log(n);</p><p><b>　　for i=1:m</b></p><p><b>　　for j=1:n</b></p><p>　　p(i,j)=x(i,j)/sum(x(i,:));</p><p><b>　　end</b&

60、gt;</p><p>　　e(i)=abs(k*sum(p(i,:).*log(p(i,:))));</p><p>　　g(i)=1-e(i);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　for i=1:m</b></p><p>　　w(i

61、)=g(i)/sum(g);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　附錄六：</b></p><p>　　%b=(0 0 0 ...)為劣指標的相對優(yōu)屬度向量；</p><p>　　%g=(1 1 1 ...)為優(yōu)指標的相對優(yōu)屬度向量；</p><

62、;p>　　%u(j)為優(yōu)屬度；</p><p>　　%w(i)為為第 i項指標的權(quán)重；</p><p>　　function u=bestselect(r,w,p)</p><p><b>　　r=r'</b></p><p>　　[m,n]=size(r);</p><p>　　g

63、=ones(1,m);</p><p>　　b=zeros(1,m);</p><p>　　u=zeros(1,n);</p><p><b>　　for j=1:n</b></p><p><b>　　s1=0;</b></p><p><b>　　s2=0;&l

64、t;/b></p><p><b>　　for i=1:m</b></p><p>　　s1=s1+(w(i)*(r(i,j)-g(i)))^p;</p><p>　　s2=s2+(w(i)*(r(i,j)-b(i)))^p;</p><p><b>　　end</b></p>