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文檔簡(jiǎn)介
1、<p><b> 前言</b></p><p> 在線性方程組的討論中我們看到,線性方程組的一些重要性質(zhì)反應(yīng)在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上,并且解方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程。除線性方程組之外,還有大量的各種各樣的問題需要矩陣的相關(guān)理論,并且這些問題的研究常常歸結(jié)為有關(guān)矩陣的某些方面的研究,甚至有些性質(zhì)完全不同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題,歸結(jié)為矩陣問題以后卻是相同
2、的,這使矩陣成為數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的應(yīng)用廣泛的概念,因而也就使矩陣成為代數(shù)特別是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象。</p><p> 矩陣?yán)碚摷仁菍W(xué)習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),又是一門很有實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)理論。它不僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支,而且業(yè)已成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的強(qiáng)有力的工具。特別是隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用,為矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用開辟了廣闊的前景。例如,系統(tǒng)工程、優(yōu)化方法以及穩(wěn)定性理論等,都與矩陣論有著
3、密切的聯(lián)系。</p><p> 在矩陣研究中,我們常??梢杂龅较旅鎯煞N矩陣:奇異矩陣和非奇異矩陣。奇異矩陣指的是一個(gè)方陣(行數(shù)和列數(shù)相等),它的行列式等于0;非奇異矩陣指的是一個(gè)方陣,它的行列式不等于0。于是就引出了對(duì)這兩種矩陣的研究,在對(duì)非奇異矩陣的研究中,我們引入了很多方法,因?yàn)樗目赡嫘?,使得研究非奇異矩陣變得?jiǎn)單起來;在研究奇異矩陣的時(shí)候,我們可以引入初等變換和用引入?yún)⒆兞康木仃嚨确椒▉斫鉀Q奇異矩陣問題
4、。本文就是主要介紹用含參變量的方法解決奇異矩陣得有關(guān)問題。</p><p><b> 1.預(yù)備知識(shí)</b></p><p> 1.1 矩陣加減法[1]</p><p> 1.1.1 矩陣加法</p><p><b> 設(shè)</b></p><p><b>
5、是兩個(gè)矩陣,則矩陣</b></p><p> 1.1.2 矩陣減法</p><p><b> 設(shè)</b></p><p><b> 是兩個(gè)矩陣,則有</b></p><p> 我們稱為的負(fù)矩陣,所以</p><p><b> 1.2 矩陣乘法&
6、lt;/b></p><p> 1.2.1 矩陣與矩陣相乘</p><p><b> 設(shè)</b></p><p><b> ,</b></p><p><b> 那么矩陣</b></p><p><b> 其中</b>
7、;</p><p><b> 稱為與的乘積,記為</b></p><p> 1.2.2 數(shù)量與矩陣相乘</p><p><b> 設(shè)</b></p><p><b> 為一數(shù)量</b></p><p> 則
8、 </p><p> 1.3 矩陣與坐標(biāo)變換</p><p> 在解析幾何中考慮坐標(biāo)變換時(shí),如果只考慮坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)軸(反時(shí)針方向轉(zhuǎn)軸),那么平面直角坐標(biāo)變換的公式為 </p><p><b> ?。?)</b></p><p> 其中為軸與軸的夾角。顯然,新舊坐標(biāo)之間的關(guān)系,完全可以通過公式中系數(shù)所排成的
9、22矩陣</p><p><b> ?。?)</b></p><p> 表示出來。通常,矩陣(2)稱為坐標(biāo)變換(1)的矩陣。在空間的情形,保持原點(diǎn)不動(dòng)的仿射坐標(biāo)系的變換有公式</p><p><b> ?。?) </b></p><p><b> 同樣,矩陣</b><
10、;/p><p><b> ?。?)</b></p><p> 就稱為坐標(biāo)變換(3)的矩陣。</p><p> 1.4 二次曲線與矩陣</p><p> 二次曲線的一般方程為</p><p> ?。?) (5)的左端可以用表</p><p> 來表示,其中每一個(gè)數(shù)就是它
11、所在的行和列所對(duì)應(yīng)的,或1的乘積的系數(shù),而(5)的左端就是按這樣的約定所形成的項(xiàng)的和。換句話說,只要規(guī)定了, ,1次序。二次方程(5)的左端就可以簡(jiǎn)單地用矩陣</p><p><b> ?。?)</b></p><p> 來表示。通常,(6)稱為二次曲線(5)的矩陣。以后我們會(huì)看到,這種表示法不只是形式的。事實(shí)上,矩陣(6)的行列式就是解析幾何中二次曲線的不變量,這
12、表明了矩陣(6)的性質(zhì)確實(shí)反映了它所表示的二次曲線的性質(zhì)。</p><p> 1.5 國(guó)民經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)問題與矩陣</p><p> 在討論國(guó)民經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)問題中也常常用到矩陣。例如,假設(shè)在某一地區(qū),某一種物資,比如說煤,有s個(gè)產(chǎn)地和n個(gè)銷地,那么一個(gè)調(diào)運(yùn)方案就可用一個(gè)矩陣</p><p> 來表示,其中表示由產(chǎn)地運(yùn)到銷地的數(shù)量。</p><p&
13、gt; 1.6 n維向量與矩陣[2]</p><p> n維向量也可以看成矩陣的特殊情形。n維行向量就是1n矩陣,n維列向量就是n1矩陣。</p><p> 以后我們用大寫的拉丁字母或者</p><p><b> 來表示矩陣。</b></p><p> 有時(shí)候,為了指明所討論的矩陣的級(jí)數(shù),可以把sn矩陣寫成 ,
14、 ,…,或者</p><p> (注意矩陣的符號(hào)與行列式的符號(hào)的區(qū)別)。</p><p> 設(shè),如果,,且,對(duì),都成立,我們就說。即只有完全一樣的矩陣才叫做相等。</p><p> 1.7 矩陣的奇異性與其伴隨矩陣的奇異性的關(guān)系</p><p> 定理1.7.1 矩陣的奇異性與其伴隨矩陣的奇異性是一致的</p>&l
15、t;p> 引理1.7.1 若、為同階非奇異矩陣,、分別為、的伴隨矩陣,則:</p><p><b> ①;②。</b></p><p> 證明 ①(證明略)</p><p> ?、谝?yàn)?、為同階非奇異矩陣,所以,所以為非奇異矩陣,即因此</p><p> 引理1.7.2 矩陣為非奇異矩陣,則的伴隨矩陣也
16、為非奇異矩陣,則:。</p><p> 證明 因?yàn)闉榉瞧娈惥仃?,由?)可得:</p><p><b> ,</b></p><p> 所以為非奇異矩陣,且。</p><p><b> 由,得</b></p><p><b> 。</b>&l
17、t;/p><p> 利用此結(jié)論可以簡(jiǎn)化有關(guān)伴隨矩陣的計(jì)算,</p><p> 例1 設(shè),其伴隨矩陣為,則由得</p><p> 引理1.7.3 矩陣為奇異矩陣,則:的伴隨矩陣也為奇異矩陣。</p><p> 證明 因?yàn)锳為奇異矩陣,所以。由得。</p><p><b> 當(dāng)時(shí),,因此;</
18、b></p><p> 當(dāng)時(shí),假設(shè),則為非奇異矩陣,因此</p><p><b> ,</b></p><p><b> 這與矛盾,所以。</b></p><p> 由結(jié)論(2)、(3)可得矩陣和其伴隨矩陣的奇異性是相同的。</p><p> 2 奇異矩陣的定
19、義與相關(guān)性質(zhì)</p><p> 2.1 奇異矩陣的定義與研究意義</p><p> 2.1.1 奇異矩陣的定義</p><p> 首先,看這個(gè)矩陣是不是方陣(即行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。若行數(shù)和列數(shù)不相等,那就談不上奇異矩陣和非奇異矩陣)。 然后,再看此方陣的行列式是否等于0,若等于0,稱矩陣為奇異矩陣;若不等于0,稱矩陣為非奇異矩陣。</p>&l
20、t;p> 2.1.2 奇異矩陣的研究意義</p><p> 在矩陣研究中,除了有很多矩陣是非奇異的以外,還有很多矩陣是奇異的,不可逆的,奇異矩陣有很多性質(zhì)是很重要的,在實(shí)際應(yīng)用中有很重要的作用,比如奇異矩陣的非奇異化等。我們不光要研究非奇異矩陣,還要研究奇異矩陣,這樣才對(duì)矩陣有較全面的研究。</p><p> 2.2 與奇異矩陣相關(guān)的性質(zhì)與證明[3]</p>&l
21、t;p> 2.2.1 可逆矩陣與非奇異矩陣</p><p> 由可知矩陣可逆,可以得出一個(gè)重要結(jié)論:可逆矩陣就是非奇異矩陣,非奇異矩陣也是可逆矩陣。</p><p> 2.2.2 矩陣的伴隨矩陣</p><p><b> 設(shè)是矩陣</b></p><p> 中元素的代數(shù)余子式,矩陣</p>
22、<p><b> 稱為的伴隨矩陣</b></p><p> 由行列式按一行(列)展開的公式立即得出:</p><p><b> ?。?)</b></p><p><b> 其中。</b></p><p> 如果,那么由(1)得</p><p
23、><b> ?。?)</b></p><p> 2.2.3 矩陣可逆的充分必要條件</p><p> 矩陣是可逆的充分必要條件是是非奇異的,而</p><p> 證明 當(dāng),由(2)可知,可逆,且</p><p><b> (3)</b></p><p> 反
24、過來,如果A可逆,那么有使</p><p><b> 兩邊取行列式,得</b></p><p><b> (4)</b></p><p><b> 因而,即非奇異</b></p><p> 根據(jù)⑶容易看出,對(duì)于n階方陣,,如果</p><p>
25、 那么,就都是可逆的并且他們互為逆矩陣。</p><p> 上面不但給出了一矩陣可逆的條件,同時(shí)也給出了求逆矩陣的公式(3)。按這個(gè)公式來求逆矩陣,計(jì)算量一半是非常大的。</p><p> 由(4)可以看出,如果,那么</p><p> 2.2.4 矩陣可逆與矩陣轉(zhuǎn)置</p><p> 如果矩陣,可逆,那么與也可逆,且</p&g
26、t;<p> 證明 由定理即得出前半部證明,現(xiàn)在來證明后半部。由</p><p><b> 兩邊取轉(zhuǎn)置,有</b></p><p><b> 因之</b></p><p><b> 由</b></p><p><b> 即得</b>
27、;</p><p> 2.2.5 矩陣的轉(zhuǎn)置</p><p><b> 設(shè)則</b></p><p> 顯然,矩陣的轉(zhuǎn)置是矩陣</p><p><b> 所以有</b></p><p> 3 用含參變量的方法研究奇異矩陣的有關(guān)性質(zhì)</p><p&
28、gt; 3.1 關(guān)于等式的證明[4]</p><p><b> 例1 設(shè),,求和</b></p><p><b> 解:</b></p><p><b> 由題設(shè)可知,</b></p><p><b> ,,</b></p><
29、;p><b> 則,</b></p><p><b> 可得</b></p><p><b> 例2 設(shè),,求和</b></p><p><b> 解:</b></p><p><b> 由題設(shè)可知,</b></
30、p><p><b> ,,</b></p><p><b> 則,</b></p><p><b> 可得</b></p><p><b> 例3 設(shè),,求和</b></p><p><b> 解:</b>
31、;</p><p><b> 由題設(shè)可知,</b></p><p><b> ,,</b></p><p><b> 則,</b></p><p><b> 可得</b></p><p> 由上面例題可知,對(duì)于和都是奇異矩
32、陣,都是非奇異矩陣,一個(gè)是奇異矩陣一個(gè)是非奇異矩陣都成立,于是我們可以引入下面的定理的證明:</p><p> 定理3.1.1 若、均為方陣,則,其中、、分別為,,的伴隨矩陣</p><p> 證明 (1)在時(shí)有</p><p> 即等式對(duì)于非奇異矩陣,成立。</p><p><b> (2)在時(shí)</b>&l
33、t;/p><p><b> 令,</b></p><p> 先證明存在實(shí)數(shù)使當(dāng)時(shí)</p><p> 事實(shí)上因有n個(gè)根,,,,</p><p><b> 取</b></p><p><b> 則當(dāng)時(shí),</b></p><p>
34、 從而可知,當(dāng)時(shí)可逆;</p><p><b> 同理,令,</b></p><p><b> 當(dāng)時(shí),可逆</b></p><p><b> 取</b></p><p><b> 當(dāng)時(shí)</b></p><p><b&
35、gt; ,均可逆</b></p><p> 所以當(dāng)時(shí),由(1)知</p><p><b> 兩邊取極限,得</b></p><p><b> 可得</b></p><p> 3.2 關(guān)于與的特征多項(xiàng)式</p><p> 對(duì)于矩陣乘法來說,一般來說,那么
36、與的特征多項(xiàng)式又是否相同呢?于是我們引出下面的定理。</p><p> 定理3.2.1 設(shè)、都是n階矩陣,則與的特征多項(xiàng)式相同</p><p> 證法一 設(shè)秩,故存在可逆矩陣、</p><p><b> 使</b></p><p><b> 從而</b></p><p
37、><b> 將分塊為則</b></p><p><b> = = </b></p><p><b> 所以</b></p><p><b> 又</b></p><p><b> 所以</b></p>&
38、lt;p><b> 故</b></p><p> 證法二 在、中至少有一個(gè)非奇異時(shí),不妨設(shè),則</p><p><b> 當(dāng)時(shí),由上面的證明</b></p><p><b> 當(dāng)時(shí)</b></p><p><b> 或</b></p
39、><p> 于是當(dāng)時(shí)矩陣非奇異,從而,與有相同的特征多項(xiàng)式,得</p><p> 上式左端是關(guān)于,的多項(xiàng)式,從而在時(shí)仍成立</p><p><b> 故</b></p><p> 比較證法一和證法二,證法二將分為奇異和非奇異兩種情況,先證明非奇異時(shí)命題成立,后用奇異矩陣的非奇異化處理方法,證明奇異時(shí)命題也成立,其思路
40、清晰,易于掌握,相比下證法一就麻煩得多,且往往不易記住其證明步驟。</p><p> 在一些線性代數(shù)的證明題里用這種方法證明也比其他方法證明要簡(jiǎn)捷,并且還可以把一些結(jié)論進(jìn)行推廣。</p><p> 例題4 若、、、為n階矩陣,且 ,則</p><p><b> 證明 因?yàn)?lt;/b></p><p><b
41、> 所以</b></p><p><b> 又因?yàn)椋?,從?lt;/b></p><p> 例題一的條件可以削弱,去掉這個(gè)條件時(shí)結(jié)論也成立,其證明如下:</p><p> 當(dāng)時(shí)上面已證明結(jié)論成立</p><p><b> 當(dāng)時(shí)</b></p><p>
42、;<b> 令</b></p><p><b> 令,</b></p><p> 先證明存在實(shí)數(shù)使當(dāng)時(shí)</p><p> 事實(shí)上因有幾個(gè)根,,,,</p><p><b> 取</b></p><p><b> 則當(dāng)時(shí),</b
43、></p><p><b> 從而可知</b></p><p><b> 可逆</b></p><p> 又由于故由上面的證明有</p><p><b> 上式兩端取極限即得</b></p><p><b> 即</b&g
44、t;</p><p> 3.3 其它應(yīng)用舉例[5]</p><p> 例題5 證明只與自身相似的矩陣必是純量矩陣</p><p> 證明 設(shè)是純量矩陣, (是純量)則對(duì)任何非奇異矩陣,有</p><p><b> 即只與自身相似</b></p><p> 反過來,若只與自身相似,即對(duì)
45、任何非奇異矩陣,有,即,故與任何非奇異矩陣可交換。</p><p> 其次證明與任何奇異矩陣也可交換。</p><p> 設(shè)是奇異矩陣,因只有有限個(gè)根,故有純量使,即是非奇異矩陣,由上面所證,它與可交換。</p><p><b> 即 </b></p><p><b> 由于 從上式推出</b&
46、gt;</p><p> 于是與任何矩陣都可交換</p><p> 再證明 (與任何矩陣都可交換)是純量矩陣</p><p><b> 設(shè) </b></p><p> 令是一位于第行第列的元素為1,其余元素均為零的n階方陣</p><p><b> 由已知可交換,有</
47、b></p><p><b> 得</b></p><p><b> 所以 </b></p><p><b> 即 </b></p><p><b> 再由 得</b></p><p> 一般地取
48、,則由得,第列上的元素除外全為零,即,第行上的元素除外全是零,即當(dāng)取 ,便知滿足</p><p><b> 故</b></p><p> 例題6 設(shè)是n階冪零矩陣,求</p><p> 解 因是冪零矩陣,故可令</p><p><b> 其中,,</b></p><
49、p><b> 于是</b></p><p><b> 其中 </b></p><p><b> 因而 所以</b></p><p> 例題6可以推廣為如下命題</p><p> 命題3.1 設(shè)、是數(shù)域上的兩個(gè)n階方陣,且,又存在一正整數(shù),使,則<
50、;/p><p> 證明 當(dāng)是可逆矩陣時(shí),有</p><p> 又因存在一正整數(shù),使且故即是冪零矩陣,所以由例題3知</p><p><b> 因此 </b></p><p> 又當(dāng)不是可逆矩陣時(shí),可作n階可逆矩陣,因?yàn)橹挥杏邢迋€(gè)根,故存在數(shù)域中的,使當(dāng)時(shí),有由可得,因而當(dāng)時(shí),由上面證明有</p>
51、<p><b> 即 </b></p><p> 上式左端是一個(gè)的多項(xiàng)式,有無限多個(gè)值使上式成立,因而它是關(guān)于的一個(gè)零多項(xiàng)式,從而在時(shí)仍成立</p><p><b> 故</b></p><p> 4 奇異矩陣的其它應(yīng)用</p><p><b> 4.1 相關(guān)概念&l
52、t;/b></p><p> 定義4.1.1 令是數(shù)域上一個(gè)n階矩陣,若是存在上n階矩陣,使得 (這里表示n階單位矩陣),那么叫做一個(gè)可逆矩陣,而叫做的逆矩陣,記為。</p><p> 定義4.1.2 在某些較高階矩陣的計(jì)算中,經(jīng)常將矩陣按要求劃分成若干小塊,每個(gè)小塊看成矩陣的新元素,新元素組成的矩陣稱為分塊矩陣。</p><p> 定義4.1.3
53、 主對(duì)角線下方元素全為零的方陣稱為上三角陣;主對(duì)角線上方元素全為零的方陣稱為下三角陣,上下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣。</p><p> 定義4.1.4 設(shè)為方陣,如果有,則稱為正交矩陣。</p><p> 4.2 對(duì)角占優(yōu)矩陣奇異性的研究</p><p> 下面總是用表示n階復(fù)方陣全體。</p><p> 引理4.2.1 (Hada
54、mard定理)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣非奇異</p><p> 引理4.2.2 設(shè),,則對(duì)于矩陣</p><p><b> 其中</b></p><p> 則有相同的奇異性。如為對(duì)角占優(yōu)矩陣,則仍為對(duì)角占優(yōu)矩陣,且在嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的行,在中相應(yīng)行仍為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)行。</p><p> 引理4.2.3 設(shè)為對(duì)角占優(yōu)矩陣,
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