非標(biāo)準(zhǔn)場論中的守恒量及相關(guān)問題【開題報(bào)告+文獻(xiàn)綜述+畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報(bào)告</b></p><p><b>　　理論物理</b></p><p>　　非標(biāo)準(zhǔn)場論下守恒流及相關(guān)問題</p><p>　　一、選題的背景與意義</p><p>　　對稱性分析在場論和量子場論中有著重要的地位，根據(jù)Noether定理知，每個(gè)連續(xù)性對稱變

2、換下必然會存在一個(gè)相應(yīng)的守恒律。通過高階拉格朗日下應(yīng)用最小作用原理求出相應(yīng)的Noether定理，然后求出守恒流的完整表達(dá)式具有很大的應(yīng)用前景。</p><p>　　最近的凝聚態(tài)應(yīng)用中，半導(dǎo)體體系中的自旋-軌道耦合效應(yīng)的新奇輸運(yùn)特性的研究已成為前沿，而電荷或自旋流是以其為載體的輸運(yùn)性質(zhì)研究的基石。半導(dǎo)體自旋電子學(xué)是隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和人們認(rèn)識能力提高必然出現(xiàn)的一個(gè)學(xué)科。在研究半導(dǎo)體中載流子、摻雜磁性原子以及原子核等

3、自旋極化性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過對電子自旋態(tài)的產(chǎn)生、注入以及輸運(yùn)的控制，半導(dǎo)體將展示許多新穎的功能，由此導(dǎo)致了該學(xué)科的出現(xiàn)。應(yīng)用守恒流表達(dá)式，我們可以非常方便地求出復(fù)雜體系如二維的k-三次方Rashba自旋-軌道耦合系統(tǒng)、Dresselhaus系統(tǒng)的守恒流，中間只需要準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)運(yùn)算。</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題：</p><p><b>　　可能遇到的問題

4、：</b></p><p>　　一、如果應(yīng)用通常得到的Noether定理到一些包含自旋軌道耦合項(xiàng)或者高于動量項(xiàng)三次方的哈密度，得到的守恒量不是完整的，無法滿足連續(xù)性方程。因此必須在考慮動量的高次項(xiàng)下的Noether流表達(dá)式，然后求出能量－動量張量，角動量等的表達(dá)式。</p><p>　　二、將守恒流表達(dá)式應(yīng)用到二維的k-三次方Rashba自旋-軌道耦合系統(tǒng)，求出相應(yīng)的表達(dá)式，同

5、時(shí)必須用連續(xù)性方程得到相同的結(jié)果去驗(yàn)證守恒流表達(dá)式的正確與否。在求守恒流的過程中，微分符號必須使用泛函協(xié)變微分，因此會產(chǎn)生大量的修正項(xiàng)，運(yùn)算的過程中必須非常仔細(xì)。</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線</p><p>　　首先假定一個(gè)作用量，求得N維空間下關(guān)于拉格朗日動量k次項(xiàng)下的無窮小變分量。然后利用雅可比變換求得拉格朗日對應(yīng)的運(yùn)動方程。然后在知道運(yùn)動方程的前提下求出相應(yīng)的守恒流

6、。接下來做時(shí)空變化、U（2）定域規(guī)范變換等對稱性變換，說明能量守恒、同位旋守恒等自然界普遍存在的規(guī)律。</p><p>　　接下來考慮具體的系統(tǒng)，我們可以首先從理論范圍的Proca場出發(fā)求它的對稱化能量－動量張量，然后具體考慮二維的k-三次方Rashba自旋-軌道耦合系統(tǒng)。其中必須注意的是運(yùn)算過程中的偏微分運(yùn)算不能直接運(yùn)用求導(dǎo)時(shí)的規(guī)則，否則會得到不對稱的守恒流。如，而不是通常認(rèn)為的1那么簡單。</p>

7、<p>　　四、研究的總體安排與進(jìn)度</p><p>　　1.閱讀相關(guān)文獻(xiàn)和書籍，并在數(shù)據(jù)庫中搜索有關(guān)信息。保證一邊學(xué)習(xí)相關(guān)的基礎(chǔ)理論，一邊與該領(lǐng)域的前沿保持聯(lián)系并盡量靠攏。</p><p>　　2.時(shí)常和導(dǎo)師進(jìn)行溝通，積極思考，遇到新的問題不回避，要敢于解決，科學(xué)研究的結(jié)果往往是未定的，所以要做好隨時(shí)調(diào)整科研方案的準(zhǔn)備。</p><p>　　3.為論

8、文答辯做好演示文稿。</p><p>　　盡量在下學(xué)期開學(xué)之前完成論文初稿，在下學(xué)期開學(xué)時(shí)把論文拿給導(dǎo)師，之后對論文進(jìn)行反復(fù)修改和補(bǔ)充，在期中之前完成論文，確保在答辯之前完成答辯的一切準(zhǔn)備。</p><p><b>　　五、主要參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] Lewis H.Ryder. Quantum Field Theory,

9、Second edition .</p><p>　　[2] Y. Li .Extra current and integer quantum Hall conductance in the spin-orbit coupling system . et al 2008 EPL 83 27002.</p><p>　　[3] Li Y,Tao R. B. Phys. Rev. B 75.2

10、007.075319.</p><p>　　[4] H. Kleinert. Multivalued Fields in Condensed Matter, Electromagnetism,and Gravitation. World Scienti_c, Singapore 2009. </p><p>　　[5] Montesinos M. and Flores E. Symmetr

11、ic energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether.s theorem. arXiv: hep-th/0602190v1.</p><p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　理論物理&l

12、t;/b></p><p>　　非標(biāo)準(zhǔn)場論中的守恒量及相關(guān)問題</p><p>　　摘要：Noether定理以及相應(yīng)守恒流的研究在物理學(xué)中具有重要的意義。在凝聚態(tài)物理中，一些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象依賴于動量的高階項(xiàng)，因此我們必須推廣高階動量項(xiàng)下Noether定理來滿足這些實(shí)驗(yàn)的理論要求。高階推廣的Noether定理對求包含自旋軌道耦合項(xiàng)的復(fù)雜體系的守恒流有很大的幫助。</p><

13、;p>　　關(guān)鍵詞：Noether定理、自旋軌道耦合項(xiàng)</p><p>　　由經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)可知，物理系統(tǒng)其全部性質(zhì)由其拉氏量 完全決定。拉氏量是由物理系統(tǒng)的動力學(xué)變量及其一階時(shí)空微商所構(gòu)成。拉氏量中動力學(xué)變量的對稱性，即在某類連續(xù)對稱群變換下的不變性，反映了該系統(tǒng)存在的守恒量及相應(yīng)的守恒流，人們把這種性質(zhì)稱為Noether定理。連續(xù)群所表征的變換稱為規(guī)范變換，其變換群參數(shù)是獨(dú)立于背景時(shí)空的常數(shù)。如果將其

14、參數(shù)改成依賴背景時(shí)空位置的任意函數(shù)，其變換稱為局域性變換，前者稱為整體變換。由于局域性變換是時(shí)空流形坐標(biāo)的函數(shù)，因而它不能與時(shí)空坐標(biāo)微商交換。拉氏量對局域性變換不再具有原有的對稱性，為了維持其對稱，需將拉氏量中的普通微商改成協(xié)變微商，即在微商中引入補(bǔ)償場，其場稱為規(guī)范常物質(zhì)之間的相互作用是通過規(guī)范場在中間傳遞來實(shí)現(xiàn)。</p><p>　　Noether定理以及相應(yīng)守恒流的研究在物理學(xué)中具有重要的意義。諾特定理的應(yīng)

15、用幫助物理學(xué)家在物理的任何一般理論中通過分析各種使得所涉及的定律的形式保持不變的變換而獲得深刻的洞察力。在無窮小洛倫茲轉(zhuǎn)動下得到了角動量守恒，時(shí)空平移變換不變性得到了能量守恒及動量守恒，U(2)規(guī)范變換下得到同位旋守恒。諾特定理的證明通常都是在拉格朗日形式下來證明的，也就是假定我們所發(fā)現(xiàn)的力學(xué)體系的拉格朗日描述是正確的。一般我們的拉格朗日只考慮到動量項(xiàng)，但在凝聚態(tài)物理中，一些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象依賴于動量的高階項(xiàng)，因此我們必須推廣高階動量項(xiàng)下Noe

16、ther定理來滿足這些實(shí)驗(yàn)的理論要求。</p><p>　　目前在一些包含自旋軌道耦合項(xiàng)的半導(dǎo)體量子自旋電子學(xué)系統(tǒng)中，新奇輸運(yùn)特性的研究已成為前沿，而電荷或自旋流是以其為載體的輸運(yùn)性質(zhì)研究的基石。理論上預(yù)言，通過對具有自旋-軌道耦合作用的樣品施加縱向電場，會產(chǎn)生橫向自旋流，即自旋向上和向下的電子分別沿橫向相反的方向流動，形成所謂的自旋霍爾效。自旋電子學(xué)的目標(biāo)在于用電子的自旋代替?zhèn)鹘y(tǒng)的電荷作為信息的載體，實(shí)現(xiàn)新一代

17、更高性能的電子元件和信息技術(shù)。在傳統(tǒng)電子學(xué)中，電流是最基本的概念之一，描述了電荷的輸運(yùn)過程。相應(yīng)的，自旋流在自旋電子學(xué)中是描述自旋輸運(yùn)的至關(guān)重要的概念。如何正確定義自旋流是一個(gè)有基本意義的理論問題。人們求自旋流的過程一般通過由經(jīng)典－量子對應(yīng)關(guān)系下得出的流表達(dá)式。但研究發(fā)現(xiàn)對一些含有自旋－軌道耦合的系統(tǒng)或含有動量二次方以上的哈密頓系統(tǒng)，通常的流表達(dá)式得出的守恒流無法滿足連續(xù)性定理。我們將應(yīng)用推廣的Noether定理來求得這些復(fù)雜體系的流方

18、程表達(dá)式，并與其他方法得出的結(jié)果作比較。或許高階推廣的Noether定理來求這些復(fù)雜體系的守恒流對凝聚態(tài)中的應(yīng)用有很大的幫助。同時(shí)，推廣的Noether定理將會對含自旋軌道耦合項(xiàng)的半導(dǎo)體量子自旋電子學(xué)系統(tǒng)</p><p>　　一般情況下，如果采用經(jīng)典－量子對應(yīng)關(guān)系，流的表達(dá)式寫為：</p><p>　　但是一些實(shí)際工作證明這個(gè)公式并不是嚴(yán)格符合所有體系的。如果從薛定諤方程出發(fā)，可求出守恒量

19、A對應(yīng)的連續(xù)性方程：，其中為粒子數(shù)密度。經(jīng)過數(shù)學(xué)運(yùn)算可以得到如下結(jié)果：。這樣我們就能精確求出守恒流，但是中間需要大量復(fù)雜的運(yùn)算。但如果應(yīng)用推廣的Noether定理，運(yùn)算過程中只需要確定協(xié)變微分運(yùn)算的正確性就可以了。</p><p>　　下面將時(shí)空平移變換下推導(dǎo)Noether得到的能量－動量張量為例，將它應(yīng)用到Proca場，作為Noether定理在理論范圍內(nèi)的應(yīng)用。</p><p>　　考慮

20、Proca場的拉格朗日為，應(yīng)用通常的未推廣的Noether定理下能量－動量張量公式，相應(yīng)求出Proca場能量－動量張量表達(dá)式：</p><p>　　考慮到電磁場的規(guī)范不變性，添加Belinfante修正項(xiàng)，這樣我們就得到完整的Proca場能量－動量張量表達(dá)式：</p><p>　　這樣得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[5]結(jié)果一致，而且不需要復(fù)雜的運(yùn)算。</p><p>　　在包含

21、自旋軌道耦合項(xiàng)的半導(dǎo)體量子自旋電子學(xué)系統(tǒng)中，我們求守恒流的過程中要將普通微商改成協(xié)變微商，否則得出來的結(jié)果與嚴(yán)格分析得出來的結(jié)果會出現(xiàn)差異?；蛟S守恒流的應(yīng)用在將來將不僅僅局限于這些復(fù)雜的半導(dǎo)體量子自旋電子學(xué)系統(tǒng)，它還能應(yīng)用與一些延伸的前沿科學(xué)當(dāng)中。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] Lewis H.Ryder. Quantum

22、 Field Theory,Second edition .</p><p>　　[2] Y. Li .Extra current and integer quantum Hall conductance in the spin-orbit coupling system . et al 2008 EPL 83 27002.</p><p>　　[3] Li Y,Tao R. B. Phy

23、s. Rev. B 75.2007.075319.</p><p>　　[4] H. Kleinert. Multivalued Fields in Condensed Matter, Electromagnetism,and Gravitation. World Scienti_c, Singapore 2009.</p><p>　　[5] Montesinos M. and Flor

24、es E. Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether.s theorem. arXiv: hep-th/0602190v1.</p><p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p><b&

25、gt;　?。?0 屆）</b></p><p>　　非標(biāo)準(zhǔn)場論中的守恒量及相關(guān)問題</p><p><b>　　摘　要</b></p><p>　　【摘要】量子場論的建立對粒子物理和凝聚態(tài)物理的研究起了巨大的作用，本文首先回顧量子場論的建立、對稱性與守恒律的關(guān)系等。運(yùn)用場論的基本原理詳細(xì)研究含場量高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的場論，求出了N維時(shí)空中

26、Nother定理的一般表達(dá)，并求得在幾種無窮小變化下的守恒流表達(dá)式。作為應(yīng)用，我們在文章后面部分主要研究了Dresselhaus系統(tǒng)和二維k-三次方Rashba自旋軌道耦合系統(tǒng)的守恒流，給出了正確的場論表達(dá)式。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】高階導(dǎo)數(shù)量子場論；推廣的Noether 定理；守恒流；二維Rashba系統(tǒng)。</p><p><b>　　Abstract</b>

27、;</p><p>　　【ABSTRACT】Quantum Field theory has played a great role in the study of particle physics and condensed matter physic. After reviewing some fundamental concepts about quantum field theory including

28、symmetry and conserved flows, we devote to a systematic description of Noether's theorem in a Lagrangian containing the higher order derivative of fields. And some explicit expressions for conventional conserved flow

29、s are obtained. We also apply this general formula to study some condensed matter physic</p><p>　　【KEYWORDS】higher derivative field theory, generalized Noether's theorem, Conserved Current, 2D-cubic-Rash

30、ba system。</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘　要6</b></p><p>　　Abstract7</p><p><b>　　目　錄7</b></p><p><b>　　1引言1

31、</b></p><p>　　1.1反粒子的預(yù)言1</p><p>　　1.2量子場論的建立1</p><p>　　1.2.1二次量子化1</p><p>　　1.2.2重整化2</p><p>　　1.2.3粒子物理的成功3</p><p>　　1.3量子場論

32、中的一些約定3</p><p>　　1.3.1自然單位制3</p><p>　　1.3.2符號約定與介紹4</p><p>　　2高階導(dǎo)數(shù)場論與Noether定理5</p><p>　　2.1運(yùn)動方程的推廣5</p><p>　　2.2對稱性與守恒律7</p><p>　　

33、2.3推廣的守恒量表達(dá)式7</p><p>　　2.4能量－動量張量8</p><p><b>　　2.5角動量9</b></p><p>　　2.6內(nèi)對稱守恒10</p><p>　　3凝聚態(tài)物理中流表達(dá)式的應(yīng)用11</p><p>　　3.1通常守恒流的定義11<

34、/p><p>　　3.2Dresselhaus系統(tǒng)12</p><p>　　3.3二維－立方Rashba自旋軌道耦合系統(tǒng)14</p><p>　　3.4P4模型16</p><p><b>　　4總結(jié)17</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)18</b>

35、</p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　附錄 A.二維立方Rashba系統(tǒng)的守恒流推導(dǎo)過程19</p><p><b>　　引言</b></p><p><b>　　反粒子的預(yù)言 </b></p><p>　　1928年，英國理論物理學(xué)家P.狄拉

36、克在建立一個(gè)描述自旋 粒子的波函數(shù)方程中，希望波函數(shù)方程具有洛倫茲協(xié)變性和薛定諤方程形式同時(shí)避免出現(xiàn)像Klein－Gordan方程那樣概率密度可能為負(fù)值這種缺乏物理意義的情況?；谏鲜隹紤]，他建立了狄拉克方程[1]。在解狄拉克方程的過程中得到了兩個(gè)解，一個(gè)描述兩個(gè)自旋不同的正能態(tài)，另一個(gè)描述兩個(gè)自旋不同的負(fù)能態(tài)。為了解釋負(fù)能泰這種情形，狄拉克大膽地提出了“狄拉克之?！钡母拍?，認(rèn)為真空是由無限多的負(fù)能態(tài)填充起來的，同時(shí)又預(yù)言了反粒子的存

37、在。1932年美國物理學(xué)家卡爾?安德森在宇宙射線中發(fā)現(xiàn)的正電子證實(shí)了反粒子的存在。狄拉克是一個(gè)勇敢而又充滿智慧的物理學(xué)家，反粒子的預(yù)言只是他和他的同代人以及后來者建立起來的量子場論的一部分成果，量子場論為粒子物理和凝聚態(tài)物理的研究建立了理論框架并發(fā)揮著巨大的作用。同時(shí)量子場論的建立是一個(gè)不斷完善，不斷開拓未知領(lǐng)域的過程。</p><p><b>　　量子場論的建立</b></p>

38、<p>　　量子場論是一種描繪亞原子世界（夸克，輕子，規(guī)范玻色子，Higgs 粒子等）的語言，并形成了一系列理論來規(guī)范亞原子世界[2][3]。量子場論不僅構(gòu)建了對微觀精細(xì)結(jié)構(gòu)研究的框架，它對當(dāng)代宇宙學(xué)中關(guān)于宇宙起源及演化問題的研究提供了重要的線索。因此，它被認(rèn)為是粒子物理和宇宙學(xué)的物理基礎(chǔ)。同時(shí)，非相對論量子場論已廣泛應(yīng)用于凝聚態(tài)物理，尤其是描述超導(dǎo)性的BCS理論。另外，在量子場論場論的建立過程中，科學(xué)家們還建立了一系列理

39、論物理研究的有效工具如路徑積分、重整化群。</p><p><b>　　二次量子化</b></p><p>　　最早人們研究量子場論的目的是建立一個(gè)描述亞原子世界的完備物理體系。由W.Heisenberg和E.Schrödinger建立的量子力學(xué)在原子世界取得了巨大的成功，各種當(dāng)時(shí)許多無法解釋的物理現(xiàn)象可以通過量子力學(xué)精確地計(jì)算出來。量子化是最早于1900被

40、M.Plank 提出，基于此，A.Einstein于1905年提出了的電磁場的量子化－光子。在20世紀(jì)中期，P.Dirac 、W.Heisenberg 、P.Jordan 等人基于量子力學(xué)語言建立了電動力學(xué)的一系列數(shù)學(xué)公理化描述。最早人們的想法是把薛定諤方程的波函數(shù)Ψ想像成一個(gè)波場，并把它量子化。Dirac 把它用于光子的模型描述，而Jordan 進(jìn)一步提出了電子是電子場的“量子”并指出在費(fèi)米場中量子化規(guī)則需要作改正[1][4]。<

41、;/p><p>　　最早的量子化規(guī)則是N.Bohr 在原子中電子的周期軌道運(yùn)動得到的。到了Heisenberg 和Dirac 的手中量子化條件就變成對易關(guān)系式：。這里的算符p和q是“觀測值”。同時(shí)Dirac 、Jordan 、E.Winger 和Heisenberg 等人的量子場論的文章中他們提出了“產(chǎn)生算符”和“湮滅算符”的概念，正如它的名字一樣它具有“創(chuàng)造”或“破壞”一個(gè)單粒子－場量子的作用。對玻色場而言，這些算

42、符滿足對易關(guān)系[5]：，。對費(fèi)米場而言滿足反對易關(guān)系式： ，。這個(gè)過程構(gòu)成了“二次量子化”，但這里的“產(chǎn)生”與“湮滅算符”不再是“觀察量”。同時(shí)二次量子化的過程沒有出現(xiàn)普朗克常數(shù)，二次量子化跟量子力學(xué)中量子化過程并不像它們字面上那樣相似。</p><p>　　最早人們對到底哪個(gè)需要量子化充滿疑惑。Dirac 在他1927年的論文中提到了電磁輻射，但他沒有將光量子與光波和德布羅意波聯(lián)系起來。他認(rèn)為這兩個(gè)東西的強(qiáng)度是

43、從不同角度得出的。單色光波在單位體積內(nèi)的光量子數(shù)等于單位體積內(nèi)的能量，而單個(gè)光量子能量為。另一方面，一個(gè)振幅為a的德布羅意波可以解釋為單位體積內(nèi)a2個(gè)全頻率的光量子。在這個(gè)問題上至少存在兩個(gè)疑點(diǎn)。第一點(diǎn)，如果將薛定諤波函數(shù)看成一個(gè)“實(shí)”的場，那到底是哪個(gè)量子導(dǎo)致了看得到的粒子，或者說是不是應(yīng)該將它當(dāng)作一個(gè)“概率”場。在1926年Bohr 曾指出光波在顯示為光量子的路徑運(yùn)動的過程中是能量和動量的承載體，但場它自己是沒有能量和動量的。第二個(gè)

44、疑點(diǎn)就是量子化的本質(zhì)問題，它到底是場能量的量子化呢，還是場的量子化。</p><p>　　量子場論最后形成了這樣的一個(gè)框架：這是關(guān)于任意自旋量的場的理論，并且將場變量看作算符從而與它相應(yīng)的“動量”算符形成海森堡式的對易關(guān)系式。比如說，對無自旋場我們有關(guān)系式，其中，為拉格朗日密度。粒子的質(zhì)量和自旋是參考龐加萊群而定義的出來的，而它的量子限定與希爾伯特空間基矢確定的量子態(tài)相類似。正如S.Weinberg所說的：量子場

45、論是量子力學(xué)和狹義相對論相互協(xié)調(diào)的結(jié)果。</p><p><b>　　重整化</b></p><p>　　量子場論存在的一個(gè)著名問題就是發(fā)散問題[4][5]。量子場論在描述原子中的自發(fā)輻射和吸收以及粒子的各種產(chǎn)生和湮滅過程中發(fā)揮著它巨大的作用。但是在量子電動力學(xué)中，人們只能精確求解沒有相互作用的自由電子場和電磁場方程，對有相互作用的方程只能用微擾的方法得到近似解。在考

46、慮電子與它自己的場作用時(shí)，這實(shí)質(zhì)上是一個(gè)發(fā)射虛光子并重新接收虛光子的過程。但是在計(jì)算電子的自能（電子與自己的場的這種作用）也即電子的質(zhì)量時(shí)，發(fā)現(xiàn)最低階近似下的結(jié)果是一個(gè)無窮大。這種問題被發(fā)現(xiàn)普遍存在于量子場論的研究中，如電子與電子的作用或電子與正電子的作用。后來F.Dyson 發(fā)現(xiàn)只要重新定義一些參數(shù)（如在量子電動力學(xué)中的電子質(zhì)量、電荷量）這樣就能使得到的結(jié)果在各級微擾下是個(gè)有限值，這個(gè)過程也被稱為重整化。</p><

47、;p>　　當(dāng)重整化取得巨大成功的時(shí)候，高能物理領(lǐng)域的專家企圖借用量子電動力學(xué)的成功經(jīng)驗(yàn)來解釋弱作用和強(qiáng)作用。在費(fèi)米關(guān)于弱相互作用的理論研究中，他發(fā)現(xiàn)在微擾論的最低階情況下費(fèi)米的理論很成功，但高階近似的時(shí)候他發(fā)現(xiàn)隨著級數(shù)的升高需要重整化的參數(shù)數(shù)目也會增多，這就出現(xiàn)了不可重整化的情況。H.Yukawa在將重整化應(yīng)用于他的強(qiáng)相互作用時(shí)也接連碰壁，量子場論陷入低谷，直至60年代末的規(guī)范場使它看到新的曙光。</p><p

48、>　　另外，量子場論為理論物理提供了一個(gè)新的助手：重整化群。重正化群方法的思想和工具對解決統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中長久未能解決的臨界現(xiàn)象問題起了關(guān)鍵性的作用。</p><p><b>　　粒子物理的成功</b></p><p>　　二十世紀(jì)量子場論在粒子物理取得了巨大的成功[2]，其中描述基本粒子間的弱力、強(qiáng)力和電磁力的標(biāo)準(zhǔn)模型理論是最典型的例子。電磁相互作用是U（1）對稱

49、群規(guī)范變換守恒的結(jié)果，將U（1）群擴(kuò)展到得到弱相互作用，而夸克子間的強(qiáng)相互作用是SU（3）群規(guī)范變換守恒的結(jié)果。標(biāo)準(zhǔn)模型最重要的特征是自發(fā)對稱性破缺。標(biāo)準(zhǔn)模型理論預(yù)言基本粒子間的作用過程存在著一些粒子，而這些粒子（如W、Z玻色子）是沒有質(zhì)量的，但事實(shí)上這些粒子是有質(zhì)量的。為了使相互作用粒子間的規(guī)范場具有質(zhì)量，人們引入了Higgs場[5]。當(dāng)Higgs場作非均勻變換時(shí)會發(fā)生短程性破缺，因?yàn)檫@是自發(fā)的，所以稱為自發(fā)對稱性破缺。</p&

50、gt;<p>　　標(biāo)準(zhǔn)模型的量子化在路徑積分的方式上非常順利，并且’t Hooft給出了標(biāo)準(zhǔn)模型的重整化過程。標(biāo)準(zhǔn)模型是以實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果為基礎(chǔ)建立起來的描述基本粒子的理想理論，其中費(fèi)曼基于“電子－質(zhì)子的深度非彈性散色”的研究建立起來的夸克－部分子模型對標(biāo)準(zhǔn)模型的建立具有里程碑式的意義。但是這個(gè)模型對強(qiáng)子結(jié)構(gòu)的描述有很大的沖突，也就是夸克禁閉與部分子無相互作用之間的沖突。直到D.Gross、H.Politzer、F.Wilcz

51、ek提出的“漸近自由”理論解決了這個(gè)矛盾，并導(dǎo)致了量子色動力學(xué)的誕生。</p><p>　　另外量子場論發(fā)展了我們對真空概念的理解——虛粒子－反粒子對。這是真空極化的結(jié)果，它描述了背景電磁場產(chǎn)生虛粒子－反粒子對改變產(chǎn)生原電磁場的電荷或電流的分布的一個(gè)過程。真空極化也叫光子自能，它是對光子線的二階修正。這樣就意味著真空能量不為零，存在零點(diǎn)能。除了引力這個(gè)相互作用外，零點(diǎn)能可以被忽略；但在宇宙學(xué)中它跟宇宙常數(shù)Λ有著同

52、樣重要的作用，零點(diǎn)能提供了宇宙常數(shù)的排斥力。</p><p>　　量子場論中的一些約定</p><p><b>　　自然單位制</b></p><p>　　在量子場論中我們我們采用自然單位制，把真空光速c和普朗克常數(shù)定為1，而長度的量綱和時(shí)間的量綱相同，能量的量綱和質(zhì)量的量綱相同[5]。并且有下式：</p><p>　　

53、[長度]=[時(shí)間]=[能量]-1 =[質(zhì)量] -1 </p><p>　　這樣一個(gè)粒子的質(zhì)量（m）既等于它的能量（mc2）也等于逆康普頓波長（mc/）。比如：</p><p>　　m電子＝9.109×10-28g=0.511MeV=(3.862×10-11cm)-1 .</p><p><b>　　符號約定與介紹</b>&l

54、t;/p><p>　　四維閔可夫斯基時(shí)空的度規(guī)張量為：</p><p>　　其中角標(biāo)對0，1，2，3或者t，x，y，z進(jìn)行輪換。</p><p>　　時(shí)空坐標(biāo)用四維矢量表示為，而協(xié)變四維矢量表示為。同樣動量表示為，為了簡潔我們定義，，。如果兩個(gè)算符之間沒有標(biāo)出角標(biāo)一般代表內(nèi)積，如</p><p>　　量子場論中一般較多用到泡利矩陣：</p&

55、gt;<p>　　在學(xué)習(xí)Dirac 場的過程中，為了能用旋量波函數(shù)ψ構(gòu)成在洛倫茲變換下有一定的變換特性的量以便構(gòu)造必須是標(biāo)量的拉格朗日函數(shù)，以及能描述自旋是半整數(shù)的費(fèi)米子，人們引入狄拉克矩陣，定義如下：</p><p>　　同時(shí)我們一般把和矢量的標(biāo)量積記為，如。</p><p>　　高階導(dǎo)數(shù)場論與Noether定理</p><p><b>　

56、　運(yùn)動方程的推廣</b></p><p>　　在通常的場論中，人們假定拉格朗日密度僅是場量和它的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)[1][6]，這是基于相對論協(xié)變性和質(zhì)能關(guān)系的考慮。由此，人們可以建立起一套完整的理論以及量子化的問題。在凝聚態(tài)物理中，有一些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象依賴于動量的高次冪，而對協(xié)變性要求有所放松。為了研究這一類問題，我們需要研究含場量高此項(xiàng)的場論。為了研究方便我們假定系統(tǒng)的拉格朗日密度包含動量三次方以上的項(xiàng)，因

57、此拉格朗日密度可表示為。</p><p>　　首先，考慮n維時(shí)空區(qū)域下的一個(gè)作用量</p><p>　　上式中的變量有。作一個(gè)在時(shí)空區(qū)域 上的無窮小空間變動，同時(shí)相應(yīng)的場 變化為，這時(shí)的拉格朗日密度為。</p><p><b>　　定義 </b></p><p><b>　　由此可得 </b>&

58、lt;/p><p><b>　　同理可得</b></p><p>　　這個(gè)過程作用量S變化為</p><p><b>　　由雅克比變換得</b></p><p>　　將（2.2）、（2.5）式代入（2.4）式，得</p><p><b>　　下面定義</b>

59、</p><p><b>　　因此有</b></p><p><b>　　根據(jù)</b></p><p>　　式（2.7）式可重新寫為</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　根據(jù)最小作用原理，場量的變分在初始和末了時(shí)刻為零，因此（2

60、.8）式第二項(xiàng)中時(shí)間分量的積分為零。空間部分的積分可以運(yùn)用高斯定理變換成空間邊界的面積分。對無界空間而言，該面積分為零；若是有限空間，只要沒有“流”流出該邊界，則該面積分也為零。我們在此僅考慮著兩種情況。因此，（2.6）可表示為</p><p>　　有作用量變化為。可以推出必須滿足，即有</p><p>　　上式即為一般體系的運(yùn)動方程。如果知道了體系的拉格朗日密度，只需代入上式就可得到具體

61、的運(yùn)動方程。</p><p><b>　　對稱性與守恒律</b></p><p>　　對稱性是現(xiàn)代物理中一個(gè)核心概念，包括規(guī)范對稱性和整體對稱性。它是指一個(gè)體系在某個(gè)變量的變化下保持不變性。牛頓力學(xué)中的伽利略變換不變性和電磁場理論中的洛倫茲不變性就是最簡單的對稱性的例子。在數(shù)學(xué)上我們能用群論來描述對稱性，如伽利略變換對應(yīng)伽利略群、洛倫茲變換對應(yīng)洛倫茲群。</p&

62、gt;<p>　　1921年，德國數(shù)學(xué)家Emmy Noether建立了Noether定理[1][7]，從而將對稱性和守恒定律聯(lián)系起來。Noether定理指出系統(tǒng)物理如果具有某種對稱性必將對應(yīng)一個(gè)守恒量，它為各種守恒律（如能量守恒定律、角動量守恒定律）提供了理論依據(jù)，下一節(jié)我們將研究高階導(dǎo)數(shù)場論中的對稱性與守恒量的關(guān)系，導(dǎo)出推廣的Noether定理。常見的對稱性及其對應(yīng)的守恒量有時(shí)間平移對稱對應(yīng)的能量守恒，空間平移對稱對應(yīng)的

63、動量守恒，空間旋轉(zhuǎn)對稱對應(yīng)的角動量守恒以及鏡像對稱對應(yīng)的宇稱守恒。對稱是美麗的，它的存在使世界充滿了美妙，正是這種對稱性的存在使我們的世界形成了一系列不可或缺的規(guī)律。</p><p><b>　　推廣的守恒量表達(dá)式</b></p><p>　　在場論中，Noether 定理是一個(gè)十分重要的定理，它建立了物理體系的對稱性與守恒量之間的聯(lián)系。具體而言，如果一個(gè)物理系統(tǒng)在對

64、稱性變化下具有不變性，這種變換將對應(yīng)一種物理量的守恒。也就是說如果拉格朗日密度量在某個(gè)對稱變換下保持不變性，那么相應(yīng)地就存在著一種守恒量。</p><p>　　在目前的情況下，Noether 定理可以推廣。我們將給出具體的推導(dǎo)，從而建立推廣的Noether 定理。假設(shè)物理體系在某種變換下，坐標(biāo)的增量為、場量的增量為、拉格朗日密度的變化為一個(gè)全散度，則由已知的運(yùn)動方程，式（2.6）就可以改寫為</p>

65、<p>　　根據(jù)對稱性，可知作用量是不變。即，由于區(qū)域選擇的任意性可以得出</p><p>　　此即高維的流守恒方程。事實(shí)上，場量的變分和坐標(biāo)的增量是由體系的對稱性給出，一般而言，他們對場量和坐標(biāo)的依賴關(guān)系是清楚的，一旦給出了具體形式，人們就可以從此式中消去不依賴于坐標(biāo)的無窮小參數(shù)，從而獲得有限的守恒流的表達(dá)式。在隨后的幾節(jié)里，我們將具體給出守恒流的表現(xiàn)形式。</p><p>

66、　　由此可以得到守恒量（積分作用于一個(gè)n-1維區(qū)域V）</p><p>　　運(yùn)用n-1維下的高斯定理得</p><p><b>　　守恒量具體表達(dá)式為</b></p><p>　　在公式（2.17）中值得注意的是，當(dāng)并沒有微分號作用于；當(dāng)時(shí)，沒有微分號作用于。</p><p>　　自然界中存在著許多守恒的物理量，如能量、

67、動量、電荷、同位旋……其中能量守恒是由于場的時(shí)空平移不變性，而電荷守恒是由于電磁場的整體規(guī)范守恒性導(dǎo)致的。下面我們會個(gè)別地求出一些守恒量的表達(dá)式。</p><p><b>　　能量－動量張量</b></p><p>　　已知拉格朗日密度量在時(shí)空平移具有不變性。作無窮小變換，相應(yīng)的。同時(shí)在時(shí)空平移變換下（即得）。</p><p><b>

68、;　　由此得出</b></p><p>　　上式中稱為能量-動量張量。</p><p>　　有時(shí)候我們要求能量-動量張量是關(guān)于角標(biāo)對稱化的，主要是考慮到相對論中愛因斯坦場方程以及后邊對角動量的考慮。另外在電磁場的情況下，如求Proca場的能量-動量張量時(shí)為保持對稱性一般會添加Belinfante修正項(xiàng)[8]。</p><p><b>　　角動量

69、</b></p><p>　　如果拉格朗日密度量是洛倫茲標(biāo)量，作洛倫茲轉(zhuǎn)動 ，相應(yīng)的拉格朗日密度量有 。根據(jù) 可以得出拉格朗日密度的洛倫茲轉(zhuǎn)動不變性。</p><p>　　對于無窮小洛倫茲轉(zhuǎn)動，有。</p><p><b>　　將在0處展開，有</b></p><p>　　這里與轉(zhuǎn)動角度有關(guān)，它是反對稱

70、的，共有6個(gè)獨(dú)立變量。其中時(shí)代表空間旋轉(zhuǎn)，而時(shí)代表洛倫茲移動（Rapidity），如速度矢量在坐標(biāo)軸上的轉(zhuǎn)移。是洛倫茲轉(zhuǎn)動的無窮小生成元，它是反對稱的。無窮小生成元滿足如下關(guān)系[9]：</p><p>　　在無窮小洛倫茲轉(zhuǎn)動下，。</p><p><b>　　同時(shí)，</b></p><p>　　由于是反對稱的，即。有</p>&l

71、t;p>　　所以將式（2.3）改寫為</p><p>　　將（2.4）式代入（2.1）式得無窮小洛倫茲轉(zhuǎn)動下的守恒量為</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　式(2.21)中，代表角動量， 代表體現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)部屬性的自旋部分。</p><p>　　通常在實(shí)標(biāo)量場下，；在矢量場，；在旋量場，，指代

72、著自旋 的場[6][10]。值得注意的是，這里的與上文定義的狄拉克矩陣不盡相同，狄拉克矩陣是四維時(shí)空情形下的結(jié)果，而這里是n維的結(jié)果。</p><p>　　守恒角動量的表達(dá)式可以寫為為：</p><p><b>　　內(nèi)對稱守恒</b></p><p>　　如果對場量作如下變換：</p><p><b>　　則

73、。</b></p><p>　　如果拉格朗日在變換下不變，得到相應(yīng)的守恒量為：</p><p>　　當(dāng)即代表U（1）規(guī)范不變[3]時(shí)，得到“荷”守恒，對于實(shí)標(biāo)量場就代表核電荷守恒。</p><p>　　若，其中為SU(2)群生成元，且滿足。</p><p><b>　　相應(yīng)的守恒量為：</b></p&g

74、t;<p>　　凝聚態(tài)物理中流表達(dá)式的應(yīng)用</p><p>　　自旋電子學(xué)是凝聚態(tài)物理中新興的一門研究領(lǐng)域，目標(biāo)在于用電子的自旋代替?zhèn)鹘y(tǒng)的電荷作為信息的載體，實(shí)現(xiàn)新一代更高性能的電子元件和信息技術(shù)。在傳統(tǒng)電子學(xué)中，電流是最基本的概念之一，描述了電荷的輸運(yùn)過程。相應(yīng)的，自旋流在自旋電子學(xué)中是描述自旋輸運(yùn)的至關(guān)重要的概念。但是自旋流的定義并不能滿足所有實(shí)驗(yàn)的需求，采用場論的形式求出的守恒流或許能滿足自旋

75、流的定義，并且適用于一些包含自旋耦合項(xiàng)的系統(tǒng)。另外守恒流的表達(dá)式對于量子自旋霍爾效益中輸運(yùn)問題的研究具有很大的指導(dǎo)作用。</p><p>　　當(dāng)前，自旋電子學(xué)已成為凝聚態(tài)物理中一個(gè)熱門領(lǐng)域[11]，其中半導(dǎo)體自旋電子學(xué)是一個(gè)重要研究分支。半導(dǎo)體自旋電子學(xué)主要利用系統(tǒng)中固有的自旋-軌道耦合效應(yīng)通過純電學(xué)方法來產(chǎn)生并保持自旋的相干輸運(yùn)。根據(jù)自旋霍爾效應(yīng)知道，對具有自旋-軌道耦合作用的樣品施加縱向電場，會產(chǎn)生橫向自旋流

76、，即自旋向上和向下的電子分別沿橫向相反的方向流動，從而在橫向邊界產(chǎn)生自旋積累。但是通常定義的自旋流不能滿足連續(xù)性方程，其與實(shí)驗(yàn)中觀測到的自旋積累無法直接對應(yīng)起來，所以必須重新定義自旋流。本文中從Noether定理出發(fā)得到的流表達(dá)式對自旋流的定義或許能提供幫助。接下來首先回顧一下通常定義的流的推導(dǎo)過程。</p><p><b>　　通常守恒流的定義</b></p><p&g

77、t;　　首先考慮一個(gè)哈密頓體系的本征態(tài)，它滿足薛定諤方程：</p><p>　　顯然由上式的復(fù)共軛可得：</p><p>　　將式(3.1)左邊乘以以及式(3.2)右邊乘以并將兩式相加，得</p><p>　　利用公式 ，將式(3.3)改寫</p><p>　　上式中就是我們通常情況下定義的流密度[11]。對于大多數(shù)系統(tǒng)來說的定義是成立的，但

78、是對一些勢能部分包含動量項(xiàng)尤其是動量二次方以上的體系，表達(dá)式是不準(zhǔn)確的。</p><p>　　如設(shè)A體系的哈密頓量為，其中包含動量的二次方以上的項(xiàng)。為了滿足連續(xù)性方程（定義），有</p><p>　　由此我們分析每一個(gè)特定系統(tǒng)時(shí)必須將部分改寫為的形式。守恒流的具體表達(dá)式應(yīng)該寫為</p><p>　　Dresselhaus系統(tǒng)</p><p>

79、　　已知Dresselhaus系統(tǒng)的Dresselhaus系統(tǒng)的拉格朗日密度量可表示為</p><p>　　考慮到Dresselhaus系統(tǒng)動量最高次冪為3，我們利用式(2.12) n=3的情形：</p><p><b>　　我們得到運(yùn)動方程為</b></p><p>　　同樣利用推廣的Noether流表達(dá)式(2.17)在n=3時(shí)的情形<

80、/p><p>　　另外作U(1)規(guī)范變換，得到Dresselhaus系統(tǒng)的守恒流表達(dá)式為</p><p>　　其中是Levi-Civita符號，是泡利算符。另一方面我們也可以采用通常的守恒流表達(dá)式(3.6)來推導(dǎo)出守恒流。</p><p>　　已知Dresselhaus系統(tǒng)[11]的哈密頓表示為，這里</p><p>　　根據(jù)薛定諤方程我們可以確

81、定Dresselhaus系統(tǒng)的拉格朗日密度量是正確的。利用關(guān)系式：</p><p><b>　　可以得到下式：</b></p><p>　　所以得出守恒流表達(dá)式為：</p><p>　　比較式(3.11)和(3.17)我們會發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)式子是相等的。</p><p>　　二維－立方Rashba自旋軌道耦合系統(tǒng)</p&

82、gt;<p>　　二維－立方Rashba自旋軌道耦合系統(tǒng)[12]屬于電子自旋學(xué)的范疇，我們將重復(fù)上一小節(jié)的方法求出該系統(tǒng)的守恒流。假定二維－立方Rashba自旋軌道耦合系統(tǒng)是處在一個(gè)z方向的垂直磁場B中，則機(jī)械動量算符為，同時(shí)這里我們?nèi)∈竸?。磁場下Rashba體系拉格朗日量可寫為：</p><p>　　拉格朗日量 的變量有，及相應(yīng)的復(fù)共軛。同樣利用(3.8)式，我們可以得到運(yùn)動方程</p&g

83、t;<p>　　利用(3.10)并作U(1)規(guī)范變換，得到守恒流</p><p>　　接下來我們按照通常的哈密頓方法去求守恒流。已知垂直磁場下二維－立方Rashba體系的哈密頓量為。同樣通過哈密頓確定的薛定諤方程與(3.19)式比較可以得出Rashba體系的拉格朗日表述是準(zhǔn)確的。</p><p><b>　　定義，有關(guān)系式</b></p>

84、<p>　　同時(shí)利用(3.10)可以得到如下結(jié)果：</p><p>　　經(jīng)檢驗(yàn)我們發(fā)現(xiàn)式上述兩種方法得到的結(jié)果是相等的。</p><p><b>　　P4模型</b></p><p>　　接下來考慮模型[11]，已知模型的哈密頓為，我們可以選擇一個(gè)對稱性的拉格朗日量</p><p>　　利用(2.12)式n=4

85、的情形，模型的守恒流可通過下式給出。</p><p>　　同樣作 U(1) 規(guī)范變換： ，即。經(jīng)過嚴(yán)密運(yùn)算得出守恒流為：</p><p>　　采用(3.10)式的方法同樣可以得到如下結(jié)果：</p><p>　　同樣我們發(fā)現(xiàn)兩種方法的結(jié)果是相等的。</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p

86、>　　在本論文中，我們主要研究了含有高階動量項(xiàng)的拉格朗日的守恒流，并仔細(xì)推導(dǎo)了能量－動量張量、角動量、核電荷的表達(dá)式。在應(yīng)用方面，通過凝聚態(tài)物理中一些比較復(fù)雜的系統(tǒng)如二維Rashba系統(tǒng)的守恒流分析，我們發(fā)現(xiàn)按照經(jīng)典－量子關(guān)系定義求得的守恒流與本文場論下流表達(dá)式求得的流相同。文獻(xiàn)[1]也曾采用推廣的Noether定理求得守恒流，盡管這個(gè)表達(dá)式與哈密頓推導(dǎo)出的守恒流相差一個(gè)全微分，似乎可以看成等價(jià)的；經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[1]對場論的描

87、述是有錯(cuò)誤的，它所給出的結(jié)果明顯無法滿足守恒流為實(shí)的要求。 我們導(dǎo)出的守恒流滿足這一要求，并且與文獻(xiàn)[1]哈密頓的守恒流完全一致。</p><p>　　對于半導(dǎo)體自旋電子學(xué)中一些含有自旋軌道耦合項(xiàng)的系統(tǒng)而言，采用從哈密頓出發(fā)求守恒流的過程相當(dāng)復(fù)雜繁瑣；但是如果從量子場論的角度出發(fā)利用本文推出的守恒流表達(dá)式去求守恒流計(jì)算過程將更簡單化，并且計(jì)算準(zhǔn)確性將會得到提高。本文只是非相對論量子場論應(yīng)用于凝聚態(tài)物理的一個(gè)例子，

88、相信更多量子場論的理論會運(yùn)用到凝聚態(tài)物理。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　Lewis H.Ryder. Quantum Field Theory,Second edition . Cambridge University Press,1996.</p><p>　　Cao.TY.Conceptual Deve

89、lopments of 20th Century Field Theories.Cambridge University Press.1997.</p><p>　　S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields. Vol. I Foundations. Cambridge University Press, 1995.</p><p>　　Jean-P

90、ierre Francoise, Gregory L. Naber, Tsou Sheung Tsun. Encyclopedia of Mathematical Physics: Five-Volume Set. Academic Press; 1 edition . 2006.</p><p>　　Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder.An Introductio

91、n to Quantum Field Theory. Westview Press.1995.</p><p>　　W. Greiner and J. Reinhardt. Field Quantization. Springer-Verlag, Berlin, 1996.</p><p>　　W. Greiner. Relativistic Quantum Mechanics: Wave

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94、eory. Cambridge University Press; 1st edition.2007.</p><p>　　Yi. Li . and Ruibao Tao. Current in a spin-orbit-coupling system. Phys. Rev. B 75.2007.075319.</p><p>　　Y. Li, T. Ma (a) and R. B. Ta

95、o. Extra current and integer quantum Hall conductance in the spin-orbit coupling system. et al 2008 EPL 83 27002.</p><p>　　附錄 A.二維立方Rashba系統(tǒng)的守恒流推導(dǎo)過程</p><p>　　由正文已知在磁場中Rashba系統(tǒng)的哈密頓量為，首先我們介紹傳統(tǒng)的求守恒

96、流的推導(dǎo)過程。在垂直磁場B中我們有。如果定義，則可以得到關(guān)系式：</p><p>　　為了計(jì)算簡便，我們?nèi)?。在接下來的推?dǎo)過程中我們將會反復(fù)用到由得到的關(guān)系式。</p><p>　　根據(jù)式，很顯然可以得到：</p><p>　　將（A.1）式倒數(shù)第二部分的一部分 展開，得：</p><p>　　將（A.1）式最后一部分展開得到：</p

97、><p><b>　　如果定義</b></p><p>　　則利用（A.2）（A.3）的結(jié)果可以得到：</p><p><b>　　而滿足下式：</b></p><p><b>　　利用如下關(guān)系式：</b></p><p>　　首先將（A.5）式右邊前兩項(xiàng)展

98、開，將不含有磁場強(qiáng)度B的項(xiàng)化簡得到</p><p>　　然后把（A.5）式其它部分都展開，得到含有B的一次項(xiàng)的部分化簡為</p><p>　　含有B的二次項(xiàng)部分化簡為</p><p>　　因此流表達(dá)式為，其中</p><p>　　接下來我們介紹從量子場論的角度來推導(dǎo)守恒流的表達(dá)式。已知二維－Rashba系統(tǒng)的拉格朗日為</p>