關于函數(shù)與方程問題的研究【畢業(yè)設計】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設計</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　關于函數(shù)與方程問題的研究</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘　要</b></p>

3、<p>　　【摘要】關于函數(shù)與方程問題的研究主要是針對高中希望杯高一高二數(shù)學競賽試題，通過收集整理，按其不同的題型進行歸類，針對各類中的個案進行深入研究和相應的分析，并提煉出針對高中數(shù)學試題中關于函數(shù)與方程問題的基本解題發(fā)方法和數(shù)學思想，使學生的思維有序化，有條不紊。在解決相應問題時能抓住問題的基本思想和解題關鍵，提高解題能力。從整體感知、把握競賽中有關函數(shù)與方程的問題的題目，熟悉題目的特征及涉及涵蓋的知識鏈，針對自己的知識

4、點的薄弱環(huán)節(jié)進行強化訓練，從而提高自己對題目的靈敏度和應用性。在研究中學習，于學習中探索，從探索中發(fā)現(xiàn)。</p><p>　　【關鍵詞】函數(shù)與方程；數(shù)學思維；數(shù)學方法</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】Function and equation problems research is

5、 main for a high school Hope Cup Mathematics Contest papers, through the collection, are classified according to their different kinds of questions, for all types of in-depth case studies and corresponding analysis, and

6、refining out of high school mathematics questions on the basic function and equation solving problems and mathematical ideas, so that students thinking orderly, methodical. The corresponding problem in solving the proble

7、m can gr</p><p>　　【KEYWORDS】function and equation ;mathematical thinking; mathematical method</p><p><b>　　目　錄</b></p><p>　　摘　要錯誤!未定義書簽。</p><p>　　Abstract錯

8、誤!未定義書簽。</p><p><b>　　目　錄III</b></p><p>　　1引言錯誤!未定義書簽。</p><p>　　1.1問題的提出錯誤!未定義書簽。</p><p>　　1.2研究的目的與內(nèi)容錯誤!未定義書簽。</p><p>　　1.2.1研究的目的錯誤!未

9、定義書簽。</p><p>　　1.2.2研究的內(nèi)容錯誤!未定義書簽。</p><p>　　1.3研究方法錯誤!未定義書簽。</p><p>　　1.4課題研究的局限性錯誤!未定義書簽。</p><p>　　1.4.1研究范圍的局限性錯誤!未定義書簽。</p><p>　　1.4.2研究的中試題選取和

10、分類的局限性錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2函數(shù)與方程問題的基本題型錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.1函數(shù)與方程根的問題錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.1.1題型概述錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.1.2案例探究錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.

11、2抽象函數(shù)錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.2.1題型概述錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.2.2案例探究錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.3參數(shù)問題錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.3.1題型概述錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.3.2案例探究

12、錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.4最值問題錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.4.1題型概述錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.4.2案例探究錯誤!未定義書簽。</p><p>　　3數(shù)學思維的運用錯誤!未定義書簽。</p><p>　　3.1數(shù)學基本思想錯誤!未定義書簽

13、。</p><p>　　3.1.1函數(shù)與方程思想錯誤!未定義書簽。</p><p>　　3.1.2數(shù)形結(jié)合思想錯誤!未定義書簽。</p><p>　　3.1.3分類討論思想錯誤!未定義書簽。</p><p>　　3.2試題中數(shù)學思想的體現(xiàn)錯誤!未定義書簽。</p><p>　　3.2.1再現(xiàn)性題組錯

14、誤!未定義書簽。</p><p>　　3.2.2應用題的轉(zhuǎn)換錯誤!未定義書簽。</p><p>　　4復習備考建議錯誤!未定義書簽。</p><p>　　4.1扎實基礎錯誤!未定義書簽。</p><p>　　4.2初高中知識與學法分析錯誤!未定義書簽。</p><p>　　4.2.1初高中數(shù)學的差異

15、錯誤!未定義書簽。</p><p>　　4.2.2高中數(shù)學學法的改進錯誤!未定義書簽。</p><p>　　4.3復習鞏固訓練題組錯誤!未定義書簽。</p><p>　　5小結(jié)錯誤!未定義書簽。</p><p>　　5.1試題選取小結(jié)錯誤!未定義書簽。</p><p>　　5.2函數(shù)與方程課題小結(jié)錯

16、誤!未定義書簽。</p><p>　　參考文獻錯誤!未定義書簽。</p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p>　　附錄錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　引言</b></p><p><b>　　問題的提出</b></p>&l

17、t;p>　　函數(shù)與方程貫穿整個高中數(shù)學學習階段，既屬于基礎又是重難點，不僅在歷年高考中備受矚目,其在高中數(shù)學競賽中更被視為考察的焦點，該課題主要針對“希望杯”全國數(shù)學邀請賽高一高二試題中有關函數(shù)與方程問題展開研究。 “希望杯"全國數(shù)學邀請賽每年舉行一次，為一屆。 每次舉行兩試，三月中旬第1試，四月中旬第2試。其宗旨簡潔明確,意在鼓勵和引導學生學好數(shù)學課程中最主要的內(nèi)容，適當?shù)赝貙拰W生的視野,提升擴寬知識面; 啟發(fā)他們關注

18、數(shù)學與其它課程的聯(lián)系和數(shù)學在實際問題中的應用；激勵他們?nèi)ャ@研和探究相關的數(shù)學問題和數(shù)學模型；培養(yǎng)他們科學的思維能力、創(chuàng)新能力和實踐能力。賽題中涉及函數(shù)與方程的問題比例高一略高于高二，但總體高于其他知識板塊，頻率之高更是顯而易見。但學生在此類問題上的失誤和困難是普遍存在的問題，因此對于該類試題的研究和探討就顯得必要而由意義。美國著名數(shù)學教育家波利亞說過，掌握數(shù)學就意味著要善于解題。當解題時遇到一個新問題，往往想用熟悉的題型或者方法去“套”

19、用，這樣做僅僅只是滿足于把題目解答出來，給出正確答案。但是只有對數(shù)學思想、數(shù)學方法理解透徹及融會貫通，方能提出新看法、巧解法和相應的擴展延伸?！跋Ｍ?lt;/p><p><b>　　研究的目的與內(nèi)容</b></p><p><b>　　研究的目的</b></p><p>　　針對有關函數(shù)與方程的試題展開解答分析，對各類題型有一

20、定的認識了解，熟悉題目的特點和變化風格，通過對數(shù)學思想方法的探究加強對于題目的理解和應變能力。話說“萬變不離其宗”，能在解題中達到以不變應萬變，融會貫通從而達到提高我們分析解決問題的能力，能讓自己站在更高的位置看待數(shù)學問題，培養(yǎng)大氣廣闊的數(shù)學視角。有意識地應用數(shù)學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學素質(zhì)，使自己具有數(shù)學思維和眼光。</p><p><b>　　研究的內(nèi)容</b>&l

21、t;/p><p>　　研究內(nèi)容主要是關于函數(shù)與方程試題的解答分析以及所應用到的數(shù)學思想和方法，針對此類問題給出一定的學習建議和意見。</p><p><b>　　研究方法</b></p><p>　　個案研究法就是以某一對象進行深入研究的方法。個案研究的對象可以是某個題目，也可以是一類題目或組織機構(gòu)。本文主要應用該方法，對某個試題進行分析解答，包括

22、它的特點、重難點、數(shù)學思想、數(shù)學方法等</p><p><b>　　課題研究的局限性</b></p><p><b>　　研究范圍的局限性</b></p><p>　　關于函數(shù)與方程問題的研究是想當具有挑戰(zhàn)性的一個課題，也是高中數(shù)學問題中的焦點問題之一。該課題研究只限于“希望杯”全國數(shù)學競賽高一高二試題的研究，在研究的范圍

23、和廣度上尚存在不足，對于其深層的研究和探索具有一定的局限性。</p><p>　　研究的中試題選取和分類的局限性</p><p>　　試題在選取的過程中，主要篩選與函數(shù)與方程問題直接相關的試題展開解答和分析，但是對于其再其他類型問題中的應用涉及的較少，譬如：函數(shù)與方程在立體幾何中體現(xiàn)，函數(shù)與方程在數(shù)列中的體現(xiàn)等。因此課題在試題的選取上具有較大的擴展空間，其全面性和后續(xù)延展性尚存在一定的局限

24、性。</p><p>　　在函數(shù)與方程問題的基本題型的劃分方面，鑒于個人對于此類問題掌握和研究的有限性，在分類上面，主要是參考其他一些相關研究展開，且盡量保持其簡潔和直觀。但是這就在全面性和專業(yè)性上具有一些不足。</p><p>　　函數(shù)與方程問題的基本題型</p><p><b>　　函數(shù)與方程根的問題</b></p><

25、p><b>　　題型概述</b></p><p>　　高中數(shù)學中學習中，解決方程的根的問題和函數(shù)的零點問題通常有兩個途徑：一是用化歸轉(zhuǎn)化的方法，轉(zhuǎn)化為一元一次方程（組）、一元二次方程（組）來解決；二是運用二分法的思想判斷零點的存在性，進行近似計算。而在解決這些問題的過程中，聯(lián)系函數(shù)的圖象，往往能夠?qū)⒁恍┏橄蟮臄?shù)學問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形問題，即通過數(shù)形結(jié)合為解題找到突破口，起到事半功倍的效

26、果。函數(shù)是中學數(shù)學的核心概念，核心的原因之一就在于函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性，其滲透和延伸的空間相當大，也是解決數(shù)學問題最有效的工具之一，而函數(shù)的零點就是其中一個鏈結(jié)點，它從不同的角度，將數(shù)與形，函數(shù)和方程有機的聯(lián)系在一起。在學生學習了基本初等函數(shù)及其相關性質(zhì)，具備初步的數(shù)形結(jié)合的能力基礎之上，得用函數(shù)圖象和性質(zhì)來判斷方程的根的存在性及根的個數(shù)，從而掌握函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法，提高函數(shù)和方程結(jié)合思想的能力。</p&

27、gt;<p>　　函數(shù)零點的定義：我們把函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數(shù)的零點（the zero of the function）。</p><p>　　零點存在定理：若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號不同，即f(a)·f(b)≤0，則在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)至少有一個零點，即相應的方程f(x)=0在區(qū)間內(nèi)至少有一個實數(shù)解。&l

28、t;/p><p>　　3．方程的根與函數(shù)零點的關系</p><p>　　方程有實數(shù)根　　函數(shù)的圖象與軸有交點</p><p><b>　　函數(shù)有零點</b></p><p><b>　　案例探究</b></p><p>　　十屆 1試 (1999 高一)</p>

29、<p>　　24 [t]表示：不大于t的最大整數(shù)，則方程[2x+2]=4x的根是___________</p><p>　　解: 由題意知,令的正地小數(shù)部分為,則有</p><p>　　同理: </p><p><b>　　綜上可得 x=1</b></p><p>　　解析:該題的意圖是考察學

30、生對于[t]的認知和靈活轉(zhuǎn)換,其中這一關系是突破該題的關鍵,這一知識點通常與求解方程的根相結(jié)合,通過等價轉(zhuǎn)化進而找出問題的答案。該類問題是競賽題中考察的重點之一，其出現(xiàn)頻率也相對較高,因此應引起足夠的關注和重視， 洞察問題的本源，靈活應對舉一反三。</p><p><b>　　同類型題目如: </b></p><p>　　三屆2試（1992 高二）19、[ x ]表示

31、不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，則方程[ 3 x – 4] – 2 x – 1 = 0的解是 。</p><p>　　十一屆1試 （2000 高一）</p><p>　　8 The root of equation is in the interval of ( A )</p><p>　　A (3,4) B(4,5)

32、C(5,6) D(6,7)</p><p>　　命題意圖：本題的重點是應用函數(shù)零點存在定理解決方程根的問題，考察轉(zhuǎn)化思想的應用：零點存在區(qū)間的確定</p><p>　　解： 由題意知：令f（x）=</p><p>　　要求方程的根的問題相當于求函數(shù)f（x）的零點，則有</p><p>　　f（3）== = 錯誤!未找到引用源。

33、0</p><p><b>　　f（4）= = </b></p><p>　　f（3）．f（3） 錯誤!未找到引用源。 由零點存在定理可知函數(shù)f（x）的零點在區(qū)間（3，4）即方程的根的區(qū)間為（3，4）。</p><p><b>　　答案: A</b></p><p>　　十四屆2試 （200

34、3 高二）</p><p>　　23、設函數(shù)，其中λ > 0。</p><p>　?。?）求λ的取值范圍，使函數(shù)f ( x )在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)；</p><p>　?。?）此種單調(diào)性能否擴展到整個定義域上？</p><p>　?。?）求解不等式2 x –< 12。</p><p>　　解：（1），由，得或

35、，由，得λ ≥，即當λ ≥時，f ( x )在區(qū)間 [ 0，+ ∞ ])上是單調(diào)遞減函數(shù)；</p><p>　?。?）因為無論λ取何值， ，所以此種單調(diào)性不能擴展到整個定義域上；</p><p>　　（3）令t =，則x = t 3 – 1，不等式可化為2 t 3 – t – 14 < 0，即 ( t – 2 ) ( 2 t 2 + 4 t +2 7 ) < 0，而2 t 2

36、+ 4 t + 7 > 0，∴ t – 2 < 0，即t < 2，∴ < 2，x < 7。</p><p>　　解析:該題是對函數(shù)性質(zhì)的綜合考察,應用到函數(shù)點單調(diào)性的判定,換元法等.求導是判定函數(shù)單調(diào)性的重要方法之一,也兼具方便簡潔的特點,在對題意深入觀察分析的基礎上判定那種方法更為適用.針對這種情形的,采用求導簡化計算過程.對其應用換元法也具有同等效果.</p>&l

37、t;p>　　十七屆2試 （2006 高一）</p><p>　　9 方程的整數(shù)解地個數(shù)……………………………………（ ）</p><p>　　A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 </p><p>　　解:分析: 等同于 分以下三種情況:</p><p>　　1) 時

38、,b可取任意實數(shù)</p><p>　　2) 時,b只能取0</p><p>　　3)時,b 只能取偶數(shù)</p><p>　　同理: 1) 時有或, 帶入 =20或-4 符合題意</p><p>　　2) 時, 則有有或(舍去)</p><p>　　3) 時有或,帶入 = -2或6符合題意</p><

39、;p>　　綜上可知共有5個整數(shù)解</p><p>　　解析:該題考查深入的觀察思考能力, 該類型求根問題宜采用特殊值法,一般的解題思路易陷入誤區(qū),,求而不得.特殊值法在選擇題中應用十分廣泛,其直觀快捷,但要求考生具備深入地觀察能力,靈活的思考應變能力,略偏重于解題技巧.</p><p>　　十七屆2試 (2006 高二) </p><p>　　23、已

40、知函數(shù)y = f ( x ) =–。</p><p>　　（1）求的定義域和值域，并證明是單調(diào)遞減函數(shù)； </p><p>　　（2）解不等式–>；</p><p>　?。?）求y的反函數(shù)f – 1 ( x )。</p><p>　　解：（1）由1 – x 2 ≥ 0，得– 1 ≤ x ≤ 1，即定義域為[ – 1，1 ]，令（0 ≤

41、θ ≤ π），則y =–</p><p><b>　　=sin+ –</b></p><p>　　= sin– (– 1 ) </p><p>　　=sin (–)，（–≤–≤），</p><p>　　顯然y =sin (–)在[ 0，π ]上是增函數(shù)，所以當θ = 0時，y min = 1 –， 當θ = π時，y

42、max = 1，即值域為[ 1 –，1 ]，又x = θ在[ 0，π ]上是減函數(shù)，所以y = f ( x ) 在[ – 1，1 ]上也是減函數(shù)；</p><p>　　（2）由sin (–) >，得sin 2 (–) >， ( θ –) < ，+ arc< θ ≤ π，– 1 ≤ θ < (+ arc) =，所以不等式的解集為[ – 1，])；</p><p>

43、;　　（3）由y =sin (–)，可得θ =+ 2 arc，所以x =θ = (+ 2 arc)，所以y的反函數(shù)f – 1 ( x ) = (+ 2 arc)，x∈[ – 1，])。</p><p>　　解析:根號套根號的情形是相對繁瑣,通常應對這類題目都會采取換元法,通過換元能將根號去掉,從而簡化運算過程,便于解答.在采用換元法的同時應注意,如何選取替換元時解題的突破點,只有選取正確的的替換元才能順利完成

44、解答過程.因為三角函數(shù)的有界性和,通常我們會選取三角函數(shù).</p><p>　　綜上所述，該類問題的類型為：解方程，解不等式，證明（a為參數(shù)）。這些都是考察函數(shù)性質(zhì)和作出函數(shù)圖像的一個更為一般問題的一部分。這些問題充分利用了我們所知道的函數(shù)的性質(zhì)，所以把方程和函數(shù)問題結(jié)合起來研究是適宜的?？疾旌瘮?shù)性質(zhì)的一般步驟是：（1）研究函數(shù)的周期性和奇偶性；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性和最值；（3）求函數(shù)的零點問題。處理這類題目，

45、在掌握其基基本概念，基本性質(zhì)的同時，要提高自己對于有題目的分析能力，即針對不同的題目采取不同的方法解決。運用所學有關函數(shù)的相關性質(zhì)，圖像和特殊性進行解答。然而競賽題中的題型具有更大的靈活性和延展性，因此要求我們多加探索思考總結(jié)。</p><p><b>　　抽象函數(shù)</b></p><p><b>　　題型概述</b></p>&l

46、t;p>　　抽象函數(shù)是相對于具體的函數(shù)而言，是指沒有給出函數(shù)解析式或?qū)▌t，只是給出函數(shù)所滿足的一些性質(zhì)，抽象函數(shù)一般是指滿足這些性質(zhì)的一類函數(shù)．抽象函數(shù)問題一般是由所給的性質(zhì)，討論函數(shù)的其它性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性及函數(shù)變換與圖象的對稱性之間的關系，或是求函數(shù)值、解析式等．競賽試題對于抽象函數(shù)的要求主要是考察函數(shù)的概念及知識的內(nèi)涵和外延的掌握情況,邏輯推理能力,抽象思維能力和數(shù)學的后繼學習潛力.</p>&

47、lt;p>　　抽象函數(shù)問題的解法，主要是:1、賦值法 2、變換法 3、特例法 </p><p>　　1．抽象函數(shù)的形式：</p><p><b>　　冪函數(shù)： </b></p><p><b>　　正比例函數(shù)： </b></p><p><b>　　對數(shù)函數(shù)：

48、 </b></p><p><b>　　三角函數(shù)： </b></p><p><b>　　指數(shù)函數(shù)： </b></p><p><b>　　案例探究</b></p><p>　　十一屆2試（2000 高一）</p><p>　　2

49、3 函數(shù)中的x與f（x）均N+，并且對于任意自然數(shù)x，都有，。 求證：存在自然數(shù)m，使得當時，f（x）是常數(shù)。</p><p>　　解：要證明的結(jié)論為只要x充分大，f（x）是常數(shù)，它的反面為無論x有多大，f（x）都不是常數(shù)。</p><p>　　假設無論x多么大，f（x）都不是常數(shù)，不妨任取且，若，則</p><p><b>　　，即</b>&

50、lt;/p><p>　　，因此與都取正整數(shù)相矛盾。</p><p><b>　　若，則</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　同樣有都取正整數(shù)相矛盾。所以存在自然數(shù)m，使得當時，f（x）是

51、常數(shù)。</p><p>　　十一屆2試（2000 高二）</p><p>　　5、若，且，則+++ … +=（ ）</p><p>　?。ˋ）1999 （B）2000 （C）2001 （D）2002</p><p>　　解: 由題意可知: 為指數(shù)函數(shù)的形式,故可令,</p>

52、;<p><b>　　則有</b></p><p>　　，則+++ … += </p><p><b>　　答案：（B）</b></p><p>　　十二屆1試 （2001 高一） </p><p>　　15 Let f be a function such that f( x+y

53、2)= f(x)+ 2(f(y))2 for any real numbers x and y ,and f(1)0,then f(2001) is equal to ____</p><p><b>　　解：令 得 </b></p><p><b>　　令 得</b></p><p>　　令, 得 &

54、lt;/p><p>　　解析: 在處理該類題目,王往往要求對某些變量進行適當?shù)馁x值,這是由一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要處理手段,通過適當?shù)馁x值找到函數(shù)間的變量關系是解決問題的重要策略.</p><p><b>　　同類題目 ：</b></p><p>　　九屆2試（1998 高一） </p><p>　　17 函數(shù)對于任意實數(shù)

55、x, y 都滿足,且,則=___________</p><p>　　十七屆2試（2006 高一） </p><p>　　16 函數(shù)對于任意實數(shù)x, y 都滿足,且,則=___________</p><p>　　十八屆1試（2007 高一）</p><p>　　8 Let f be a function such that f(

56、x+y2)= f(x)+ 2(f(y))2 and f(1)0,the value of f(2007) is （ ）</p><p>　　A 2007 B C D None of the above </p><p>　　十二屆2試 （2001 高一）</p><p>　　17 定義在實數(shù)集上的函數(shù)f

57、（x）滿足，則的值為___________</p><p>　　解：由題意知： 則有 </p><p><b>　　函數(shù)周期為8</b></p><p><b>　　在一個周期內(nèi)有：</b></p><p><b>　　即 </b></p><p

58、>　　解析：一般而言，抽象函數(shù)所滿足的關系式，應看作為給定的運算法則，而本題給出的關系式顯而易見是一種遞推關系，這就需要我們尋找函數(shù)本身具有的性質(zhì)，為問題打開突破口。該題結(jié)合遞推關系和函數(shù)性質(zhì)的應用，難度系數(shù)不大，但卻靈活多變。</p><p>　　十四屆1試 （2003 高一） </p><p>　　25 函數(shù)的定義域是，值域是（-1，4），對于定義域內(nèi)不等正實數(shù)都有，請寫出

59、兩個滿足條件的（不同類型的）函數(shù)解析式: （1）  （2） </p><p><b>　　參數(shù)問題</b></p><p><b>　　題型概述</b></p><p>　　參數(shù)是數(shù)學中的活潑“元素”，特別是一個數(shù)學問題中條件與結(jié)論涉及的因素較多，轉(zhuǎn)換過程較長時，參數(shù)的設定和處理的作用尤為突出，

60、合理選用參數(shù)，并處理好參數(shù)與常數(shù)及變數(shù)的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，在某些問題的求解過程中起到了十分關鍵的作用．數(shù)學中的常量和變量相互依存，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)化．而參數(shù)是介于常量和變量之間的具有中間性質(zhì)的量，它的本質(zhì)是變量，但又可視為常數(shù)，正是由于參數(shù)的這種兩重性和靈活性，在分析和解決問題的過程中，引進參數(shù)就能表現(xiàn)出較大的能動作用和活力，“引參求變”是一種重要的思維策略，是解決函數(shù)和方程問題中的有力武器。</p><p>&l

61、t;b>　　案例探究</b></p><p>　　四屆 1試 （ 1993 高二 ）</p><p>　　21、設f ( x ) = a sin x + b x + c的圖像經(jīng)過點A ( 0，5 )，B (，5 )，當0 ≤ x ≤時，| f ( x ) | ≤ 10，求c的取值范圍。</p><p>　　解： 由f ( 0 ) = f ()

62、= 5，得a = b = 5 – c，</p><p>　　則有 f ( x ) = a ( sin x + x ) + c，又0 ≤ x ≤，∴ 1 ≤ sin x + x ≤，</p><p>　　當a > 0時，5 ≤ f ( x ) ≤a + c；</p><p>　　當a = 0時，f ( x ) = c = 5；</p><

63、p>　　當a < 0時，a + c ≤ f ( x ) ≤ 5，又| f ( x ) | ≤ 10，</p><p>　　∴ |a + c | ≤ 10 可得 – 10 ≤ 5– (– 1 ) c ≤ 10，</p><p>　　∴ – 5≤ c ≤ 15+ 20。</p><p>　　五屆 1試（1994 高二）</p>&l

64、t;p>　　21、已知函數(shù)y =的值域是( – ∞，– 1 )]∪[，+ ∞ ])，試求實數(shù)a的值。</p><p><b>　　解：y ==</b></p><p><b>　　==，</b></p><p>　　令t = cot，則y =，整理得( 3 y – a – 1 ) t 2 + 2 ( y – 3 )

65、t – ( y + a – 1 ) = 0，從而，△= 4 ( y – 3 ) 2 + 4 ( 3 y – a – 1 ) ( y + a – 1 ) ≥ 0，即4 y 2 + ( 2 a – 10 ) y – ( a 2 – 10 ) ≥ 0，</p><p>　　由題設可知– 1和是方程4 y 2 + ( 2 a – 10 ) y – ( a 2 – 10 ) = 0的兩根，所以– 1 += –，所以a =

66、4。</p><p>　　解析:該題是求參數(shù)問題的一般題型,既由給定的值域來確定參數(shù)a的值,最終反向轉(zhuǎn)化為一元二次方程求值域的問題,通過判別式法來確定a的值,這是參數(shù)求值應用相對普遍的題型,對學生的數(shù)學思維和應變能力的一種考查,能做到靈活變通,舉一反三.</p><p>　　五屆 1試 （1994 高一） （同類試題： 十一屆1試 16題；十一屆2試 9題 ）</p>&l

67、t;p>　　3 函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是………………（ D ）</p><p>　　A. R B. R+ C. D .（-4，0）</p><p>　　解: 由題意可知:要使函數(shù)有意義,則必須有,</p><p>　　的定義域為R,等價于恒成立,</p><p>

68、;<b>　　等價于</b></p><p>　　擴展: 函數(shù)的值域為R，則實數(shù)k的取值范圍是_______ </p><p>　　解: 由題意可知:要使函數(shù)有意義,則必須有.</p><p>　　函數(shù)值域為R,則有必能取道大于零的一切實數(shù),等價于或</p><p>　　解析: 對比這兩個題目,對于題目意圖的理解和分析

69、會給很多學生造成困擾,因理解的偏差導致無法正確解答,該題實質(zhì)是考察一元二次函數(shù)圖像及性質(zhì)的理解和運用,但其靈活度較大,所以應引起足夠的關注.</p><p>　　八屆2試（1997 高一）</p><p>　　22 已知函數(shù)f（x）=asin2x+bsinx+c，其中a，b，c是非零實數(shù)，甲，乙兩人做一游戲：他們輪流確定系數(shù)a，b，c（如甲令b=1，乙令a=-2，甲在令c=3）后，如果對

70、于任意實數(shù)x，f（x）0，那么甲得勝；如果存在實數(shù)x，使f（x）=0，那么乙得勝。甲先選數(shù)，他是否有必勝策略？為什么？如果a，b，c是任意實數(shù)，結(jié)論如何？為什么？</p><p>　　解: (1) 甲有必勝的方法：因為甲：任意選a（非零），不妨設a=1乙：不管選b(非零）為何值,只有兩種情況, 1）,此時總存在x，使得 ， 所以只要選擇適當?shù)腸，使得> 0即可。

71、 2）>1,則選擇適當?shù)腸，使得=0即可。 (2) a ,b ,c為任意實數(shù)時，甲有必勝的方法：</p><p>　　因為 甲首先令a=0, 無論乙令b為何數(shù)，只需令c=b+1即可</p><p>　　解析:本題通過實際問題的應用考察對于一元二次函數(shù)性質(zhì)的理解和運用.最終將問題轉(zhuǎn)化為一元二次求值問題,對問題的分析和轉(zhuǎn)化是本題的突破口,因此要求在平時應注重對問題的剖析

72、和轉(zhuǎn)化思想的訓練.</p><p>　　九屆1試（1998 高二）</p><p>　　24、當m ∈N，若方程m x 2 + 2 ( 2 m – 1 ) x + 4 m – 7 = 0至少有一個整數(shù)根，則m = 。</p><p><b>　　解：由題意知</b></p><p>　　x = – 2 +

73、，設p =∈Z，</p><p>　　則m ( p 2 m – 2 p – 3 ) = 0，m = 0（舍）或m =，</p><p>　　當| p | > 3時，p 2 > | 2 p + 3 |，只有p = 3或p = ± 1,即m=1或m=5</p><p>　　十一屆1試（2000 高一）</p><p>　　2

74、2 函數(shù)有最大值2，最小值-1，則實數(shù)a=_____，b=_____。</p><p><b>　　解： 由題意可知：</b></p><p>　　解析：考查三角函數(shù)公式簡稱為合二為一,再應用三角函數(shù)的有界性解答,屬于三角函數(shù)問題的基本題型,其特點是靈活多變,主要體現(xiàn)在三角函數(shù)公式的轉(zhuǎn)換和變化上.</p><p>　　十一屆2試（2000 高

75、一）</p><p>　　13 關于x的方程的三個實根恰好是一個直角三角形三邊的平方，則自然數(shù)d的值是_________</p><p>　　解：設方程的根為，則有</p><p>　　由題知條件不妨設 ，則有 d</p><p><b>　　最值問題</b></p><p><b>

76、;　　題型概述</b></p><p>　　函數(shù)最值問題時其它求值問題的基礎之一，許多求值問題最后總是轉(zhuǎn)化為函數(shù)（特別是二次函數(shù)）的最值問題。求函數(shù)最值得一般方法有：配方法，均值不等式法，單調(diào)性，導數(shù)法，判別式法，有界性，圖像法等。</p><p><b>　　案例探究</b></p><p>　　一屆1試(1900高二) 均

77、值不等式法</p><p>　　20、若x，y > 0，且x + 2 y = 1，則( x +) ( y +)的最小值是 。</p><p>　　解: 由題意可知: 2 x y ≤ () 2 =，x y ≤，</p><p>　　( x +) ( y +) ==</p><p><b>　　=≥=。<

78、/b></p><p>　　解析：該題由題知條件x，y > 0，且x + 2 y = 1，利用均值不等式（a > 0，b > 0，當且僅當a=b時等號成立）求最值，必須有和為定值或者積為定值。該題為兩個式子的乘積，但是其和不是定值，但只需將( x +) ( y +)展開便可運用均值不等式加以求解。因此該類型題目很多時候需要深入觀察，找出解題的突破點。</p><p>

79、;　　三屆1 試 ( 1992 高二 ) </p><p>　　20、定義在實數(shù)上的函數(shù)f ( x ) =+的最小值是 </p><p><b>　　解:由題意可知:</b></p><p>　　f ( x ) =+，</p><p>　　即可以看作是x軸上的點( x，0 )到兩點A (，–)，B

80、 ( –，)的距離和。</p><p>　　因為兩點之間直線最短，則有</p><p>　　解析：該題利用數(shù)形結(jié)合求最值，將函數(shù)問題與轉(zhuǎn)化為求點間的距離問題，進而直觀得出要求的最值。該類問題無論在競賽題還是在高考題中都屬于考查的重要內(nèi)容之一，而且其靈活多變，要求學生具有良好的應變能力和轉(zhuǎn)化思維。</p><p>　　九屆2試（1998 高二） </p>

81、<p>　　21、若f ( x ) = a x 2 + b x + c，( a，b，c∈R )在區(qū)間[ 0，1 ]上恒有| f ( x ) | ≤ 1。</p><p>　?。?）對所有這樣的f ( x )，求 | a | + | b | + | c | 的最大值；</p><p>　?。?）試給出一個這樣的f ( x )，使 | a | + | b | + | c | 確實

82、取到上述最大值。</p><p>　　解：（1）依題設有| f ( 0 ) | = | c | ≤ 1，| f ( 1 ) | = | a + b + c | ≤ 1，</p><p>　　| f () | = |++ c | ≤ 1，于是</p><p>　　| a + b | = | a + b + c – c | ≤ | a + b + c | + | c |

83、 ≤ 2，</p><p>　　| a – b | = | 3 ( a + b + c ) + 5 c – 8 (++ c ) | ≤ 3 | a + b + c | + 5 | c | + 8 |++ c | ≤ 3+5+8 = 16，</p><p>　　從而，當a b ≥ 0時，| a | + | b | = | a + b |，</p><p>　　∴ |

84、a | + | b | + | c | = | a + b | + | c | ≤ 2 + 1 = 3；</p><p>　　當a b < 0時，| a | + | b | = | a – b |，</p><p>　　∴ | a | + | b | + | c | = | a – b | + | c | ≤ 16 + 1 = 17。</p><p>　　∴

85、max { | a | + | b | + | c | } = 17。</p><p>　?。?）當a = 8，b = – 8，c = 1時，f ( x ) = 8 x 2 – 8 x + 1 = 8 ( x –) 2 – 1，</p><p>　　∴ 當x∈[ 0，1 ]時，有| 8 x 2 – 8 x + 1 | ≤ 1，此時| a | + | b | + | c | = 8 + 8

86、+ 1 = 17。</p><p>　　十六屆2試 (2005 高二)</p><p>　　8、已知x，y滿足條件，則2 x + 3 y的最小值是（ ）</p><p>　?。ˋ）18 （B）24 （C） （D）</p><p>　　解: 不等式組表示的可行域是由直線x + 2

87、y = 10、2 x + y = 12、x = 3、y = 2圍成的不封閉區(qū)域（包括邊界線）如圖所示，令b = 2 x + 3 y，該方程表示斜率為–， </p><p>　　縱截距為的平行直線系，顯然當達最小值時，有b達最小值，易知，該平行直線系中經(jīng)過可行域的所有直線里，縱截距最小的是經(jīng)過可行域的邊界點 (，)（邊界線x + 2 y = 10與2 x + y = 12的交點）的那條直線，故b=

88、2 ×+ 3 ×=，即2 x + 3 y 的最小值是；</p><p>　　十七屆1試 （2006 高一）</p><p>　　7 若實數(shù)滿足，則= （ B ）</p><p>　　A. B. 31 C. D. 或</p><p>　　解：由題意意可知：，這又&

89、lt;/p><p><b>　　=31</b></p><p>　　解析：該題利用三角函數(shù)的有界性，即，從而突破解題的關鍵點?？此坪啙?，但易出現(xiàn)解題誤區(qū)，應該隱去足夠的重視。</p><p>　　十八屆1試 （2007 高一）</p><p>　　20 函數(shù)的最大值為________，最小值為________。</p

90、><p>　　解：由題意可知：令，代入可得：</p><p>　　解析: 由題知可知,該題求最值應用換元法,又應用到三角函數(shù)的有界性,進而求得函數(shù)的最大最小值,是求最值的常用方法之一</p><p>　　十八屆2試 （2007 高一）</p><p>　　17 函數(shù)的最小值為________，此時x為________</p>&l

91、t;p>　　解:由題意知：令（），則原始式可化為：</p><p>　　由此可以看出，當且僅當t=3時，即x=10的時候，y有最小值2</p><p>　　十八屆2試 （2007 高二）</p><p>　　23、已知a ∈N*使函數(shù)y = 3 x +的最大值M∈N*，求M的最大值及對應的a值和x值。</p><p>　　解：令t =，

92、則x =( 15 – t 2 )，</p><p>　　y =( 15 – t 2 ) + t = –( t 2 –t +) ++= –( t –) 2 ++</p><p>　　∴ M =+，又a ∈N*，M∈N*，而M ( 3 ) = M ( 45 ) = 8，M ( 9 ) = M ( 15 ) = 4，</p><p>　　M的最大值為8，當a = 3時，t

93、 = 1，x =，當a = 45時，t = 15，x = –。</p><p><b>　　數(shù)學思維的運用</b></p><p><b>　　數(shù)學基本思想</b></p><p>　　數(shù)學思想方法與數(shù)學基礎知識相比較，它占居較高的地位和層次。數(shù)學知識是在數(shù)學中所包含的比較基本內(nèi)容，可以用相應的文字和數(shù)學符號來記錄，敘述，

94、刻畫。但是隨著時間的不斷推移，記憶力的削弱，相應的數(shù)學知識很有可能忘記。而數(shù)學思想則是一種數(shù)學意識，一種思維方式，要靠個人去感悟，思索和運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的理解、處理和解決，掌握相應的數(shù)學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子。數(shù)學思想的傳授集中體現(xiàn)了“授人以漁”這種高瞻遠矚的教育理念。即使數(shù)學知識忘記了，數(shù)學思想方法卻還是起到深遠而不可小覷的作用。</p><p><b>　　函數(shù)

95、與方程思想</b></p><p>　　數(shù)學思想方法中，數(shù)學基本方法是數(shù)學思想的集中體現(xiàn)，是數(shù)學的行為方式，具有模式化、具體化和可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，它與數(shù)學基本方法往往在學習、掌握數(shù)學知識的同時獲得?？梢孕蜗蟮乇硎鰹?，“知識”是基石，“方法”是工具，“思想”是靈魂，提高數(shù)學素養(yǎng)的核心就是提高學生對數(shù)學思想方法的認識和運用，數(shù)學素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。&

96、lt;/p><p>　　函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還涉及到函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的。</p><p>　　笛卡爾的方程思想是：實際問題→數(shù)學問題→代數(shù)問題→方程問題。

97、宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現(xiàn)的；不等式問題也與方程是近親，密切相關。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y＝f(x)，就可以看作關于x、y的二元方程f(x)－y＝0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。</p><p>　　函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關系，函

98、數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學特征，建立函數(shù)關系型的數(shù)學模型，從而進行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應用函數(shù)思想的關鍵。對所給的

99、問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。</p><p>　　函數(shù)知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關系解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)

100、觀點加以分析；含有多個變量的數(shù)學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關系；實際應用問題，翻譯成數(shù)學語言，建立數(shù)學模型和函數(shù)關系式，應用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。</p><p><b>　　數(shù)形結(jié)合思想</b></p><p>　　數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學思想方法，包含“

101、以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。</p><p>　　恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關系與空間形式的科學。”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的條

102、件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。</p><p>　　數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖

103、像結(jié)合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。</p><p><b>　　分類討論思想</b

104、></p><p>　　在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。</p><

105、;p>　　引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：</p><p>　?、?問題所涉及到的數(shù)學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。</p><p>　?、?問題中涉及到的數(shù)學定理、公式和運算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可

106、以稱為性質(zhì)型。</p><p>　?、?解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a＝0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。</p><p>　　另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的

107、，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。</p><p>　　試題中數(shù)學思想的體現(xiàn)</p><p&g

108、t;<b>　　再現(xiàn)性題組</b></p><p>　　十六屆1試 （2005 高二）</p><p>　　17、實系數(shù)一元二次方程x 2 + a x + 2 b = 0的一根在區(qū)間( 0，1 )內(nèi)，另一根在區(qū)間( 1，2 )內(nèi)，則的取值范圍是 。</p><p>　　解：設f ( x ) = x 2 + a x + 2 b，則f

109、 ( 0 ) > 0，</p><p>　　f ( 1 ) < 0，f ( 2 ) > 0，可得，</p><p>　　故表示區(qū)域P內(nèi)的動點( a，b )與</p><p>　　定點A ( 1，2 )的連線的斜率，</p><p>　　如圖，M ( – 3，1 )，N ( – 1，0 )，</p><p&

110、gt;　　k AM =，k AN = 1，故< k < 1</p><p>　　二屆2試（1991高二）</p><p>　　14、以實數(shù)x，y為自變量的函數(shù)u ( x，y ) = x 2 +– 2 x y +的最小值是 。</p><p>　　解：u ( x，y ) + 2 = ( x – y ) 2 + (+) 2，可以</p&g

111、t;<p>　　看作是平面上點A( x，)、B( y，)間距離</p><p>　　的平方，即如圖兩曲線y =、x 2 + y 2 = 2間的最短</p><p>　　距離，易知當x = 3，y = 1時，AB最短，</p><p>　　故u ( x，y ) ≥ 8 – 2 = 6；</p><p>　　七屆2試 （1996 高

112、二）</p><p>　　20、非負實數(shù)x，y滿足x + 2 y ≤ 6，x 2 – 6 x + 5 ≤ y，則f ( x，y ) = x 2 + y 2 – 6 x – 8 y的最大值是 ，最小值是 。</p><p>　　解：( x，y ) 滿足條件在直角坐標平面內(nèi)對應的圖形是圖1中的陰影部分，又設f ( x，y ) = x 2 + y 2 – 6 x

113、– 8 y = m，即( x – 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = m + 25此方程表示以點M( 3，4 )為圓心，以為半徑的圓M，所以當m + 25最大（或最?。r，f ( x，y )也同時達到最大（或最?。?，由圖2可以看出，當圓M與直線x + 2 y = 6相切時，m + 25最小為() 2 = 5，m最小為– 20；當圓M過點( 1，0 )， ( 5，0 )時，m + 25最大為= 20，m最大為– 5。</p&

114、gt;<p>　　18、x，y ∈R時，函數(shù)f ( x，y ) = ( x + y ) 2 + (– y ) 2的最小值是__________。</p><p>　　解： 由題意知, 上式可以看成平面上兩點A ( x，)，B ( y，– y )間的最小距離d的平方，如右圖：</p><p><b>　　則有 d=1</b></p><

115、p>　　三屆2試（1992 高二）</p><p>　　21、已知k∈ R，關于x，y的方程y 4 + 4 y 3 + ( 2 x + 2 k x – k x 2 ) y 2 + 8 x y + ( 4 k x 2 – 2 k x 3 ) = 0表示一組曲線，其中有一條是固定的拋物線，試討論k值與曲線形狀的關系。</p><p>　　解：原方程可化為( y 2 + 2 x) ( –

116、 k x 2 + 2 k x + y 2 + 4 y ) = 0，</p><p>　　則固定拋物線為y 2 = – 2 x，</p><p>　　由 – k x 2 + 2 k x + y 2 + 4 y = 0，得 – k ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4 – k，</p><p>　　當k > 4時，方程可化為，為焦點在x軸上的