學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文可測(cè)集的判定方法及其性質(zhì)

1、<p>　　江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文</p><p>　　可測(cè)集的判定方法及其性質(zhì)</p><p>　　Determination Methods and Properties of</p><p>　　the Measurable Set</p><p>　　姓 名： &

2、lt;/p><p>　　學(xué) 號(hào)： </p><p>　　學(xué) 院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院</p><p>　　專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　指導(dǎo)老師： </p><p>　　完成時(shí)間： 2011年4月20日 </

3、p><p>　　可測(cè)集的判定方法及其性質(zhì)</p><p>　　【摘要】 在本論文中，我們介紹了基于Caratheodory測(cè)度理論上的Lebesgue測(cè)度理論.從可測(cè)集的定義出發(fā)，我們討論可測(cè)集的性質(zhì).我們還討論了可測(cè)集和Borel集之間的關(guān)系.為了更好地了解可測(cè)集的性質(zhì)，我們?cè)谖闹薪o出一些例子.通過寫這篇論文，我對(duì)可測(cè)集的性質(zhì)及其結(jié)構(gòu)有了更深刻全面的了解.</p><p&

4、gt;　　【關(guān)鍵字】測(cè)度 可測(cè)集 性質(zhì) </p><p>　　Determination Methods and Properties of the Measurable Set </p><p>　　[Abstract] In this paper, we introduce the Lebesgue measure theory which is based on the Ca

5、ratheodory measure theory. From the definitions of measurable set, we discuss the properties of measurable set. We also discuss the relationship between measurable set and Borel set. In order to obtain a good understandi

6、ng the properties of measurable set, we give some examples in the paper. Through writing this paper, I get a comprehensive and profound understanding about the construction and properties </p><p>　　[Keywords

7、] Measure Measurable set Properties </p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1.引言1</b></p><p>　　2.可測(cè)集的定義2</p><p>　　3.可測(cè)集的性質(zhì)4</p><p&

8、gt;<b>　　(1)零測(cè)集4</b></p><p>　　(2)可測(cè)集關(guān)于集合的運(yùn)算性質(zhì)5</p><p>　　(3)單調(diào)的可測(cè)集序列9</p><p>　　4.可測(cè)集類及可測(cè)集的構(gòu)成11</p><p>　　(1)可測(cè)集類11</p><p>　　(2)可測(cè)集與集的關(guān)系14&l

9、t;/p><p>　　參考文獻(xiàn)、致謝20</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　實(shí)變函數(shù)論的核心問題是對(duì)我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中已學(xué)過的黎曼（）積分進(jìn)行推廣，而建立一種應(yīng)用范圍更廣，使用起來更靈活、便利的新的積分理論即積分理論.</p><p>　　數(shù)學(xué)分析中積分基本上是處理幾乎連續(xù)的函數(shù)，但隨著理論

10、的發(fā)展，積分理論的缺陷變得愈來愈明顯，主要表面在以下兩個(gè)方面：一方面是對(duì)被積函數(shù)的連續(xù)性要求太強(qiáng)，以致于著名的函數(shù)這樣一種非常簡(jiǎn)單的函數(shù)都不可積；另一方面是應(yīng)用起來有很大的局限性，這種局限性突出表現(xiàn)在可積函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分，以及可積函數(shù)列的積分與極限的可交換性方面，一般要求函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)要具有一致收斂性，而這一要求在實(shí)際問題中常常得不到滿足，或雖然滿足要想驗(yàn)證又非常的繁復(fù)，因此，無論在理論方面還是在實(shí)際應(yīng)用方面改進(jìn)積分的定義使之適

11、用更廣泛的函數(shù)類是很有必要的.為此,數(shù)學(xué)家通過努力建立了一種新型的積分—積分.</p><p>　　積分和積分的思路相反,不是從分割自變量的區(qū)域而是從分割函數(shù)值域著手構(gòu)造積分和.19世紀(jì)下半葉,不少分析學(xué)家進(jìn)行一系列擴(kuò)充長(zhǎng)度和面積概念的探索,逐漸形成測(cè)度概念.它作為建立積分的基礎(chǔ),是要對(duì)中一般點(diǎn)集給出一種度量.它是長(zhǎng)度、面積和體積等概念的推廣.從1898年開始, 建立了一維點(diǎn)集的測(cè)度.法國數(shù)學(xué)家在20世紀(jì)初葉系統(tǒng)

12、地建立了測(cè)度論,并成功地建立起新的積分理論.1915年法國數(shù)學(xué)家提出在一般代數(shù)上建立測(cè)度，開始創(chuàng)立抽象測(cè)的理論.1918年左右希臘數(shù)學(xué)家提出關(guān)于現(xiàn)代測(cè)度理論的關(guān)鍵理論.本文要介紹基于外測(cè)度理論上的測(cè)度理論.</p><p><b>　　2 可測(cè)集的定義</b></p><p>　　定義2.1[1] 稱</p><p><b>　　

13、是的可數(shù)開覆蓋}</b></p><p>　　為點(diǎn)集的外測(cè)度，簡(jiǎn)稱外測(cè)度，記作.</p><p>　　定理2.1[1] 外側(cè)度具有如下性質(zhì)：</p><p>　　（1）對(duì)任意都有 （非負(fù)性）；</p><p>　　（2）設(shè)，則 （單調(diào)性）；</p&g

14、t;<p>　　（3）設(shè)，則 （次可加性）；</p><p>　　（4）設(shè)，若，則 （距離可加性）. </p><p>　　定義2.2[1] 稱中的點(diǎn)集為可測(cè)集，如果對(duì)于任意，都有</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　可測(cè)集的外測(cè)度就稱為

15、它的測(cè)度，簡(jiǎn)稱測(cè)度，記作.測(cè)度為零的集合稱為零測(cè)集.中所有可測(cè)集組成的集合稱為可測(cè)集類.</p><p>　　上述（1）式稱為條件，它等價(jià)于：</p><p><b>　　對(duì)任意都有 </b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　事實(shí)上，若（1）式成立，則取反之，若（2）

16、式成立，令 ,便有（1）式成立.</p><p>　　注: 要證明點(diǎn)集可測(cè),只需證明不等式</p><p>　　成立，因?yàn)橄喾吹牟坏仁娇偸浅闪?</p><p>　　例1[1] 證明對(duì)任意可測(cè)集和，都有</p><p><b>　　. </b></p><p>　　證明 可測(cè)，由條件&

17、lt;/p><p><b>　　對(duì)任意的，有 ,</b></p><p><b>　　取,</b></p><p>　　所以 (3)</p><p>　　取

18、 (4)</p><p>　　綜合（3），（4），得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　注: 可測(cè)集的定義方式有多種，原有的定義是通過內(nèi)測(cè)度與外測(cè)度給出的，外測(cè)度如前所述，有界點(diǎn)集的內(nèi)測(cè)度定義為</p><p>　　其中為包含的開區(qū)間. 的內(nèi)測(cè)度記作.<

19、/p><p>　　由于是包含的開集無限外縮逼近的度量的極限值,所以實(shí)際上是包含于內(nèi)的閉集向外無限膨脹的度量的逼近值,類似于用圓的內(nèi)接正多邊形面積逼近圓的面積,內(nèi)脹于外縮能達(dá)到統(tǒng)一的值,這個(gè)值就自然是點(diǎn)集的度量.因此可以給出:</p><p>　　定義2.3[1] 設(shè)為中有界點(diǎn)集，如果=，則稱是可測(cè)的.如果為中無界點(diǎn)集,若對(duì)于任何開區(qū)間,有界集都是可測(cè)的,則稱是可測(cè)的. 可測(cè)集的外測(cè)度稱為它

20、的測(cè)度.</p><p>　　注: 定義2.2和定義2.3是分別從兩個(gè)方面對(duì)可測(cè)集下的定義,可以證明這兩個(gè)定義是等價(jià)的,,但是由于定義2.3中有界集和無界集受到不同對(duì)待,而且同時(shí)出現(xiàn)內(nèi)外兩種內(nèi)外兩種測(cè)度,使用起來很不方便 ,因此一般以定義2.2作為可測(cè)集的正式定義.</p><p><b>　　3 可測(cè)集的性質(zhì)</b></p><p><

21、;b>　　(1) 零測(cè)集</b></p><p>　　例2[1] 若的外側(cè)度為零，則是可測(cè)集.</p><p><b>　　證明 對(duì)，</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　從而.</b></p>&

22、lt;p><b>　　所以可測(cè).</b></p><p>　　注: 測(cè)度為零的點(diǎn)集就為零測(cè)集.顯然我們有:</p><p>　　(1)零測(cè)集的子集也是零測(cè)集.</p><p>　　(2)有限個(gè)或可數(shù)個(gè)零測(cè)集的并集也是可測(cè)集.</p><p>　　例3[1] 可測(cè)集與零測(cè)集的并集也是可測(cè)集.</p>

23、<p>　　證明 設(shè)是中可測(cè)集，是中零測(cè)集.</p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　= </b></p><p><b>　　.</b></p><p

24、><b>　　.</b></p><p><b>　　由定義知可測(cè).</b></p><p>　?。?）可測(cè)集關(guān)于集合運(yùn)算的性質(zhì).</p><p>　　定理3.1[1] (1)若可測(cè),則可測(cè).</p><p>　　(2)若可測(cè),則,,都可測(cè). </p><

25、;p><b>　　證明 (1)由于</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　故可測(cè)能推出可測(cè) .</p><p>　　(2)對(duì)任意,它均可分解為</p><p><b>　　,</b></p><p><b&

26、gt;　?。ㄈ缟蠄D ） </b></p><p><b>　　可測(cè).集.可測(cè)集.</b></p><p>　　顯然互不相交，且,故由的可測(cè)性，得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　同理，取則，從而有</b></p>

27、<p><b>　　，</b></p><p>　　又因可測(cè)，所以取，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　聯(lián)立以上三式，得</b></p><p><b>　　，</b></p><p&g

28、t;<b>　　所以可測(cè).</b></p><p>　　由De Morgan公式，，故也可測(cè).</p><p><b>　　又，所以也可測(cè).</b></p><p>　　注: 設(shè)則下列三種說法是等價(jià)的:</p><p><b>　　（1）是可測(cè)集;</b></p>

29、<p><b>　?。?）是可測(cè)集;</b></p><p><b>　　（3）對(duì)任意.</b></p><p>　　定理3.2[1] 若為可測(cè)集,則,也可測(cè).若進(jìn)一步假設(shè),則有</p><p><b>　　(5)</b></p><p>　　證明 首先考慮

30、兩兩不相交的情形.我們先證明:對(duì)任意的,有 (6)</p><p>　　事實(shí)上,由于,在(2)式中取即可.進(jìn)一步,很容易將(6)推廣到 </p><p><b>　　(7)</b></p><p><b>　　其中為任意正整數(shù).</b></p><p>&l

31、t;b>　　現(xiàn)證明可測(cè).</b></p><p><b>　　對(duì)任意,不妨設(shè),則</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由于可測(cè)，故</b></p><p><b>　　，</b></p>

32、<p><b>　　于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因?yàn)?，從?）式知</b></

33、p><p><b>　　，</b></p><p>　　故令,知收斂，所以有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以可測(cè).</b></p><p><b>　　在(7)式中取,有</b></p&g

34、t;<p><b>　　(8)</b></p><p>　　再應(yīng)用引理2.5[1]，立即得到（5）式.</p><p>　　其次,考察一般可測(cè)集序列,我們令</p><p>　　則是互不相交的可測(cè)集序列.</p><p>　　而由,即知是可測(cè)的,也是可測(cè)的.定理證畢.</p><p>

35、;　　從(7)式可以推出:</p><p>　　定理3.3[1] 設(shè)是互不相交的可測(cè)集序列,則對(duì)任意,有</p><p><b>　　(9)</b></p><p>　　例4[1] 設(shè)是互不相交的可測(cè)集，，，.證明</p><p><b>　　.</b></p><p&g

36、t;　　證明 由定理3.2,可測(cè),對(duì)任意,有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　取,</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p>&l

37、t;b>　　由定理3.3知</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　證畢.</b></p><p>　　(3)單調(diào)的可測(cè)集序列 </p><p>　　定理3.4[1] 設(shè)是可測(cè)集序列,且,.則也是可測(cè)的,且

38、 （10）</p><p>　　證明 因?yàn)?，故可測(cè).若存在l，使，則（10）式顯然成立.</p><p>　　現(xiàn)設(shè),.由的單調(diào)性及可測(cè)性，均可測(cè)且不相交,</p><p><b>　　所以有</b></p><p><b>　　由于，所以</b></p>

39、<p><b>　　，</b></p><p><b>　　令,則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　再應(yīng)用測(cè)度的可數(shù)可加性，有</p><p><b>　　=.</b></p><p>

40、;　　例5[6] 設(shè)是一列可測(cè)集，證明:.</p><p>　　證明 先將求集合序列下限集的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求單調(diào)集列極限的運(yùn)算,然后利用測(cè)度的性質(zhì)進(jìn)行必要的討論.</p><p>　　由于,記,這樣的()是單調(diào)增加的,且,所以</p><p><b>　　，</b></p><p>　　對(duì)后一式兩邊取下限,注意到左邊實(shí)

41、際上存在極限,故有.綜上所述得 .</p><p>　　定理3.5[1] 設(shè)是可測(cè)集序列,且,.則也是可測(cè)的.又設(shè),則</p><p><b>　　. </b></p><p>　　證明 由的單調(diào)性知，且是遞減數(shù)列，故存在.</p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p>&l

42、t;p><b>　　， </b></p><p>　　所以是遞增可測(cè)集序列.</p><p><b>　　由定理3.4,有</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由于,故上式可以寫為</p><p><b>

43、;　　.</b></p><p><b>　　即得欲證.</b></p><p>　　例6[6] 設(shè)｛｝是一列可測(cè)集,是某自然數(shù),,證明： .</p><p>　　證明 由于,記,這樣的｛｝是單調(diào)減少集列，且</p><p><b>　　.</b></p><p

44、>　　由題設(shè)知,時(shí)，,所以</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　證畢.</b></p><p>　　注: 從以上各定理可知,點(diǎn)集的可測(cè)性關(guān)于可數(shù)并、可數(shù)交、差、余和極限運(yùn)算是封閉的,有了這些性質(zhì),我們可以從已知的可測(cè)集去發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造更多的可測(cè)集,由一些可測(cè)集去研究另外的可測(cè)集.<

45、/p><p>　　4 可測(cè)集類及可測(cè)集的構(gòu)成</p><p><b>　　(1)可測(cè)集類</b></p><p>　　在上一節(jié)中,給出了中可測(cè)集的定義，并且知道了可測(cè)集的一些性質(zhì)，但是除了零測(cè)集外，我們還不知道哪些具體的集合是可測(cè)的.本節(jié)要研究這個(gè)問題.由于我們是將測(cè)度作為長(zhǎng)度、</p><p>　　面積、體積該概念的擴(kuò)充

46、,因此凡可求長(zhǎng)度、面積、體積的集合都應(yīng)該是可測(cè)的.首先從區(qū)間</p><p><b>　　開始.</b></p><p>　　引理4.1[1] 設(shè)是中的開區(qū)間,則.</p><p>　　定理4.2[1] 中任何開區(qū)間都是可測(cè)的,且.</p><p>　　證明 由上面的引理1,只要證明可測(cè).設(shè)</p>&

47、lt;p><b>　　…，…,</b></p><p><b>　　對(duì)任意，要證明</b></p><p>　　（1） </p><p><b>　　

48、令</b></p><p><b>　　…，)|…,</b></p><p><b>　　則當(dāng)充分大，</b></p><p><b>　　從而，</b></p><p>　　由外測(cè)度的距離可加性,有</p><p><b>　　，

49、</b></p><p><b>　　如果能證明</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　則(1)式就可以通過前式取極限得到,因?yàn)?lt;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　現(xiàn)來

50、證.令</b></p><p><b>　　…，)|…,</b></p><p>　　它將在附近的點(diǎn)蓋住了.其體積</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中是與無關(guān)的正數(shù).對(duì)的其余部分,同樣可分別作出與之類似的開區(qū)間蓋住.最終,可用個(gè)體積不大于的開區(qū)間覆蓋.于是&

51、lt;/p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以.</b></p><p><b>　　令,則有</b></p><p>　　于是(1)式成立,故可測(cè). </p><p>　　注: 從定理4.1可以看出, 中任何區(qū)間與相應(yīng)的開區(qū)

52、間只差一個(gè)零測(cè)集.因此可以由此推出中任何區(qū)間都是可測(cè)的,且體積就是它的測(cè)度.</p><p>　　下面研究在中有哪些集合是可測(cè)的.用分割函數(shù)值域的方法作積分和時(shí),出現(xiàn)了形如</p><p>　　的點(diǎn)集.我們知道,連續(xù)函數(shù)是可積的，在新的積分中也應(yīng)該可積因此,當(dāng)連續(xù)時(shí)相應(yīng)的應(yīng)該可測(cè).</p><p>　　為兩個(gè)開集之差.因此開集應(yīng)該是可測(cè)的.</p>&

53、lt;p>　　下面證明, 中的開集是可測(cè)集.首先,給出中開集的構(gòu)造定理.</p><p>　　引理4.3[1] 中非空開集都可以表示成可數(shù)多個(gè)互不相交的左開右閉區(qū)間的并,即,其中</p><p><b>　　，)|,</b></p><p><b>　　且.</b></p><p>　　證明

54、 對(duì)每一個(gè)正整數(shù), 都可分解為可數(shù)多個(gè)形如</p><p>　　…，)|，,2, , (為整數(shù)) （2）</p><p>　　的互不相交的左開右閉的區(qū)間.</p><p>　　設(shè)時(shí)上述這些區(qū)間中完全包含在內(nèi)的是，（有限個(gè)或可數(shù)個(gè)）.對(duì)于,用,表示上述那些區(qū)間中完全被包含,但不被任何包含的區(qū)間(有限個(gè)或可數(shù)個(gè)).這樣可以得到可數(shù)多個(gè)左開

55、右閉的區(qū)間.顯然它們是互不相交的,.現(xiàn)對(duì)任意,因?yàn)镚是開集,故存在,使得以x為中心的為半徑的鄰域.于是,當(dāng)充分大時(shí)，（2）式中那些區(qū)間中包含x的那個(gè)一定完全被包含在內(nèi)，從而，即.</p><p>　　定義4.1[1] 如果點(diǎn)集是可數(shù)多個(gè)開集的交,則稱為集.如果是可數(shù)多個(gè)閉的并,則稱為集.由開集出發(fā),通過取余集,作可數(shù)交、可數(shù)并而成的集合類稱為集類，其中的元素稱為集.</p><p>　　

56、定理4.4[1] 中的開集、閉集以及任何集都是可測(cè)的.</p><p>　　證明 因?yàn)橹凶箝_右閉區(qū)間是可測(cè)的,而開集又可以表為可數(shù)個(gè)左開右閉區(qū)間的并,從而開集是可測(cè)的.任何閉集都是開集的余集,故閉集也是可測(cè)的.由集的定義知任何集也是可測(cè)的.</p><p>　　注: 從定理4.2可知,許多常見的集合都是可測(cè)的,比可求面積的(中)或可求體積的(中)的范圍擴(kuò)充了許多.但是上述的定理并

57、不意味著每一個(gè)可測(cè)集都是開集、閉集或集.事實(shí)上,存在非集的可測(cè)集.</p><p>　　(2)可測(cè)集與集的關(guān)系</p><p>　　定理4.5[4] 設(shè)型集，使，且 .</p><p>　　證明 由外測(cè)度的定義知，自然數(shù)，存在一列開區(qū)間{}，使</p><p><b>　　，</b></p><p

58、>　　記 = 顯然為型集, 且，</p><p><b>　　所以 ，</b></p><p>　　讓得 , 證畢 .</p><p>　　定理4.6[4] 設(shè)，則下列關(guān)系等價(jià)：</p><p><b>　?。?）為可測(cè)集；</b></p><p>　?。?）存在

59、開集，使且；</p><p>　?。?）存在型集，使，且， =0 .</p><p><b>　　證明 （1）（2）</b></p><p>　　當(dāng), 則由外測(cè)集的定義知對(duì),存在一列開區(qū)間{}, 使</p><p>　　，記=，顯然為開集，，</p><p><b>　　且，</b

60、></p><p>　　所以 , 而, 從而，</p><p>　　當(dāng)時(shí)，必為無界集，但它總可表示成可數(shù)個(gè)互不相交的有界可測(cè)集的并</p><p>　　即=（）. 對(duì)每個(gè)應(yīng)用上面結(jié)果, 存在開集，使</p><p><b>　　,顯然為開集, ,</b></p><p><b>　

61、　且</b></p><p><b>　　=，</b></p><p><b>　　從而 .</b></p><p><b>　?。?）（3）</b></p><p>　　取,由(2)知, 存在開集使</p><p><b>　　

62、，</b></p><p>　　顯然, 為型集, 且</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以 ，</b></p><p><b>　　讓得, </b></p><p><b>　　從而 .&l

63、t;/b></p><p><b>　?。?）（1）</b></p><p>　　由（3）知 存在型集，使, 且, ，</p><p>　　而 , 故是可測(cè)集.</p><p>　　注: 此定理表明任意可測(cè)集總可表示成一個(gè)與一個(gè)零測(cè)集的差集.</p><p>　　定理4.7[4] 設(shè)

64、, 則下列關(guān)系等價(jià)</p><p><b>　?。?）為可測(cè)集；</b></p><p>　?。?）, 存在閉集, 使, 且；</p><p>　?。?）存在型集，使，且， .</p><p><b>　　證明（1）（2）.</b></p><p>　　可測(cè)可測(cè)存在開集，使

65、且<.現(xiàn)令,則F是閉集且.因?yàn)?所以.</p><p><b>　　（1）（3）</b></p><p>　　可測(cè)可測(cè)存在型集G，使，且，記，則 為型集，，， </p><p><b>　　所以 ，</b></p><p><b>　　.定理證畢.</b></p&

66、gt;<p>　　例 7[1] 證明中可測(cè)集經(jīng)平移后仍為可測(cè)集.</p><p>　　證明 設(shè) 是可測(cè)集，是中的固定點(diǎn).記</p><p><b>　　下證可測(cè).</b></p><p>　　因?yàn)榭蓽y(cè),由定理4.4,存在集,且.記,則由集的定義可設(shè),其中為開集.于是.</p><p><b>

67、　　其中</b></p><p><b>　　， </b></p><p>　　顯然是開集，是零測(cè)集（由外測(cè)度的平移不變性），即也是一個(gè)集與零測(cè)集的差，所以可測(cè).</p><p>　　注: 以上兩個(gè)定理表明，只要有了全部的型或型集(它們都是集)和全部零測(cè)集，一切可測(cè)集都可以通過型集與零測(cè)集的差集或型集與零測(cè)集的并集獲得.<

68、/p><p>　　推論1[1] 如果是中的可測(cè)集，則存在一個(gè)集和一個(gè)零測(cè)集，使得.</p><p>　　推論2[4] 設(shè),則存在中的型集,使,且.</p><p>　　例8[1] 設(shè)是可測(cè)的,且,若</p><p><b>　　證明皆是可測(cè)集.</b></p><p>　　證明 由推論2

69、:存在可測(cè)集,使得,且</p><p><b>　　因?yàn)椋?lt;/b></p><p><b>　　所以,皆可測(cè),且.</b></p><p><b>　　所以,.</b></p><p><b>　　同理.</b></p><p>&

70、lt;b>　　由例1，，</b></p><p><b>　　因?yàn)椋?lt;/b></p><p><b>　　所以.</b></p><p><b>　　取為基本集，,</b></p><p><b>　　所以,</b></p>

71、<p>　　所以可測(cè).同理也可測(cè).</p><p>　　作為可測(cè)集與集之間關(guān)系的應(yīng)用，再給出乘積空間測(cè)度的計(jì)算公式.</p><p>　　定理4.8[1] 設(shè)、分別為和中的可測(cè)集，記，則為中的可測(cè)集,且 .</p><p><b>　　證明 證明分兩步</b></p><p>　　(一)先證當(dāng)均有界時(shí)，結(jié)論

72、成立.</p><p>　?。?）當(dāng)都是區(qū)間時(shí)，由區(qū)間的體積公式知結(jié)論成立.</p><p>　?。?）當(dāng)都是開集時(shí)，由開集的結(jié)構(gòu)知 </p><p>　　， ，其中，分別為和中兩兩不交的區(qū)間.于是</p><p>　　，其中為中兩兩不交的區(qū)間.</p><p><b>　　所以是可測(cè)集，且</b>

73、;</p><p><b>　　.</b></p><p>　?。?）當(dāng)都是集時(shí)，則， ，其中為有界開集，且單調(diào)遞</p><p>　　減；也為有界開集，且單調(diào)遞減.</p><p>　　于是為可測(cè)集，其中也單調(diào)遞減，</p><p><b>　　所以 .</b><

74、/p><p>　?。?）當(dāng)至少有一個(gè)為零測(cè)集時(shí)，不妨設(shè)，由定理4.6 存在集</p><p>　　使， 且 ，，于是由（3）得</p><p><b>　　而 ，所以 .</b></p><p>　?。?）當(dāng)均有界可測(cè)集時(shí)，由定理4.6 存在集 使， 且 ，，，，</p><p><b>

75、　　記，，則，，，</b></p><p>　　從而 ，再由（3）、（4）得 為可測(cè)集, 且</p><p><b>　　.</b></p><p>　　(二)再證當(dāng)至少有一個(gè)無界時(shí)，結(jié)論成立.</p><p>　　由于分別都可表示成一列互不相交的有界可測(cè)集的并集，即，，</p><p&

76、gt;　　其中，都是有界可測(cè)集，而，其中互不相交，故由（一）知為可測(cè)集，且 </p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]李國禎．實(shí)分析與泛函分析引論[M]．北京：科學(xué)出版社，2004</p><p>　　[2]鄭維行，王聲望．實(shí)變

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