結(jié)式理論及其應(yīng)用【信息科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)】【畢業(yè)設(shè)計(jì)+文獻(xiàn)綜述+開(kāi)題報(bào)告】

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p><b>　?。ā?01 　屆）</b></p><p><b>　　結(jié)式理論及其應(yīng)用</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān)業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱(chēng) </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要: 結(jié)式在代數(shù)中有著許多重要應(yīng)用。本文首先介紹了一元

3、多項(xiàng)式的一些性質(zhì)，定理，讓我們初步了解了多項(xiàng)式定理的一些情況。接著介紹了結(jié)式理論的一些性質(zhì)，定理，然后介紹結(jié)式的一些傳統(tǒng)的算法，分別從預(yù)備知識(shí)，主要結(jié)果，算法例舉三個(gè)方面介紹了傳統(tǒng)的算法。最后再通過(guò)例舉結(jié)式在各個(gè)方面上的應(yīng)用，來(lái)說(shuō)明結(jié)式的應(yīng)用。多項(xiàng)式的結(jié)式理論為計(jì)算多元非線(xiàn)性方程提供了一個(gè)理論化、系統(tǒng)化的方法，借助于計(jì)算機(jī)的輔助分析與計(jì)算，減少了計(jì)算量，提高了計(jì)算效率，比傳統(tǒng)的迭代數(shù)值解法更具有優(yōu)越性。</p><p

4、>　　關(guān)鍵詞:結(jié)式理論；傳統(tǒng)的算法；應(yīng)用</p><p>　　Resultant Theory and Its Applications</p><p>　　Abstract: Resultants in algebra has many important applications. This paper introduces a polynomial of some proper

5、ties of the theorem, so that our initial understanding of some cases of polynomial theorem. Then introduced some properties of end-type theory, theorem, and then describes some of the traditional junction-type algorithms

6、, respectively, from prior knowledge, the main results, the algorithm introduces three examples of the traditional algorithm. Finally, through examples in all aspects</p><p>　　Keywords: Resultant theory; tra

7、ditional algorithm; Application</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 緒 論1</b></p><p>　　1.1 問(wèn)題的背景1</p><p>　　1.2 問(wèn)題的意義1</p><p>　　2 結(jié)

8、式理論的定義及性質(zhì)2</p><p>　　2.1一元多項(xiàng)式2</p><p>　　2.2結(jié)式的定義5</p><p>　　3 結(jié)式理論的傳統(tǒng)算法及其應(yīng)用9</p><p><b>　　3.1預(yù)備知識(shí)9</b></p><p>　　3.2主要結(jié)果10</p><p&

9、gt;　　3.3 算法例舉13</p><p>　　3.4結(jié)式理論的應(yīng)用18</p><p>　　3.4.1在二元線(xiàn)性方程組中的應(yīng)用18</p><p>　　4 結(jié)式理論的新算法——基于矩陣形表示的結(jié)式計(jì)算方法21</p><p>　　4.1 符號(hào)引入21</p><p>　　4.2 性質(zhì)介紹21</

10、p><p>　　4.3 理論推導(dǎo)及方法說(shuō)明24</p><p><b>　　4.4結(jié)束語(yǔ)26</b></p><p><b>　　5結(jié)論27</b></p><p>　　致 謝錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)28</b>&l

11、t;/p><p><b>　　1 緒 論</b></p><p><b>　　1.1 問(wèn)題的背景</b></p><p>　　高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)最主要的基礎(chǔ)課程之一。高等代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容包含三個(gè)方面：線(xiàn)性代數(shù)，多項(xiàng)式理論，群，環(huán)，域的基本概念。線(xiàn)性代數(shù)占的比重最大，它研究線(xiàn)性空間及其線(xiàn)性映射（包括具有度量的線(xiàn)性空間及與度量

12、有關(guān)的線(xiàn)性變換）。多項(xiàng)式理論是研究一元和多元多項(xiàng)式環(huán)。，群，環(huán)，域的基本概念是緊密結(jié)合多項(xiàng)式理論和線(xiàn)性變換（包括與度量有關(guān)的線(xiàn)性變換）理論，水到渠成地介紹一元（多元）多項(xiàng)式環(huán)、矩陣環(huán)、線(xiàn)性變換環(huán)、模p剩余類(lèi)域、正交群、酉群和辛群。</p><p><b>　　1.2 問(wèn)題的意義</b></p><p>　　隨著現(xiàn)代工程技術(shù)的發(fā)展，多項(xiàng)式理論的用途越來(lái)越廣泛。特別是在現(xiàn)

13、代控制理論中，頻域法就是以多項(xiàng)式理論為數(shù)學(xué)工具的一種系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。而結(jié)式(resultant)是多項(xiàng)式理論中一個(gè)比較重要的概念，它主要用于多項(xiàng)式之間互質(zhì)性的判定。本文從多項(xiàng)式的結(jié)式概念人手，提出應(yīng)用結(jié)式理論來(lái)確定多元非線(xiàn)性多項(xiàng)式所有零點(diǎn)的系統(tǒng)方法，并借助計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算能力驗(yàn)證該方法在解非線(xiàn)性方程組的計(jì)算中是行之有效的。凡是可化為多項(xiàng)式方程組求解的問(wèn)題，均可采用本文的方法進(jìn)行研究，特別是在電力電子領(lǐng)域中的諧波抑制方面有廣泛的應(yīng)用。<

14、;/p><p>　　2 結(jié)式理論的定義及性質(zhì)</p><p><b>　　2.1一元多項(xiàng)式</b></p><p>　　定義2.1 設(shè)是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，形式表達(dá)式</p><p>　　稱(chēng)為系數(shù)在數(shù)域中的一元多項(xiàng)式，或稱(chēng)數(shù)域上的一元多項(xiàng)式。</p><p>　　在多項(xiàng)式中，稱(chēng)為次項(xiàng)，稱(chēng)為第次項(xiàng)的系數(shù)。我

15、們把數(shù)域上所有一元多項(xiàng)式的集合記為。用或等符號(hào)表示多項(xiàng)式。</p><p>　　我們還規(guī)定：兩個(gè)多項(xiàng)式與的同次項(xiàng)的系數(shù)全相等，并記為。又把所有系數(shù)都等于0的多項(xiàng)式稱(chēng)為零多項(xiàng)式，記為0。</p><p>　　多項(xiàng)式中系數(shù)不等于0的最高次數(shù)的項(xiàng)稱(chēng)為多項(xiàng)式的首項(xiàng)，其系數(shù)稱(chēng)為首相系數(shù)，首相系數(shù)等于1的多項(xiàng)式稱(chēng)為首一多項(xiàng)式。首項(xiàng)的次數(shù)稱(chēng)為多項(xiàng)式的次數(shù)。多項(xiàng)式的次數(shù)記為。例如式的多項(xiàng)式中如果，其首項(xiàng)就

16、是，首項(xiàng)系數(shù)就是，次數(shù)等于。規(guī)定零多項(xiàng)式的次數(shù)等于的運(yùn)算規(guī)則如下：</p><p><b>　　+任何整數(shù)=，，</b></p><p>　　零次多項(xiàng)式就是一個(gè)非零常數(shù)。</p><p>　　多項(xiàng)式在需多方面的性質(zhì)非常類(lèi)似于整數(shù)。首先定義多項(xiàng)式的加法運(yùn)算。設(shè)</p><p>　　不妨設(shè)定。為方便起見(jiàn)令。那么和的和為：&l

17、t;/p><p>　　顯然數(shù)域上的多項(xiàng)式之和仍是一個(gè)上的多項(xiàng)式。</p><p>　　很容易驗(yàn)證多項(xiàng)式的加法具有類(lèi)似于整數(shù)加法（以及向量加法）的性質(zhì)：</p><p><b>　　加法結(jié)合律：</b></p><p><b>　　加法交換律：</b></p><p><b&

18、gt;　　零多項(xiàng)式的特性：</b></p><p>　　對(duì)于任意的多項(xiàng)式存在被稱(chēng)為負(fù)多項(xiàng)式的多項(xiàng)式，使得</p><p>　　有了負(fù)多項(xiàng)式的概念就可以定義多項(xiàng)式的減法。把兩個(gè)多項(xiàng)式與的差定義為：</p><p>　　再定義多項(xiàng)式的乘法：設(shè)多項(xiàng)式與如，式所示則定義它們的積為：</p><p><b>　　其中次項(xiàng)的系數(shù)為：

19、</b></p><p><b>　　所以可以表示成</b></p><p>　　多項(xiàng)式的乘法也均有類(lèi)似于整數(shù)乘法的性質(zhì)：</p><p><b>　　乘法結(jié)合律：</b></p><p><b>　　乘法交換律：</b></p><p>&

20、lt;b>　　多項(xiàng)式1的特征：</b></p><p>　　此外乘法與加法之間還滿(mǎn)足分配律：</p><p><b>　　以及</b></p><p>　　以后我們把數(shù)域上一元多項(xiàng)式的全體稱(chēng)為一元多項(xiàng)式環(huán)，簡(jiǎn)稱(chēng)多項(xiàng)式環(huán)。</p><p>　　在觀察多項(xiàng)式的和與積的次數(shù)。</p><p

21、>　　命題2.1 對(duì)于多項(xiàng)式的乘法，有</p><p><b>　　特別當(dāng)時(shí)有。</b></p><p>　　推論2.1 多項(xiàng)式的乘法滿(mǎn)足消去律：如果，且，那么。</p><p><b>　　命題2.2 設(shè)，則</b></p><p><b>　　2.2結(jié)式的定義</b>

22、</p><p>　　我們知道，結(jié)式在代數(shù)中有著許多重要應(yīng)用。利用結(jié)式能有效地解決兩個(gè)一元多項(xiàng)式以及兩個(gè)二元多項(xiàng)式的公共零點(diǎn)問(wèn)題。我們還知道，判別式在多項(xiàng)式理論中占有重要的地位。根據(jù)判別式不但可以判定一個(gè)多項(xiàng)式是否有重根，而且還可以根據(jù)判別式的符號(hào)判定實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的根的情況。而判別式恰與結(jié)式有密切聯(lián)系，前者往往通過(guò)后者進(jìn)行計(jì)算。</p><p>　　結(jié)式能夠起到在兩個(gè)聯(lián)立的多項(xiàng)式方程中消去

23、一個(gè)變量的作用。</p><p>　　先考慮兩個(gè)一元多項(xiàng)式</p><p>　　其中,并且允許首項(xiàng)系數(shù)等于0。</p><p>　　用分別乘，用分別乘，可以得到以下等式組：</p><p>　　……………………………………………………</p><p>　　……………………………………………………</p>

24、<p>　　我們把等式組右邊的系數(shù)矩陣記為</p><p>　　則?，F(xiàn)在用矩陣A的最后一列元素的代數(shù)余子式分別去乘的各個(gè)等式并把乘積相加。根據(jù)行列式的代數(shù)余子式的性質(zhì)，等式右邊的的系數(shù)都等于0，只有常數(shù)項(xiàng)系數(shù)等于行列式。也就是說(shuō)得到下述結(jié)果：</p><p><b>　　我們引進(jìn)以下定義：</b></p><p><b>　

25、　定義1 設(shè)</b></p><p>　　是的兩個(gè)多項(xiàng)式，并且。則稱(chēng)行列式</p><p><b>　　為與的結(jié)式，記為。</b></p><p>　　根據(jù)結(jié)式的定義，我們可以把式改寫(xiě)成以下形式：</p><p><b>　　。</b></p><p><b

26、>　　其中</b></p><p><b>　　顯然有</b></p><p>　　這樣就證明了以下命題</p><p><b>　　命題2.3 設(shè)</b></p><p>　　是的兩個(gè)多項(xiàng)式，并且。則存在多項(xiàng)式，，使得</p><p>　　利用這個(gè)命題可以

27、證明下面的定理。</p><p><b>　　定理2.2 設(shè)</b></p><p>　　是的兩個(gè)多項(xiàng)式，其中。則結(jié)式的充分必要條件是：或者，或者與有次數(shù)大于0的公因式（或等價(jià)地，和有公共的復(fù)數(shù)根）。</p><p>　　證明：設(shè)則式矩陣的行向量線(xiàn)性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)使得。用分別乘等式組的各式并相加，就可得到</p><

28、p><b>　　令</b></p><p><b>　　則不全為零，且</b></p><p>　　若不全為零，不妨設(shè)則，因而。如果，，有。若會(huì)得到，與不全為零矛盾。但又導(dǎo)出矛盾。所以。令。由于次數(shù)大于0，它一定有一個(gè)復(fù)數(shù)根。根據(jù)多項(xiàng)式的根與一次因式的關(guān)系，有。由于是與的最大公因式，因此又有再次利用根與一次因式的關(guān)系，就可得到這說(shuō)明與有公共

29、的復(fù)數(shù)根。</p><p>　　如果，則由結(jié)式的定義，設(shè)。如果次數(shù)大于0，則由上證，與有公共的復(fù)數(shù)根。把代入，即有</p><p>　　3 結(jié)式理論的傳統(tǒng)算法及其應(yīng)用</p><p><b>　　3.1預(yù)備知識(shí)</b></p><p>　　我們知道, 結(jié)式在代數(shù)中有著許多重要應(yīng)用。利用結(jié)式能有效地解決兩個(gè)一元多項(xiàng)式以及

30、兩個(gè)二元多項(xiàng)式的公共零點(diǎn)問(wèn)題我們還知道, 判別式在多項(xiàng)式理論中占有重要的地位根據(jù)判別式不但可以判定一個(gè)多項(xiàng)式是否有重根, 而且還可以根據(jù)判別式的符號(hào)判定實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的根的情況而判別式恰與結(jié)式有密切聯(lián)系, 前者往往通過(guò)后者進(jìn)行計(jì)算有關(guān)結(jié)式的計(jì)算, 在一般高等代數(shù)教程中大致有以下兩種方法, 其一是行列式法,其二是公式法.本綜述給出另一種計(jì)算結(jié)式的方法這種方法在計(jì)算結(jié)式時(shí)只須對(duì)所給兩個(gè)一元多項(xiàng)式進(jìn)行有限次帶余除法即(輾轉(zhuǎn)相除)就可以了這種方法

31、的優(yōu)點(diǎn)在于它既可以避免高階行列式的復(fù)雜計(jì)算, 又可以避開(kāi)求多項(xiàng)式的所有根的困難實(shí)踐表明, 就連普通的中學(xué)生也可以根據(jù)本綜述所給出的方法計(jì)算結(jié)式。</p><p>　　我們的討論要用到以下預(yù)備知識(shí)：</p><p>　　僅限于在復(fù)數(shù)域上進(jìn)行討論。</p><p>　　設(shè) </p><p>　　與

32、 </p><p>　　均為復(fù)數(shù)域上兩個(gè)一元多項(xiàng)式。</p><p><b>　　我們稱(chēng)階行列式：</b></p><p><b>　　為與的結(jié)式，記作。</b></p><p>　　不難證明下列諸式成立：</p><p>　　若又與分別為與的全部（復(fù)）根，則&l

33、t;/p><p>　　為了本文的需求，我們?cè)俳o出關(guān)于結(jié)式的一個(gè)補(bǔ)充定義：若為任一次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，為任一復(fù)數(shù)，我們規(guī)定：</p><p>　　其中（記號(hào)表示的次數(shù)）</p><p>　　關(guān)于式的合理性可作如下的解釋?zhuān)焊鶕?jù)結(jié)式定義, 因?yàn)槭谴味囗?xiàng)式，若數(shù)，則是零次多項(xiàng)式，故與的結(jié)式應(yīng)該是階行列式，而的系數(shù)不應(yīng)在行列式中出現(xiàn)，既（階行列式）。</p><

34、;p><b>　　特別地，我們規(guī)定</b></p><p><b>　　3.2主要結(jié)果</b></p><p>　　命題3.1 若，（見(jiàn)式，）滿(mǎn)足且，則 </p><p><b>　　其中</b></p>

35、<p>　　證 若，根據(jù)公式，我們有</p><p>　　若，既為某一非零數(shù)，借助于我們規(guī)定的式易知。從而式獲證。</p><p>　　類(lèi)似地，由公式與不難證明</p><p>　　命題3.2 若，（見(jiàn)式，）滿(mǎn)足且，則 </p><p><b>　　其中。</b></p><p&g

36、t;　　[注]若，則上述兩個(gè)命題的結(jié)論顯然均為。</p><p>　　一般來(lái)說(shuō)，根據(jù)命題3.1或3.2，雖然能使結(jié)式計(jì)算得以簡(jiǎn)化, 但在許多情況下還顯得遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠, 為此我們?cè)俳o出</p><p>　　命題3.3若，（見(jiàn)式，）滿(mǎn)足</p><p><b>　　且，則</b></p><p>　　其中與分別為的次數(shù)與首項(xiàng)系數(shù)

37、，</p><p>　　證 先看為奇數(shù)的情形。此時(shí)，我們反復(fù)應(yīng)用公式與，可得</p><p>　　將以上諸式兩邊分別相乘得</p><p>　　為了便于計(jì)算, 我們不妨把整數(shù)的代數(shù)和。</p><p>　　干脆改換成它們的和：</p><p>　　顯然，這樣做實(shí)際上并不影響共奇偶性。故由式即得我們所要的公式。</

38、p><p><b>　　若為偶數(shù)，我們有</b></p><p>　　將以上諸式兩邊分別相乘，并且注意到</p><p>　　即可得出公式。因此，不論為奇為偶，式恒成立。</p><p><b>　　3.3 算法例舉</b></p><p>　　例3.1 求下列多項(xiàng)式的結(jié)式：&l

39、t;/p><p>　　解 對(duì)與作輾轉(zhuǎn)相除：</p><p>　　易見(jiàn)故由公式，我們有</p><p>　　顯而易見(jiàn)，這種算法要比用式或求解都來(lái)得簡(jiǎn)便。尤其是最后的計(jì)算，根本沒(méi)有涉及任何行列式。</p><p>　　例3.2 求下列多項(xiàng)式的結(jié)式：</p><p>　　解 因?yàn)?，故由命題3.1得</p><

40、;p>　　例3.3 求下列多項(xiàng)式的結(jié)式：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　解 ，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　因?yàn)椋视晒?，我們?lt;/p><p><b>　　

41、。</b></p><p>　　僅此三例足見(jiàn)本文給出的算法要比直接用式或式進(jìn)行計(jì)算都要簡(jiǎn)捷得多作為結(jié)束, 我們綜合應(yīng)用公式和本文的公式證明一個(gè)有趣的恒等式： </p><p>　　這里是全部次單位虛根。</p><p><b>　　事實(shí)上，取</b></p><p>　　與例3.3相類(lèi)似，由公式易得</

42、p><p>　　另一方面，根據(jù)公式，又有</p><p>　　綜合以上兩個(gè)結(jié)果即得恒等式。</p><p>　　又因根據(jù)三角公式易得</p><p><b>　　故 </b></p><p>　　其中故由恒等式又得一個(gè)三角恒等式：</p><p>　　仿照恒等式,

43、 的推導(dǎo)方法還能得出許多更為復(fù)雜的恒等式。</p><p><b>　　例3.4 判斷</b></p><p>　　在復(fù)數(shù)域中有沒(méi)有公共根。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　所以和互素，從而它們?cè)趶?fù)數(shù)域上沒(méi)有公共根。</p><p>　　實(shí)際上，

44、結(jié)式的真正意義在于它能從2個(gè)多項(xiàng)式聯(lián)立方程中消去一個(gè)未知量。從而提供了解2元高次代數(shù)方程組的一個(gè)方法。</p><p><b>　　設(shè)。我們要求方程組</b></p><p>　　在復(fù)數(shù)域中的全部解。</p><p><b>　　把看成的多項(xiàng)式：</b></p><p><b>　　其中。

45、</b></p><p><b>　　我們把行列式</b></p><p>　　稱(chēng)為多項(xiàng)式關(guān)于變量的結(jié)式，記為。注意這是變量的多項(xiàng)式。</p><p>　　如果方程組在復(fù)數(shù)域中有一個(gè)解，那么是的復(fù)數(shù)系多項(xiàng)式與的公共根，因此根據(jù)定理，這兩個(gè)一元多項(xiàng)式的結(jié)式。注意到，說(shuō)明是的多項(xiàng)式的一個(gè)復(fù)根。</p><p>　

46、　反之，如果是多項(xiàng)式的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則結(jié)式</p><p>　　有，或者一元多項(xiàng)式與有公共的復(fù)數(shù)根。在后一情形，是方程組的一個(gè)解。</p><p>　　給出了解二元高次方程組的一個(gè)一般方法。我們先對(duì)一個(gè)變量求結(jié)式，再求出這個(gè)的多項(xiàng)式的所有復(fù)數(shù)根。然后把求得的每個(gè)復(fù)數(shù)根分別代入原方程組，求出的公共根。這樣就可以得到原方程組在復(fù)數(shù)域中的所有解。</p><p>　　由于與

47、的地位是對(duì)稱(chēng)的，因此也可以先對(duì)求結(jié)式。結(jié)果當(dāng)然是一樣的，不過(guò)難易程度可能會(huì)有很大差別。</p><p>　　因?yàn)榻Y(jié)式法把求二元方程組的解歸結(jié)為求解一元方程組</p><p>　　的問(wèn)題，從兩個(gè)變量中消去了一個(gè)變量，因此這是一種消元法。</p><p>　　例3.5 解方程組：</p><p>　　解：把這兩個(gè)多項(xiàng)式看作的多項(xiàng)式：</p&

48、gt;<p><b>　　求結(jié)式</b></p><p>　　于是結(jié)式的根是1，3，-2.由于，因此結(jié)式的每一個(gè)根都可求得原方程組的解。</p><p><b>　　用代入原方程組，得</b></p><p>　　得到解。因此和的原方程組的兩個(gè)解，</p><p>　　用代入原方程組，

49、解得；用代入原方程組，解得。因此也是原方程組得解。上述4個(gè)解是方程組的全部解。 </p><p>　　3.4結(jié)式理論的應(yīng)用</p><p>　　在控制系統(tǒng)的分析與綜合以及在電力電子等許多實(shí)際問(wèn)題的動(dòng)態(tài)分析中，經(jīng)常遇到求解多項(xiàng)式零點(diǎn)的問(wèn)題，甚至是關(guān)于非線(xiàn)性多元多項(xiàng)式零點(diǎn)的問(wèn)題。例如確定有兩個(gè)變量的兩個(gè)多項(xiàng)式的公共解，或者是兩條平面曲線(xiàn)的交點(diǎn)，就可以利用結(jié)式理論和本文的推論減少變量的數(shù)目來(lái)解決

50、問(wèn)題。</p><p>　　平面域中給出兩條曲線(xiàn)</p><p>　　確定這兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)。可以把兩個(gè)多項(xiàng)式都看成是以為變量的多項(xiàng)式， 是的系數(shù)，那么由這兩個(gè)多項(xiàng)式組成的方程就是非線(xiàn)性方程，甚至是超越方程?？梢岳媒Y(jié)式消去變量，這就意味著求解雙變量多項(xiàng)式的公共解，被化簡(jiǎn)成求單變量多項(xiàng)式的根。</p><p>　　設(shè)是兩條曲線(xiàn)在軸上的投影集合,是兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)，零點(diǎn)定

51、理可具體表述如下:</p><p>　　3.4.1在二元線(xiàn)性方程組中的應(yīng)用</p><p>　　例3.6：在復(fù)平面中給定兩條曲線(xiàn)的解析式：</p><p>　　試確定這兩條曲線(xiàn)在復(fù)數(shù)域中的交點(diǎn)。</p><p>　　這兩條曲線(xiàn)的解析式是由非線(xiàn)性多項(xiàng)式構(gòu)成，如果利用傳統(tǒng)方法解其難度較大，即使利用牛頓一瑞普森等迭代法也不可能一次性解出所有的交點(diǎn)，

52、更何況復(fù)數(shù)域中的交點(diǎn)。</p><p>　　利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Mathematica可以很方便的得到和)在平面中的曲線(xiàn)，如圖1所示：</p><p>　　圖1 和的曲線(xiàn)（粗線(xiàn)表示的曲線(xiàn)）</p><p>　　將兩式展開(kāi)成為為變量的多項(xiàng)式，</p><p>　　利用希爾維斯特矩陣得到其結(jié)式為</p><p>　　根據(jù)本文推

53、論，使，可得到交點(diǎn)在軸上的投影集合，對(duì)于每一個(gè)值都可以計(jì)算相應(yīng)的值。</p><p><b>　　時(shí)，</b></p><p><b>　　時(shí)，</b></p><p><b>　　時(shí)，</b></p><p>　　由此可得，復(fù)數(shù)域中這兩條曲線(xiàn)共有6個(gè)交點(diǎn)，即</p>

54、;<p>　　4 結(jié)式理論的新算法——基于矩陣形表示的結(jié)式計(jì)算方法</p><p>　　多項(xiàng)式理論是高等代數(shù)中相當(dāng)重要的內(nèi)容，結(jié)式又是其中的一個(gè)重要概念，如何快速、簡(jiǎn)便地計(jì)算結(jié)式一直是大家關(guān)心的問(wèn)題。但是在高等代數(shù)中，一個(gè)次多項(xiàng)式與次多項(xiàng)式的結(jié)式的定義與計(jì)算均是用階行列式來(lái)完成的，這樣的計(jì)算繁瑣、復(fù)雜、易錯(cuò)。本文首先給出結(jié)式的新符號(hào)表示，我們稱(chēng)之為結(jié)式的矩陣形表示，進(jìn)而引入結(jié)式的若干性質(zhì)，其中包括矩

55、陣形結(jié)式的移位變換、消尾變換等，并據(jù)此給出一種簡(jiǎn)便、易用的結(jié)式計(jì)算新方法。以下將分符號(hào)引入、性質(zhì)介紹，方法說(shuō)明及具體舉例來(lái)展開(kāi)討論。</p><p><b>　　4.1 符號(hào)引入</b></p><p><b>　　定義4.1 設(shè)</b></p><p>　　是的兩個(gè)多項(xiàng)式，與的結(jié)式記為</p><p&

56、gt;　　(這里由于書(shū)寫(xiě)表達(dá)關(guān)系，不妨設(shè)，以下類(lèi)同)</p><p>　　稱(chēng)之為與的矩陣形結(jié)式表示。</p><p><b>　　例4.1 設(shè)</b></p><p>　　與的矩陣形結(jié)式表示為。</p><p><b>　　4.2 性質(zhì)介紹</b></p><p><b

57、>　　設(shè)</b></p><p>　　是的兩個(gè)多項(xiàng)式，關(guān)于結(jié)式有以下性質(zhì)：</p><p><b>　　性質(zhì)4.1 </b></p><p><b>　　矩陣形表示為：</b></p><p><b>　　性質(zhì)4.2 ，其中</b></p>&l

58、t;p><b>　　矩陣形表示為：</b></p><p><b>　　性質(zhì)4.3 </b></p><p><b>　　矩陣形表示為：</b></p><p>　　證明 0是在復(fù)數(shù)域內(nèi)的重復(fù)根，則</p><p>　　由性質(zhì)4.1及性質(zhì)4.2，得</p&g

59、t;<p>　　性質(zhì)4 </p><p><b>　　矩陣形表示為：</b></p><p>　　證明 設(shè)是在復(fù)數(shù)域內(nèi)的全部個(gè)根，則</p><p>　　由性質(zhì)4.1及性質(zhì)4.4，得</p><p>　　為敘說(shuō)方便，給出如下定義</p><p>　　定義4.2

60、稱(chēng)性質(zhì)4為矩陣型結(jié)式運(yùn)算的移位變換，并分別記式、的移位變換為。</p><p><b>　　性質(zhì)4.5 </b></p><p><b>　　若，則 </b></p><p><b>　　矩陣形表示為：</b></p><p><b>　　若，則</b&

61、gt;</p><p>　　證明 設(shè)是在復(fù)數(shù)域內(nèi)的全部個(gè)根，則</p><p>　　由，得，設(shè)是的全部個(gè)復(fù)數(shù)根，則</p><p>　　定義4.3 稱(chēng)性質(zhì)4.5為矩陣形結(jié)式運(yùn)算的消尾變換，并分別記式、的小為變換為，。</p><p>　　4.3 理論推導(dǎo)及方法說(shuō)明</p><p><b>　　定理4.1 設(shè)

62、 </b></p><p>　　是的兩個(gè)多項(xiàng)式，與的常數(shù)項(xiàng)全為零，則與的結(jié)式。</p><p><b>　　定理4.2 </b></p><p>　　是的兩個(gè)多項(xiàng)式，，與的常數(shù)項(xiàng)不全為零，則與的階結(jié)式</p><p>　?。ㄟ@里由于書(shū)寫(xiě)表達(dá)關(guān)系，不妨設(shè)）</p><p>　　一定可以通

63、過(guò)性質(zhì)化為更低階的結(jié)式。</p><p>　　證明 已知與的常數(shù)項(xiàng)不全為零，不妨設(shè)的常數(shù)項(xiàng)不為零，現(xiàn)分二種情況：</p><p>　　當(dāng)?shù)某?shù)項(xiàng)時(shí)，令，其中為正整數(shù)，的常數(shù)項(xiàng)不為零，且,則由性質(zhì)4.4，得</p><p><b>　　，（由性質(zhì)4.5）</b></p><p><b>　　，（由性質(zhì)4.4）&l

64、t;/b></p><p><b>　　結(jié)式的階數(shù)為。</b></p><p>　　注1：定理4.2可以稱(chēng)為結(jié)式計(jì)算降階定理，其證明過(guò)程也是結(jié)式計(jì)算的實(shí)際降階方法。</p><p>　　現(xiàn)在哦我們說(shuō)明基于矩陣形表示的結(jié)式計(jì)算過(guò)程：</p><p>　　對(duì)于給出的多項(xiàng)式、，寫(xiě)出其矩陣形結(jié)式；</p>&

65、lt;p>　　對(duì)不斷施行消尾變換和移位變換（即性質(zhì)4.4，性質(zhì)4.5）進(jìn)行結(jié)式降階處理。</p><p>　　注2：在實(shí)際降階過(guò)程中，為了避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù)參與運(yùn)算引起的繁瑣，可以利用性質(zhì)2對(duì)某行提取或乘以一不為零的常數(shù)。</p><p>　　在實(shí)際降階過(guò)程中，應(yīng)及時(shí)消去矩陣形結(jié)式中左邊元素全為零的列。</p><p>　　若與有公根，則，此時(shí)在降階過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)某行

66、元素全為零的情形，為此我們作如下補(bǔ)充定義。</p><p><b>　　定義4.4 設(shè)規(guī)定</b></p><p>　　例4.2 設(shè)，.求與的結(jié)式。</p><p><b>　　解 </b></p><p>　　例4.3 設(shè)，，證明與在復(fù)數(shù)域內(nèi)有公根。</p><p><

67、;b>　　解 </b></p><p>　?。ㄓ尚再|(zhì)4.2、性質(zhì)4.4）</p><p>　　因此，與在復(fù)數(shù)域內(nèi)有公根。</p><p><b>　　4.4結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　當(dāng)結(jié)式的階數(shù)比較大時(shí)，直接用行列式法來(lái)計(jì)算結(jié)式不僅繁瑣、易錯(cuò)，而且書(shū)寫(xiě)篇幅尤顯龐大。本文利用結(jié)式的矩陣形表示后

68、，通過(guò)尾位消元結(jié)合移位變換達(dá)到降階目的，使結(jié)式的計(jì)算變得簡(jiǎn)便、易行，而且書(shū)寫(xiě)篇幅小，有較好的實(shí)用價(jià)值。</p><p><b>　　5結(jié)論</b></p><p>　　本文首先介紹了一元多項(xiàng)式的一些性質(zhì)，定理，讓我們初步了解了多項(xiàng)式定理的一些情況。接著介紹了結(jié)式理論的一些性質(zhì)，定理，然后介紹結(jié)式的一些傳統(tǒng)的算法，分別從預(yù)備知識(shí)，主要結(jié)果，算法例舉三個(gè)方面介紹了傳統(tǒng)的算

69、法。這種方法在計(jì)算結(jié)式時(shí)只須對(duì)所給兩個(gè)一元多項(xiàng)式進(jìn)行有限次帶余除法即（輾轉(zhuǎn)相除）就可以了。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于：它既可以避免高階行列式的復(fù)雜計(jì)算, 又可以避開(kāi)求多項(xiàng)式的所有根的困難。最后再通過(guò)例舉結(jié)式在各個(gè)方面上的應(yīng)用，來(lái)說(shuō)明結(jié)式的應(yīng)用。多項(xiàng)式的結(jié)式理論為計(jì)算多元非線(xiàn)性方程提供了一個(gè)理論化、系統(tǒng)化的方法，借助于計(jì)算機(jī)的輔助分析與計(jì)算，減少了計(jì)算量，提高了計(jì)算效率，比傳統(tǒng)的迭代數(shù)值解法更具有優(yōu)越性。</p><p>

70、　　接著，給出了結(jié)式的新符號(hào)表示，稱(chēng)之為結(jié)式的矩陣形表示，進(jìn)而引入結(jié)式的若干性質(zhì)，其中包括矩陣形結(jié)式的移位變換、消尾變換等，并據(jù)此給出一種簡(jiǎn)便、易用的結(jié)式計(jì)算新方法。以下將分符號(hào)引入、性質(zhì)介紹，方法說(shuō)明及具體舉例來(lái)展開(kāi)討論。引入了結(jié)式的矩陣形表示，提出了矩陣形結(jié)式的移位變換概念，并利用其得到了結(jié)式計(jì)算的一個(gè)簡(jiǎn)便方法。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><

71、;p>　　[1] 丘維聲.高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)（下冊(cè)）[M].北京:清華大學(xué)出版社,2009.5:147-149.</p><p>　　[2] Joachim von zur Gathen and Jurgen Gerhard.Modern Computer Algebra[M].Cambridge Univemity Press,1999:42-43.</p><p>　　[3] 張

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77、;　　文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　結(jié)式理論及其應(yīng)用</b></p><p><b>　　前言部分</b></p><p>　　高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)最主要的基礎(chǔ)課程之一。高等代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容包含三個(gè)方面：線(xiàn)性代數(shù)，多項(xiàng)式理論，群，環(huán)，域的基本概念。線(xiàn)性代數(shù)占的比重最大，它研究線(xiàn)性空間及其線(xiàn)性映射

78、（包括具有度量的線(xiàn)性空間及與度量有關(guān)的線(xiàn)性變換）。多項(xiàng)式理論是研究一元和多元多項(xiàng)式環(huán)。，群，環(huán)，域的基本概念是緊密結(jié)合多項(xiàng)式理論和線(xiàn)性變換（包括與度量有關(guān)的線(xiàn)性變換）理論，水到渠成地介紹一元（多元）多項(xiàng)式環(huán)、矩陣環(huán)、線(xiàn)性變換環(huán)、模p剩余類(lèi)域、正交群、酉群和辛群。</p><p>　　隨著現(xiàn)代工程技術(shù)的發(fā)展，多項(xiàng)式理論的用途越來(lái)越廣泛。特別是在現(xiàn)代控制理論中，頻域法就是以多項(xiàng)式理論為數(shù)學(xué)工具的一種系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。而結(jié)

79、式(resultant)是多項(xiàng)式理論中一個(gè)比較重要的概念，它主要用于多項(xiàng)式之間互質(zhì)性的判定。本綜述從多項(xiàng)式的結(jié)式概念人手，提出應(yīng)用結(jié)式理論來(lái)確定多元非線(xiàn)性多項(xiàng)式所有零點(diǎn)的系統(tǒng)方法，并借助計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算能力驗(yàn)證該方法在解非線(xiàn)性方程組的計(jì)算中是行之有效的。凡是可化為多項(xiàng)式方程組求解的問(wèn)題，均可采用本綜述的方法進(jìn)行研究，特別是在電力電子領(lǐng)域中的諧波抑制方面有廣泛的應(yīng)用。 </p><p><b>　　主題部

80、分</b></p><p><b>　　2.1一元多項(xiàng)式</b></p><p>　　定義1.1 設(shè)是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，形式表達(dá)式</p><p>　　稱(chēng)為系數(shù)在數(shù)域中的一元多項(xiàng)式，或稱(chēng)數(shù)域上的一元多項(xiàng)式。</p><p>　　在多項(xiàng)式中，稱(chēng)為次項(xiàng)，稱(chēng)為第次項(xiàng)的系數(shù)。我們把數(shù)域上所有一元多項(xiàng)式的集合記為。用或等符

81、號(hào)表示多項(xiàng)式。</p><p>　　我們還規(guī)定：兩個(gè)多項(xiàng)式與的同次項(xiàng)的系數(shù)全相等，并記為。又把所有系數(shù)都等于0的多項(xiàng)式稱(chēng)為零多項(xiàng)式，記為0。</p><p>　　多項(xiàng)式中系數(shù)不等于0的最高次數(shù)的項(xiàng)稱(chēng)為多項(xiàng)式的首項(xiàng)，其系數(shù)稱(chēng)為首相系數(shù)，首相系數(shù)等于1的多項(xiàng)式稱(chēng)為首一多項(xiàng)式。首項(xiàng)的次數(shù)稱(chēng)為多項(xiàng)式的次數(shù)。多項(xiàng)式的次數(shù)記為。例如式的多項(xiàng)式中如果，其首項(xiàng)就是，首項(xiàng)系數(shù)就是，次數(shù)等于。規(guī)定零多項(xiàng)式的次

82、數(shù)等于的運(yùn)算規(guī)則如下：</p><p><b>　　+任何整數(shù)=，，</b></p><p>　　零次多項(xiàng)式就是一個(gè)非零常數(shù)。</p><p>　　多項(xiàng)式在需多方面的性質(zhì)非常類(lèi)似于整數(shù)。首先定義多項(xiàng)式的加法運(yùn)算。設(shè)</p><p>　　不妨設(shè)定。為方便起見(jiàn)令。那么和的和為：</p><p>　　顯

83、然數(shù)域上的多項(xiàng)式之和仍是一個(gè)上的多項(xiàng)式。</p><p>　　很容易驗(yàn)證多項(xiàng)式的加法具有類(lèi)似于整數(shù)加法（以及向量加法）的性質(zhì)：</p><p><b>　　加法結(jié)合律：</b></p><p><b>　　加法交換律：</b></p><p><b>　　零多項(xiàng)式的特性：</b>

84、;</p><p>　　對(duì)于任意的多項(xiàng)式存在被稱(chēng)為負(fù)多項(xiàng)式的多項(xiàng)式，使得</p><p>　　有了負(fù)多項(xiàng)式的概念就可以定義多項(xiàng)式的減法。把兩個(gè)多項(xiàng)式與的差定義為：</p><p>　　再定義多項(xiàng)式的乘法：設(shè)多項(xiàng)式與如，式所示則定義它們的積為：</p><p><b>　　其中次項(xiàng)的系數(shù)為：</b></p>

85、<p><b>　　所以可以表示成</b></p><p>　　多項(xiàng)式的乘法也均有類(lèi)似于整數(shù)乘法的性質(zhì)：</p><p><b>　　乘法結(jié)合律：</b></p><p><b>　　乘法交換律：</b></p><p><b>　　多項(xiàng)式1的特征：<

86、/b></p><p>　　此外乘法與加法之間還滿(mǎn)足分配律：</p><p><b>　　以及</b></p><p>　　以后我們把數(shù)域上一元多項(xiàng)式的全體稱(chēng)為一元多項(xiàng)式環(huán)，簡(jiǎn)稱(chēng)多項(xiàng)式環(huán)。</p><p>　　在觀察多項(xiàng)式的和與積的次數(shù)。</p><p>　　命題1.1 對(duì)于多項(xiàng)式的乘法，有

87、</p><p><b>　　特別當(dāng)時(shí)有。</b></p><p>　　推論1.2 多項(xiàng)式的乘法滿(mǎn)足消去律：如果，且，那么。</p><p><b>　　命題1.2 設(shè)，則</b></p><p><b>　　2.2結(jié)式的定義</b></p><p>　

88、　我們知道，結(jié)式在代數(shù)中有著許多重要應(yīng)用。利用結(jié)式能有效地解決兩個(gè)一元多項(xiàng)式以及兩個(gè)二元多項(xiàng)式的公共零點(diǎn)問(wèn)題。我們還知道，判別式在多項(xiàng)式理論中占有重要的地位。根據(jù)判別式不但可以判定一個(gè)多項(xiàng)式是否有重根，而且還可以根據(jù)判別式的符號(hào)判定實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的根的情況。而判別式恰與結(jié)式有密切聯(lián)系，前者往往通過(guò)后者進(jìn)行計(jì)算。</p><p>　　結(jié)式能夠起到在兩個(gè)聯(lián)立的多項(xiàng)式方程中消去一個(gè)變量的作用。</p>&l

89、t;p>　　先考慮兩個(gè)一元多項(xiàng)式</p><p>　　其中,并且允許首項(xiàng)系數(shù)等于0。</p><p>　　用分別乘，用分別乘，可以得到以下等式組：</p><p>　　……………………………………………………</p><p>　　……………………………………………………</p><p>　　我們把等式組右邊的系數(shù)

90、矩陣記為</p><p>　　則。現(xiàn)在用矩陣A的最后一列元素的代數(shù)余子式分別去乘的各個(gè)等式并把乘積相加。根據(jù)行列式的代數(shù)余子式的性質(zhì)，等式右邊的的系數(shù)都等于0，只有常數(shù)項(xiàng)系數(shù)等于行列式。也就是說(shuō)得到下述結(jié)果：</p><p><b>　　我們引進(jìn)以下定義：</b></p><p><b>　　定義1 設(shè)</b></p

91、><p>　　是的兩個(gè)多項(xiàng)式，并且。則稱(chēng)行列式</p><p><b>　　為與的結(jié)式，記為。</b></p><p>　　根據(jù)結(jié)式的定義，我們可以把式改寫(xiě)成以下形式：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　其中</b><

92、/p><p><b>　　顯然有</b></p><p>　　這樣就證明了以下命題</p><p><b>　　命題1 設(shè)</b></p><p>　　是的兩個(gè)多項(xiàng)式，并且。則存在多項(xiàng)式，，使得</p><p>　　利用這個(gè)命題可以證明下面的定理。</p><

93、p><b>　　定理2設(shè)</b></p><p>　　是的兩個(gè)多項(xiàng)式，其中。則結(jié)式的充分必要條件是：或者，或者與有次數(shù)大于0的公因式（或等價(jià)地，和有公共的復(fù)數(shù)根）。</p><p>　　證明：設(shè)則式矩陣的行向量線(xiàn)性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)使得。用分別乘等式組的各式并相加，就可得到</p><p><b>　　令</b>

94、</p><p><b>　　則不全為零，且</b></p><p>　　若不全為零，不妨設(shè)則，因而。如果，，有。若會(huì)得到，與不全為零矛盾。但又導(dǎo)出矛盾。所以。令。由于次數(shù)大于0，它一定有一個(gè)復(fù)數(shù)根。根據(jù)多項(xiàng)式的根與一次因式的關(guān)系，有。由于是與的最大公因式，因此又有再次利用根與一次因式的關(guān)系，就可得到這說(shuō)明與有公共的復(fù)數(shù)根。</p><p>　

95、　如果，則由結(jié)式的定義，設(shè)。如果次數(shù)大于0，則由上證，與有公共的復(fù)數(shù)根。把代入，即有</p><p>　　2.3結(jié)式的一些傳統(tǒng)算法</p><p><b>　　2.3.1預(yù)備知識(shí)</b></p><p>　　我們知道, 結(jié)式在代數(shù)中有著許多重要應(yīng)用。利用結(jié)式能有效地解決兩個(gè)一元多項(xiàng)式以及兩個(gè)二元多項(xiàng)式的公共零點(diǎn)問(wèn)題我們還知道, 判別式在多項(xiàng)式理

96、論中占有重要的地位根據(jù)判別式不但可以判定一個(gè)多項(xiàng)式是否有重根, 而且還可以根據(jù)判別式的符號(hào)判定實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的根的情況而判別式恰與結(jié)式有密切聯(lián)系, 前者往往通過(guò)后者進(jìn)行計(jì)算有關(guān)結(jié)式的計(jì)算, 在一般高等代數(shù)教程中大致有以下兩種方法, 其一是行列式法,其二是公式法.本綜述給出另一種計(jì)算結(jié)式的方法這種方法在計(jì)算結(jié)式時(shí)只須對(duì)所給兩個(gè)一元多項(xiàng)式進(jìn)行有限次帶余除法即(輾轉(zhuǎn)相除)就可以了這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于它既可以避免高階行列式的復(fù)雜計(jì)算, 又可以避開(kāi)求

97、多項(xiàng)式的所有根的困難實(shí)踐表明, 就連普通的中學(xué)生也可以根據(jù)本綜述所給出的方法計(jì)算結(jié)式。</p><p>　　我們的討論要用到以下預(yù)備知識(shí)：</p><p>　　僅限于在復(fù)數(shù)域上進(jìn)行討論。</p><p>　　設(shè) </p><p>　　與 </p><p>　

98、　均為復(fù)數(shù)域上兩個(gè)一元多項(xiàng)式。</p><p><b>　　我們稱(chēng)階行列式：</b></p><p><b>　　為與的結(jié)式，記作。</b></p><p>　　不難證明下列諸式成立：</p><p>　　若又與分別為與的全部（復(fù)）根，則</p><p>　　為了本綜述的需求

99、，我們?cè)俳o出關(guān)于結(jié)式的一個(gè)補(bǔ)充定義：若為任一次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，為任一復(fù)數(shù)，我們規(guī)定：</p><p>　　其中（記號(hào)表示的次數(shù)）</p><p>　　關(guān)于式的合理性可作如下的解釋?zhuān)焊鶕?jù)結(jié)式定義, 因?yàn)槭谴味囗?xiàng)式，若數(shù)，則是零次多項(xiàng)式，故與的結(jié)式應(yīng)該是階行列式，而的系數(shù)不應(yīng)在行列式中出現(xiàn)，既（階行列式）。</p><p><b>　　特別地，我們規(guī)定<

100、;/b></p><p><b>　　2.3.2主要結(jié)果</b></p><p>　　命題1 若，（見(jiàn)式，）滿(mǎn)足且，則 </p><p><b>　　其中</b></p><p>　　證 若，根據(jù)公式，我們有</p>

101、;<p>　　若，既為某一非零數(shù)，借助于我們規(guī)定的式易知。從而式獲證。</p><p>　　類(lèi)似地，由公式與不難證明</p><p>　　命題2 若，（見(jiàn)式，）滿(mǎn)足且，則 </p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　

102、[注]若，則上述兩個(gè)命題的結(jié)論顯然均為。</p><p>　　一般來(lái)說(shuō)，根據(jù)命題1或2，雖然能使結(jié)式計(jì)算得以簡(jiǎn)化, 但在許多情況下還顯得遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠, 為此我們?cè)俳o出</p><p>　　命題3若，（見(jiàn)式，）滿(mǎn)足</p><p><b>　　且，則</b></p><p>　　其中與分別為的次數(shù)與首項(xiàng)系數(shù)，</p>

103、;<p>　　證 先看為奇數(shù)的情形。此時(shí)，我們反復(fù)應(yīng)用公式與，可得</p><p>　　將以上諸式兩邊分別相乘得</p><p>　　為了便于計(jì)算, 我們不妨把整數(shù)的代數(shù)和。</p><p>　　干脆改換成它們的和：</p><p>　　顯然，這樣做實(shí)際上并不影響共奇偶性。故由式即得我們所要的公式。</p><

104、;p><b>　　若為偶數(shù)，我們有</b></p><p>　　將以上諸式兩邊分別相乘，并且注意到</p><p>　　即可得出公式。因此，不論為奇為偶，式恒成立。</p><p>　　2.3.3 算法例舉</p><p>　　例1 求下列多項(xiàng)式的結(jié)式：</p><p>　　解 對(duì)與作輾轉(zhuǎn)相

105、除：</p><p>　　易見(jiàn)故由公式，我們有</p><p>　　顯而易見(jiàn)，這種算法要比用式或求解都來(lái)得簡(jiǎn)便。尤其是最后的計(jì)算，根本沒(méi)有涉及任何行列式。</p><p>　　例2 求下列多項(xiàng)式的結(jié)式：</p><p>　　解 因?yàn)?，故由命題1得</p><p>　　例3 求下列多項(xiàng)式的結(jié)式：</p>

106、<p><b>　　，</b></p><p><b>　　解 ，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　因?yàn)椋视晒?，我們?lt;/p><p><b>　　。</b></p><p>　　僅

107、此三例足見(jiàn)本綜述給出的算法要比直接用式或式進(jìn)行計(jì)算都要簡(jiǎn)捷得多作為結(jié)束, 我們綜合應(yīng)用公式和本文的公式證明一個(gè)有趣的恒等式： </p><p>　　這里是全部次單位虛根。</p><p><b>　　事實(shí)上，取</b></p><p>　　與例3相類(lèi)似，由公式易得</p><p>　　另一方面，根據(jù)公式，又有</p

108、><p>　　綜合以上兩個(gè)結(jié)果即得恒等式。</p><p>　　又因根據(jù)三角公式易得</p><p><b>　　故 </b></p><p>　　其中故由恒等式又得一個(gè)三角恒等式：</p><p>　　仿照恒等式, 的推導(dǎo)方法還能得出許多更為復(fù)雜的恒等式。</p><

109、;p><b>　　例4 判斷</b></p><p>　　在復(fù)數(shù)域中有沒(méi)有公共根。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　所以和互素，從而它們?cè)趶?fù)數(shù)域上沒(méi)有公共根。</p><p>　　實(shí)際上，結(jié)式的真正意義在于它能從2個(gè)多項(xiàng)式聯(lián)立方程中消去一個(gè)未知量。從而提供了解2元

110、高次代數(shù)方程組的一個(gè)方法。</p><p><b>　　設(shè)。我們要求方程組</b></p><p>　　在復(fù)數(shù)域中的全部解。</p><p><b>　　把看成的多項(xiàng)式：</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p><b&g

111、t;　　我們把行列式</b></p><p>　　稱(chēng)為多項(xiàng)式關(guān)于變量的結(jié)式，記為。注意這是變量的多項(xiàng)式。</p><p>　　如果方程組在復(fù)數(shù)域中有一個(gè)解，那么是的復(fù)數(shù)系多項(xiàng)式與的公共根，因此根據(jù)定理，這兩個(gè)一元多項(xiàng)式的結(jié)式。注意到，說(shuō)明是的多項(xiàng)式的一個(gè)復(fù)根。</p><p>　　反之，如果是多項(xiàng)式的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則結(jié)式</p><p&

112、gt;　　有，或者一元多項(xiàng)式與有公共的復(fù)數(shù)根。在后一情形，是方程組的一個(gè)解。</p><p>　　給出了解二元高次方程組的一個(gè)一般方法。我們先對(duì)一個(gè)變量求結(jié)式，再求出這個(gè)的多項(xiàng)式的所有復(fù)數(shù)根。然后把求得的每個(gè)復(fù)數(shù)根分別代入原方程組，求出的公共根。這樣就可以得到原方程組在復(fù)數(shù)域中的所有解。</p><p>　　由于與的地位是對(duì)稱(chēng)的，因此也可以先對(duì)求結(jié)式。結(jié)果當(dāng)然是一樣的，不過(guò)難易程度可能會(huì)有

113、很大差別。</p><p>　　因?yàn)榻Y(jié)式法把求二元方程組的解歸結(jié)為求解一元方程組</p><p>　　的問(wèn)題，從兩個(gè)變量中消去了一個(gè)變量，因此這是一種消元法。</p><p><b>　　例5 解方程組：</b></p><p>　　解：把這兩個(gè)多項(xiàng)式看作的多項(xiàng)式：</p><p><b&g

114、t;　　求結(jié)式</b></p><p>　　于是結(jié)式的根是1，3，-2.由于，因此結(jié)式的每一個(gè)根都可求得原方程組的解。</p><p><b>　　用代入原方程組，得</b></p><p>　　得到解。因此和的原方程組的兩個(gè)解，</p><p>　　用代入原方程組，解得；用代入原方程組，解得。因此也是原方程

115、組得解。上述4個(gè)解是方程組的全部解。</p><p>　　2.4結(jié)式理論的應(yīng)用</p><p>　　在控制系統(tǒng)的分析與綜合以及在電力電子等許多實(shí)際問(wèn)題的動(dòng)態(tài)分析中，經(jīng)常遇到求解多項(xiàng)式零點(diǎn)的問(wèn)題，甚至是關(guān)于非線(xiàn)性多元多項(xiàng)式零點(diǎn)的問(wèn)題。例如確定有兩個(gè)變量的兩個(gè)多項(xiàng)式的公共解，或者是兩條平面曲線(xiàn)的交點(diǎn)，就可以利用結(jié)式理論和本文的推論減少變量的數(shù)目來(lái)解決問(wèn)題。</p><p&g

116、t;　　平面域中給出兩條曲線(xiàn)</p><p>　　確定這兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)?？梢园褍蓚€(gè)多項(xiàng)式都看成是以為變量的多項(xiàng)式， 是的系數(shù)，那么由這兩個(gè)多項(xiàng)式組成的方程就是非線(xiàn)性方程，甚至是超越方程?？梢岳媒Y(jié)式消去變量，這就意味著求解雙變量多項(xiàng)式的公共解，被化簡(jiǎn)成求單變量多項(xiàng)式的根。</p><p>　　設(shè)是兩條曲線(xiàn)在軸上的投影集合,是兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)，零點(diǎn)定理可具體表述如下:</p>&

117、lt;p>　　2.4.1在二元線(xiàn)性方程組中的應(yīng)用</p><p>　　算例：在復(fù)平面中給定兩條曲線(xiàn)的解析式：</p><p>　　試確定這兩條曲線(xiàn)在復(fù)數(shù)域中的交點(diǎn)。</p><p>　　這兩條曲線(xiàn)的解析式是由非線(xiàn)性多項(xiàng)式構(gòu)成，如果利用傳統(tǒng)方法解其難度較大，即使利用牛頓一瑞普森等迭代法也不可能一次性解出所有的交點(diǎn)，更何況復(fù)數(shù)域中的交點(diǎn)。</p>&

118、lt;p>　　利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Mathematica可以很方便的得到和)在平面中的曲線(xiàn)，如圖1所示：</p><p>　　圖1 和的曲線(xiàn)（粗線(xiàn)表示的曲線(xiàn)）</p><p>　　將兩式展開(kāi)成為為變量的多項(xiàng)式，</p><p>　　利用希爾維斯特矩陣得到其結(jié)式為</p><p>　　根據(jù)本文推論，使，可得到交點(diǎn)在軸上的投影集合，對(duì)于每一個(gè)值

119、都可以計(jì)算相應(yīng)的值。</p><p><b>　　時(shí)，</b></p><p><b>　　時(shí)，</b></p><p><b>　　時(shí)，</b></p><p>　　由此可得，復(fù)數(shù)域中這兩條曲線(xiàn)共有6個(gè)交點(diǎn)，即</p><p><b>　　三

120、、總結(jié)部分</b></p><p>　　本綜述首先介紹了一元多項(xiàng)式的一些性質(zhì)，定理，讓我們初步了解了多項(xiàng)式定理的一些情況。接著介紹了結(jié)式理論的一些性質(zhì)，定理，然后介紹結(jié)式的一些傳統(tǒng)的算法，分別從預(yù)備知識(shí)，主要結(jié)果，算法例舉三個(gè)方面介紹了傳統(tǒng)的算法。這種方法在計(jì)算結(jié)式時(shí)只須對(duì)所給兩個(gè)一元多項(xiàng)式進(jìn)行有限次帶余除法即（輾轉(zhuǎn)相除）就可以了。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于：它既可以避免高階行列式的復(fù)雜計(jì)算, 又可以避開(kāi)求多

121、項(xiàng)式的所有根的困難。最后再通過(guò)例舉結(jié)式在各個(gè)方面上的應(yīng)用，來(lái)說(shuō)明結(jié)式的應(yīng)用。多項(xiàng)式的結(jié)式理論為計(jì)算多元非線(xiàn)性方程提供了一個(gè)理論化、系統(tǒng)化的方法，借助于計(jì)算機(jī)的輔助分析與計(jì)算，減少了計(jì)算量，提高了計(jì)算效率，比傳統(tǒng)的迭代數(shù)值解法更具有優(yōu)越性。</p><p><b>　　四、參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 丘維聲.高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)（下冊(cè)）[M].北京:清華

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