淺談常微分方程的數(shù)值解法及其應用【信息科學與技術(shù)專業(yè)】【畢業(yè)設計+文獻綜述+開題報告】

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設計）</p><p><b>　?。ā?01 　屆）</b></p><p>　　淺談常微分方程的數(shù)值解法及其應用</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學 <

2、/p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：對于一些簡單而典型的微分方程模型，譬如線性方程、某些特殊的一階非線性方程

3、等是可以設法求出其解析解的，但在數(shù)學建模中碰到的常微分方程初值問題模型，通常很難，甚至根本無法求出其解析解，而只能求其近似解。因此，研究其數(shù)值方法，以便快速求得數(shù)值有其重大意義。針對于此，本文對常微分方程初值問題模型現(xiàn)有的數(shù)值解法問題進行了綜述研究，探討了一些數(shù)值解法的應用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：常微分方程 ，數(shù)值解法，應用</p><p>　　Numerical Solution

4、 of Differential Equation and Its Applications</p><p>　　Abstract: for some simple and typical differential equation model,such as linear equation, some special first-order nonlinear equation can be managed t

5、o find out its analytical solution,but in mathematical modeling of ordinary differential equation met in initial value problem model,it is often hard to,even can't find out the analytical solution,but only for its ap

6、proximate solution.Therefore, study the numerical method for quick get numerical has its great significance. Based on this,the paper </p><p>　　Keywords: ordinary differential equation, the numerical solution

7、, applications</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 緒 論1</b></p><p>　　1.1問題的背景1</p><p>　　1.2問題的意義1</p><p>　　2 常微分方程概念介紹3</p&

8、gt;<p>　　2.1常微分方程概況3</p><p>　　2.2常微分方程初值問題描述3</p><p>　　2.3初值問題(1)解的存在惟一性定理3</p><p>　　2.4常微分微分方程產(chǎn)生的歷史背景以及發(fā)展4</p><p>　　3 常微分方程的數(shù)值解法6</p><p>　　3.

9、1常微分方程求解的數(shù)學思想6</p><p>　　3.2常微分方程的數(shù)值解法6</p><p>　　3.2.1 Euler 法6</p><p>　　3.2.2 泰勒級數(shù)法8</p><p>　　3.2.3 龍格—庫塔方法9</p><p>　　3.2.4 預報—校正方法11</p><

10、;p>　　4 常微分方程的數(shù)值解法的應用13</p><p>　　4.1初軌計算13</p><p>　　4.2司機飲酒駕車防避模型16</p><p>　　5 結(jié)論錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻24</b></p><p><b>　　致

11、謝26</b></p><p><b>　　1 緒 論</b></p><p>　　1.1 問題的背景</p><p>　　微分方程差不多是和微積分同時產(chǎn)生的，它的形成和發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。蘇格蘭數(shù)學家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分

12、方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學家雅各布·利、歐拉、法國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。[1]</p><p>　　常微分方程在很多學科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的作用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等等，這些問題都可以化為求微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。[2]</p><p&g

13、t;<b>　　1.2問題的意義</b></p><p>　　常微分方程的概念、解法和相關(guān)理論很多。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，不過能夠求出通解的情況不多，在實際應用中多是求滿足某種指定條件的特解。我們知道，自然界中很多事物的運動規(guī)律可用微分方程來刻畫。常微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現(xiàn)象運動、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學理論和方法。物理、化學、生物、工程、航

14、空航天、醫(yī)學、經(jīng)濟和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓的運動定律、萬有引力定律、機械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價格的變化等，對這些規(guī)律的描述、認識和分析就歸結(jié)為對相應的常微分方程描述的數(shù)學模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應用于自然科學，而且越來越多的應用于社會科學的各個領(lǐng)域。它的學術(shù)價值是無價的，應用價值是

15、立竿見影的。求一階常微分方程的解是數(shù)學工作者的一項基本的且重要的工作。由于國內(nèi)外眾多數(shù)學家的努力，使此學科基本上形成了一套完美的學科體系；由于該問題比較復雜且涉及的面廣，使得有些問題的解析解很難求出，而對于一些典型的微分方程(如</p><p>　　“常微分方程”是理學院數(shù)學系所有專業(yè)學生的重要專業(yè)基礎課之一，也是工科、經(jīng)濟等專業(yè)必學內(nèi)容之一。由此可見，“常微分方程”在我們的理論學習和實際應用中具有很重要的地位和

16、實用性，成為我們發(fā)現(xiàn)定理和解決問題的重要方法之一。[4]</p><p>　　2常微分方程概念介紹</p><p>　　2.1 常微分方程概況</p><p>　　我們知道微分方程就是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及其導數(shù)的關(guān)系式。如果在微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，我們稱這種微分方程為常微分方程；自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程稱為偏微分方程。</p>

17、;<p><b>　　方程</b></p><p>　　， （1）</p><p>　　為常微分方程。其中出現(xiàn)的最高階導數(shù)的階數(shù)，叫做常微分方程的階。例如  ， ，是一階常微分方程。 是二階常微分方程。設定義于區(qū)間上，有直到階的導數(shù)，將它代入（1），使（1）變成關(guān)于的恒等式，即</p><p&g

18、t;<b>　　， </b></p><p>　　就稱＝為（1）的一個定義于上的解，并稱為該解的定義區(qū)間。[5]</p><p>　　2.2 常微分方程初值問題描述</p><p>　　在自然科學和經(jīng)濟的許多領(lǐng)域中。常常會遇到一階常微分方程的初值問題</p><p><b>　　(1)</b>&l

19、t;/p><p>　　這里是充分光滑，即關(guān)于或，滿足李普希茨條件的二元函數(shù)，是給定的初始值，稱為初始條件[5]。</p><p>　　2.3初值問題(1)解的存在惟一性定理</p><p>　　一個常微分方程是不是有特解呢?如果有，又有幾個呢?這是微分方程論中一個基本的問題，數(shù)學家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因為如果沒有解，而我們要去求解，那是沒有意義的；

20、如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在和唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。這個重要的存在和唯一性就是下面列出的著名的存在惟一性定理。</p><p>　　定理 如果在矩形區(qū)域上連續(xù)且關(guān)于滿足利普希茨條件，即存在正常數(shù)，使得</p><p>　　對所有的以及所有、都成立，則（1）存在惟一的連續(xù)可微解[6]。</p><p>　　2.4常微分微分方程

21、產(chǎn)生的歷史背景以及發(fā)展</p><p>　　微分方程的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。常微分方程是屬于數(shù)學分析的一支，是數(shù)學中與應用密切的相關(guān)的基礎學科，其自身也在不斷發(fā)展中，學好常微分方程基本的理論與方法對進一步學習研究數(shù)學理論和實際應用均非常重要。而數(shù)學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數(shù)、李群、組合拓撲學等，都對微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程

22、的應用及理論研究提供了非常有力的工具。 [7]</p><p>　　常微分方程發(fā)展的初期是對具體的常微分方程希望能用初等函數(shù)或超越函數(shù)表示其解，屬于“求通解”時代。萊布尼茨成專門研究利用變量變換解決一階微分方程的求解問題，而歐拉則試圖用積分因子統(tǒng)一處理，伯努利、里卡蒂微分方程就是在研究初等積分時提出后人以他們的名字命名的方程。[8]</p><p>　　早期的常微分方程的求解熱潮被劉維爾在

23、1841年證明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中斷。加上柯西初值問題的提出，常微分方程從“求通解”，轉(zhuǎn)向“求定解”時代。同時，由于天文計算的需要促進了常微分方程攝動理論以及小參數(shù)冪級數(shù)等近似方法的研究。[8]</p><p>　　19世紀末。天體力學中的太陽系穩(wěn)定性問題需研究常微分方程解的大范圍性態(tài)，從而使常微分方程的研究從“求定解問題”轉(zhuǎn)化為“求所有解時代”。[8]</p><p>　　2

24、0世紀六七十年代以后，常微分方程由于計算機技術(shù)的發(fā)展迎來了新的時期，從“求所有解”轉(zhuǎn)入求“求特殊解”時代，發(fā)現(xiàn)了具有新性質(zhì)的特殊的解和方程，如混沌（解）、奇異吸引子等。塞蒙斯成如此評價微分方程在數(shù)學中的地位：“300年來分析是數(shù)學里首要的分支，而微分方程又是分析的心臟，這是初等微積分的天然后的繼課，又是為了解物理科學的一門最重要的數(shù)學，而且在它所產(chǎn)生的較深的問題中，它又是高等分析里大部分思想和理論的根源?！?[9]</p>

25、<p>　　3 常微分方程的數(shù)值解法</p><p>　　3.1 常微分方程求解的數(shù)學思想</p><p>　　從常微分發(fā)展歷程可以看出，化歸是常微分方程的重要數(shù)學思想方法，常數(shù)變易法、代換法、級數(shù)解法、逐次逼近法、算子法、相平面分析法等，都是用聯(lián)系、變化的觀點，有意識地將問題化繁為簡，化歸解決的。非齊次方程問題化為齊次方程問題，一階線性方程組化為一階線性方程問題， 高階方程

26、問題化為低階方程問題，在常微分方程發(fā)展的各個階段包含著這種化歸范例。</p><p>　　常系數(shù)非齊次線性微分方程，經(jīng)采用歐拉的待定指數(shù)函數(shù)法，將求解問題化歸為代數(shù)方程根的問題，從而省去了積分運算，這是十分引人入勝的。皮卡逼近法，將微分方程的解問題化歸為積分方程的解問題，進而化歸為一致收斂的函數(shù)列問題，完全符合化難為易，化未知為已知，化繁為簡的化歸原則。拉普拉斯變換將常系數(shù)線性非齊次微分方程的邊值問題，化歸為關(guān)于

27、未知函數(shù)的拉氏變換像函數(shù)的代數(shù)方程問題。</p><p>　　3.2 常微分方程的數(shù)值解法</p><p>　　3.2.1 Euler 法</p><p>　　Euler法是最簡單的數(shù)值方法，為求解良態(tài)初值問題，的區(qū)間。實際上，下面的過程不是要找到滿足該初值問題的可微函數(shù)，而是要生成點集，并且將這些點作為近似解，即。如何構(gòu)造“近似滿足微方程”的“點集”呢？首先為這

28、些點選擇橫坐標，為方便起見，將區(qū)間劃分為個等距子區(qū)間，并選擇網(wǎng)絡點</p><p>　　， ，其中 （1）</p><p>　　值稱為步長。然后近似解</p><p>　　在上， （2）</p><p>　　設，和連續(xù)，利用泰勒定理將在處展開，對每個值，存

29、 在一個和之間的值，使得</p><p>　　， （3）</p><p>　　將和代人等式（3），得到的表示：</p><p>　　， （4）</p><p>　　如果步長足夠小，則可以忽略 2 次項（包含的項），得到</p><p>　　，

30、 （5）</p><p><b>　　這就是歐拉近似。</b></p><p>　　重復該過程，就能得到近似解曲線的一個點序列。歐拉方法的一般步驟是</p><p>　　， 其中 [8]（6）</p><p>　　例1 用歐拉方法求解初值問題，取步長，計算過程保留四位數(shù)字。</p>

31、<p>　　解 ，，首先建立歐拉迭代格式</p><p>　?。?）當，時，已知，，有 ；</p><p>　　（2）當，時，已知，，有 </p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　?。?）當，時，已知，，有</p><p><b>　?。?lt;

32、/b></p><p>　　Euler算法的程序設計</p><p>　?。?） 送初值，打印</p><p><b>　?。?） </b></p><p><b>　?。?） </b></p><p><b>　?。?） </b><

33、/p><p><b>　?。?） 打印</b></p><p><b>　?。?） </b></p><p>　?。?） 是轉(zhuǎn)（8）</p><p>　　(8） stop</p><p>　　3.2.2 泰勒級數(shù)法</p><p>　　泰勒

34、級數(shù)法有著廣泛的應用，并且是比較求解初值問題的各種不同數(shù)值方法的標準，它可設計為任意指定的精度。下面首先將泰勒定理用新的公式表示，使之適合于求解微分方程。</p><p>　　定理（泰勒定理）設 ，且在不動點處有次泰勒級數(shù)展開：</p><p>　　， （1）</p><p><b>　　其中，</b></p>&

35、lt;p>　　， （2）</p><p>　　表示函數(shù)關(guān)于的次全導數(shù)。求導公式可以遞歸地計算：</p><p><b>　　（3）</b></p><p><b>　　并且一般有</b></p><p>　　，

36、 （4）</p><p><b>　　其中為導數(shù)算子</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　區(qū)間上的初值問題的近似數(shù)值解可由各子區(qū)間上的公式（1）來推導。次泰勒方法的一般步驟為</p><p>　　， （5） </

37、p><p><b>　　其中在各步有。</b></p><p>　　次泰勒方法的最終全局誤差是階的，因此可選擇所需大小的，使得誤差足夠小。如果是固定，則理論上可以推導出步長，使之滿足任意的最終全局誤差。然而在實際運算中，通常用和計算兩個近似結(jié)果集，然后比較其結(jié)果[9]。</p><p>　　3.2.3 龍格—庫塔方法</p><

38、p>　　泰勒方法的優(yōu)點是最終全局誤差的階為，并且可以通過選擇較大的來得到較小的誤差。然而泰勒方法的缺點是，需要先確定，并且要計算高階導數(shù)，它們可能十分復雜。每個龍格一庫塔（Runge-Kutta ）方法都由一個合適的泰勒方法推導而來，使得其最終全局誤差為。一種折中方法是每步進行若干次函數(shù)求值，從而省去高階導數(shù)計算。這種方法可構(gòu)造任意 階精度的近似公式。最常用的是的龍格一庫塔方法，它適用于一般的應用，因為它非常精確、穩(wěn)定，且易于編程

39、。許多專家聲稱，沒有必要使用更高階的方法，因為提高的精度與增加的計算量相抵消。如果需要更高的精度，則應該使用更小的步長或某種自適應方法。</p><p>　　4階龍格一庫塔方法（RK4）可模擬的泰勒方法的精度。它基于如下對，的計算：</p><p>　　， （1）</p><p><b>　　其中，，和形如</b></p>

40、;<p><b>　?。?）</b></p><p>　　通過與 階的泰勒級數(shù)方法的系數(shù)匹配，使得局部誤差為，龍格和庫塔得出了如下方程組：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　該方程組有11個方程和13個未知量，必須補充兩個條件才可以求解。最有用的選擇是 </p>

41、<p>　　， （4）</p><p><b>　　其余變量的解為</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　將式（4）和（5）中的值代入式（2）和式（1），得到標準的階龍格—庫塔方法，其描述如下。自初始點開始，利用</p&g

42、t;<p>　　， （6）</p><p>　　生成近似值序列，其中[10]</p><p>　　3.2.4 預報—校正方法</p><p>　　歐拉方法、休恩方法、泰勒方法以及龍格一庫塔方法都稱為單步長方法，因為它們只利用前一個點的信息來計算下一個點，即計算時只使用了初始點。一般地，只有用來。當計算出若干個點之后，就可以利用幾

43、個已計算出的點來計算下一個點。以亞當斯一巴什福斯4步法的推導為例，計算需要，，和。該方法不是自啟動的，要生成點，必須先給出其4個初始點，，， （可用前面各節(jié)中的方法完成）。多步法的一個優(yōu)點是，可以確定它的局部截斷誤差（local truncation error ，簡稱 L.T.E.），并可以包含一個校正項，用于在每一步計算中改善解的精確度。該方法還可以確定步長是否小到能得到的精確值，同時又大到能夠免除不必要的和費時的計算。使用預報子和

44、校正子的組合在每一步只需要進行兩次函數(shù)求值[11]。</p><p>　　2.4.4.1亞當斯一巴什福斯一莫爾頓方法</p><p>　　亞當斯一巴什福斯一莫爾頓方法（Adams—Bashforth—Moulton）是由基本微積分定理推導出的多步法：</p><p>　　， (1)</p><p>　　預報子使用基于點

45、和的的拉格朗日多項式逼近值，并在區(qū)間上對式（1）積分，這個過程產(chǎn)生亞當斯一巴什福斯預報子：</p><p>　　， （2）</p><p>　　校正子的推導類似。這時可以實用剛剛計算出的值?；邳c，和新的點構(gòu)造的一個新的拉格朗日多項式逼近，然后在區(qū)間上對該多項式積分，即可得到亞當斯一莫爾頓校正子[12]：</p><p>　　。

46、 （3）</p><p>　　2.4.4.2 米爾恩—辛普森方法</p><p>　　米爾恩—辛普森方法是預報子基于區(qū)間上的對的積分：</p><p>　　， （4）</p><p>　　預報子使用基于和的拉格朗日多項式逼近，在區(qū)間上對它積分，得到米爾恩預報子：</p><p>

47、　　， (5)</p><p>　　校正子的推導類似。此時值已知，基于點，和新點構(gòu)造的新的拉格朗日多項式，然后在區(qū)間上對該多項式積分，結(jié)果為大家所熟悉的辛普森公式[13]：</p><p>　　。 （6）</p><p>　　4 常微分方程的數(shù)值解法的應用</p><p><b

48、>　　4.1 初軌計算</b></p><p>　　根據(jù)理論力學，若將地球看作一個密度均勻分布的球體，則它對衛(wèi)星的吸引可等效于一個質(zhì)點，這樣地球和衛(wèi)星就構(gòu)成一個二體系統(tǒng)。在地心慣性坐標系下考慮衛(wèi)星相對地球的運動，記衛(wèi)星位置矢量為，衛(wèi)星速度矢量，萬有引力常數(shù)為，地球質(zhì)量為，衛(wèi)星質(zhì)量為，根據(jù)萬有引力定律，衛(wèi)星受地球引力 </p>

49、<p>　　? ，</p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　根據(jù)牛頓第二定律，衛(wèi)星的運動方程可寫成</p><p><b>　　，</b></p><p>　　式中，是地球引力常數(shù)，為了計算方便，可選取軌道計

50、算單位，即取，這樣方程可寫成</p><p>　　， （1）</p><p>　　衛(wèi)星的運動狀態(tài)可由這6個量來表示，稱為軌道根數(shù)。其中稱為半長軸，稱為軌道偏心率，這2個量決定了軌道的大小和形狀，稱為軌道傾角，稱為升交點赤經(jīng)，這2個量確定了衛(wèi)星軌道平面的空間方向，稱為近地點幅角，稱為平近點角。</p><p>　　若衛(wèi)星某一時刻的，

51、， 給定，相應的軌道根數(shù)就完全確定，而任意時刻的衛(wèi)星位置矢量，速度矢量又完全由軌</p><p>　　道根數(shù) 來確定，因此、應該可以用時刻的，來表達，即 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　當不太大時，可以在處作泰勒展開為的冪級數(shù)</p><p><b>　　，</b>&l

52、t;/p><p>　　根據(jù)二體問題運動方程（），的二次導數(shù)可化為不含微商的形式，的三次導數(shù)可化為及其一次導數(shù)的線性組合，推廣到任意次導數(shù)亦這樣，以分量為例</p><p><b>　　，</b></p><p>　　可以看到總能用形式來替換，故各高階導數(shù)總可以表示成不含和的形式： </p><p><b>　　，&

53、lt;/b></p><p>　　分量也可以表示這樣的形式，所以的時間冪級數(shù)又可以表示對，的展開式形式： </p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　，</b></p>

54、;<p><b>　　另外、有封閉表達式</b></p><p>　　， （2）</p><p><b>　　其中，而滿足</b></p><p><b>　　， （3）</b></p><p>　　可用牛頓迭代法求解。</p><

55、;p>　　對于也可以用相同的方法得到</p><p><b>　　，</b></p><p>　　當有兩點、時刻的位置矢量、時，令=，則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是可得</b></p><p><

56、b>　　，</b></p><p>　　由于在計算時還有未知量，所以在計算上式時還有一個迭代過程，迭代第一步可取</p><p><b>　　，</b></p><p>　　在計算出、后即可得到計算的未知量，在計算出，進行迭代，直到、與前一次計算的、的差達到精度要求為止。得到了，，，相應的軌道根數(shù)就完全確定。</p>

57、;<p>　　當測量數(shù)據(jù)為測站地平坐標系下的時，可直接轉(zhuǎn)換為地心坐標系下的位置矢量，于是可以得到一系列的。可以先用上面的方法使用兩點數(shù)據(jù)計算出一組初軌，然后使用多點數(shù)據(jù)采用最小二乘法對其修正，得到較精確的初軌，步驟如下：</p><p>　　(1)將測站地平坐標系下的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為地心坐標系下的位置矢量；</p><p>　　(2)使用兩點數(shù)據(jù)計算出；</p>&l

58、t;p>　　(3)由計算出軌道根數(shù)；</p><p>　　(4)對式(4.3)計算出時刻的；</p><p>　　(5)利用式(4.2)求出時刻的；</p><p>　　(6)計算下列值（其中 為數(shù)據(jù)總數(shù)）；</p><p><b>　　， ，</b></p><p><b&g

59、t;　　， ， </b></p><p><b>　　， ；</b></p><p><b>　?。?）求，</b></p><p><b>　　， ；</b></p><p>　?。?）返回(3)進行循環(huán)迭代，直到與前一次計算出的的差達到精度要

60、求為止； </p><p>　　（9）由計算出軌道根數(shù)。 </p><p>　　4.2 司機飲酒駕車防避模型</p><p>　　在2004年全國大學生數(shù)學建模競賽題中有一個關(guān)于司機飲酒駕車模型。</p><p><b>　　1 問題的提出</b></p><p>　　《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精

61、含量閩值與檢驗》國家新標準規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升為醉酒駕車。大李在中午12點喝了一瓶啤酒，下午6點檢查時符合新的駕車標準，緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會不一樣呢?</p><p

62、>　　請你參考下面給出的數(shù)據(jù)(或自己收集資料)建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學模型，并討論以下問題：</p><p>　　<1>．對大李碰到的情況做出解釋：</p><p>　　<2>．在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內(nèi)駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答：</p><p>　　1)、酒是在很短時間內(nèi)喝的；</p>

63、<p>　　2)、酒是在較長一段時間(比如2小時)內(nèi)喝的。</p><p>　　<3>．怎樣估計血液中的酒精含量在什么時間最高。</p><p>　　<4>．根據(jù)你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車?</p><p>　　<5>．根據(jù)你做的模型并結(jié)合新的國家標準寫一篇短文，給想喝一點酒的司機如何駕車提出忠告。<

64、;/p><p><b>　　參考數(shù)據(jù)</b></p><p>　　1)、人的體液占人的體重的65％至70％，其中血液只占體重的7％左右：而藥物(包</p><p>　　括酒精)在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。</p><p>　　2)、體重約70kg的某人在短時間內(nèi)喝下2瓶啤滔后，隔一定時間測量他的血液中滔<

65、;/p><p>　　精含量(毫克／百毫升)，得到數(shù)據(jù)如下； </p><p><b>　　2 模型假設：</b></p><p>　　<l>.駕駛司機沒有其他疾病，消化系統(tǒng)良好，屬于健康人群，其體重為70kg左右。</p><p>　　<2>.酒精在人體內(nèi)的循環(huán)系統(tǒng)分為胃腔系統(tǒng)(系統(tǒng)I)和體液系統(tǒng)(系

66、統(tǒng)II)，兩個系統(tǒng)的容積(即血液體積或酒精分布容積)在過程中保持不變。</p><p>　　<3>.酒精從系統(tǒng)I向系統(tǒng)II的轉(zhuǎn)移的速率系數(shù)，及向體外的排出的速率系數(shù)，與該系統(tǒng)的酒精濃度成正比，這兩個速率系數(shù)也是由人體的身體機能所決定的常數(shù)。</p><p>　　<4>.循環(huán)過程只考慮由體外進入胃腔，再由胃腔進入體液，最后由體液排除體外。不考慮人體其他機體對酒精的吸收

67、，體液的變化可以忽略而保持一定。</p><p><b>　　<5>.符號說明：</b></p><p>　?。壕凭M入胃腔的速率，設為常數(shù)</p><p><b>　?。簻y試時間(小時)</b></p><p><b>　　：飲酒時間(小時)</b></p&

68、gt;<p>　?。簳r刻人體胃腔中的酒精含量(毫克／百毫升)</p><p>　?。何盖恢谐跏季凭?毫克)</p><p>　　：剛喝完酒時胃腔中的酒精量(毫克)</p><p>　?。壕凭晌盖晦D(zhuǎn)移至體液的速率系數(shù)</p><p>　?。壕凭审w液排出體外的速率系數(shù)</p><p>　　：酒精由胃腔轉(zhuǎn)

69、移至體液的轉(zhuǎn)移速率(毫克／小時)</p><p>　?。簳r刻人體體液中的酒精含量(毫克／百毫升)</p><p>　?。簳r刻人體體液中酒精濃度(毫克／百毫升)</p><p>　?。喝梭w體液的體積(百毫升)</p><p>　?。后w液系統(tǒng)中初始酒精濃度(毫克／百毫升)記為</p><p>　?。壕凭懦鲶w外的速率(毫克

70、／小時)</p><p><b>　　3 模型建立：</b></p><p>　　由酒精在人體內(nèi)吸收、轉(zhuǎn)移規(guī)律的特點，應用藥物動力學原理建立人體內(nèi)胃腔與體液循環(huán)系統(tǒng)模型，可用微分方程描述其動態(tài)過程。一般情長時間飲酒，原身體內(nèi)有殘余酒精</p><p><b>　　胃腔系統(tǒng)過程：</b></p><p&g

71、t;<b>　　酒精含量，初始。</b></p><p><b>　　當時，有</b></p><p>　　， （1）</p><p><b>　　求解得到</b></p><p><b>　　，</b></p><p>

72、;<b>　　當時，有 </b></p><p>　　， （2）</p><p><b>　　解得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　綜合（1）、（2）得到</p><p>　　，

73、 （3）</p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　2） 體液系統(tǒng)過程：</p><p>　　轉(zhuǎn)移因子，速率 轉(zhuǎn)移因子，速率</p><p>　　酒精含量，體液，酒精濃度，初始= ，

74、則有 </p><p><b>　　， ，</b></p><p>　　， （4）</p><p><b>　　當時，有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　令，

75、，則</b></p><p><b>　　， （5）</b></p><p><b>　　當時，有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　令，則</b></p><p><b

76、>　　，</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　對于短時間飲酒，體內(nèi)殘余酒精可以解釋如下：</p><p><b>　　，從而 </b></p><p><b

77、>　　，</b></p><p>　　即 </p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　4 模型求解 </b></p><p>　　上述模型的表達式(1)，(2)，(4)均可歸結(jié)為常微分方程初值問題，對于其解可用上面介紹的數(shù)值解法的方法給

78、出。在這里給出了一個計算數(shù)值解的程序。在模型中考慮長時間飲酒的情況，用MATLAB計算出，當大李飲酒的時間達到1．865個小時，檢測時其酒精含量是20．0276毫克／百毫升，正好超標。</p><p>　　大李短時間繼續(xù)飲酒8小時后體內(nèi)酒精含量(對于上式(6)的求解程序)</p><p>　　k1=1.8100;</p><p>　　k2=0.2100;</p

79、><p>　　DO=51200/2+O.0132;</p><p>　　c0=18.3404;</p><p><b>　　t=8;</b></p><p>　　a=(k1*D0)／(v*(kl—k2));</p><p>　　c=c0*exp(一k2*t)+a*(exp(一k2*t)一exp(一kl

80、*t))</p><p><b>　　運行結(jié)果：</b></p><p><b>　　c=15.4695</b></p><p>　　大李長時間飲酒后體內(nèi)酒精含量(對于上式(5)的求解程序)</p><p><b>　　kl=1.8lOO</b></p><

81、p><b>　　k2=0.2lOO</b></p><p><b>　　v=447.867</b></p><p><b>　　tO=1.865</b></p><p><b>　　t=8</b></p><p><b>　　dO=0.01

82、32</b></p><p>　　f0=51200/4</p><p>　　cO=18.3404</p><p>　　a=fO/(v*k2)</p><p>　　b=(fO—k1)/(v*(kl—k2))</p><p>　　dl=f0/k1+(dO—f0/k1)*exp(一k1*t)</p>

83、<p>　　cl=cO+a+b*exp(一k1*t)+(cO—a—b)*exp(一k2*t0)</p><p>　　al=d1/(y*(k1一k2))</p><p>　　c=(c1+a1)*exp(-k2*(t—tO))一a1*exp(一k1*(t—tO))</p><p><b>　　運行結(jié)果：</b></p>&

84、lt;p><b>　　c=20.0276</b></p><p><b>　　5 模型評價</b></p><p>　　<1>.本模型成功剖析了一部分想喝酒駕車的司機人員的心理。他們總想僥幸，然而事實不允許他們這么做，我們所做的工作讓他們的這種心理無跡可遁，對促進交通安全也不無貢獻。</p><p>　　

85、<2>.缺點：沒有考慮其他可能的因素給飲酒駕車問題帶來的影響，比如人的體重、司機的健康狀況、交警檢驗程序不夠科學等。求得的方案也許并不是最優(yōu)的，但是相比之下比較滿意的。</p><p><b>　　6 模型推廣</b></p><p>　　嚴禁酒后駕車?現(xiàn)有動力系統(tǒng)模型基本解決駕駛員飲酒量與停駕時間量化分析的交通難題，對駕駛員掌握駕駛時機有重要意義；模型的

86、實際應用是當今社會非常急需，酒后駕車者被視為公路第一殺手；應用課題：如駕駛員飲酒量與停駕時間量化分析， 駕駛員理論培訓．肇事時血液中酒精濃度的反推算，車保賠償?shù)鹊难芯?。我們將研究初步結(jié)果送到相關(guān)單位專家手中，聽取他們的意見。他們是本項目涉及到的實際應用領(lǐng)域的執(zhí)行者和評判者。確切地說，他們的意見對我們進一步如何完善模型是非常有積極意義的。根據(jù)他們對該研究初步結(jié)果提出的寶貴意見：</p><p>　　<1&g

87、t;.對于酒后駕駛的安全性，保險對酒后肇事的賠付等有著指導作用。</p><p>　　<2>.對于法醫(yī)學中所用的血中乙醇濃度反推生前飲酒量有意義。</p><p>　　<3>.實驗嚴謹，結(jié)論有明顯的對比性．對于酒精在人體內(nèi)的代謝濃度，有較完整數(shù)據(jù)。</p><p>　　<4>.在“嚴禁酒后駕車”、“酒后駕車肇事不予賠償”的規(guī)定和現(xiàn)

88、實之間尋求一種合情合理又合法的新途徑，提出了“安全飲酒”的新概念。</p><p>　　<5>.“酒后安全駕車時刻表”，對于有效地預防和避免交通事故的發(fā)生有者一定的積極意義。</p><p>　　<6>.研究提供了更科學、數(shù)字化地判斷駕駛員是否應該駕車的依據(jù)，有利于解決駕駛員飲酒量與停駕時間量化分析的交通執(zhí)法難題。對于上述寶貴意見，筆者綜合分析后，找到進一步深化、提

89、高、拓廣研究的途徑。</p><p>　　由于模型研究中存在一個重要的假設，即酒精在各人體中的吸收、消除速率基本相同，該假設為小概率事件。事實上人對酒精的吸收與代謝的各項個體差異顯著，尤其是乙醇脫氫酶的個體差異非常顯著；提出以下研究設想。</p><p>　　動力系統(tǒng)模型中考慮乙醇脫氫酶因素；探討駕駛員反應曲線與安全駕車的關(guān)系。根據(jù)專家意見，我們對在交通執(zhí)法中的一大難題，肇事時體內(nèi)酒精濃度

90、的反推算問題方面再作了一些深入的研究。此外，由于呼吸式酒精測試儀的局限性和誤差，我們大膽提出應用于機動車輛的手持感應酒精測試儀的研制設想，并提出將該模型方法用于其它手工操作的機械業(yè)，以及在醫(yī)學、農(nóng)學、養(yǎng)殖業(yè)等其他領(lǐng)域的相關(guān)研究設想，進一步完善模型的相關(guān)內(nèi)容。</p><p><b>　　5 結(jié)論</b></p><p>　　本文從傳統(tǒng)的數(shù)值方法的簡單介紹出發(fā)，介紹了

91、常微分方程數(shù)值解法一些常用的方法，并例舉了常微分數(shù)值解法在數(shù)學建模中的應用。從這些應用中我們不難看出，常微分數(shù)值解法在實際應用中的重要作用和意義。同時，我們應在探索常微分數(shù)值解法的理論研究的前提下，不斷發(fā)展相應的軟件來為其服務。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 張良勇,董曉芳. 常微分方程的起源與發(fā)展[J]. 高等函授學報(自

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99、] James Stewart. Calculus[M].Fifth Edition. Beijing:高等教育出版社.</p><p><b>　　文獻綜述</b></p><p>　　淺談常微分方程的數(shù)值解法及其應用 </p><p><b>　　前言部分</b></p><p>　　微分方程差

100、不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解.牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解.后來瑞士數(shù)學家雅各布?貝努利、歐拉、法國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論. </p><p>　　微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了

101、最有生命力的數(shù)學分支.總之，力學、天文學、幾何學等領(lǐng)域的許多問題都導致微分方程.在當代，甚至許多社會科學的問題亦導致微分方程，如人口發(fā)展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是與人類社會密切相關(guān)的. [1] </p><p>　　“常微分方程”是理學院數(shù)學系所有專業(yè)學生的重要專業(yè)基礎課之一，也是工科、經(jīng)濟等專業(yè)必學內(nèi)容之一.其重要性在于它是各種精確自然科學、社會科學中表述基本定律和各種問題的根本工具之一，換句話說

102、，只要根據(jù)實際背景，列出了相應的微分方程，并且能（數(shù)值地或定性地）求出這種方程的解，人們就可以預見到，在已知條件下這種或那種“運動”過程將怎樣進行，或者為了實現(xiàn)人們所希望的某種“運動”應該怎樣設計必要的裝置和條件等等.例如，我們要設計人造衛(wèi)星軌道，首先，根據(jù)力學原理，建立衛(wèi)星運動的微分方程，列出初始條件，然后求出解，即衛(wèi)星運行軌道.隨著物理科學所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴展，微分方程的應用范圍更廣泛. [2]從數(shù)學自身的角度看，微

103、分方程的求解促使數(shù)學在函數(shù)論、變分法、級數(shù)展開、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進行發(fā)展.從這個角度說，微分方程變成了數(shù)學的中心. [3] </p><p>　　總之，微分方程從它誕生起即日益成為人類認識并進而改造自然、社會的有力工具，成為數(shù)學科學聯(lián)系實際的主要途徑之一.文章就常微分的數(shù)值解法以及應用展開簡單的論述。</p><p><b>　　主體部分</b>&l

104、t;/p><p>　　2.1微分方程概念介紹</p><p>　　2.1.1 微分方程概況</p><p>　　由一元函數(shù)得到的方程.即：稱含有自變量，未知函數(shù)及其導數(shù)的關(guān)系式 </p><p>　　. （1）</p><p>　　為常微分方程.其中出現(xiàn)的最高階導數(shù)的階數(shù)，叫做常微分方程的階.例如 &

105、#160;， ，是一階常微分方程. 是二階常微分方程.設定義于</p><p>　　區(qū)間上，有直到階的導數(shù)，將它代入（1），使（1）變成關(guān)于的恒等式，即.</p><p>　　就稱＝為（1）的一個定義于上的解，并稱為該解的定義區(qū)間. [4]</p><p>　　如果一個微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導數(shù)，或者說如果未知函數(shù)和幾個變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函

106、數(shù)對幾個變量的導數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程.</p><p>　　2.2微分方程產(chǎn)生的歷史背景</p><p>　　微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解.牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學家雅各布?貝努利、歐拉、法國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。&

107、lt;/p><p>　　微分方程的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的.數(shù)學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數(shù)、李群、組合拓撲學等，都對微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具. [5]</p><p>　　牛頓研究天體力學和機械力學的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律.后來，法國天文

108、學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置.這些都使數(shù)學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量.</p><p>　　微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學分支.總之，力學、天文學、幾何學等領(lǐng)域的許多問題都導致微分方程.在當代，甚至許多社會科學的問題亦

109、導致微分方程，如人口發(fā)展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是與人類社會密切相關(guān)的. [6]</p><p>　　2.3 微分方程發(fā)展現(xiàn)狀及其基本功能</p><p>　　在數(shù)學學科內(nèi)部的許多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，微分方程進一步發(fā)展的需要，有推動著其它數(shù)學分支的發(fā)展；相反，微分方程每一步進展都離不開其他數(shù)學分支的支援.數(shù)學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數(shù)、李群、組合拓撲學等

110、，都對微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響.當前計算機的發(fā)展更是為微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具.時至今日，可以說微分方程在所有自然科學領(lǐng)域和眾多社會科學領(lǐng)域都有著廣泛的應用，如自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等.只要能夠列出相應的微分方程，有了解方程的方法，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律.從微積分理論形成以來，人們一直用微分方程來描述、解釋或預見

111、各種自然現(xiàn)象，不斷的取得了顯著的成效. [7]</p><p>　　2.4常微分方程的數(shù)值求解方法</p><p>　　2.4.1 Euler 法</p><p>　　Euler法是最簡單的數(shù)值方法，為求解良態(tài)初值問題，的區(qū)間。實際上，下面的過程不是要找到滿足該初值問題的可微函數(shù)，而是要生成點集，并且將這些點作為近似解，即。如何構(gòu)造“近似滿足微方程”的“點集”呢？

112、首先為這些點選擇橫坐標，為方便起見，將區(qū)間劃分為個等距子區(qū)間，并選擇網(wǎng)絡點</p><p>　　， k=0，1，……， 其中 （1）</p><p>　　值稱為步長。然后近似解</p><p>　　在上， （2）</p><p>　　設，和連續(xù)，；；利用泰勒定理將在處展開，對每個值，

113、存在一個和之間的值，使得</p><p><b>　　（3）</b></p><p>　　將和代人等式（3），得到的表示：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　如果步長 h 足夠小，則可以忽略 2 次項（包含的項），得到</p><p><b

114、>　?。?）</b></p><p><b>　　這就是歐拉近似。</b></p><p>　　重復該過程，就能得到近似解曲線的一個點序列。歐拉方法的一般步驟是</p><p>　　， 其中 k = 0，1，……，M-1[8]（6）</p><p>　　2.4.2 泰勒級數(shù)法</p&g

115、t;<p>　　泰勒級數(shù)法有著廣泛的應用，并且是比較求解初值問題的各種不同數(shù)值方法的標準，它可設計為任意指定的精度。下面首先將泰勒定理用新的公式表示，使之適合于求解微分方程。</p><p>　　定理9.5（泰勒定理）設 ，且在不動點處有N次泰勒級數(shù)展開：</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b&g

116、t;　　其中，</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　表示函數(shù)關(guān)t的（）次全導數(shù)。求導公式可以遞歸地計算：</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　并且一般有</b></p><p

117、><b>　　（4）</b></p><p><b>　　其中為導數(shù)算子</b></p><p>　　區(qū)間上的初值問題的近似數(shù)值解可由各子區(qū)間上的公式（1）來推導。次泰勒方法的一般步驟為</p><p><b>　　（5）</b></p><p><b>　　其

118、中在各步有。</b></p><p>　　次泰勒方法的最終全局誤差是階的，因此可選擇所需大小的，使得誤差足夠小。如果是固定，則理論上可以推導出步長，使之滿足任意的最終全局誤差。然而在實際運算中，通常用和計算兩個近似結(jié)果集，然后比較其結(jié)果[9]。</p><p>　　2.4.3 龍格—庫塔方法</p><p>　　泰勒方法的優(yōu)點是最終全局誤差的階為，并且可

119、以通過選擇較大的 N 來得到較小的誤差。然而泰勒方法的缺點是，需要先確定 N ，并且要計算高階導數(shù)，它們可能十分復雜。每個龍格一庫塔（Runge-Kutta ）方法都由一個合適的泰勒方法推導而來，使得其最終全局誤差為。一種折中方法是每步進行若干次函數(shù)求值，從而省去高階導數(shù)計算。這種方法可構(gòu)造任意 N 階精度的近似公式。最常用的是N= 4 的龍格一庫塔方法，它適用于一般的應用，因為它非常精確、穩(wěn)定，且易于編程。許多專家聲稱，沒有必要使用更

120、高階的方法，因為提高的精度與增加的計算量相抵消。如果需要更高的精度，則應該使用更小的步長或某種自適應方法。</p><p>　　4 階龍格一庫塔方法（RK4）可模擬N=4 的泰勒方法的精度。它基于如下對，的計算：</p><p><b>　　（1）</b></p><p><b>　　其中，，和形如</b></p&g

121、t;<p><b>　?。?）</b></p><p>　　通過與 N = 4 階的泰勒級數(shù)方法的系數(shù)匹配，使得局部誤差為，龍格和庫塔得出了如下方程組：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　該方程組有11個方程和13個未知量，必須補充兩個條件才可以求解。最有用的選擇是 </

122、p><p>　　， （4）</p><p><b>　　其余變量的解為</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　將式（4）和（5）中的值代入式（2）和式（1），得到標準的階龍格—庫塔方法，其描述如下。自初始點開始，利用&