換元法在數(shù)學解題中的應用【信息科學與技術(shù)專業(yè)】【畢業(yè)設計+文獻綜述+開題報告】

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設計）</p><p><b>　　（　201 　屆）</b></p><p>　　換元法在數(shù)學解題中的應用</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學 </p&g

2、t;<p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：本文主要介紹了換元法在數(shù)學解題中的應用，根據(jù)換元法在數(shù)學解題中的應用將其分類為積

3、分換元法；帶根式、帶無理式換元法；定積分換元法；二重積分、多重積分換元法；因式分解換元法；三角換元法；其他換元法。對各種換元法的類型分別進行例題展示和總結(jié)，并強調(diào)了換元法使用時應注意的問題。</p><p>　　關(guān)鍵詞：換元法；等量代換；積分換元法</p><p>　　The Application of Method of Substitution in Mathematics Prob

4、lem-Solving </p><p>　　Abstract: In this paper, we mainly introduce the application of substitution method in mathematics solving. According to its application in mathematics problem-solving, substitution met

5、hod is classed as factoring decomposition method of substitution; trigonometric substitution; and other method of substitution. Then we give many examples to show and summarize all sorts of the type method of substitutio

6、n respectively, And we should pay much attention to some problem in substitution method.</p><p>　　Keywords: method of substitution; Equivalent substitution, integration by substitution 目錄</p><p>

7、;<b>　　1 緒論1</b></p><p>　　1.1 選題的背景1</p><p>　　1.2 選題的意義1</p><p>　　2 換元法的具體類型和分類3</p><p>　　2.1 積分換元法3</p><p>　　2.1.1 定積分換元法3</p>

8、;<p>　　2.1.2 不定積分換元法4</p><p>　　2.1.3 二重積分換元法及其推導方法5</p><p>　　2.2 三角函數(shù)換元7</p><p>　　2.3 帶無理式換元[7]8</p><p>　　2.4 帶根式換元法[8]9</p><p>　　2.5 因式分

9、解換元法[9]10</p><p>　　2.6 不等式、等式的證明[10，11]10</p><p>　　2.7 解方程中的換元法[12，13]12</p><p>　　2.8 其他解題中換元法的應用13</p><p>　　3 數(shù)學解題中換元法的應用總結(jié)和展望15</p><p><b>

10、　　致 謝16</b></p><p><b>　　參考文獻17</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 選題的背景</p><p>　　從一種形態(tài)轉(zhuǎn)化到另一種形態(tài)，這是數(shù)學發(fā)展的一個杠桿，也是解題常用的手段。數(shù)學史上這樣的例子很多，無論

11、是對一些具體問題的解決，還是在經(jīng)典的數(shù)學方法中，都無不滲透著這一思想。解題中常用到的換元法，其實也是這一思想的具體體現(xiàn)。所謂換元法是指引入一個或幾個新變量代替原式中的某些變量，使得原式中僅含有這些新變量，然后對新變量求出結(jié)果，通過回帶原式求出原變量的結(jié)果。許多數(shù)學問題的求解，由于條件與結(jié)論中的變量關(guān)系在形式上的隱蔽，它們之間實質(zhì)性的邏輯聯(lián)系不易從表面形式上發(fā)現(xiàn)，即使看出它們之間的聯(lián)系，也由于表面形式的復雜而不易直接求解。但當我們進行適當

12、的變量代換，把問題的條件和結(jié)論作形式上的轉(zhuǎn)換，這樣就容易揭示出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問題化難為易，化繁為簡。所以說如果我們較好的掌握了換元思想，不但可以比較順利地解決一些較難的題目，還可以用多種方法解答同一個個問題，提高我們的思維。</p><p>　　當然，為了使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)換應該是有效的。什么是有效的轉(zhuǎn)化?總的來說，有利于問題解決的轉(zhuǎn)化就是有效轉(zhuǎn)化。在具體問題中，針對轉(zhuǎn)化的有效性，人們做了很多的探討。

13、以換元法為例，就有很多文章探討了換元法應用中的技巧，如：袁肇邦的關(guān)于《定積分換元法定理》，葉宗菊的《三角換元法在數(shù)學解題中的應用例舉》以及葉忠國的《用換元法解無理方程》，王鳳英的《“換元法”在因式分解中的運用》等都討論了換元法的一些技巧。這些問題又由于其具體形式的不同，換元的形式也多種多樣。分析各種換元形式的共同規(guī)律，可以大致歸納為以下幾類：定積分換元法、不定積分換元法、三角換元、二重積分換元法、含無理遞推式的換元法以及換元法在其他方面

14、的應用等。</p><p>　　1.2 選題的意義</p><p>　　換元法在解決定積分、不定積分、三角函數(shù)、二重積分、含無理遞推式等數(shù)學問題中有著廣泛的應用，換元法是數(shù)學問題求解特別是復雜繁瑣數(shù)學問題求解中常用的一種重要工具。</p><p>　　在數(shù)學問題求解的過程中時，我們可能遇到式子比較繁瑣，或者次數(shù)較高等不易直接求解的問題，比如：當遇到代數(shù)式中式子較繁

15、瑣或解法比較復雜時，如果能從式子的特殊性中挖掘并發(fā)揮換元的因素，這樣往往能夠產(chǎn)生更為簡潔的解法，把繁難的計算和推理簡化。從而達到化難為易、化深為淺、化繁為簡的目的。這就是簡化解題方案，尋求最佳解題法的有效方法。</p><p>　　當遇到題中含有幾個變量或次數(shù)較高問題時，我們可以考慮用換元法，能否消去某些變量或降低變量次數(shù)，起到減元降次的作用。</p><p>　　解題過程中，當遇到已知條

16、件多而分散或者已知條件和結(jié)論之間似乎缺少必然的聯(lián)系，有時甚至好像隔著一條難以逾越的鴻溝，這時完成解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系。此時就應該考慮引進中間元素，起到橋梁作用，把問題解決。</p><p>　　一些沒有現(xiàn)成模式可用的數(shù)學命題，換元往往就是尋找解題思路的過程，恰當?shù)膿Q元，可為解題提供新的信息和依據(jù)，解題思路也就伴隨而生。因而換元法是尋找解題突破口，叩開解題之門的鑰匙。事實上，我們在解題時會遇到許多問題隱

17、含在深處，不易被發(fā)現(xiàn)，若能恰當?shù)負Q元，則可把隱含的問題顯示出來，從而尋找到突破口。</p><p>　　我們在使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要是新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大、</p><p>　　2 換元法的具體類型和分類</p><p>　　2.1 積分換元法</p>

18、<p>　　2.1.1 定積分換元法</p><p>　　定理1[1] 若函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)滿足下列條件：</p><p>　　(i) 在上連續(xù)且;</p><p><b>　　(ii)；</b></p><p>　　(iii)在上連續(xù)。</p><p><b>　　則

19、 .</b></p><p>　　例2.1 用代換,求積分.</p><p>　　解函數(shù)在定義域連續(xù)，故有</p><p>　　定理2[2] 若在閉區(qū)間上，可積，則 .</p><p>　　推論1 若在上可積，則 .</p><p><b>　　推論2 .</b></p

20、><p>　　例2.2 計算 .</p><p>　　解 利用推論1，，可得到 .</p><p>　　定理3[2] 設在上可積，則對任意的和有.</p><p>　　推論3 在上可積，則 .</p><p>　　例2.3 計算 .</p><p>　　解 利用定理3，知 .</p&

21、gt;<p><b>　　例2.4 計算.</b></p><p><b>　　解 由公式，得.</b></p><p>　　例 2.5 計算 .</p><p><b>　　解 利用公式，得 </b></p><p><b>　　.</b>

22、</p><p>　　2.1.2 不定積分換元法</p><p>　　不定積分中的許多問題都可以利用換元法解決，通過換元，可使非標準型問題標準化，復雜問題簡單化。</p><p>　　例2.6 求 .</p><p>　　解 令，則有 ，故可得 </p><p><b>　　.</b><

23、;/p><p>　　定理3[3] (第一換元法)設的原函數(shù)為,可導，則有換元公式： .</p><p><b>　　例2.7 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理4[4] （第二類換元積分法）設是單調(diào)可導函數(shù)，且，又設具有原函數(shù)，則，其中是的反函數(shù)。</p

24、><p><b>　　例 2.8 求</b></p><p><b>　　解 令，則于 .</b></p><p>　　2.1.3 二重積分換元法及其推導方法</p><p>　　以定積分的換元法為基礎, 推導二重積分的換元積分公式, 它的一般步驟是:</p><p>　　1

25、) 在直角坐標系中化二重積分為二次積分;</p><p>　　2) 將二次積分的內(nèi)層積分利用定積分換元法把舊的積分變量換成一個新的積分變量;</p><p>　　3) 改變二次積分的順序, 使另一個舊變量的積分居于內(nèi)層, 再將此內(nèi)層積分利用定積分換元法把舊的積分變量換成另一個新的變量;</p><p>　　4) 把關(guān)于兩個新變量的二次積分變回到二重積分。</p

26、><p>　　定理5[5] 若函數(shù)在有界閉區(qū)間連續(xù)，函數(shù)組(1)：，將平面的區(qū)域一對一地變換為平面上的區(qū)域，且函數(shù)組(1)在上對與存在連續(xù)偏導數(shù)，有，則 .</p><p>　　例2.9 求曲線與所圍成的區(qū)域的面積。</p><p>　　解 作代換：即：，則由拋物線和直線圍成。所以, .</p><p>　　例2.10 計算二重積分，其中區(qū)

27、域是：</p><p>　　解 作極坐標代換： ，則該變換把變化為，而由直線及直線圍成。所以，故 </p><p>　　例 2.11 計算，其中 </p><p><b>　　解 因為，所以</b></p><p><b>　　令，則</b></p><p><b&g

28、t;　　再求出</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　對三類積分換元法按題型歸類，以講解解題思路與舉例題相結(jié)合的思維方式敘述，歸納總結(jié)具有共性題目的解題規(guī)律和解題方法，對換元積分法在不定積分與定積分中的應用加以對比。</p><p>　　2.2 三角函數(shù)換元</p><p>　

29、　三角換元法是指根據(jù)題中已知條件，引進一個或多個三角函數(shù)來代替題中表達式中的某些字母或代數(shù)式，把一個較復雜的問題轉(zhuǎn)化為三角問題，在利用三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等式去解決。</p><p>　　三角換元法是數(shù)學中常用的思想，它是根據(jù)待求解式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地設置新的變量來替代表達式中的某些式子或變量，對新的變量求出結(jié)果后，返回去再求出原變量的結(jié)果。換元法通過引入新的變量，將分散的條件聯(lián)系起來，使超越式化為有理式、高

30、次式化為低次式、隱性關(guān)系式化為顯性關(guān)系式，從而達到化繁為簡、變未知為已知的目的。[6]</p><p>　　例2.12 求的最大值 。</p><p><b>　　解 設，</b></p><p><b>　　則，其中</b></p><p>　　故觀察可知，當即時，.</p>&l

31、t;p>　　例2.13 求的值域。</p><p>　　解 由，得，所以.令，則故當（這時）時，；而當（這時）時，.</p><p>　　例 2.14 求函數(shù)的最值。</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　令，則</b></p><p>

32、;　　有函數(shù)可知，當時，；當時，.</p><p>　　2.3 帶無理式換元[7]</p><p>　　對于無理遞推式數(shù)列這類問題，其焦點都可以歸結(jié)到求數(shù)列的通項. 處理這類問題的一種重要方法就是換元法. 通過換元可以化無理遞推式為有理遞推式,從而建立新型的遞推關(guān)系. 我們可以利用整體換元、三角換元、對數(shù)換元、多次換元來解決這類問題。</p><p>　　例2.1

33、5 已知，求數(shù)列的通項公式。</p><p>　　解 因為，所以.對兩邊取常用對數(shù)得。設則。即。恒等變形得 即.由,得.從而，.故.又因為,所以,，從而.</p><p>　　例2.16 設，求。</p><p>　　解 ：將原遞推式兩邊平方得，</p><p><b>　　設，則。所以</b></p>

34、<p>　　令.則.故.從而，.兩邊取常對數(shù)得.令,則.故,即.從而，.由,知,進而.于是，,即.因此，,即.從而,即.故,即,因為所以.</p><p>　　例 2.17 求解。</p><p><b>　　解 設</b></p><p><b>　　所以，解得。</b></p><p&

35、gt;<b>　　由，即，解得</b></p><p>　　而時，，故是原方程的解。</p><p>　　2.4 帶根式換元法[8]</p><p>　　運用換元法解決有關(guān)帶根式的化簡問題時，關(guān)鍵是恰當選擇好基本元，注意基本元與化簡式中的根式和數(shù)之間關(guān)系，在通過利用因式分解、乘法公式及方程思想等途徑進行變形，使根式中較隱秘的特征規(guī)律凸顯出來。

36、</p><p>　　例2.18 化簡：。</p><p><b>　　解 令 </b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2.19 化簡 。</p><p>&

37、lt;b>　　解 設則</b></p><p><b>　　原式</b></p><p>　　2.5 因式分解換元法[9]</p><p>　　任何一個復雜的數(shù)學問題，總是由若干個相互關(guān)聯(lián)的簡單成份構(gòu)成的。換元法便以轉(zhuǎn)化的思想為基礎，通過更換變量，達到把一個復雜的數(shù)學問題分解為幾個簡單問題的一種常用方法。</p>

38、<p>　　例2.20 把分解因式。</p><p><b>　　解 設則</b></p><p><b>　　原式.</b></p><p>　　例2.21 分解因式。</p><p><b>　　解 令則 .</b></p><p>

39、;　　例2.22分解因式。</p><p>　　解 令，進行代換得到，</p><p><b>　　原式.</b></p><p>　　恰當?shù)倪M行換元，設出輔助未知數(shù)，常?？梢云鸬绞掳牍Ρ兜淖饔?。因式分解中的換元法。</p><p>　　2.6 不等式、等式的證明[10，11]</p><p>

40、　　換元法是證明積分等式的最常用方法。其基本思路是:利用定積分與積分變量無關(guān)的性質(zhì),利用適當?shù)淖兞刻鎿Q將積分等式的一端向另一端轉(zhuǎn)化。常用的換元思路如下:</p><p>　　若等式一端的被積函數(shù)或其主要部分為，而另一端為，則可作代換；</p><p>　　若等式兩端的被積表達式相同，則代換依據(jù)等式兩端的積分限；</p><p>　　含參變量的積分等式通常需要利用變量

41、替換將含參變量的積分進行變形處理。</p><p>　　例2.23 設連續(xù)，證明。</p><p><b>　　證 令，則有.</b></p><p>　　換元法在證明不等式時，根據(jù)題設條件進行合理的代換，可以使式子關(guān)系更清楚，還可以改變待證式的結(jié)構(gòu)特征，為綜合運用其它方法和有關(guān)知識創(chuàng)造條件。因此，常能起到化繁為簡，化難為易的作用。</

42、p><p>　　例2.24 已知且求證：分式的值不可能在和之間。</p><p>　　證 設，去分母，整理得關(guān)于的二次方程即得。當時，有或；當時，有或。即的值不可能在和之間。</p><p>　　例2.25 設為正數(shù)，且，試證：.</p><p>　　證 作倒數(shù)代換，則且。設原式的左邊為，。則有 .</p><p>

43、　　當且僅當時，上式等號成立，故得證。</p><p>　　不等式的證明有三難，證明入口難、條件使用難、變形方向難。如果用換元法，引進恰當?shù)男略兀梢詫㈩}目中的分散條件聯(lián)系起來，或者把隱含的條件顯示出來，或變形為熟悉的問題來解決。</p><p>　　2.7 解方程中的換元法[12，13]</p><p>　　對于一般的方程常用常規(guī)方法進行求解，而對于一些特殊的

44、代數(shù)方程用常規(guī)方法往往難以奏效，若能針對方程的特點，巧妙地運用換元法，往往能達到事半功倍的效果。</p><p>　　例2.26 設是對除以外的一切實數(shù)有定義的實值函數(shù)，且，求。</p><p>　　解 令代入原函數(shù)方程，得 ，令代入原函數(shù)方程，得，分別把以上兩式中的、換成，得，消去和，得到：。</p><p>　　例2.27 解函數(shù)方程。</p>

45、<p>　　解 已知函數(shù)方程中出現(xiàn)兩個獨立變量，不妨設其中一個變量為常量。</p><p><b>　　令，則原方程化為</b></p><p><b>　　再令代入上式，得</b></p><p><b>　　再令代入上式，得</b></p><p><b&

46、gt;　　聯(lián)立三個方程得，</b></p><p>　　令，可得到，為常數(shù)。</p><p>　　例2.28 求方程的通解。</p><p>　　解 令，則原方程的參數(shù)形式為</p><p><b>　　（1）由此得</b></p><p><b>　　或</b>

47、;</p><p>　　由，得代入（1）式，得原方程的一個特解。再由，解得，代入（1）的第三式，得原方程的通解</p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.8 其他解題中換元法的應用</p><p>　　當題目中的未知數(shù)具有對稱關(guān)系時應用基本對稱式進行代換，可使解題過程簡化。[14]</p&g

48、t;<p>　　例2.29 設，則的值是多少？</p><p>　　解 取倒數(shù)，。設，則，，所以。</p><p>　　解數(shù)學題時，遇到形如的條件，可設，從而有效地解決許多類型的題，這就是均值換元法。[15]</p><p><b>　　例2.30 若求。</b></p><p>　　解 設，，即，解得于

49、是有</p><p>　　對于某些函數(shù)利用換元法探討其單調(diào)性，簡潔合理，可以快速判斷出結(jié)果。</p><p>　　例2.31 已知函數(shù)，寫出函數(shù)的增減區(qū)間。</p><p>　　解 根據(jù)函數(shù)式結(jié)構(gòu)，可設，則。</p><p>　　當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；</p><p>　　當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減。</p>

50、<p>　　利用整體思想解決復數(shù)問題，常常使繁瑣的問題得到靈活的解決，同時提高學生解題的靈活性和變通性。[16]</p><p>　　例2.32 求同時滿足下列條件的所有復數(shù)。</p><p><b>　　（1）</b></p><p>　?。?）的實部和虛部都是整數(shù)</p><p>　　解 設，得到①，由

51、（1）知，所以方程①的判別式，由求根公式得，由（2）可知，的實部是整數(shù)，只能是中取值。再結(jié)合的虛部也是整數(shù)，故只能取和。所以滿足（1）、（2）的全體復數(shù)是。</p><p>　　換元法在數(shù)學計算中的有著舉足輕重的作用，解題時，當遇到解法較繁瑣時，如果能通過式子的特征挖掘并發(fā)揮換元的因素，則往往能產(chǎn)生更為簡便的解法。</p><p>　　換元法不僅在本文以上分類中有涉及，而是深入到了數(shù)學乃至

52、科學中的各個學科中，靈活的應用換元法不但可以簡化過程，更能夠使解題思路清晰易懂。</p><p>　　3 數(shù)學解題中換元法的應用總結(jié)和展望</p><p>　　不論在自然科學領域,還是社會科學領域,都存在著大量問題需要人們解決.解決問題的方法很多.通過合理假設,抓住問題的主要矛盾,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學化,從而可利用數(shù)學方法解決.數(shù)學問題自身也不例外,換元法是數(shù)學解題中常用的方法之一，其基

53、本思想是通過變量代換,化繁為簡,化難為易,實現(xiàn)從未知向已知的轉(zhuǎn)化,從而達到解決問題的目的. 所謂換元是指引入一個或幾個新變量代替原式中的某些量,使得原式中僅含有這些新變量,然后對新變量求出結(jié)果,通過回代求出原變量的結(jié)果. 換元法通過引入新的變量，將分散的條件聯(lián)系起來，使超越式化為有理式、高次式化為低次式、隱性關(guān)系式化為顯性關(guān)系式，從而達到化繁為簡、變未知為已知的目的。換元思想不論在初等數(shù)學領域還是在高等數(shù)學領域以及數(shù)學其它領域都有著廣泛

54、的應用。</p><p>　　但是換元法的應用是比較靈活的，不是一眼就可以看出可不可以使用換元以及如何使用換元，對于一些較難的題目,我們還應當通過認真觀察問題的結(jié)構(gòu)特征 ,深入分析問題的隱含條件 ,采用類比、聯(lián)想猜測等手段進行適當?shù)膿Q元 ,并綜合運用各方面的知識給予解決。</p><p>　　在這篇論文中我們首先詳細給出了換元法的基本思想，換元法發(fā)展的背景和研究的重要意義，然后通過大量的數(shù)

55、學問題的求解重點刻畫了換元法在數(shù)學領域的各方面的一些應用，具體包括在初等數(shù)學領域中常用的無理式換元，帶根式換元，因式分解換元，三角函數(shù)換元，中學的方程求解以及不等式或者等式的證明中的換元，高等數(shù)學解題中常用的積分換元等如：定積分和重積分求解中的積分第一換元法，第二換元法以及積分等式的證明等，以及常微分方程求解中的換元等。</p><p>　　換元法這一解題方法不僅是在初等數(shù)學和高等數(shù)學的解題中是一種有效的方法，我

56、們還可以應用它到線性代數(shù)的求解中、常微分方程的簡化、多重積分的換元方法等等?？傊畬W會運用換元法和靈活運用換元法不但可以快速方便的求解數(shù)學問題，還可以溝通數(shù)學各個分支之間的聯(lián)系。</p><p><b>　　致 謝</b></p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 袁肇邦.關(guān)于《定積分換元法定

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59、方程[J].襄樊職業(yè)技術(shù)學院學報.2010,07,(4):29-30.</p><p>　　[8] 周福海.用換元法化簡二次根式[J].解題方法.2007:13-15.</p><p>　　[9] 王鳳英.“換元法”在因式分解中的運用[J].理科教學研究.2001,(4).54.</p><p>　　[10] 李源等.證明定積分等式的幾種方法[J].大學教學.201

60、0,06,(3):23-25.</p><p>　　[11] 邱洪文.換元法證明不等式[J].數(shù)學通訊.2005,(18):12-13.</p><p>　　[12] 劉頓.換元法解分式方程[J].重點難點透視.2010,(7):9.</p><p>　　[13] 丁鈞.巧用換元法解函數(shù)方程[J].實用技巧.2010,4,(2):80.</p><

61、;p>　　[14] 余其貴.均值換元法在解題中的應用[J].數(shù)學學報.2007,(7):22-24.</p><p>　　[15] 于志洪.對稱換元法在分式求值中的妙用[J].山西教育.2004,08,(15):25.</p><p>　　[16] 趙麗莎.利用整體思想解決復數(shù)問題[J].內(nèi)蒙古電大學刊.2007,(02):96.</p><p>　　[17]

62、 Richard Courant Fritz John.Introduction to Calculus and Analysis I [M].北京：世界圖書出版公司.1991.</p><p>　　[18] Vladimir A. Zorich. Mathematical Analysis II [M].北京：世界圖書出版公司.2003.</p><p><b>　　文獻綜述&

63、lt;/b></p><p>　　換元法在數(shù)學解題中的應用</p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　有些數(shù)學問題，由于條件與結(jié)論中的變量關(guān)系在形式上的隱蔽，它們之間實質(zhì)性的邏輯聯(lián)系不易從表面形式上發(fā)現(xiàn)，即使看出它們之間的聯(lián)系，也由于表面形式的復雜而不易直接求解。但當我們進行適當?shù)淖兞看鷵Q，把問題的條件和結(jié)論作

64、形式上的轉(zhuǎn)換，這樣就容易揭示出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問題化難為易，化繁為簡。掌握了換元思想，不但可以比較順利地解決一些較難的題目，還可以用多種方法解答同一個個問題，提高我們的思維。</p><p>　　數(shù)學中這樣的例子有很多，無論是對一些具體問題的解決，還是在經(jīng)典的數(shù)學方法中，都無不滲透著這一思想。解題中常用到的換元法，其實也就是這一思想的具體體現(xiàn)。</p><p>　　解數(shù)學題時，把某個

65、式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這種方法叫做換元法。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟碗s的計算和推證簡化。 它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應用。尤其是在積分中應用很是廣泛。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設元

66、，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。</p><p>　　為了使復雜繁瑣的數(shù)學問題得到解決，利用換元法應進行有效替換。在具體問題中，針對替換的有效性，人們做了很多的探討。有很多文章探討了數(shù)學問題中的換元技巧，例如積分中的換元技巧、三角換元、無理遞推式換元技巧等等。每一類問題又由于其具體形式的不同，換元的形式也多種多樣

67、。分析各種換元形式的共同規(guī)律，可以撿起歸納為以下幾類：定積分換元法、不定積分換元法、三角換元、二重積分換元法、含無理遞推式的換元法和換元法在其他方面的應用。</p><p>　　當遇到題中含有幾個變量或次數(shù)較高問題時，我們可以考慮用換元法，能否消去某些變量或降低變量次數(shù)，起到減元降次的作用。</p><p>　　解題過程中，當遇到已知條件多而分散或者已知條件和結(jié)論之間似乎缺少必然的聯(lián)系，有

68、時甚至好像隔著一條難以逾越的鴻溝，這時完成解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系。此時就應該考慮引進中介元素，起到橋梁作用，把問題解決。</p><p>　　一些無現(xiàn)成模式可用的數(shù)學命題，換元往往就是尋找解題思路的過程，恰當?shù)膿Q元，可為解題提供新的信息和依據(jù)，解題思路也就伴隨而生。許多問題隱含在深處，不易被發(fā)現(xiàn)，若能恰當?shù)負Q元，則可把隱含的問題顯示出來。因而換元法是尋找解題突破口，叩開解題之門的鑰匙。</p>

69、;<p><b>　　二、主題部分</b></p><p>　　在數(shù)學解題中，對于引進輔助未知元素解題的方法我們稱為換元法。又稱變量代換法或輔助元素法。解數(shù)學問題時，如果直接解決原問題有困難，或原問題不易下手，或由原問題的條件難以直接得出結(jié)論時，往往需要引入一個或若干個“新元”代換問題中原來的“元”，使以“新元”為基礎的問題求解比較容易，解決以后將結(jié)果恢復為原來的元，即可得原問

70、題的結(jié)果。</p><p>　　換元的實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，使問題得到簡化的一種解題方法。換元法的基本思想是通過變量代換，使原問題化繁為簡、化難為易，使問題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達到解題目的。</p><p>　　在解數(shù)學題時, 把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化, 關(guān)鍵是構(gòu)造元和設元,理論依據(jù)是等量代換, 目的是

71、變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來,從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化.通過引進新的變量(輔助元素) ,可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式, 在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有著廣泛的應用。</p><p><b>　　1．定積分換元法</b>&

72、lt;/p><p>　　定理1[1] 若函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)滿足下列條件：</p><p>　　(i) 在上連續(xù)且;</p><p><b>　　(ii)；</b></p><p>　　(iii)在上連續(xù)。</p><p><b>　　則</b></p><p

73、><b>　　例 用代換求積分</b></p><p>　　解 在定義域上連續(xù)；當時；時，</p><p><b>　　其中是任意整數(shù)，又</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　定理2[2] 若在閉區(qū)間上可積，則</p>&l

74、t;p>　　推論1 若在上可積，則</p><p><b>　　推論2 </b></p><p><b>　　例 計算 </b></p><p>　　解 利用推論1，，故</p><p>　　定理3[2] 設在上可積，則對任意的和有.</p><p>　　推論3 在上可

75、積，則</p><p><b>　　例 計算</b></p><p><b>　　解 利用定理3知，</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　公式1[3] 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導數(shù)，當在上變化時，函數(shù)的值在上變化，并且，則

76、 .</p><p><b>　　2．證明定積分等式</b></p><p>　　換元法是證明積分等式的最常用方法,其基本思路是:利用定積分與積分變量無關(guān)的性質(zhì),利用適當?shù)淖兞刻鎿Q將積分等式的一端向另一端轉(zhuǎn)化。常用的換元思路如下:</p><p>　　若等式一端的被積函數(shù)或其主要部分為，而另一端

77、為，則可作代換；</p><p>　　若等式兩端的被積表達式相同，則代換依據(jù)等式兩端的積分限；</p><p>　　含參變量的積分等式通常需要利用變量替換將含參變量的積分變形處理。</p><p><b>　　例 設連續(xù)，證明</b></p><p><b>　　證 令，則有.</b></p&

78、gt;<p><b>　　3．不定積分換元法</b></p><p>　　定理3[5] (第一換元法)設的原函數(shù)為,可導，則有換元公式：</p><p><b>　　例</b></p><p>　　定理4[5] （第二類換元積分法）設是單調(diào)可導函數(shù)，且，又設具有原函數(shù)，則，其中是的反函數(shù)。</p>

79、<p><b>　　例 求</b></p><p><b>　　解 令，則，于是</b></p><p>　　4．二重積分換元法及其推導方法</p><p>　　以定積分的換元法為基礎, 推導二重積分的換元積分公式, 它的一般步驟是:</p><p>　　1) 在直角坐標系中化二重積分

80、為二次積分;</p><p>　　2) 將二次積分的內(nèi)層積分利用定積分換元法把舊的積分變量換成一個新的積分變量;</p><p>　　3) 改變二次積分的順序, 使另一個舊變量的積分居于內(nèi)層, 再將此內(nèi)層積分利用定積分換元法把舊的積分變量換成另一個新的變量;</p><p>　　4) 把關(guān)于兩個新變量的二次積分變回到二重積分。</p><p>

81、;　　定理5[6] 若函數(shù)在有界閉區(qū)間連續(xù)，函數(shù)組(1)：，將平面的區(qū)域一對一地變換為平面上的區(qū)域，且函數(shù)組(1)在上對與存在連續(xù)偏導數(shù)，有，則 </p><p>　　例 求曲線與所圍成的區(qū)域的面積。</p><p>　　解 作代換： 即：，則由拋物線和直線圍成。所以 </p><p><b>　　5． 三角

82、函數(shù)換元</b></p><p>　　三角換元法是指根據(jù)題中已知條件，引進一個或多個三角函數(shù)來代替題中表達式中的某些字母或代數(shù)式，把一個較復雜的問題轉(zhuǎn)化為三角問題，在利用三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等式去解決。</p><p>　　三角換元法是數(shù)學中常用的思想，它是根據(jù)待求解式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地設置新的變量來替代表達式中的某些式子或變量，對新的變量求出結(jié)果后，返回去再求出原變量的結(jié)

83、果。換元法通過引入新的變量，將分散的條件聯(lián)系起來，使超越式化為有理式、高次式化為低次式、隱性關(guān)系式化為顯性關(guān)系式，從而達到化繁為簡、變未知為已知的目的。</p><p><b>　　例 求的值域。</b></p><p>　　解 由，得，所以.令，則故當（這時）時，；而當（這時）時，.</p><p>　　6.無理遞推數(shù)列換元</p>

84、;<p>　　無理遞推式數(shù)列問題這類問題的焦點都可以歸結(jié)到求數(shù)列的通項. 處理這類問題的一種重要方法就是換元法. 通過換元,可以化無理遞推式為有理遞推式,從而建立新型的遞推關(guān)系. 我們可以利用整體換元、三角換元、對數(shù)換元、多次換元來解決這類問題。</p><p>　　例 已知，求數(shù)列的通項公式。</p><p>　　解 因為，所以.對兩邊取常用對數(shù)得。設則。即。恒等變形得即.

85、由,得.從而，.故.又因為,所以,.令.則.故.從而，.兩邊取常對數(shù)得.令,則.故,即.從而，.由,知,進而.于是，,即.因此，,即.從而,即.故,即,因為所以.</p><p>　　通過以上所有例子可以看出，數(shù)學計算中,換元法的確有著極其重要的作用。學會運用換元法,不但可以溝通數(shù)學各個分支之間的聯(lián)系,還可以擴大視野,培養(yǎng)學生的計算能力。 </p><p><b>　　三、總結(jié)部

86、分</b></p><p>　　換元法在解決定積分、不定積分、三角函數(shù)、二重積分、含無理遞推式等數(shù)學問題中有著廣泛的應用，換元法是解決復雜繁瑣數(shù)學問題的重要工具。</p><p>　　解數(shù)學問題時，當遇到代數(shù)中式子較煩或解法比較復雜時，如果能從式子的特殊性中挖掘并發(fā)揮換元的因素，這樣往往能夠產(chǎn)生更為簡潔的解法，把繁難的計算和推理簡化。從而達到化難為易、化深為淺、化繁為簡的目的。

87、這就是簡化解題方案，尋求最佳解題法的有效方法。</p><p>　　換元的實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，使問題得到簡化的一種解題方法。換元法的基本思想是通過變量代換，使原問題化繁為簡、化難為易，使問題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達到解題目的。</p><p>　　利用換元法解數(shù)學題的關(guān)鍵在于適當?shù)剡x擇“新元”，引進適當?shù)拇鷵Q，找到較容易的解題思路，能使問題簡化。</p

88、><p>　　即把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。</p><p>　　換元法的一般步驟是：</p><p>　　①設元（或構(gòu)造元） ②求解 ③回代 ④檢驗</p><p>　　轉(zhuǎn)化 等量代換 等價原則</p&g

89、t;<p>　　對于一些較復雜的題目,我們還應當通過認真觀察問題的結(jié)構(gòu)特征 ,深入分析問題的隱含條件 ,采用類比、聯(lián)想猜測等手段進行適當?shù)膿Q元 ,并綜合運用各方面的知識給予解決。</p><p><b>　　四、參考文獻</b></p><p>　　[1] 袁肇邦.關(guān)于《定積分換元法定理》[J].鞍山師范學院學報.1992，(3):35-37.</

90、p><p>　　[2] 李開丁.定積分的二種換元法及其應用[J].高等數(shù)學研究.1999，12(4)：15-18.</p><p>　　[3] 童宏勝.定積分換元公式的幾個推論及應用[J].河南廣播電視大學學報.2006,04,(4)：58-60.</p><p>　　[4] 李源.證明定積分等式的幾種方法[J].高等函授學報(自然科學版).2010,03,(3)：23

91、-25.</p><p>　　[5] 崔瑋.淺談高等數(shù)學中不定積分的求法[J].科技信息.2010,11,(11)：518.</p><p>　　[6] 向長福.“二重積分換元法”的教學研究[J].科技信息.2010,11,(11)：536-937.</p><p>　　[7] 梅銀珍.二重積分換元公式的一種簡便推導方法[J].華北工學院學報.2004,03,(3)

92、：166-168.</p><p>　　[8] 武增明.用三角換元法求無理函數(shù)最值問題的思維視角[J].云南教育(中學教師).2007,10,(1)：27.</p><p>　　[9] 葉宗菊.三角換元法在數(shù)學解題中的應用例舉[J].科學咨詢(教育科研).2009,04,(8)：64.</p><p>　　[10] 魯和平.求含無理遞推是數(shù)列通項的換元技巧[J].中

93、等數(shù)學.2007,12,(12)：13-15.</p><p>　　[11] 安芝霞.定積分換元法中如何定限[J].新疆教育學院學報(漢文綜合版).1995.(1):52-55.</p><p>　　[12] 周大光.關(guān)于定積分換元法的使用[J].運城學院學報.1993,(4)：30-31.</p><p>　　[13]魏寶榮.重視換元法教學強化求簡意識[J].杭州

94、師范學院報(自然科學版).1997,(3).</p><p>　　[14]李迪淼.換元法及其應用[J].數(shù)學通訊.2007，（6）：8-9.</p><p>　　[15]歐陽光中等.數(shù)學分析（第3版）[M].北京：高等教育出版社.2007，04.</p><p>　　[16]Richard Courant Fritz John-Introduction to Cal

95、culus and Analysis I [M].世界圖書出版公司.1991.</p><p>　　[17]Vladimir A.Zorich-Mathematical Analysis II [M].世界圖書出版公司.2003.</p><p><b>　　開題報告</b></p><p>　　換元法在數(shù)學解題中的應用</p>

96、<p>　　一 選題的背景、意義</p><p>　　1.1 選題的背景[1]</p><p>　　從一種形態(tài)轉(zhuǎn)化到另一種形態(tài)，這是數(shù)學發(fā)展的一個杠桿，也是集體常用的手段。數(shù)學史上這樣的例子很多，無論是對一些具體問題的解決，還是在經(jīng)典的數(shù)學方法中，都無不滲透著這一思想。解題中常用到的換元法，其實也是這一思想的具體體現(xiàn)。由于條件與結(jié)論中的變量關(guān)系在形式上的隱蔽，它們之間實質(zhì)性的

97、邏輯聯(lián)系不易從表面形式上發(fā)現(xiàn)，即使看出它們之間的聯(lián)系，也由于表面形式的復雜而不易直接求解。但當我們進行適當?shù)淖兞看鷵Q，把問題的條件和結(jié)論作形式上的轉(zhuǎn)換，這樣就容易揭示出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問題化難為易，化繁為簡。掌握了換元思想，不但可以比較順利地解決一些較難的題目，還可以用多種方法解答同一個個問題，提高我們的思維。</p><p>　　當然，為了使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)換應該是有效的。什么是有效的轉(zhuǎn)化？總的來說，

98、有利于問題解決的轉(zhuǎn)化就是有效轉(zhuǎn)化。在具體問題中，針對轉(zhuǎn)化的有效性，人們做了很多的探討。以換元法為例，就有很多文章探討了解方程中的換元技巧，積分中的換元技巧等等。每一類問題又由于其具體形式的不同，換元的形式也多種多樣。分析各種還原形式的共同規(guī)律，可以撿起歸納為以下幾類：定積分換元法、不定積分換元法、三角換元、二重積分換元法、含無理遞推式的換元法和換元法在其他方面的應用。</p><p>　　1.2 選題的意義[2

99、]</p><p>　　換元法在解決定積分、不定積分、三角函數(shù)、二重積分、含無理遞推式等數(shù)學問題中有著廣泛的應用，換元法是解決復雜繁瑣數(shù)學問題的重要工具。</p><p>　　解數(shù)學問題時，當遇到代數(shù)中式子較煩或解法比較復雜時，如果能從式子的特殊性中挖掘并發(fā)揮換元的因素，這樣往往能夠產(chǎn)生更為簡潔的解法，把繁難的計算和推理簡化。從而達到化難為易、化深為淺、化繁為簡的目的。這就是簡化解題方案，

100、尋求最佳解題法的有效方法。</p><p>　　當遇到題中含有幾個變量或次數(shù)較高問題時，我們可以考慮用換元法，能否消去某些變量或降低變量次數(shù)，起到減元降次的作用。</p><p>　　解題過程中，當遇到已知條件多而分散或者已知條件和結(jié)論之間似乎缺少必然的聯(lián)系，有時甚至好像隔著一條難以逾越的鴻溝，這時完成解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系。此時就應該考慮引進中介元素，起到橋梁作用，把問題解決。

101、</p><p>　　一些無現(xiàn)成模式可用的數(shù)學命題，換元往往就是尋找解題思路的過程，恰當?shù)膿Q元，可為解題提供新的信息和依據(jù)，解題思路也就伴隨而生。因而換元法是尋找解題突破口，叩開解題之門的鑰匙。</p><p>　　許多問題隱含在深處，不易被發(fā)現(xiàn)，若能恰當?shù)負Q元，則可把隱含的問題顯示出來</p><p>　　二 研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p&g

102、t;<p>　　2.1換元法的一些基本概念</p><p>　　在數(shù)學解題中，對于引進輔助未知元素解題的方法我們稱為換元法。</p><p>　　解數(shù)學問題時，如果直接解決原問題有困難，或原問題不易下手，或由原問題的條件難以直接得出結(jié)論時，往往需要引入一個或若干個“新元”代換問題中原來的“元”，使以“新元”為基礎的問題求解比較容易，解決以后將結(jié)果恢復為原來的元，即可得原問題的

103、結(jié)果。換元法又稱變量代換法或輔助元素法。</p><p><b>　　2.2換元的實質(zhì)</b></p><p>　　換元的實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，使問題得到簡化的一種解題方法。換元法的基本思想是通過變量代換，使原問題化繁為簡、化難為易，使問題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達到解題目的。</p><p>　　2.3換元法在解題

104、中的應用</p><p>　　在解數(shù)學題時, 把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化, 關(guān)鍵是構(gòu)造元和設元,理論依據(jù)是等量代換, 目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來,從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化.通過引進新的變量(輔助元素) ,可以化高次為低次、化分式為整式

105、、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式, 在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有著廣泛的應用。</p><p>　　2.3.1定積分換元法</p><p>　　定理1[1] 若函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)滿足下列條件：</p><p>　　(i) 在上連續(xù)且;</p><p><b>　　(ii)；</b></p&g

106、t;<p>　　(iii)在上連續(xù)。</p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　例 用代換求積分</b></p><p>　　解 在定義域上連續(xù)；當時；時，其中是任意整數(shù)，又故</p><p>　　定理2[2] 若在閉區(qū)間上，可積，則</p>

107、<p>　　推論1 若在上可積，則</p><p><b>　　推論2 </b></p><p><b>　　例 計算 </b></p><p>　　解 利用推論1，，故</p><p>　　定理3[2] 設在上可積，則對任意的和有.</p><p>　　推論3 在

108、上可積，則</p><p><b>　　例 計算</b></p><p>　　解 利用定理3知， ,</p><p>　　公式1[3] 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導數(shù)，當在上變化時，函數(shù)的值在上變化，并且，則</p><p>　　2.3.2 證明定積分等式</p><p>　　換元法

109、是換元法是證明積分等式的最常用方法,其基本思路是:利用定積分與積分變量無關(guān)的性質(zhì),利用適當?shù)淖兞刻鎿Q將積分等式的一端向另一端轉(zhuǎn)化。常用的換元思路如下:</p><p>　　若等式一端的被積函數(shù)或其主要部分為，而另一端為，則可作代換；</p><p>　　若等式兩端的被積表達式相同，則代換依據(jù)等式兩端的積分限；</p><p>　　含參變量的積分等式通常需要利用變量替

110、換將含參變量的積分變形處理。</p><p><b>　　例 設連續(xù)，證明</b></p><p><b>　　證 令，則有</b></p><p>　　2.3.3 不定積分換元法</p><p>　　定理3[5] (第一換元法)設的原函數(shù)為,可導，則有換元公式：</p><p

111、><b>　　例</b></p><p>　　定理4[5] （第二類換元積分法）設是單調(diào)可導函數(shù)，且，又設具有原函數(shù)，則，其中是的反函數(shù)。</p><p><b>　　例 求</b></p><p><b>　　解 令，則，于是</b></p><p>　　2.3.4

112、二重積分換元法及其推導方法</p><p>　　以定積分的換元法為基礎, 推導二重積分的換元積分公式, 它的一般步驟是:</p><p>　　1) 在直角坐標系中化二重積分為二次積分;</p><p>　　2) 將二次積分的內(nèi)層積分利用定積分換元法把舊的積分變量換成一個新的積分變量;</p><p>　　3) 改變二次積分的順序, 使另一個舊

113、變量的積分居于內(nèi)層, 再將此內(nèi)層積分利用定積分換元法把舊的積分變量換成另一個新的變量;</p><p>　　4) 把關(guān)于兩個新變量的二次積分變回到二重積分</p><p>　　定理5[6] 若函數(shù)在有界閉區(qū)間連續(xù)，函數(shù)組(1)：，將平面的區(qū)域一對一地變換為平面上的區(qū)域，且函數(shù)組(1)在上對與存在連續(xù)偏導數(shù)，有，則</p><p>　　例 求曲線與所圍成的區(qū)域的面積。

114、</p><p>　　解 作代換：即：，則由拋物線和直線圍成。所以,</p><p>　　2.3.5 三角函數(shù)換元</p><p>　　三角換元法是指根據(jù)題中已知條件，引進一個或多個三角函數(shù)來代替題中表達式中的某些字母或代數(shù)式，把一個較復雜的問題轉(zhuǎn)化為三角問題，在利用三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等式去解決。</p><p>　　三角換元法是數(shù)學中

115、常用的思想，它是根據(jù)待求解式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地設置新的變量來替代表達式中的某些式子或變量，對新的變量求出結(jié)果后，返回去再求出原變量的結(jié)果。換元法通過引入新的變量，將分散的條件聯(lián)系起來，使超越式化為有理式、高次式化為低次式、隱性關(guān)系式化為顯性關(guān)系式，從而達到化繁為簡、變未知為已知的目的。</p><p><b>　　例 求的值域。</b></p><p>　　解 由，

116、得，所以.令，則故當（這時）時，；而當（這時）時，</p><p>　　2.3.6 無理遞推數(shù)列換元</p><p>　　無理遞推式數(shù)列問題這類問題的焦點都可以歸結(jié)到求數(shù)列的通項. 處理這類問題的一種重要方法就是換元法. 通過換元,可以化無理遞推式為有理遞推式,從而建立新型的遞推關(guān)系. 我們可以利用整體換元、三角換元、對數(shù)換元、多次換元來解決這類問題。</p><p&g

117、t;　　例 已知，求數(shù)列的通項公式。</p><p>　　解 因為，所以.對兩邊取常用對數(shù)得。設則。即。恒等變形得即.由,得.從而，.故.又因為,所以,.令.則.故.從而，.兩邊取常對數(shù)得.令,則.故,即.從而，.由,知,進而.于是，,即.因此，,即.從而,即.故,即,因為所以.</p><p>　　三 研究的方法與技術(shù)路線、研究難點，預期達到的目標</p><p&g

118、t;　　3.1 研究方法與技術(shù)路線</p><p>　　主要是以查閱資料,以現(xiàn)有的知識水平, 充分理解掌握換元法的定義、換元法相關(guān)定理及其推論，以及換元法的簡單應用。結(jié)合其它人所做的換元法的相關(guān)總結(jié)和應用方面的相關(guān)研究文獻，大量閱讀分析這些與換元法相關(guān)的文獻，結(jié)合換元法在具體數(shù)學問題中的計算來探討換元法在數(shù)學中的具體應用，并對換元法在具體數(shù)學計算中的應用進行總結(jié)。</p><p><

119、;b>　　3.2 研究難點</b></p><p>　　（1）換元思想在數(shù)學多學科計算中都有廣泛的應用，論文要求加強數(shù)學多學科知識的學習，特別是熟練掌握常用的定積分換元法、不定積分換元法、二重積分計算等問題解決的理論依據(jù)與具體應用。</p><p>　?。?）換元思想具體到一個題目的計算中怎么應用相對來說是數(shù)學計算中的難點，要充分理解掌握其中的知識有很大的難度，特別是要